D05 mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp đa diện muc do 3

Câu 49 [2H2-3.5-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cân với BAC  120 , AB  AC  a Hình chiếu D mặt phẳng  ABC  trung điểm BC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích tứ diện ABCD V  A R  91a B R  a 13 C R  13a a3 16 D R  6a Lời giải Chọn A Gọi H trung điểm BC a a Có AB  a, BAH  60  AH  ; BH  BC  a 2 a3 1 a 3  DH   DH a VABCD  DH S ABC  16 a Vậy DA  AH  DH  Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đường trịn BC R  AO   a Vậy H trung điểm AO 2sin A Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , đường thẳng cắt AD S với D trung điểm a a 3a , SA  DA  SM  SA  SA Vậy SO  DH  2 Từ trung điểm M đoạn AD kẻ đường vng góc với AD , cắt SO I Dễ dàng có I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD MI SM 7a a 21 Hai tam giác vuông SAO SIM đồng dạng nên   MI  a  OA SO a a 91 Bán kính mặt cầu RABCD  ID  MI  MD  Câu 18 [2H2-3.5-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S ABC , biết cạnh đáy có độ dài a , cạnh bên SA  a A 3a B 3a 2 C 2a D a Lời giải Chọn A S H I C A M O B Gọi H trung điểm SA Trong mặt phẳng  SAO  kẻ đường thẳng qua H vng góc với SA cắt SO I Khi IS  IA  IB  IC 6a a a Ta có: AM  ; AO  ; SO  SA2  OA2  3 SI SH SH SA 6a Do SHI ∽ SOA ta có:   SI   SA SO SO Câu 28: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam chiều cao h  Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình giác có cạnh đáy chóp là: A S  9 D S  27 C S  5 B S  6 Lời giải Chọn A S H A C O M ABC suy B I Gọi O tâm SO   ABC  SO  h  ; OA     Trong tam giác vng SAO , ta có SA  SO2  OA2    Trong mặt phẳng  SAO  kẻ trung trực đoạn SA cắt SO I , suy IS  IA  IB  IC nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi H trung điểm SA , ta có SHI đồng dạng với SOA nên  SH SA R  IS    Vậy diện tích mặt cầu Smc  4 R2  9 SO Câu 41: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Tính thể tích khối cầu qua đỉnh lăng trụ 3  4a  3b  4a  3b  A B   18 18 C  18  4a  b2  D  18  4a  3b  Lời giải Chọn B A C I B M O A C I M B Gọi I , I  tâm hai đáy, O trung điểm II  Khi ta có O tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ a b , IO  suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Ta có: AI  R a b2   4a  3b 3  4a  3b  Vậy VO; R    R3   18 Câu 34 [2H2-3.5-3] (THPT Kinh Mơn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy Biết SC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 45 Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD A S  8 a Chọn D B S  6 a C S  12 a Lời giải D S  4 a Gọi I trung điểm SC Do SAC  SBC  SDC  90 nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD   Ta có: SC ,  ABCD   SCA  45 Suy ra: SA  AC  a Do bán kính mặt cầu R  IA  SC  a Diện tích mặt cầu: S  4 R2  4 a Câu 28: [2H2-3.5-3] (Toán học Tuổi trẻ - Tháng - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  a ASB  90 , BSC  60 , CSA  120 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 4 a B 2 a C  a D  a Lời giải Chọn A Xét tam giác SAB theo định lí cosin ta có : AB2  SA2  SB2  2SA.SB cos ASB  a2  a2  2a.a.cos90  2a2  AB  a Xét tam giác SAC theo định lí cosin ta có : AC  SA2  SC  2SA.SC cos ASC  a2  a2  2a.a.cos120  3a2  AC  a Xét tam giác SBC theo định lí cosin ta có : BC  SC  SB2  2SC.SB cos ASB  a2  a2  2a.a.cos 60  a2  AB  a Vậy AB2  BC  AC  ABC vng B Gọi O hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  Vì SA  SB  SC  a  OA  OB  OC Vậy O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC mà ABC vuông B  O trung điểm AC  SO trục mặt phẳng đáy  ABC  Dựng mặt phẳng trung trực SC cắt SO I  I tâm mặt cấu ngoại tiếp chóp S ABC SI SE Xét SEI ∽ SOC  g  g    1 SC SO a Với SE  , SC  a Mặt khác SOC vuôn O áp dụng định lí pitago  SO  SB  BO  a2 a  SO  Thay vào 1  SI  a bán kính cầu ngoại tiếp chóp S ABC a  diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABC 4 a Câu 28 [2H2-3.5-3](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB  a , BC  2a , đường thẳng AC  tạo với mặt phẳng  BCC B  góc 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A B C A' B' C' A 24 a B 6 a D 3 a C 4 a Lời giải Chọn B B A M H C R I B' A' M' C' \ Gọi M , M  trung điểm BC , BC  Dễ thấy trung điểm I MM  tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Kẻ AH vng góc BC ( H  BC )  ACH   AC,( BCCB)   30 Ta có: AC  BC  AB   2a    a  a AB AC a 3.a a   2a BC a AH  a Trong tam giác vuông AHC , có: AC   sin 30 AH BC  AB AC  AH  Trong tam giác vng ACC , có CC   AC 2  AC  a 3 2  a2  a 2  CC    BC   a   2a  Bán kính R  IB  MI  MB       a             6a 2  6 a Diện tích mặt cầu: S  4 R  4 2 2 Câu 45: [2H2-3.5-3] (THPT Kiến An - HP - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  a , AD  a Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  trung điểm H BC , SH  A a a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD B a C a 17 D a 11 Lời giải Chọn C Gọi R r bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD tam giác BHD a 2 a a Ta có HB  , HD  HC  DC   BD  a  2a  a   a  2   Áp dụng định lí Cơ sin, ta có a 3a   3a 2 2  sin BHD  cos BHD   a a 2 a a a2  Diện tích tam giác BHD SBHD  2 a a a HB.HD.BD 3a 2 Do r    4S a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD M trung điểm SH Mặt phẳng trung trực SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD E Khi E tâm mặt cầu cần tìm SH 9a a a 17 SH 2  r     Ta có R  r  MH  r  4 2 Câu 48 [2H2-3.5-3](Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BC  a Cạnh bên SA vng góc với đáy  ABC  Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên cạnh bên SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB là: A  a3 B 2 a C 2 a D  a3 Lời giải Chọn B Cách 1: Nhận xét : AKC  AHC  ABC  90 , nên điểm A, H , K , B thuộc mặt cầu đường a  a3  V   R3  3 Cách 2: Dựng hình vng ABCD Gọi M trung điểm AB kính AC Bán kính R  OA  Tam giác AHB vuông H MO   HAB  suy MO trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB Tam giác AKC vuông K suy OA  OK Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a  a3  V   R3  AHKB bán kính R  OA  3 Câu 50 [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  BC  a , SAB SCB  90 khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a A S  4 a Chọn C B S  8 a C S  12 a Lời giải D S  16 a S M I H A C B Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ABC Khi điểm A , B , C , H , S thuộc mặt cầu tâm I trung điểm SB Do A , B , C , H thuộc mặt phẳng nên ABHC tứ giác nội tiếp Theo giả thiết ABC tam giác vng cân B nên ABHC hình vng  d  A,  SBC    d  H ,  SBC   Trong mặt phẳng  SHC  kẻ HM  SC ,  M  SC  d  H ,  SBC    HM  a Xét tam giác vuông ta SHC 2 1 HM HC  SH   6a  SH  a   2 HM  HC HM HC SH Xét tam giác vng SHB ta có SB2  SH  HB2  6a2  6a2  12a  SB  2a Do I trung điểm SB nên IH  SB  a  Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S  4 a   12 a 1.C 11.B 21.C 31.A 41.D BẢNG ĐÁP ÁN 2.D 3.A 12.C 13.C 22.A 23.D 32.A 33.C 42.A 43.C 4.D 14.B 24.A 34.B 44.A 5.A 15.A 25.D 35.D 45.B 6.D 16.B 26.D 36.C 46.C 7.C 17.B 27.A 37.A 47.B 8.A 18.C 28.B 38.A 48.B 9.B 19.C 29.D 39.A 49.B 10.B 20.A 30.A 40.D 50.C 11 21 31 41 BẢNG ĐÁP ÁN 12 13 22 23 32 33 42 43 14 24 34 44 15 25 35 45 16 26 36 46 17 27 37 47 18 28 38 48 19 29 39 49 10 20 30 40 50 Câu 18: có [2H2-3.5-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có AB  4a , CD  6a , cạnh cịn lại có độ dài a 22 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 5a a 79 a 85 A R  B R  C R  D R  3a 3 Lời giải Chọn C Gọi M , N trung điểm CD AB  AB  CN Ta có:   AB  MN ; tương tự CD  MN Suy MN đường trung trực  AB  DN đoạn vng góc chung AB CD Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD I thuộc MN Xét tam giác ANC vng N có: CN  AC  NA2  22a  4a  2a Xét tam giác CMN vng M có: MN  CN  CM  18a  9a  3a Lại   IM  IN  3a  IM  IN  3a  IM  IN  3a      2 2 2 2   IM  MC  IN  NA  IM  IN  NA  MC  IM  IN  IM  IN   5a  IM  a  IM  IN  3a      IM  IN   a   IN  a   Vậy bán kính cần tìm R  IM  MC  có: 85 a  9a  a Câu 32: [2H2-3.5-3](THPT Chun Hùng Vương-Gia Lai-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  , AD  cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V  250  D V  B V  125  50  27 Lời giải Chọn C C V 500  27 S M I A D O C B Gọi O  AC  BD Do cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc 60 nên SO   ABCD  hay SO trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Gọi M trung điểm cạnh SB , mặt phẳng  SBC  kẻ đường thẳng qua M vuông góc với SB cắt SO I ta có IA  IB  IC  ID  IS hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Theo giả thiết ta có AB  , AD  nên BO  Mà góc SB mặt phẳng  ABCD  BO  ,  SO  cos 60 5 SM SB   Ta có SMI SOB nên SI  SO Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 60 hay SBO  60  SB  S ABCD   500 V         27 Câu 30: [2H2-3.5-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AB  a , ASB  60 Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD A S  13 a B S  13 a C S  Lời giải Chọn B 11 a D S  11 a Gọi H trung điểm AB  SH  AB Dễ thấy HA  HB  HC  HD   H tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD  SH trục tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD Mặt khác tam giác SAB tam giác nên trọng tâm I tam giác ABC cách A B Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABCD Bán kính R  IA  Câu 7177: 2 SH  3 [2H2-3.5-3] [THPT Ngô Quyền - 2017] Cho hình chóp S ABC có đường cao SA , đáy ABC tam giác vuông A Biết SA  6; AB  6; AC  Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R  34 B R  34 C R  34 Lời giải D R  34 Chọn A S J O B A I Giả sử O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Suy O cách bốn đỉnh S , A, B, C C OA  OB  OC 1 Ta có:  OA  OS   Từ 1 suy O  1 : trục tam giác ABC (đường thẳng qua trung điểm I BC song song với SA ) Từ   suy O   : đường trung trực SA (trong mặt phẳng  SAI  kẻ đường thẳng  qua trung điểm J SA song song với AI ) Ta có ABC vuông A AI đường trung tuyến hạ từ đỉnh A nên:  BC  AB  AC  10  BC  10    AI  AI  BC    Bán kính mặt cầu R  OA  AJ  JO  SA  AI  34 [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên Vinh - 2017] Cho lăng trụ đứng ABC ABC có Câu 7178: AB  AC  a, BC  3a Cạnh bên AA  2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCC A 2a Chọn A B 5a C a Lời giải D 3a A' C' B' K I A C O B Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB ' C ' C tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng cho Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua O vng góc với  ABC  cắt mặt phẳng trung trực AA ' I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp Mặt khác cos A  Ta có: RABC  AB  AC  BC  AB AC BC a   a Do đó: R  IA  OI  OA2  a  a  a 2sin A 2.sin120 Câu 7179: [2H2-3.5-3] [THPT chuyên ĐHKH Huế - 2017] Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB  3a , AC  4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết SA  2a , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R  a 118 B R  a 118 C R  a 118 Lời giải Chọn D Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tính r Tính AH AB.AC AB AC BC a a MH a D R  a 118 SA2 Tam giác SAH vuông H suy SH Gọi M trung điểm BC AH a trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC Suy O Ta có: OC Câu 7190: OS OM OM 25a Suy R OC MC 5a SK OK a 2)2 (OM a OM 118 a [2H2-3.5-3] [THPT Nguyễn Trãi Lần - 2017] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AB cách từ A đến mặt phẳng SBC a , góc SAB BC SCB 900 khoảng a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC B a A 16 a D a C 12 a Lời giải Chọn C Gọi D điểm cho ABCD hình vng Có AB SAD nên SD AB Có BC SDC nên SD BC Nên SD ABCD Kẻ DH SC H SC Khi d A, SBC SDC vng có DH đường cao: Trong SD Suy SC DC 3a SB Gọi I trung điểm SB suy IS Suy S r2 IA d D, SBC DH a DH SD suy SD DC SC BC 2a IB IC SB a a r 12 a Câu 7191: [2H2-3.5-3] [THPT chuyên Lê Quý Đơn - 2017] Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh 2a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A S  28 a B S  7 a C S  Lời giải Chọn A 7 a D S  28 a Gọi G, G trọng tâm tam giác ABC ABC Gọi I trung điểm GG Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp  2a  a 21 hình lăng trụ Ta có R  AI  AG  GI     a    2  a 21  28 a Vậy S  4    3   Câu 7192: [2H2-3.5-3] [THPT Chun LHP - 2017] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với đáy, AB  a , AD  2a Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B, C, D Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B.BCD A 14 a C 7a Lời giải B 3a D 5a Chọn D S 3a D' D A B' B 2a C' a C Ta có AC  CC 1  BC  AB  BC  AB Mà AB  SC  AB  B ' C     BC  SA CD  AD  CD  AD Mà AD  SC  AD  DC  3  CD  SA AB  BC   Từ 1 ,   ,  3 ,   suy B, B, C, D nằm mặt cầu đường kính AC (cùng nhìn AC góc vng) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B.BCD R AC a  2 Diện tích mặt cầu S  4 R  4 5a  5 a Câu 7193: [2H2-3.5-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE - 2017] Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có diện tích tính theo a A 3 a B 4 a C 3 a D 5 a Lời giải Chọn A A J O D B H I C ABCD tứ diện nên AH   BCD  (với H trọng tâm tam giác BCD ) Qua trung điểm J AB , dựng mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Mặt phẳng cắt AH O Ta có O cách đỉnh tứ diện, nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Ta có AJO AHO  AO  AJ AB AB AB   AH AH AB  BH Vậy bán kính mặt cầu R  AO  a  a  3 a Diện tích mặt cầu S  4 R       Câu 7194: [2H2-3.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04 - 2017] Cho tứ diện SABC có SA  2a SA vng góc với  ABC  Tam giác ABC có AB  a, BC  2a , AC  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: A S  36 a2 B S  9 a2 C S  27 a Lời giải D S  18 a2 Chọn B SA   ABC   SA  AC (1) AB2  BC  5a2  AC  AB  BC  SB  BC (2) Từ (1) (2) suy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có đường kính SC  4a  5a  3a  SC  Diện tích mặt cầu S  4    9 a   Câu 7195: [2H2-3.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần - 2017] Cho hình chóp có đáy S ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với  ABCD  Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng: A 5 a B 3 a C 2 a D 7 a Lời giải Chọn D S I G B H C O A D Gọi O  AC  BD , H trung điểm AB ; OI IG trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD tam giác SAB a a a 21 a OH  , HG  , IH  , R  AH  IH  6 7 a Diện tích mặt cầu S  4 R  Câu 7196: [2H2-3.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01 - 2017] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  BC  a , SAB  SCB  90 khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a A S  3 a B S  16 a C S  2 a Lời giải D S  12 a Chọn D Gọi D hình chiếu vng góc S ( ABC ) Ta có: AB  SA, AB  SD  AB  (SAD)  AB  AD Tương tự CB  (SCD)  BC  DC Suy ABCD hình vng Gọi H hình chiếu D SC  DH  (SBC )  d ( A,(SBC )  d ( D,(SBC )  DH  a 1    SD  a 2 SD SH DC Gọi I trung điểm SB ta có IA  IB  IC  IS nên I tâm mặt cầu Suy bán kính mặt cầu SC r a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: S  4 r  12 a Câu 7203: [2H2-3.5-3] [CHUYÊN VĨNH PHÚC - 2017] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 5 15 72 B 4 27 C Lời giải Chọn C 5 15 54 D 5 15 24 Phương pháp: + dựng hình vẽ, xác định tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp +  SAB    ABC   SE   ABC  Gọi G J trọng tâm tam giác SAB ABC Dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng  SAB   SBC  cắt I I tâm khối chóp GE  EJ nên GIJE hình vng (hình bình hành có hai cạnh liên tiếp có góc vng) 2  3  3 15 Bán kính IC  IJ  JC        6     2 4  15  5 15 Thể tích khối cầu: V   R      3   54 Câu 7204: [2H2-3.5-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT - 2017] Cho hình chóp S.ABC có ðáy ABC tam giác vuông cân A , AB  AC  a Mặt bên SAB tam giác ðều nằm mặt phẳng vng góc với ðáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC  a3  a3 7 a3 21  a3 21 A V  B V  C V  D V  54 54 54 Lời giải Chọn B Qua trọng tâm G tam giác SAB dựng đường thẳng d1 vng góc mặt phẳng  SAB  Khi d1 trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Qua trung điểm M đoạn thẳng BC dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  ABC  Khi d trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Dễ thấy d1 d cắt I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính 2 a 21  AC   AB  IG  IM           3 2 7a3 21 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: V   R3  54 [2H2-3.5-3] [THPT Ngơ Gia Tự - 2017] Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB  a, góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  60 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện GABC 343 a 49 a 343 a 343 a A B C D 432 108 5184 1296 Câu 7205: Lời giải Chọn D Gọi D trung điểm BC ta có: BC  AD  BC  AD  ADA  60 3a a2 Ta có AA  AD.tan ADA  ; S ABC  3a  VABC ABC   AA.S ABC  Trong  AGH  : gọi I giao điểm GH trung trực AG Gọi E trung điểm AG AA a 7a GE.GA GA2 7a  ; AH  ; GA2  GH  AH   R  GI    3 12 GH 2GH 12 4  7a  343 a3 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC tích là: V   R      3  12  1296 GH  Câu 7208: [2H2-3.5-3] [THPT Thuận Thành - 2017] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên  SAD  tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc 4a với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 113 a3 113 113 a3 113 A V  B V  84 48 113 a C V  64 113 a3 113 D V  384 Lời giải Chọn D Gọi H , K trung điểm AB, CD O tâm hình vng J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Ta có: S ABCD  2a , VS ABCD AH  a 3a  SA  2 4a   SH  2a SA  AD  ASD  90  J thuộc đoạn SH SH 2  AH SD 9a Mà (định lí sin)  2SJ  SJ  sin SAH Ta có: sin SAH  OI  JH  SH  SJ  Vậy VKC  BD a 113 7a  OD   a  R  ID  8 113 a3 113 384 S I J B A H K o D C Câu 7219: [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên LHP - 2017] Cho khối chóp S.ABC với ba cạnh SA , SB , SC đôi vng góc; SA  a , SB  a Biết thể tích khối chóp S.ABC a , tính thể tích khối cầu  C  có tâm S  C  tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  A  6a3 B 4a3 C  6a D Lời giải Chọn D C H S A I B 1 Ta có VS ABC  SA.SB.SC 1  a  a 2.a 3.SC  SC  a Khối cầu  C  có tâm S  C  tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  R  d  S ,  ABC   4a Trong tam giác SAB kẻ đường cao SI 1 1    SI SA2 SB a    a  2  a 30  SI  6a Trong tam giác SCI kẻ đường cao SH 1 1    2 SH SC SH a     30  a      SH  a a2 Khi đó: AB  SC, AB  SI  AB  SCI  SH  AB Mặt khác SH  CI Suy SH   ABC   d  S ,  ABC    SH  a  R  a Thể tích khối cầu  C  V  4a R  3 Câu 7220: [2H2-3.5-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH - 2017] Cho tứ diện SABC , tam giác ABC vuông B với AB  , BC  Hai mặt phẳng  SAB   SAC  vng góc với  ABC  , SC hợp với  ABC  góc 45 Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC A 50 B 125 125 Lời giải C D 250 Chọn B Ta có:  SAB    SAC   SA  SA   ABC   BC  AB Có   BC   SAB   BC  SB  BC  SA Khi hai đỉnh A, B nhìn cạnh SC góc vng Nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC trung điểm I SC R    SC Có SC ,  ABC   SCA  45 AC  AB2  BC  Tam giác SAC vuông A  SC  R SC  2 AC 5 sin 45 125 V   R3  3 Câu 7244: [2H2-3.5-3] [THPT Hà Huy Tập - 2017] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 1, SA vuông góc với đáy, góc mặt bên SBC đáy 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bao nhiêu? 4 a 43 43 43 A B C D 16 12 36 Lời giải Chọn B S J I R A C G M B 3 , AG  G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dựng đường thẳng  qua G vng góc mặt phẳng ( ABC ) Suy  trục đường tròn ngoại tiếp hình chóp S ABC Ta có: AM  Gọi J trung điểm SA Trong mặt phẳng xác định hai đường thẳng SA  kẻ đường thẳng trung trực đoạn SA cắt  I I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC  SBC  ,  ABC   SMA  60 Tam giác SAM vuông A : tan SMA  JA  SA 3  SA  3 AM 2 SA  IAG vuông J : R  IA  IG  AG  JA2  AG  129   16 12 129 43  144 12 [2H2-3.5-3] [THPT Hà Huy Tập - 2017] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ S  4R  4 Câu 7245: nhật, AB  2a, BC  a, hình chiếu S lên  ABCD  trung điểm H AD , SH  Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bao nhiêu? 4 a 16 a 4 a A B C 3 Lời giải Chọn C D 16 a a S I G D C A H O M B 3a a a 2 Ta có: HD  , SA  SD  SH  HD    a 4 Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD Dựng đường thẳng  qua O vng góc mặt phẳng  ABCD  Suy  trục đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Tam giác SAD cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác SAD Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD cắt  I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD SG  R  IS  IG  SG  a  a , IG  HO  a SH  3 a 2 3a  3  3a  16a Vậy S  4R  4       Câu 7250: [2H2-3.5-3] [208-BTN - 2017] Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Gọi V1 , V2 , V3 thể tích khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp V V hình lập phương ABCD ABCD Tính giá trị P  V3 A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn B  Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có bán kính đáy a 2  a3 nên tích V1    a   2   a chiều cao a a  a   a3  Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính nên tích V2      2  Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính a  a   a3 nên tích V3        2 a3 V V 2 a3  a3 Vậy P   Câu 7253: [2H2-3.5-3] [THPT :  V3 Hồng Văn Thụ - Khánh Hịa-2017]Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a Từ suy V1  V2  A 11 a B  a C  a D 2 a Lời giải Chọn B Gọi H , F lầm lượt trọng tâm tam giác ABC, ABD Gọi E trung điểm AB G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD HEFG hình vng có cạnh HE  CE  GF  1a a  Bán kính mặt cầu R  GD  GF  FD  a2 a2 5a a 15    12 12 15a 5 a  Khi diện tích mặt cầu S  4 R  4 36 Câu 27 [2H2-3.5-3] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi  S  mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tính thể tích V khối cầu  S  A V  6 a3 27 B V  6 a3 C V  Lời giải 3 a3 27 D V  6 a3 Chọn A S M I D A O C B Gọi O tâm hình vng ABCD Do S ABCD hình chóp nên SO   ABCD  hay SO trục đường tròn ngoại tiếp đáy Trong mặt phẳng  SBO  kẻ đường trung trực  cạnh SB gọi I    SO ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Theo giả thiết ta có S ABCD hình chóp góc cạnh bên với mặt phẳng đáy 60 nên SBO  60 SM SI SM SB Ta có SMI SOB nên  SI   SO SB SO a a Với SO  OB tan 60  SO  ; SB  OB cos 60  SB  a ; SM  SM SB a Vậy SI   SO  a  6 a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD V   R      27 3   Câu 48: [2H2-3.5-3](SGD VĨNH PHÚC - 2018 - BTN) Cho hình chóp SABC có đáy làm tam giác vng B , AB  , BC  Biết SA  SA   ABC  Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần khơng gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp S ABC A B  C D Lời giải Chọn A Ta có V thể tích tứ diện SABC S1 , S2 , S3 , S4 diện tích mặt r bán kính mặt 3V cầu nội tiếp V   S1  S2  S3  S4  r Suy r  Stp 1 1 Mà ta có Stp  .6.8  .6.10  108 V  8.6.6  48 2 3.48  Suy r  108 Câu 43: [2H2-3.5-3] (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 – BTN – 6ID – HDG) Cho tứ diện ABCD có BC  , CD  , BCD  ABC  ADC  90 Góc hai đường thẳng AD BC 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 127 127 52 13 B C 28 7 D 32 3 Lời giải Chọn B A E B 60° C D Dựng hình chữ nhật BCDE Khi đó, ta có: CD  AD    CD  AE 1 CD  DE  DE  AB    DE  AE BE  DE   2 Từ 1   suy AE   CDE  Suy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCDE , mặt cầu có đường kính AC Lại có  AD, BC   ADE  60  AD   AC  13 Do đó, bán kính mặt cầu R  AC  13 52 13 Vậy thể tích mặt cầu V   R3  3 ... 13 22 23 32 33 42 43 14 24 34 44 15 25 35 45 16 26 36 46 17 27 37 47 18 28 38 48 19 29 39 49 10 20 30 40 50 Câu 18: có [2H 2 -3 . 5 -3 ] (THPT Kim Liên - HN - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD... tâm mặt cầu  S  Bán kính mặt cầu  S  R  OI  OA2  9a a 13  a2  Diện tích mặt cầu S  4 R2  13? ?? a Câu 37 : [2H 2 -3 . 5 -3 ] (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - Lần - 2017 - 2018 - BTN)... Diện tích mặt cầu S  4 R  4 5a  5 a Câu 71 93: [2H 2 -3 . 5 -3 ] [THPT CHUYÊN BẾN TRE - 2017] Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có diện tích tính theo a A 3? ?? a B 4 a C 3? ?? a