Câu 49 [2H2-3.5-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện có tam giác làtam giác cân với , Hình chiếu của trên mặt phẳng là trung điểm Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện biết thể tích của tứ diện là
Lời giảiChọn A
Gọi là trung điểm
Câu 18.[2H2-3.5-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Tính theo bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều , biết các cạnh đáy có độ dài bằng , cạnh bên
Trang 2Lời giảiChọn A
Câu 28:[2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam
giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hìnhchóp đó là:
Lời giảiChọn A
Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn cắt tại , suy ra nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Trang 3Gọi là trung điểm của , ta có đồng dạng với nên
Vậy diện tích mặt cầu
Câu 41:[2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam giác
đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Tính thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăngtrụ.
Lời giảiChọn B
Gọi lần lượt là tâm hai đáy, là trung điểm của Khi đó ta có là tâm mặt cầu ngoạitiếp lăng trụ.
Ta có: suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là
Trang 4Gọi là trung điểm Do nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Xét tam giác theo định lí cosin ta có :
Xét tam giác theo định lí cosin ta có :
Xét tam giác theo định lí cosin ta có :
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng Vì
Vậy là tâm đường tròn ngoại tiếp mà vuông tại làtrung điểm
diện tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp là
Câu 28.[2H2-3.5-3](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vuông tại , , , đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đãcho bằng
Trang 5Dễ thấy trung điểm của là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Bán kính
Trang 6Câu 45:[2H2-3.5-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , Hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của , Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giải Chọn C
Gọi và lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tam giác
Trang 7Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và là trung điểm Mặt phẳng trung trực của cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác tại Khi đó là tâm mặt cầu cần tìm.
Câu 48.[2H2-3.5-3](Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho hình
chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và Cạnh bên vuông góc với đáy Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh bên và Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Lời giảiChọn B
kính Bán kính
Cách 2: Dựng hình vuông Gọi là trung điểm
Tam giác vuông tại và suy ra là trục đường tròn ngoại tiếp tam
Tam giác vuông tại suy ra Suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 50 [2H2-3.5-3](THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp
mặt phẳng bằng Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo
Lời giảiChọn C
Trang 8Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng Khi đó điểm , , , , cùngthuộc mặt cầu tâm là trung điểm của
Do , , , cùng thuộc một mặt phẳng nên là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết
Xét tam giác vuông ta có
Do là trung điểm của nên
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là BẢNG ĐÁP ÁN
Trang 9Gọi , lần lượt là trung điểm và
Ta có: ; tương tự Suy ra là đường trung trực và làđoạn vuông góc chung của và
Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp thì thuộc
Trang 10Gọi là trung điểm của cạnh , trong mặt phẳng kẻđường thẳng qua và vuông góc với cắt tại khi đó ta có
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là.
Câu 30:[2H2-3.5-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình
chóp có đáy là hình chữ nhật Tam giác nằm trong mặt phẳng vuônggóc với mặt phẳng .Biết rằng , và Tính diện tích của khối cầungoại tiếp hình chóp .
Lời giảiChọn B
Trang 11Diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là:
Câu 42:[2H2-3.5-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh bằng , mặt bên là tam giác cân tại và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình
chóp đã cho biết
Lời giảiChọn A
Trang 12Gọi là trung điểm , do , tam giác đều và tam giác
Gọi và là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác và tam giác
Câu 43:[2H2-3.5-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Người ta đặt được
vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là và sao cho các khối cầu đềutiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếpxúc với đáy của hình nón Bán kính đáy của hình nón đã cho là
Gọi và lần lượt là tâm của hai khối cầu có bán kính và và lần lượt là điểm
tiếp xúc của với hai đường tròn tâm và
Ta có: là đường trung bình trong tam giác suy ra là trung điểm của
Ta lại có hai tam giác vuông và đồng dạng
Trang 13suy ra Vậy bán kính hình nón là
Câu 33:[2H23.53] (THPT Mộ Đức 2 Quảng Ngãi 2017 2018 BTN)Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có, Biết rằng tâm hình chữ nhật thuộc trục hoành,tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là
Câu 46:[2H2-3.5-3] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Cho hìnhchóp có cạnh bên vuông góc với đáy, , , và
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Lời giảiChọn A
Trang 14Câu 32.[2H2-3.5-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hình chóp
đều có và Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
Lời giảiChọn D
Cho hình chóp tứ giác đều Gọi là tâm đáy thì là trục của hình vuông Gọi là trung điểm của , trong mp kẻ đường trung trực của đoạn cắt tại thì nên chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính mặt cầu là
Trang 16C D Lời giảiChọn A
Gọi là trung điểm của .
Gọi là trung điểm , trong mp
vẽ đường trung trực cắt tại là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Trong vuông tại
Gọi là trung điểm Trong mp vẽ trung trực cắt đường thẳng qua và vuônggóc mp tại Chứng minh được là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Ta có là hình chữ nhật
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là (đvdt).
Câu 17: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hình chóp , tam giác vuông tại đỉnh Tam giác , lần lượt vuông tại và Khoảng cáchtừ đến mặt phẳng bằng Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giải
Chọn D
Trang 17Gọi là trung điểm của là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gọi lần lượt là trung điểm của Ta có :
Kẻ
Do cân tại Mà
Xét vuông tại
Câu 18: [2H2-3.5-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình lăng trụ tam giác đều
có độ dài cạnh đáy bằng và chiều cao bằng Thể tích của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đãcho là
Lời giải
Chọn C
Trang 18Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
Gọi lần lượt là trọng tâm tam giác và Vậy là trục các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đáy.
Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực tại trung điểm của và cắt tại.
Câu 26: [2H2-3.5-3] (THPT TRẦN PHÚ) Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại
Kẻ tại Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm bằng:
Lời giải
Chọn B Ta có:
Tứ giác là hình bình hànhMà
mà
Trang 19Suy ra các điểm cùng nhìn hai điểm dưới một góc vuông nên 6 điểm cùng thuộc mặt cầu đường kính
Câu 35: [2H2-3.5-3] (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Cho hình chóp có đáy là tamgiác vuông cân tại với , góc và khoảng cách từ đếnmặt phẳng bằng Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giải
Chọn C
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên Ta có:
Tương tự Suy ra ABCD là hình vuông Gọi H là hình chiếu của D trên SC
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác , ta có
Gọi I là trung điểm SB ta có nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Suy ra bán kính mặt cầu là Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Câu 1: [2H2-3.5-3] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , vuông góc với đáy,góc giữa mặt bên và đáy bằng Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằngbao nhiêu?
Lời giảiChọn D
Gọi , lần lượt là trung điểm , ; là trọng tâm
Ta có
đều, cạnh bằng
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Trang 20Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng Gọi lần lượt là trung điểm của và Do tam giác vuông cân đỉnh nên trung điểm của là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng
Diện tích mặt cầu là .
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
Lời giảiChọn B
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và tại Trong mặt phẳng , đường trung trực của cắt tại Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp , ta có Áp dụng đinh lý trong ta có:
Trang 21Thể tích khối cầu:
Câu 5: [2H2-3.5-3] Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại Biết rằng Gọi là trung điểm của Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng
Lời giảiChọn A
Trang 22Ta có Suy ra là trục của tam giác
Suy ra
Suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bán kính
Câu 32: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp) Cho là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứdiện đều cạnh Tính bán kính của mặt cầu
Lời giảiChọn C
là tứ diện đều nên là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Trong mặtphẳng , kẻ đường trung trực của cạnh , cắt tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứdiện.
Câu 47.[2H2-3.5-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông tại , , Hai mặt phẳng , cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng hợp với mặt phẳng đáy một góc Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Lời giải
Chọn D
Trang 23Hai mặt phẳng , cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên
Suy ra và là hai tam giác vuông tại và
Gọi là trung điểm của thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Suy ra bán kính mặt cầu là
Câu 28 [2H2-3.5-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Cho hình chóp có tam giác đều cạnh , , Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
Chọn D
Gọi là trọng tâm tam giác đều , dựng trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó Trong mặt phẳng dựng đường trung trực cạnh , cắt tại Ta có là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính là
Trang 24Câu 19:[2H2-3.5-3](THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp cóđáy là tam giác đều cạnh bằng , vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên và đáy bằng
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
Lời giảiChọn D
Từ (1) và (2) suy ra Do đó góc giữa và là góc
Gọi là trọng tâm của tam giác Qua dựng đường thẳng song song với , cắt mặtphẳng trung trực của đoạn tại thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có diện tích bằng
Câu 44:[2H2-3.5-3](THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
có Hình chiếu của lên mặt phẳng là điểm thuộc miền trong tamgiác sao cho Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ,
Trang 25Lời giảiChọn C
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và là bán kính đường tròn ngoại tiếp tamgiác Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có
Qua dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Gọi là trung điểm của Trong mặt phẳng đựng đường trung trực của đoạn cắt tại Khi đó là tâm củamặt cầu ngoại tiếp hình chóp và có bán kính là
Câu 39:[2H2-3.5-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại , Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giảiChọn B
Áp dụng công thức giải nhanh ta được.
Câu 39 [2H2-3.5-3] (Đề thi lần 6- Đoàn Trí Dũng - 2017 - 2018)Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặtphẳng vuông góc với đáy Tính theo thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giảiChọn B
Trang 26+ Gọi là trung điểm của , ta có
là trung điểm của suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác
+ Dựng hình chữ nhật , khi đó là trục của đáy, là trục của mặt bên suy ra I là tâmmặt cầu ngoại tiếp hình chóp
+Bán kính +Ta có
Vậy thể tích khối cầu
Câu 34.[2H2-3.5-3] (TT Tân Hồng Phong - 2018 - BTN) Hình chóp tứ giác
có đáy là hình vuông cạnh Tam giác vuông cân tại và tam giác đều Tính bánkính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giảiChọn B
S
Trang 27Gọi , lần lượt là trung điểm của và , là tâm của hình vuông , là hình chiếucủa trên Ta có:
Lời giảiChọn D
*Gọi là trung điểm của suy ra :*Lại có
*Theo giả thiêt * Chứng minh Thật vậy, ta có:
Trang 28Từ suy ra các điểm , , , , nội tiếp đường tròn tâm , bán kính.
Câu 266.[2H2-3.5-3] [LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM -2017] Cho hình chóp có đáy là tam giácvuông tại , cạnh huyền , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc Diện tíchmặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Lời giảiChọn A
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng Gọi là trung điểm của Tam giác vuông tại , là trung điểm của cạnh huyền , suy ra
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Câu 269.[2H2-3.5-3] [SỞ GD HÀ NỘI -2017] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và Mặt phẳng qua và vuônggóc với cắt cạnh , , lần lượt tại các điểm , , Thể tích của khối cầungoại tiếp tứ diện
Trang 29A .B .C .D .Lời giải
Trang 30Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , là đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng , gọi là mặt phẳng trung trực của , là giao điểm của và Khi đó là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp
Theo định lí hàm số cosin ta có :
Diện tích tam giác :
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác :
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp :
Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 281.[2H2-3.5-3] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích củakhối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Lời giảiChọn B
Trang 31Gọi là tâm đường tròn tam giác suy ra là trọng tâm, là trung điểm , kẻ đường thẳng qua song song cắt tại ta được , gọi là trung điểm , cắt tại
Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác
Do các tam giác là các tam giác đều cạnh bằng nên lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
+ Qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng qua dựng đường thẳng vuông gócvới mặt phẳng Hai trục này cắt nhau tại suy ra Vậy là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và
+ Xét
Trang 32Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD
Gọi H là giao điểm của AC và BD.Từ (1) suy ra
Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường thẳng là trung trực của SA.
Từ (2), suy ra
Gọi M là trung điểm của SA, khi đó:
.Do SAB cân tại S và có nên SAB
vuông cân tại S Đặt , khi đó
Trong tam giác vuông SHA có:
Câu 285.[2H2-3.5-3] Cho hình chóp , đáy là hình vuông, cạnh , tâm , mặt bên là tam giác đều và Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoạitiếp hình chóp đó.
Lời giải