D05 mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp đa diện muc do 4

Câu 47: (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Cho tứ diện [2H2-3.5-4] ABCD có đường cao AA1 Gọi I trung điểm AA1 Mặt phẳng  BCI  chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện Tính tỉ số hai bán kính hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện A 43 51 B C D 48 153 Lời giải Chọn A Gọi cạnh tứ diện a Gọi K trung điểm CD E  IK  AB Qua A1 kẻ đường thẳng song song với IK cắt AB J Ta có: a BJ BA1 3a AE AI     nên suy AE  AB  BE  4 BE BK EJ IA1 Gọi M trung điểm BE , mặt phẳng  ABK  dựng đường trung trực BE cắt AA1 O Ta dễ dàng chứng minh O tâm mặt cầu ngoại tiếp EBCD a a , AA1  Đặt BE  x 3 Tam giác ABA1 đồng dạng với tam giác AOM nên suy Ta có: BA1  AM OM AM BH  x   OM   a   AA1 BH AA1 2  Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp EBCD ta suy ra: R  OB  OM  MB  2 x2  x  a   2 2 9a  3a  43 3a Với x  ta có: R   a    a 64   128 a Tương tự với x  ta có bán kính R mặt cầu ngoại tiếp EACD R  a2  a 51  a    a 64  4 128 R 43  R' 51 Phương pháp trắc nghiệm: Áp dụng công thức Crelle: Với khối tứ diện ABCD tồn tam giác mà số đo cạnh tích số đo cặp đối tứ diện Hơn gọi V thể tích, R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta có cơng thức: S  6V R Do Câu 49: [2H2-3.5-4] (Sở Ninh Bình - Lần - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi B1 , C1 hình chiếu A SB , SC Tính theo a bán kính R mặt cầu qua năm điểm A , B , C , B1 , C1 A R  a B R  a C R  a D R  a 3 Lời giải Chọn D S C1 B1 A C H I M B Đặt SA  x , gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , H hình chiếu B1 cạnh AB , M trung điểm AB SB SA2 SC1 SA2 x2 x2   Ta có SA2  SB1.SB    , tương tự ta có SB SB a  x2 SC SC a  x BB1 HB1 BH a2    Suy B1C1 / / BC , B1H / / SA nên SB SA AB x  a xa a.x  HB1  HB  , x  a2 x2  a2 a Ta cần chứng minh IA  IB1  Giả sử x  a ( x  a ta làm tương tự) 2 a.x a.x a ax  a  a  BM  , suy HM    Khi HB  x  a2 x  a2 2  x2  a2  IB12  HI  B1H  HM  IM  B1H  Vậy IA  IB  IC  IB1  IC1  Câu 6: a2 a  IB1  IA  3 a bán kính mặt cầu qua năm điểm A , B , C , B1 , C1 [2H2-3.5-4] Cho tứ diện ABCD có cạnh a , tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện A 3 B C D Lời giải Chọn A Câu 7: [2H2-3.5-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a , BC  a , hình chiếu S lên  ABCD  trung điểm H AD , SH  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bao nhiêu? A 16 a B 16 a C 4 a D 4 a Lời giải Chọn A Gọi I  tâm đường tròn ngoại tiếp SAD O tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Ta có SD  SA  SH  AH  a  SAD  I A  3 a a 3  R  IA  I A2  I I  I A2  HO  2a 16 a Vậy S  4 R  Câu 8: [2H2-3.5-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  2a tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AD, DC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DMN A R  a 39 B R  a 31 C R  a 102 D R  a 39 13 Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm MN Suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN d đường thẳng qua I vng góc với mặt đáy E hình chiếu I lên AB O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.DMN K hình chiếu O lên SH S d O K x M A E D I N H B C Đặt OI  x Ta có DI  5a a  x2 MN  Suy OD  ID  OI  16 SK  SH  x  a AM  HN 3a  x; KO  HI ; EI   2 HI  EI  HE  9a a a 37   16 49a  a 3x  x 16 Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp nên: 49a 11a a 102 SO  DO   a 3x  x  x  5a  x   R  OD  16 Suy SO  SK  KO  Câu 34: [2H2-3.5-4] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vuông, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có diện tích 84  cm2  Khoảng cách hai đường thẳng SA BD A 21  cm  B 21  cm  21  cm  C D Lời giải Chọn D S G K M E B I A D O C 21  cm  Gọi M trung điểm AB G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , O tâm hình vng ABCD Ta có OM   SAB  Dựng trục hình vng ABCD trục tam giác SAB , chúng đồng phẳng cắt I tức OI , GI trục hình vng ABCD trục tam giác SAB Bán kính mặt cầu R  SI Ta có 4 R  84  cm2   R  21  cm  Đặt AB  x  cm  Trong tam giác vuông SGI ta có SI  SG  GI 1 , ta có GI  x x , SG  thay vào 1 tính x  Dựng hình bình hành ABDE Khoảng cách d BD SA d  d  BD,  SAE   d  d  B,  SAE    2d  M ,  SAE   Kẻ MK  AE ta có  SAE    SMK  d  M ,  SAE    d  M , SK   SM MK SM  MK   Ta có Thay giá trị vào   tính d  M ,  SAE    Vậy khoảng cách SA BD Câu 50: SM  x x   3 , MK  2 21 21 [2H2-3.5-4] (SGD Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có AB  BC  CD  , AC  BD  1, AD  Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cho A B 39 C D 3 Lời giải Chọn C Ta có ACD tam giác vuông A ABD tam giác vuông D Dựng khối lăng trụ tam giác ACF.DEB hình vẽ D G' B E I A G F I C Gọi G G trọng tâm hai tam giác ACF DEB ; I trung điểm GG Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ACF.DEB , đồng thời tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 2  3  3 39 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R  IF  IG  GF   Câu 42: [2H2             3.5-4] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A , AB  a , AC  2a Mặt bên  SAB  ,  SCA tam giác vuông B , C Biết thể tích khối chóp S ABC A R  a 2 a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ? B R  a C R  3a D R  3a Lời giải Chọn C S I C M A H B Gọi H hình chiếu S mặt phẳng  ABC  SH đường cao hình chóp 11 AB.SH  a  SH  2a a nên ta có 32 3 Dễ thấy năm điểm A , B , H , C , S thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Mặt khác A , B , H , C thuộc mặt phẳng nên tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn Mặt khác thể tích khối chóp S ABC a 21 BC a  SM  HM  SH   2 Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: SB  SC BC SB  SC BC 13a SM     SM   (1) 4 4a  SC CA2  SC SA2 R  CI   R2    R (2) 2 2 2 BA  SB SA a  SB R  BI    R2   R (3) 2 2 a  SB 4a  SC 5a SB  SC 5a 13a      Từ(1), (2), (3) ta có R   9a 2 2 2 3a R Mà BAC  900  BHC  900  HM  Câu 35: [2H2-3.5-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần - 2017 - 2018) Cho lăng trụ đứng có chiều cao h khơng đổi, đáy tứ giác ABCD với A , B , C , D di động Gọi I giao hai đường chéo AC BD tứ giác Cho biết IA.IC  IB.ID  h2 Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A 2h h B C h D h Lời giải Chọn B C B I r A K D C B D A Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi phương IA.IC  IB.ID  r  IK (theo 2 2 2 r  IK  h  r  h  IK Gọi mặt cầu  O, R   K; r  đường tròn ngoại tiếp ABCD Khi tích ngoại đường tiếp trịn) lăng trụ Suy ta có h2 h 5 h Vậy Rmin  I tâm R  OA  OK  r   h  IK  h2  R  4 2 đường tròn ngoại tiếp ABCD 2 2 Câu 7181: [2H2-3.5-4] [THPT chuyên Lương Thế Vinh - 2017] Một hình hộp chữ nhật P nội tiếp hình cầu có bán kính R Tổng diện tích mặt P 384 tổng độ dài cạnh P 112 Bán kính R hình cầu A 14 B 10 C 12 D Lời giải Chọn B Gọi chiều dài, rộng, cao hình hộp chữ nhật a, b, c Đường chéo hình hộp chữ nhật bằng: a  b2  c2 Tổng diện tích mặt P 384 nên 2ab  2ac  2bc  384 Tổng độ dài cạnh P 112 nên 4a  4b  4c  112  a  b  c  28 a  b2  c  a  b  c   ab  ac  bc   282  384  20 Vậy bán kính mặt cầu 10 Câu 7182: [2H2-3.5-4] [THPT chuyên Hưng Yên lần - 2017] Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , AC  b , AB  c , BAC   Gọi B , C  hình chiếu vng góc A lên SB , SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCCB theo b , c ,  b2  c  2bc cos  A R  2sin  C R  b2  c  2bc cos  sin 2 B R  b2  c  2bc cos  D R  Lời giải b2  c  2bc cos  sin  Chọn A Gọi M , N trung điểm AB AC Tam giác ABB vuông B nên M tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABB , suy trục tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABB đường trung trực  AB (xét mp  ABC  ) Tam giác ACC vuông C  nên N tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ACC , suy trục tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACC đường trung trực 1 AC (xét mp  ABC  ) Gọi I    1 I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC I cách đếu điểm A, B, C, B,C nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCBC Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCBC R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c.b.BC b2  c  2bc.cos  AB AC.BC   Ta có R  2sin  4.SABC bc.sin  ... bán kính mặt cầu qua năm điểm A , B , C , B1 , C1 [2H 2-3 . 5 -4 ] Cho tứ diện ABCD có cạnh a , tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện A 3... 16 49 a  a 3x  x 16 Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp nên: 49 a 11a a 102 SO  DO   a 3x  x  x  5a  x   R  OD  16 Suy SO  SK  KO  Câu 34: [2H 2-3 . 5 -4 ] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân...  3 , MK  2 21 21 [2H 2-3 . 5 -4 ] (SGD Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có AB  BC  CD  , AC  BD  1, AD  Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cho A B 39 C D 3 Lời