dạy học bất phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông

Liên quan đến sai lầm của HS, didactic toán thừa nhận quan điểm: không phải mọi được.Sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích, nhưng không còn đúng, hoặc khô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Ngôn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Ngôn

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS.NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnTS.Nguyễn Ái Quốc, thầy đã nhiệt tình hướng dẫn khoa học và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình giảng dạy và cung cấp cho tôi những tri thức khoa học về Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn đến:

nhất cho chúng tôi

- Tập thể học sinh, sinh viên trường Đại học Tiền Giang đã giúp tôi hoàn thành thực nghiệm

sẻ những khó khăn và luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của

đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật

Người viết cam đoan

Lê Văn Ngôn

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các thuật ngữ viết tắt

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 7

1.Bất phương trình mũ và logarit trong thể chế dạy học ở THPT 7

1.1 Phân tích chương trình 7

1.2.Phân tích sách giáo khoa 9

1.2.1.Bất phương trình mũ cơ bản 9

1.2.2.Bất phương trình mũ đơn giản 13

1.2.3.Phân tích các TCTH liên quan đến BPT mũ 15

1.2.4.Bất phương trình logarit cơ bản 42

1.2.5.Bất phương trình logarit đơn giản 45

1.2.6.Phân tích các TCTH liên quan đến BPT logarit 46

2.Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài tập BPT mũ và logarit 69

2.1 Sai lầm có tính hệ thống và có thể dự đoán trước được 69

2.1.1 Không xác định đúng TXĐ của hàm số mũ và logarit: 69

2.1.2 Học sinh không quan tâm đến TXĐ của BPT logarit 71

2.1.3 Khi giải những bài toán BPT logarit, HS thường xuyên mắc phải các sai lầm trong quá trình biến đổi BPT đã cho về dạng cơ bản hoặc BPT đại số khi không tuân thủ các qui tắc tính logarit 71

2.2 Sai lầm do quan niệm 74

2.3 Sai lầm do tồn tại qui tắc hành động 76

Kết luận chương 1 78

Chương 2 THỰC NGHIỆM 83

2.1 Giới thiệu thực nghiệm 83

2.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) 84

2.3.Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm 97

K ẾT LUẬN 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

PH Ụ LỤC

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

(Chủ biên), Nxb Giáo dục

Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục

Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục

DANH MỤC CÁC BẢNG

M Ở ĐẦU

1 Lí do ch ọn đề tài

lặp đi lặp lại nhiều lần ở một số học sinh Chẳng hạn, sau đây là hai ví dụ về sai lầm

mà chúng tôi ghi nhận được:

Sai lầm 2: log (2 1) log0.5 x+ > 0.5x⇔2 1x+ > ⇔ > −x x 1

đó khi lũy thừa hay logarit hai vế có cùng cơ số dương khác 1 thì hai số mũ ở lũy

Xuất phát từ hiện tượng trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau:

cách trình bày như vậy có gây ra khó khăn và sai lầm cho HS khi giải bài tập BPT

mũ và logarit?

Q ' 2:Dạy học BPT mũ và logarit thừa hưởng những kiến thức, nội dung gì từ dạy học phương trình mũ và logarit? Giữa chúng có mối liên hệ gì?Những dạng toán nào

gắn liền với hai đối tượng này?

ở bậc trung học phổ thông” củatác giả Nguyễn Viết Hiếu – luận văn thạc sĩ 2013

đã nghiên cứu được:

+ Logarit xuất hiện đầu tiên trong lịch sử với vai trò công cụ đơn giản hóa nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương Trong định nghĩa ban đầu, logarit thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử CSN và CSC, logarit tác động vào các phần tử CSN và biến chúng thành phần tử CSC tương ứng

Từ đó nhân, chia, khai căn trên các phần tử CSN được thực hiện qua cộng, trừ, chia hai, chia ba các phần tử CSC

+ Theo tiến trình lịch sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước

và được sử dụng để định nghĩa khái niệm lũy thừa với số mũ thực

+ Có hai cách tiếp cận khái niệm logarit: giá trị của hàm số logarit tại một điểm và định nghĩa trực tiếp Từ các cách tiếp cận, khái niệm logarit tồn tại bốn nghĩa sau:

• Nghĩa một, logarit cơ số a c ủa b là giá trị của hàm số y = logax t ại điểm x

+ Logarit được ứng dụng để: giải các PT mũ f x( )

a =b , f x( ) g x( )

pH dung dịch; đo độ chấn động các trận động đất; đo độ lớn âm thanh; tính

số các chữ số của một số nguyên dương, tính giới hạn vô định dạng

tính và bán tuyến tính Từ các ứng dụng trên, logarit thể hiện ba vai trò công

cụ sau:

th ừa về các biểu thức đơn giản hơn

• Công c ụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước

vi có th ể kiểm soát được

và logarit ở cấp THPT là thật sự cần thiết.Vì lí đó nên chúng tôi chọn “Dạy học bất

phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông ” làm tên đề tài nghiên cứu

của mình

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán Cụ thể là thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương trình và sách giáo khoa.Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm có thể tồn tại nơi học sinh

Liên quan đến sai lầm của HS, didactic toán thừa nhận quan điểm: không phải mọi

được.Sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích, nhưng không còn đúng, hoặc không còn phù hợp nữa trong tình huống mới, tổng quát hơn.Hiện tượng này sinh ra do cách học bằng thích nghi: ở đây, kiến thức được xây

kiến thức tổng quát hơn đòi hỏi phải loại bỏ kiến thức cũ.Kiến thức cũ ấy có thể dẫn đến một quan niệm hay một cách thức hành động chỉ đúng trong một lớp tình huống nào đó.Thừa nhận luận điểm này, didactic toán đưa ra ba mô hình để giải thích

những sai lầm liên quan đến một tri thức cụ thể đó là: sai lầm có tính hệ thống và có

thể dự đoán trước được; sai lầm do quan niệm; sai lầm do tồn tại qui tắc hành động,

liên quan đến đối tượng tri thức O thường được hình thành từ quan hệ của thể chế

dạy học đối với đối tượng tri thức O

toán.Theo thuyết nhân học, R(I,O) - mối quan hệ của thể chế I với đối tượng tri thức

O là tập hợp các tác động qua lại mà I có với O.Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như

thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, trong I

tác động qua lại mà X có với O.Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào, thao tác O

ra sao

dưới các ràng buộc của R(I,O).Từ ràng buộc của thể chế, cá nhân X chỉ phô bày

praxéologie là chìa khóa giúp tr ả lời câu hỏi này.Mỗi praxéologie là một bộ tứ

/ / /

T τ θ

công nghệ giải thích cho kỹ thuật,Θlà yếu tố lí thuyết giải thích cho công nghệ θ

praxéologie toán học hay tổ chức toán học - OM.Các tổ chức toán học liên quan đến O cho phép ta xác định R(I,O) vì R(I,O) hình thành và biến đổi bởi một tập hợp

được một số yếu tố của quan hệ cá nhân với cùng đối tượng O này đã nảy sinh trong lúc thực hiện những nhiệm vụ trong thể chế

định

nó.Câu trả lời sai có thể đến từ việc áp dụng một qui tắc hành động ở ngoài phạm vi

Điều quan trọng là cần phải làm rõ sự cần thiết phải vận dụng những yếu tố

nêu trên vào trong luận văn này.Trước hết cần xác định luận văn xem xét đối tượng

nhập vào trong I ở vị trí HS

cá nhân X đối với một đối tượng tri thức lại chịu ảnh hưởng nhiều của quan hệ mà

Điều đó được thực hiện thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan đến O Việc xác định các mối liên hệ giữa các kỹ thuật giải, sự ưu tiên hay vắng mặt

của các kỹ thuật giúp xác định được đặc trưng của thể chế với việc dạy học O : thể

chế qui định dạy những gì liên quan đến đối tượng và dạy như thế nào, Từ đó ta có

thể tìm thấy nguồn gốc của một số sai lầm của HS

Do đó,chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán Cụ thể

là thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương trình và sách giáo khoa.Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm

có thể tồn tại nơi học sinh Trên cơ sở phạm vi lý thuyết lựa chọn, chúng tôi đặt lại câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q 1 :Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy,BPT mũ và logarit được trình bày như thế nào?

BPT mũ và logarit?

phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến BPT mũ và logarit?

3 M ục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Đi tìm lời giải đáp cho những câu hỏi trên là mục tiêu nghiên cứu của luận văn này.Để hiện thực hóa mục tiêu đó chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:

cách trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2

đoán những sai lầm của học sinh gắn liền với đối tượng BPT và cố gắng giải thích những sai lầm này theo quan điểm của thuyết nhân học Sau đó tiến hành

phương pháp này là tìm cách trả lời cho câu hỏi Q3

4 C ấu trúc luận văn

- Phần kết luận

Chương 1 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI

Để trả lời ba câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu chúng tôi tiến hành phân tích chương

tôi đưa ra một số qui ước sau đây:

M1: Sách giáo khoa Giải Tích 12 ban cơ bản

E1: Sách bài tập Giải Tích 12 ban cơ bản

G1: Sách giáo viên Giải Tích 12 ban cơ bản

1 B ất phương trình mũ và logarit trong thể chế dạy học ở THPT

1.1 Phân tích chương trình

Bất phương trình mũ và logarit được đưa vào giảng dạy ở lớp 12, chương trình chuẩn và nâng cao.Ở đây chúng tôi phân tích sách giải tích 12 ban cơ bản

Chương trình của môn giải tích 12 (chương trình cơ bản) gồm 4 chương:

Chương I.Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương II.Hàm số lũy thừa.Hàm số mũ và hàm số logarit

Chương III.Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng

Chương IV.Số phức

Bất phương trình mũ và logarit được trình bày trong chương II.Hàm số lũy

thừa.Hàm số mũ và hàm số logarit.(22 tiết)

§1.Lũy thừa

§2.Hàm số lũy thừa

§3.Lôgarit

§5.Phương trình mũ và phương trình lôgarit

§6.Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Theo sách G1 thì mục tiêu, nội dung, yêu cầu của chương II như sau:

 Mục tiêu

Gi ới thiệu lũy thừa với số mũ nguyên, căn bậc n, lũy thừa với số mũ hữu tỉ, vô tỉ

và các tính ch ất của lũy thừa

Trình bày khái ni ệm logarit và các qui tắc tính logarit

Kh ảo sát hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Gi ải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản

[G1, tr.69]

logarit đơn giản.” liên quan đến thể chế mà chúng tôi nghiên cứu đó là: “Dạy học

b ất phương trình mũ và logarit”

Chương trình không cho phép trình bày tổng quát về hàm số ngược nên hàm số lôgarit được định nghĩa độc lập với hàm số mũ, dựa vào khái niệm logarit.Phép toán l ấy logarit được xem như là phép toán ngược của phép nâng lên lũy thừa Hàm s ố lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit được trình bày sau khi học sinh

đã biết cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bằng đạo hàm, nên các hàm s ố này đều được nghiên cứu theo trình tự : nêu định nghĩa, công thức tính đạo hàm, sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Theo yêu c ầu của chương trình, sách giáo khoa chỉ giới thiệu các phương trình,b ất phương trình mũ và logarit đơn giản, không chứa ẩn ở cơ số và không

có tham s ố

Để học sinh có thể hình dung được tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình mũ cơ bản, sách giáo khoa có phần minh họa bằng đồ thị khi giải bài t ập

[G1, tr.69]

Như vậy, nội dung của chương có liên quan đến đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu

hình dung được tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình mũ cơ bản, sách giáo khoa có phần minh họa bằng đồ thị khi giải bài tập

 Yêu cầu

"N ắm được khái niệm, các tính chất, biết cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

c ủa các hàm số lũy thừa, mũ, logarit

Bi ết cách giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit cơ bản

Bi ết cách giải một số phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản."

[G1, tr.69]

Như vậy, yêu cầu của chương có liên quan đến đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu

đó là:biết cách giải các PT, BPT mũ và logarit dạng cơ bản và đơn giản

đơn giản có điểm nào tương tự với các phương pháp giải PT mũ và logarit dạng cơ

SGK Toán 12 ban cơ bản hiện hành Phần phân tích của chúng tôi sẽ tập trung vào hai đối tượng BPT mũ và BPT logarit Tuy nhiên, trong quá trình phân tích chúng tôi sẽ tham chiếu so sánh đến phần PT tương ứng với nó

1.2 Phân tích sách giáo khoa

Ph ần lý thuyết

1.2.1 Bất phương trình mũ cơ bản

Khi SGK không đưa ra khái niệm BPT mũ mà chỉ nêu các dạng của BPT mũ cơ bản

“SGK không nêu khái ni ệm bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.Ta

hi ểu đó là các bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa hoặc trong biểu

y

Tiếp theo, M1đưa ra công thức nghiệm cho BPT mũ cơ bản dạng a x >b như sau:

Ta xét b ất phương trình có dạng a x >b

N ếu b≤0, t ập nghiệm của bất phương trình là R vì ax > ≥ ∀ ∈ 0 , b x R

N ếu b >0thì b ất phương trình tương đương với a x >aloga b

V ới a >1,nghi ệm của bất phương trình là x>loga b

V ới 0< <a 1,nghi ệm của bất phương trình là x<loga b

N ếu b ≤0 thì a x >b v ới mọi x

N ếu b >0 thì a x >b v ới x>loga b (H.1.1)

Trường hợp 0< <a 1,ta có:

N ếu b ≤0 thì a x >b v ới mọi x

N ếu b >0 thì a x >b v ới x<loga b (H.1.2)

Cách tiếp cận này được sách giáo viên giải thích như sau:

Cũng như đối với các phương trình ở bài 5, khi giải các bất phương trình mũ

và b ất phương trình logarit cơ bản, SGK chú trọng đến việc minh họa bằng

đồ thị Lí do là phương pháp đồ thị giúp học sinh hình dung một cách trực quan t ập hợp nghiệm của bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm đó trên

tr ục số Ngoài ra, qua đồ thị, học sinh nắm vững được các trường hợp bất phương trình luôn nghiệm đúng hoặc vô nghiệm mà không cần ghi nhớ một cách máy móc các k ết quả trong bảng

[G1, tr.97,98]

có một dạng BPT mũ cơ bản với dấu “ > ” được giới thiệu và minh họa miền

x

1

a > 0< <a 10

0

b > (log ;a b +∞) (−∞ ;loga b)

Hình 1.2 Hình 1.1

( 1)

x

y a a= >

đối với các BPT mũ cơ bản với dấu “<, ≤ , ≥” mà thay vào đó là hoạt động 1

“Ho ạt động 1.Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình a x ≥b a, x<b a, x ≤b

0

b > (−∞ ;loga b log ;a b +∞)

Ta nhận thấy cấu trúc trình bày BPT mũ cơ bản dạng a x >bhoàn toàn tương tự như

dấu “>” (hoặc dấu “<, ≤, ≥”) thì ta có dạng của BPT mũ cơ bản và M1 không nêu

Để rèn luyện kĩ năng cho HS thì G1đã đưa ra yêu cầu:

“Sau ho ạt động 1 nên yêu cầu học sinh giải cụ thể một vài bất phương trình

mũ cơ bản để rèn luyện kĩ năng.Chẳng hạn,có thể yêu cầu học sinh chỉ ra tập

h ợp nghiệm của các bất phương trình sau:

1.2.2.B ất phương trình mũ đơn giản

Dưới đây là một số ví dụ về BPT mũ đơn giản

Ví d ụ 2.Giải bất phương trình 2

3x−x < 9

Gi ải.Bất phương trình đã cho có thể viết dưới dạng 3x2 −x < 3 2

Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên x2 − <x 2

Đây là bất phương trình bậc hai quen thuộc.Giải bất phương trình này ta được − < <1 x 2

V ậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng (− 1;2)

x >

5log 2;

phương pháp giải BPT mũ đơn giản

không đưa ra được các phương pháp giải BPT mũ cụ thể như: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ,…và liệu đó có phải là nguyên nhân gây khó khăn cho việc dạycủa GV,

cho kết quả sai

Vậy chúng tôi nhận thấy rằng đối với BPT mũ đơn giản thì M1 chỉ đưa ra 2 ví dụ

thể để giải BPT mũ đơn giản.Vậy liệu rằng với cách trình bày như vậy có ảnh hưởng gì cho GV và HS khi dạy và học đối với nội dung này hay không?Do đó, liệu

có cần một sự điều chỉnh về cách trình bày để việcdạyvà học nội dung này đạt được

không?

1.2.3 Phân tích các TCTH liên quan đến BPT mũ

cơ bản và BPT mũ đơn giản Bên cạnh đó chúng tôi cũng phân tích các TCTH liên quan đến PT mũ cơ bản và PT mũ đơn giản để làm cơ sở so sánh giữa hai đối tượng

+ Lấy logarit cơ số a hai vế của BPT x >

a a a b + Nếu cơ số a >1thì x> loga b

+ Nếu cơ số 0< <a 1thì x< loga b

• K ỹ thuật τ1.bptmuog

MuL - Đưa về cùng cơ số mũ logarit:

+ Biến đổi b thành loga b

+ Nếu cơ số a >1thì x > loga b ⇔ >log

+ Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit y=log (a x a>0,a≠1) Khi a >1

hàm số luôn đồng biến.Khi 0< <a 1hàm số luôn nghịch biến

+ Sử dụng tính chất của logarit: với a b, > 0,a≠ 1.Ta có aloga b = b

Kỹ thuật giải các BPT mũ dạng a x ≥b a, x <b a, x ≤b với a> 0,a≠ 1tương tự như BPT mũ dạng a x >b

- Ki ểu nhiệm vụ T 1 ptmu :Gi ải phương trình mũ cơ bản có dạng a x =b v ới

cho kĩ thuật đó như sau:

- K ỹ thuật τ1ptmu:Gi ải PT mũ cơ bản có dạng a x =b v ới a> 0,a≠ 1

• Kĩ thuật τ1.ptmulog

CC - Công c ụ logarit :

+ Điều kiện cho PT (nếu có)

a b + Lấy logarit cơ số a hai vế của PT x =

a b được PT x= loga b

• Công ngh ệ 1.ptmu

CCLog

+ Tính biến thiên của hàm số logarit; tính chất của logarit

+ Tính chất liên quan đến tập nghiệm của hai PT tương đương

• Kĩ thuật τ1.ptmu

MuLog - Đưa về cùng cơ số mũ logarit:

a b + Biến đổi b thành loga b

+ Định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit

“Cho hai s ố dương a, b với a ≠1 S ố α thỏa mãn aα =b được gọi là logarit cơ số a

c ủa b và kí hiệu là loga b ( α =loga b⇔aα = )” b

[M1,tr.62]

y = a

• Kĩ thuật τ1.ptmu

MuHuuTi - Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ:

+ Điều kiện xác định PT (nếu có)

+ Tính chất lũy thừa với mũ số thực, phép biến đổi tương đương PT

y a =

Chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNVgiải PT và BPT mũ cơ bản có sự tương tự chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <,

≥, ≤” để được BPT tương ứng và đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số mũ là

HS áp dụng qui tắc hành động sau: Với cơ số0< ≠1 , x > ⇔ >log

a

tôi nhận thấy rằng qui tắc hành động này chỉ hợp thức khi cơ số a >1và nó không

hợp thức khi cơ số 0< <a 1dẫn đến sai lầm

a >a v ới a> 0,a≠ 1.( phương pháp đưa về cùng cơ số)

Ví d ụ 1.Giải các bất phương trình mũ sau:

a) Vì cơ số 25 bé hơn 1 nên bất phương trình đã cho tương đương với 2 x x − <

Ta có điều kiện của bất phương trình này là 0< ≤x 2.Khi đó bình phương hai

+ Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng a f x( ) >a g x( )

 Với a>1,a f x( ) >a g x( ) ⇔ f x g x( )> ( )

 Với 0< <a 1,a f x( )>a g x( ) ⇔ f x g x( ) ( )<

+ Khi đó ta đi giải BPT f x( ) >g x( )hoặc f x( ) <g x( )

- Công ngh ệ θ2bptmu:Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ

( 0, 1)

x

y a a= > a≠

+ Khi a >1hàm số luôn đồng biến

+ Khi 0< <a 1hàm số luôn nghịch biến

c) - Ki ểu nhiệm vụ T 3 bptmu : Gi ải bất phương trình mũ đơn giản có dạng

x

x x

+ Khi đó ta đi giải bất phương trình f x( ) ≥g x( )hoặc f x( ) ≤g x( )

- Công ngh ệ θ3bptmu:Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ

( 0, 1)

x

y a a= > a≠

+ Khi a >1hàm số luôn đồng biến

+ Khi 0< <a 1hàm số luôn nghịch biến

Kỹ thuật giải các BPT mũ đơn giản có dạng af x( ) < ag x( ) , af x( ) ≤ ag x( )tương tự như

các BPT mũ đơn giản có dạng af x( ) > ag x( ) , af x( )≥ ag x( )

Các kiểu nhiệm vụ T 2 bptmu T 3 bptmuchúng ta đã giải bằng phương pháp đưa về cùng

cơ số Đây là một phương pháp cơ bản để giải BPT dạng này nhưng chỉ giải được

cùng cơ số với mong muốn thấy được sự tương đồng với KNV giải BPT mũ đơn

- Công ngh ệ θ2ptmu: a M =a N ⇔ M=Nvới a> 0,a≠ 1

phương pháp đưa về cùng cơ số có dạng tương tự nhau chỉ khác nhau về mặt hình

thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>,<, ≥, ≤” để được BPT tương ứng nhưng đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số mũ là hàm số đơn điệu để kết luận đúng

tập nghiệm của BPT đã cho

0 < ≠ 1 , f x > g x ⇔ ( ) > ( )

hành động này chỉ hợp thức khi cơ số a >1và nó không hợp thức khi cơ số 0< <a 1

dẫn đến sai lầm

+ Tính chất đơn điệu của hàm số mũ: Khi a >1, a M >a N ⇔ M>N.Khi 0< <a 1,

M N

a >a ⇔ M<N

+ Tính chất đơn ánh của hàm số mũ: a M =a N ⇔M=Nvới a> 0,a≠ 1

như cách trình bày kỹ thuật giải có phải là một trong những nguyên nhân dẫn đến các sai lầm của HS

d) - Ki ểu nhiệm vụ T 4 bptmu :Gi ải bất phương trình mũ đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ có dạng P a( f x( )) 0> (hoặc P a( f x( )) 0≥ ),trong đó P(t) là m ột đa thức theo t

Ví d ụ 1.Giải các bất phương trình mũ sau:

Đây là bất phương trình mũ cơ bản với cơ số nhỏ hơn 1

V ậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < −1

- K ỹ thuật giải τ4bptmu:

+Đưa BPT đã cho về dạng P a( f x( )) 0> (hoặc P a( f x( )) 0≥ )

+ Đặt t a= f x( ) ( 0)t>

+ BPT⇔P t( ) 0 > ,trong đó P(t) là một đa thức theo t

+ BPTP t >( ) 0là một BPT đại số với ẩn mới là t

+ Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay t=a f x( ) ta sẽ được một BPT cơ bản

e) - Ki ểu nhiệm vụ T 5 bptmu :Gi ải bất phương trình mũ đơn giản bằng cách đặt ẩn phụ có dạng P a( f x( ))≤ 0(ho ặc P a( f x( )) 0< )

Bài 2.36.Gi ải các bất phương trình mũ sau:

K ết hợp với điều kiện ta được t≥ ⇔3 4x ≥ ⇔ ≥3 x log 34

V ậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ∈log 3; 4 +∞)

[E1 ,tr.107]

Qua bài tập trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau:

- K ỹ thuật giải τ5bptmu:

+Đưa BPT đã cho về dạng P a( f x( )) 0< (hoặc P a( f x( )) 0≤ )

+ Đặt t a= f x( ) ( 0)t>

+ BPT⇔P t( ) 0 ≤ ,trong đó P(t) là một đa thức theo t

+ BPTP t ≤( ) 0là một BPT đại số với ẩn mới là t

+ Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay t=a f x( ) ta sẽ được một BPT cơ bản

Với kỹ thuật giải BPT mũ đơn giản có dạng P a( f x( ))< 0,P a( f x( ))≥ 0 học sinh có thể suy ra kỹ thuật giải tương tự với BPT có dạng P a( f x( ))> 0,P a( f x( ))≤ 0

Với các KNV T4bptmu; T5bptmuđược gọi là giải BPT mũ đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ Với kỹ thuật dùng ẩn phụ này thì HS có thể thao tác khá dễ dàng vì điều

cần làm là giải BPT theo biến t khi đã đặt t=a f x( ) và cách làm này khá quen thuộc

với HS

Gi ải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm t1 = 9, 5 t2 = −

Ch ỉ có nghiệm t1 = 9thoả mãn điều kiện t >0

+ Đưa PT đã cho về PTP t =( ) 0 là một PT đại số với ẩn mới là t

+ Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay t=a f x( ) ta sẽ được một BPT cơ bản

ptmu

θ :

+ Hàm số mũ y a= x >0 (0< ≠ ∀ ∈a 1 , x R)

+ Tính chất song ánh của hàm số mũ y a a= x( >0,a≠1)từ RR+

+ Định nghĩa logarit

Như vậy, chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT mũ đơn

thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>,<, ≥, ≤” để được BPT tương ứng Nhưng HS cần chú ý phải có điều kiện t >0khi đặt t a= xđể loại những giá trị t

f) - Ki ểu nhiệm vụ T 6 bptmu : Gi ải bất phương trình mũ đơn giảncó dạng

x >

5log 2;

 

=  

bằng phương pháp đặt ẩn phụ có αa2 ( )f x +b( )ab f x( )+γb2 ( )f x =0 trong M1 và E1.Do

đó không tồn tại KNV này ở PT mũ đơn giản

+ Tìm điều kiện xác định hai vế PT (nếu có)

b=a , đưa PT đã cho về f x( ) m g x ( )

a =a và f x( )=m g x ( ) + Giải PT f x( )=m g x ( ), đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT đã cho

• Kĩ thuật 4.ptmu

CCLog

τ - Công c ụ logarit:

+ Đặt điều kiện cho PT (nếu có)

+ Lấy logarit cơ số 𝑎 (hoặc cơ số b) hai vế PT chuyển về dạng f x( ) ( )=g x loga b ( )* + Giải PT (*), đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm PT

• Công nghệ 4.ptmu

CCLog

+ Điều kiện xác định cho các biểu thức đại số, các tính chất của logarit

+ Các kĩ thuật giải PT đại số

Mục tiêu của kĩ thuật giảiT 4 ptmulà tìm được 𝑥 từ PT 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) Trong khi kĩ thuật

4.ptmu CCLog

τ cho lời giải tối ưu thìτ4.ptmu

MuHuuTi chỉ dùng được khi “b đưa được về 𝑎 lũy thừa

mũ hữu tỉ” Bằng cách lấy logarit cơ số 𝑎 hoặc b tác động vào hai vế 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥),

y = x+

giản hóa giải PT 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥)

Tuy nhiên trước khi logarit hóa, chúng ta cần biến đổi để rút gọn cả hai vế của PT

về dạng gọn nhất.Phương pháp logarit hóa tỏ ra càng hiệu quả khi hai vế của PT có dạng tích của các lũy thừa

Khi gặp các PT có hai vế đều dương và là tích của nhiều lũy thừa có cơ số và số mũ

cơ số thích hợp ta có thể đưa PT đã cho thành PT đơn giản hơn đã biết cách giải

giảncó dạng a f x( ) >b g x( )vớia> 0, 1b≠ bằng phương pháp logarit hóa trong M1 và E1

Do đó không tồn tại KNV này ở BPT mũ đơn giản

g) - Ki ểu nhiệm vụ T 7 bptmu : Gi ải bất phương trình mũ đơn giản có dạng

x

a ≤bx c+ ho ặc ( a x <bx c+ hoặca x >bx c+ hoặc a x ≥bx c+ ) b ằng phương pháp đồ thị

Ví d ụ.Giải các bất phương trình sau bằng phương pháp đồ thị

phía dưới đường thẳng y x= + 4

V ậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là − +∞ 1; )

x

13

thẳng trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

+ Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0 + Từ đó dựa vào đồ thị rút ra nhận xét khi x x x x x x x x> 0 ( < 0, ≥ 0, ≤ 0)thì (C) và (d) như thế nào với nhau

+ Kết luận tập nghiệm của bất phương trình

- Công ngh ệ θ7bptmu:

+ Miền nghiệm của BPT f x( ) >g x( )

Từ kỹ thuật giải BPT mũ đơn giản có dạng a x ≤bx c+ bằng phương pháp đồ thị ta có

thể suy ra kỹ thuật giải tương tự đối với các BPT mũ có dạng a x <bx c+ ; a x >bx c+ ;

x

a ≥bx c+ bằng phương pháp đồ thị

được thực hiện trên máy tính

đồ thị với mong muốn thấy được điểm tương đồng cũng như điểm khác biệt với

Hình 1.3

1 2

y

1x

y=     

1 3

  và đường thẳng y x = − trên cùng hệ trục tọa 12

độ Oxy (H.1.3), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x =1.Th ử lại,ta

th ấy giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho.Mặt khác, 12

= − trên cùng hệ trục tọa độ Oxy (H.1.4), ta th ấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = −1 Th ử lại, ta thấy giá tr ị này thỏa mãn phương trình đã cho.Mặt khác, hàm số y 3

Qua hai ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải

thích cho kĩ thuật đó như sau:

- K ỹ thuật τ5ptmu:

+ Vẽ đồ thị hàm số y a= x (C) và đồ thị hàm số y= f x( ) =bx c+ (d) là một đường

thẳng trên cùng hệ trục tọa độ ) Oxy

+ Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0

+ Kiểm tra giá trị x x= 0thỏa mãn phương trình đã cho

+ Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số chứng minh x x= 0là nghiệm duy nhất

+ Kết luận x x= 0là nghiệm của phương trình đã cho

- Công ngh ệ θ5ptmu:

+ Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

d ụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ

Ví d ụ 4.Giải các phương trình sau:

Suy ra t = −1 1(lo ại) , t2 = −5 2x

Do đó,ta có 3x = − 5 2x (1)

D ễ thấy x = 1 là nghiệm của (1)

M ặt khác, hàm số f x =( ) 3x luôn đồng biến, hàm số g x( ) 5 2 = − x luôn ngh ịch biến trên R nên

x = 1 là nghi ệm duy nhất của (1)

V ậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1

b) Phương trình đã cho có thể viết lại ở dạng x.2x−x(3 ) 2.2 2 0− −x x+ =

Ta có x = 0 th ỏa mãn (2) nên là nghiệm của (2)

Mà f x =( ) 2x luôn đồng biến trên R, g x( ) 1 = −x luôn ngh ịch biến trên R.Do đó,

x = 0 là nghi ệm duy nhất của (2)

V ậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 =2,x2 =0