D05 mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp đa diện muc do 4

Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.. Hơn nữa nếu gọi là thể tích, là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì ta có công thức:.. Diện tích mặt cầu ngoại ti

Câu 47: [2H2-3.5-4] (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN)

Cho tứ diện đều có một đường cao Gọi là trung điểm Mặt phẳng chia tứ diện thành hai tứ diện Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó

Lời giải Chọn A

Gọi cạnh của tứ diện đều là

song với cắt tại

Ta có:

Gọi là trung điểm của , trong mặt phẳng dựng đường trung trực của cắt tại Ta dễ dàng chứng minh được là tâm của mặt cầu ngoại tiếp

Tam giác đồng dạng với tam giác nên suy ra

Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp ta suy ra:

Tương tự với ta có bán kính của mặt cầu ngoại tiếp là

Phương pháp trắc nghiệm:

Áp dụng công thức Crelle: Với mỗi khối tứ diện đều tồn tại ít nhất một tam giác mà số đo các cạnh của nó bằng tích số đo các cặp đối của tứ diện

đó Hơn nữa nếu gọi là thể tích, là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

thì ta có công thức:

Câu 49: [2H2-3.5-4] (Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp có đáy

là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi , lần lượt

là hình chiếu của trên , Tính theo bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm , , , ,

Lời giải Chọn D

M S

B

C A

B1

C1

Đặt , gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , là hình chiếu của trên cạnh , là trung điểm của

Ta chỉ cần chứng minh Giả sử ( ta làm tương tự)

Câu 6: [2H2-3.5-4] Cho tứ diện đều có cạnh , tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện

và thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện là.

Lời giải Chọn A

Câu 7: [2H2-3.5-4] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , hình chiếu

của lên là trung điểm của , Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn A

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp

là tâm đường tròn ngoại tiếp

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Vậy

Câu 8: [2H2-3.5-4] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn C

Gọi là trung điểm của Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

là đường thẳng qua và vuông góc với mặt đáy

là hình chiếu của lên

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là hình chiếu của lên

d

x K

M

B

C

S

O

Vì là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:

Câu 34: [2H2-3.5-4] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp

có đáy là hình vuông, tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có diện tích Khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Lời giải Chọn D

E

I

D

A

S

G

Gọi là trung điểm và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều , là tâm của hình vuông Ta có Dựng trục của hình vuông và trục tam giác , khi đó chúng đồng phẳng và cắt nhau tại tức là , là các trục hình vuông

và trục tam giác

tính được

Dựng hình bình hành Khoảng cách giữa và là

Vậy khoảng cách giữa và là

Câu 50: [2H2-3.5-4] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện có

, , Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho

Lời giải Chọn C

Ta có là tam giác vuông tại và là tam giác vuông tại

Dựng khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ

2 3

1

I G'

G I

E

B D

C

F A

Gọi và lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và ; là trung điểm của Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ , đồng thời cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

[2H2-3.5-4] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , Mặt bên , lần lượt là các tam giác vuông tại , Biết thể tích khối chóp bằng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ?

Lời giải Chọn C

M

H

I

C

B A

S

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng thì là đường cao của hình chóp

Dễ thấy năm điểm , , , , cùng thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt khác , , , cùng thuộc một mặt phẳng nên tứ giác nội tiếp đường tròn

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

.(1)

(2)

(3)

Câu 35: [2H2-3.5-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018)

Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng không đổi, một đáy là tứ giác

với , , , di động Gọi là giao của hai đường chéo và của tứ giác đó Cho biết Tính giá trị nhỏ nhất bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho

Lời giải Chọn B

Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi là đường tròn ngoại tiếp Khi đó (theo phương tích của đường tròn) Suy ra

Gọi là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có

Vậy khi là tâm đường tròn ngoại tiếp

Lời giải Chọn B

Tổng độ dài các cạnh của là nên

Lời giải Chọn A