Thông tin tài liệu
Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Với a b hai số thực dương tùy ý, log ( ab ) A log a + log b B log a + 2log b C ( log a + log b ) D log a + log b Lời giải Ta có log ( ab ) = log a + log b = log a + log b = log a + log b = Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Đặt 3a A B 4a a = log , log16 27 C 3a D 4a Lời giải 3 log16 27 = log = = 4 log 4a Ta có: Câu 3: (Tham khảo THPTQG 2019) Tập nghiệm bất phương trình −2 x < 27 ( −∞; −1) A 3x B ( 3; +∞ ) C ( −1;3) D ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) Lời giải x Bất phương trình tương đương với ⇔ x − x − < ⇔ −1 < x < −2 x < 33 ⇔ x − x < Câu 4: (Tham khảo THPTQG 2019) Hàm số hàm A C f ′( x) = f ′( x) = f ′( x) = ln 2 x − 2x B ( x − ) ln x2 − 2x f ( x ) = log ( x − x ) f ′( x) = D 2x − ( x − x ) ln 2 Lời giải có đạo ( x − x ) ln 2 u′ ( x ) ( log u ( x ) ) ′ = u x ln a ( ) a Áp dụng công thức f ′( x) = Vậy (x (x 2 − 2x ) ′ − x ) ln = 2x − ( x − x ) ln Câu 5: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Với a số thực dương tùy ý, ln ( 5a ) − ln ( 3a ) A ln ( 5a ) ln ( 3a ) bằng: B ln ( 2a ) C ln D ln ln Lời giải ln ( 5a ) − ln ( 3a ) = ln = 32 có nghiệm x= C D Câu 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Phương trình x= A x=3 B x = 2 x+1 Lời giải x+1 = 32 ⇔ 22 x+1 = 25 ⇔ x + = ⇔ x = Ta có Câu 7: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Với ln ( a ) − ln ( 3a ) A ln ( a ) ln ( 3a ) a số thực dương tùy ý, ln B ln D C ln ln ( 4a ) Lời giải 7a = ln ÷ = ln ln ( a ) − ln ( 3a ) 3a Câu 8: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Tập nghiệm phương trình log ( x − 7) = A {− 15; 15} { −4} B {−4;4} C { 4} D Lời giải x = ⇔ log3 ( x − 7) = ⇔ x − = x = −4 3 log ÷ a Câu 9: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Với a số thực dương tùy ý, bằng: A − log a B − log3 a C log a D + log a Lời giải 3 log ÷ = log 3 − log a = − log a a Ta có x+1 = 125 có nghiệm Câu 10: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Phương trình x= A x=3 B x= C x = D Lời giải x+1 = 125 ⇔ 52 x+1 = 53 ⇔ x + = ⇔ x = Ta có: Câu 11: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Tập nghiệm phương trình log ( x − 1) = { −3;3} A − 10; 10 { } B { −3} C { 3} D Lời giải log ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = ±3 Câu 12: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Với a số thực dương tùy ý, log ( 3a ) bằng: 3log a A − log a B + log a C + log a D Lời giải + log a Câu 13: (Tham khảo 2018) Với a số thực dương bất kì, mệnh đề đúng? A log ( 3a ) = 3log a log a = log a B C log a = 3log a D log ( 3a ) = log a Lời giải Câu 14: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho a số thực dương tùy ý khác Mệnh đề đúng? log a = log a A log a = − log a B log a = log a C log a = log a D Lời giải Áp dụng công thức đổi số Câu 15: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tập xác định D hàm số y = ( x2 − x − 2) −3 D = ( 0; + ∞ ) A D = R B D = ( −∞; − 1) ∪ ( 2; + ∞ ) C Lời giải D D = R \ { −1; 2} − Vì −3 ∈ ¢ nên hàm số xác định x − x − ≠ ⇒ x ≠ −1; x ≠ Vậy D = R \ { −1; 2} Câu 16: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tất giá trị thực m để x phương trình = m có nghiệm thực A m ≥ B m ≥ m≠0 Lời giải C m > D x Để phương trình = m có nghiệm thực m > Câu 17: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tập nghiệm S phương trình log3 ( 2x + 1) − log3 ( x − 1) = A S = { 1} B S = { −2} C S = { 3} D S = { 4} Lời giải −1 2x + > x > ⇔ ⇔ x > x − 1> x > ĐK: Ta có log3 ( 2x + 1) − log3 ( x − 1) = ⇔ log3 2x + 2x + = 1⇔ = 3⇔ x = x− x− (thỏa) 3 Câu 18: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Rút gọn biểu thức Q = b : b với b > − 4 B Q = b A Q = b Q = b2 C Q = b D Lời giải 5 Q = b3 : b = b3 : b3 = b3 Câu 19: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho a số thực dương khác Mệnh đề y với số dương x , x loga x loga = y loga y A x loga = loga x + loga y y C B D loga x = loga ( x − y) y loga x = loga x − loga y y Lời giải Theo tính chất logarit Câu 20: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm nghiệm phương trình A x = −3 x = B x = −4 C x = Lời giải Ta có log2 ( 1− x) = ⇔ 1− x = ⇔ x = −3 log2 ( 1− x) = D Câu 21: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho loga b = loga c = Tính P = loga b2c3 P = 108 A B P = 13 C P = 31 D P = 30 Lời giải ( Ta có: ) ( ) loga b2c3 = 2loga b+ 3loga c = 2.2 + 3.3 = 13 Câu 22: Tập xác định D hàm số A D = ( −∞;1) y = ( x − 1) B là: D = ( 1; +∞ ) C D = ¡ D D = ¡ \ { 1} Lời giải D = ( 1; +∞ ) Hàm số xác định x − > ⇔ x > Vậy a, b số thực dương tùy ý Mệnh đề đúng? Câu 23: Với A P = 9loga b B a khác 1, đặt P = 27loga b C P = loga b3 + loga2 b6 P = 15loga b D P = 6loga b Lời giải P = loga b3 + loga2 b6 = 3loga b+ loga b = 6loga b log2 x − 5log2 x + ≥ Câu 24: Tìm tập nghiệm S bất phương trình S = [2;16] S = (0;2] ∪ [16 ; +∞ ) A B C (−∞ ;2] ∪ [16 ; +∞) D S = (−∞ ;1] ∪ [4 ; +∞) Lời giải Điều kiện x > log2 x ≥ x ≥ 16 ⇔ ⇔ x ≤ log2 x ≤ Bpt Kết hợp điều kiện ta có S = ( 0;2 ∪ 16; +∞ ) Câu 25: (Đề minh họa lần 2017) Giải bất phương trình log ( x − 1) > < x x> C x < D 10 Lời giải Đkxđ: 3x − > ⇔ x > 3 Bất phương trình ⇔ 3x − > ⇔ x > ⇔ x > (t/m đk) Vậy bpt có nghiệm x > Câu 26: (Đề minh họa lần 2017) Tìm tập xác định D hàm số y = log ( x − x − 3) A D = ( −∞; −1] ∪ [ 3; +∞ ) B D = [ −1;3] C D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) D D = ( −1;3) Lời giải y = log ( x − x − 3) x>3 Vậy tập xác định: Hàm số xác định x − x − > ⇔ x < −1 D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) Câu 27: (Đề minh họa lần 2017) Cho số thực dương a, b với a ≠ Khẳng định sau khẳng định ? log a2 ( ab ) = log a b A B log a2 ( ab ) = log a b C D log a ( ab ) = log a ( ab ) = + log a b 1 + log a b 2 Lời giải 1 1 log a2 ( ab ) = log a2 a + log a b = log a a + log a b = + log a b 2 2 Ta có: Câu 28: (Đề tham khảo lần 2017) Tìm đạo hàm hàm số y = log x A C y′ = x y′ = x ln10 B D y′ = ln10 x y′ = 10 ln x Lời giải Áp dụng công thức ( log a x ) ′ = 1 y′ = xln10 x ln a , ta log a a Câu 29: (Đề tham khảo lần 2017) Cho a số thực dương a ≠ Mệnh đề sau đúng? A P = P= C P = B P = D Lời giải log a a = log a = a3 Câu 30: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Với số thực dương a, b Mệnh đề A ln ln ( ab ) = ln a + ln b B ln ( ab ) = ln a.ln b C ln a ln a = b ln b D a = ln b − ln a b Lời giải Theo tính chất lơgarit: ∀a > 0, b > : ln ( ab ) = ln a + ln b x−1 Câu 31: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm nghiệm phương trình = 27 A x = x = 10 B x = C x = D Lời giải 3x−1 = 33 ⇔ x − = ⇔ x = Câu 32: (Tham khảo THPTQG 2019) Tập nghiệm phương trình log ( x − x + ) = A { 0} { 1} B { 0;1} C { −1; 0} D Lời giải x = ⇔ log ( x − x + ) = ⇔ x − x + = x =1 Ta có: Câu 33: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7,5% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? A 11 năm B năm C 10 năm D 12 năm Lời giải Gọi A số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng n số năm để có số tiền gấp đơi số tiền ban đầu Tn = A ( + r ) Khi đó: Vậy n = 10 năm n ⇔ A = A ( + r ) ⇔ n = log ( 1+ r ) ≈ 9,58 n Câu 34: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên x x +1 tham số m cho phương trình 16 − m.4 + 5m − 45 = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử? A 13 B C D Lời giải Đặt t = 4x , ( t > 0) Phương trình trở thành: t − 4mt + 5m − 45 = (1) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt t > −m + 45 > −3 < m < ∆ ' > ⇔ P > ⇔ 5m − 45 > ⇔ m < −3 ∨ m > 4m > m > S > ⇔ 3< m 2 Phương trình (1) thành: t − 2m.t + 2m − = (2) Yêu cầu tốn ⇔ (2) có nghiệm dương phânbiệt 2 − < m < m − 2m + > ∆ ' > 10 ⇔ S > ⇔ 2m > ⇔ m > ⇔ < m < P > 2m − > m < − hoac m > 2 Do m nguyên nên m = Vậy S có phần tử Câu 37: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất khơng thay đổi người khơng rút tiền ra? 13 A năm B 10 năm C 11 năm D 12 năm Lời giải Câu 85: (Đề tham khảo lần 2017) Cho hàm số f ( x ) = x ln x Một bốn đồ thị cho bốn phương án A, B, C, D đồ thị hàm số y = f ′( x) Tìm đồ thị đó? A Hình Hình B Hình C Hình D Lời giải Tập xác định Ta có Ta có D = ( 0; +∞ ) f ( x ) = x ln x ⇒ f ′ ( x ) = g ( x ) = ln x + g ( 1) = nên đồ thị hàm số qua điểm ( 1;1) Loại hai đáp án B D t= lim+ ( g ( x ) ) = lim+ ln ( x ) + 1 x Khi x → 0+ t → +∞ x → x → Và Đặt 1 lim+ ( g ( x ) ) = lim ln ÷+ 1 = − lim ln ( t ) + = −∞ t →+∞ t →+∞ x →0 t Do nên loại đáp án A (Có thể dùng máy tính để tính tiệm cận đứng y = ln x + ) x − x + ln ( x + 1) + = Câu 86: (Đề tham khảo lần 2017) Hỏi phương trình nghiệm phân biệt? A B C D Lời giải Điều kiện: x > −1 Phương trình cho tương đương với x − x + 3ln ( x + 1) + = có Xét hàm số y = 3x − x + 3ln ( x + 1) + liên tục khoảng ( −1; +∞ ) x2 − y′ = ( x − 1) + = x +1 x +1 y′ = ⇔ x − = ⇔ x = ± 2 (thỏa điều kiện) 2 2 f − ÷> f ÷< lim y = ±∞ 2 Vì , x→±∞ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Câu 87: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập hợp giá trị tham số thực m A để phương trình 6x + ( − m) 2x − m = [ 3;4] B [ 2;4] có nghiệm thuộc khoảng C ( 2;4 ) ( 0;1) D ( 3; ) Lời giải + ( − m ) − m = ( 1) ⇔ x Ta có: Xét hàm số f ′( x) = ¡ x f ( x) = x + 3.2 x x + xác định 12 x.ln + x.ln + 3.2 x.ln ( x + 3.2 x =m 2x +1 ) 2x + ¡ , có > 0,∀x ∈ ¡ nên hàm số f ( x) đồng biến Suy < x < ⇔ f ( ) < f ( x ) < f ( 1) ⇔ < f ( x ) < f ( ) = 2, f ( 1) = Vậy phương trình ( 1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) m ∈ ( 2; ) b thỏa mãn a > b > a P = log 2a ( a ) + 3log b ÷ b b biểu thức Câu 88: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Xét số thực Tìm giá trị nhỏ A Pmin = 19 Pmin B Pmin = 13 C a, Pmin = 14 D Pmin = 15 Lời giải Với điều kiện đề bài, ta có 2 a a a a P = log ( a ) + 3log b ÷ = 2log a a + 3log b ÷ = log a b ÷ + 3log b ÷ b b b b b b a b 2 a = 1 + log a b + 3log b ÷ b b t = log a b > Đặt b P = 4( 1+ t ) + (vì a > b > ), ta có 3 = 4t + 8t + + = f ( t ) t t 8t + 8t − ( 2t − 1) ( 4t + 6t + ) f ′(t ) = 8t + − = = t t2 t2 Ta có Vậy f ′( t ) = ⇔ t = 1 Pmin = f ÷ = 15 2 Khảo sát hàm số, ta có Câu 89: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a > , b > thỏa mãn log 3a + 2b+1 ( 9a + b + 1) + log 6ab +1 ( 3a + 2b + 1) = Giá trị a + 2b C B A D Lời giải a > , b > nên ta có log 3a + 2b+1 ( 6ab + 1) > ; log ab +1 ( 3a + 2b + 1) > 2 Ta có 9a + b ≥ 6ab Dấu đẳng thức xảy a = 3b Do đó, ta có: log 3a + 2b +1 ( a + b + 1) + log ab +1 ( 3a + 2b + 1) ≥ log 3a + 2b+1 ( 6ab + 1) + log ab +1 ( 3a + 2b + 1) ≥ log 3a + 2b +1 ( 6ab + 1) log ab +1 ( 3a + 2b + 1) = log 3a + 2b +1 ( 3a + 2b + 1) = Dấu đẳng thức xảy b = 3a > log 3a + 2b +1 ( 6ab + 1) = log ab +1 ( 3a + 2b + 1) b = 3a > b = 3a > ⇔ ⇔ 2 log a +1 ( 18a + 1) = log18 a2 +1 ( a + 1) log a +1 ( 18a + 1) = (do log a +1 ( 18a + 1) > ) b = ⇔ b = 3a > a = ⇔ a + 2b = 18 a + = a + Suy Câu 90: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình x + m = log ( x − m ) m ∈ ( −20; 20 ) với m tham số Có giá trị ngun để phương trình cho có nghiệm? A 20 B 19 C 21 Lời giải Điều kiện: x > m D t x − m = t = log ( x − m ) ⇒ x ⇒ x + x = 5t + t ( 1) 5 + m = t Đặt: Xét hàm số Do đó: f ( u ) = 5u + u ⇒ f ′ ( u ) = 5u ln + > 0, ∀u ∈ ¡ ( 1) ⇔ x = t ⇔ x = 5x + m ⇔ m = x − 5x Xét hàm số f ( x ) = x − 5x x > m , x Do: > ⇒ m < x , suy phương trình có nghiệm ln thỏa điều kiện f ′ ( x ) = ⇔ − x ln = ⇔ x = log ÷ f ′ ( x ) = − ln ln , x Bảng biến thiên: ( ) ⇒ m ≤≈ −0,917 → m = { −19; − 18; ; − 1} m∈ −20;20 Dựa vào bảng biến thiên Vậy có 19 giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu 91: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a > 0, b > thỏa mãn log a + 5b +1 16a + b + + log 8ab +1 ( 4a + 5b + 1) = a + 2b ( A ) Giá trị 27 C B D 20 Lời giải log 8ab +1 ( 4a + 5b + 1) > log a +5b +1 ( 16a + b + 1) > Từ giả thiết suy Áp dụng BĐT Cơsi ta có log a +5b +1 ( 16a + b + 1) + log 8ab +1 ( 4a + 5b + 1) ≥ log a + 5b +1 ( 16a + b + 1) log 8ab +1 ( 4a + 5b + 1) = log ab+1 ( 16a + b + 1) 16a + b + = ( 4a − b ) + 8ab + ≥ 8ab + 1( ∀a, b > ) 2 Mặt khác log ( 16a + b + 1) ≥ suy 2 log a +5b +1 ( 16a + b + 1) + log 8ab +1 ( 4a + 5b + 1) = Khi , ab +1 log a + 5b +1 ( 8ab + 1) = log 8ab +1 ( a + 5b + 1) ⇔ b = 4a 32a = 24a log 24 a +1 ( 32a + 1) = a = ⇔ ⇔ ⇔ b = a b = 4a b = 27 a + 2b = + = 4 Vậy Câu 92: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình x + m = log ( x − m ) m ∈ ( −25; 25) với m tham số Có giá trị nguyên phương trình cho có nghiệm ? A B 25 C 24 26 để D Lời giải ĐK: x>m 7 x + m = t t t = log ( x − m ) + m = x ⇒ x + x = 7t + t ( 1) Đặt ta có f ( u ) = 7u + u ( 1) ⇔ t = x ¡ Do hàm số đó: đồng biến , nên ta có Khi 7x + m = x ⇔ m = x − 7x g ( x ) = x − x ⇒ g ′ ( x ) = − x ln = ⇔ x = − log ( ln ) Xét hàm số Bảng biến thiên: Từ phương trình cho có nghiệm m ≤ g ( − log7 ( ln ) ) ≈ −0,856 kiện x − m = > ) (các nghiệm thỏa mãn điều x Do m nguyên thuộc khoảng ( −25; 25) , nên m ∈ { −24; −16; ; −1} Câu 93: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a > , b > thỏa mãn log a + 2b +1 ( 4a + b + 1) + log ab +1 ( 2a + 2b + 1) = 15 A B Giá trị a + 2b bằng: C D Lời giải 2 ( 1) Ta có 4a + b ≥ 4ab , với a, b > Dấu ‘ = ’ xảy b = 2a Khi = log a + 2b +1 ( 4a + b + 1) + log ab +1 ( 2a + 2b + 1) ≥ log a + 2b +1 ( 4ab + 1) + log ab +1 ( a + 2b + 1) Mặt khác, theo bất đẳng log a + 2b +1 ( 4ab + 1) + log 4ab +1 ( 2a + 2b + 1) ≥ thức Dấu Cauchy ‘=’ xảy ta có log a + 2b +1 ( 4ab + 1) = ⇔ 4ab + = 2a + 2b + ( ) 3 15 ⇔a= a + 2b = b= 1) 2) ( ( Suy Vậy Từ ta có 8a − 6a = Câu 94: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình A 18 x + m = log ( x − m ) m ∈ ( −18;18 ) với m tham số Có giá trị nguyên để phương trình cho có nghiệm? B 19 C 17 Lời giải ĐK: x > m D x + m = t t t = log ( x − m ) + m = x ⇒ x + x = 2t + t ( 1) Đặt ta có f ( u ) = 2u + u ( 1) ⇔ t = x Khi đó: Do hàm số đồng biến ¡ , nên ta có 2x + m = x ⇔ m = x − x g ( x ) = x − x ⇒ g ′ ( x ) = − x ln = ⇔ x = − log ( ln ) Xét hàm số Bảng biến thiên: m ≤ g ( − log ( ln ) ) ≈ −0,914 Từ phương trình cho có nghiệm (các nghiệm thỏa mãn điều kiện x − m = > ) ( −18;18) , nên m ∈ { −17; −16; ; −1} Do m nguyên thuộc khoảng x Câu 95: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho a > , b > thỏa mãn log10 a +3b +1 ( 25a + b + 1) + log10 ab +1 ( 10a + 3b + 1) = A B Giá trị a + 2b C 22 11 Lời giải Từ giả thiết ta có 25a + b + > , 10a + 3b + > , 10a + 3b + > , 10ab + > 2 2 2 Áp dụng Cơ-si, ta có 25a + b + ≥ 25a b + = 10ab + Khi đó, log10 a +3b +1 ( 25a + b2 + 1) + log10 ab +1 ( 10a + 3b + 1) ≥ log10 a +3b +1 ( 10ab + 1) + log10ab+1 ( 10a + 3b + 1) ≥ (Áp dụng Cô-si) 5a = b log ( 10ab + 1) = log10 ab+1 ( 10a + 3b + 1) = Dấu “ = ” xảy 10 a +3b +1 D b = a = ⇒ a + 2b = 11 2 Suy Câu 96: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho phương trình + m = log ( x − m) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ ( −15;15 ) để phương trình cho có nghiệm? A 16 B C 14 D 15 x Lời giải + m = log ( x − m ) ⇔ 3x + x = log ( x − m) + x − m (*) x Ta có: t t Xét hàm số f (t ) = + t , với t ∈ ¡ Có f' (t ) = ln + > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số f ( t) đồng biến tập xác định Mặt khác phương trình (*) có f ( x) = f ( log ( x − m) ) dạng: Do ta có ⇔ x = log ( x − m) ⇔ 3x = x − m ⇔ 3x − x = − m g ( x ) = 3x − x Xét hàm số f ( x ) = f ( log ( x − m) ) x , với x ∈ ¡ Có g' ( x ) = ln − , g' ( x) = ⇔ x = log ÷ ln Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị tham số để phương trình có m ∈ −∞; − g log3 ÷÷ ln Vậy số giá trị nguyên nghiệm là: m ∈ ( −15;15 ) để phương trình cho có nghiệm là: 14 Câu 97: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình 5log x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 Tính giá trị nhỏ S S = 2a + 3b A S = 30 B Smin = 25 C Smin = 33 D S = 17 Lời giải Điều kiện x > , điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt b > 20a 2 Đặt t = ln x, u = log x ta at + bt + = (1) , 5t + bt + a = 0(2) Ta thấy với nghiệm t có nghiệm x , u có x Ta có x1.x2 = e e = e t1 t2 − b t1 + t2 − − b a = e , x3 x4 = 10 u1 + u2 − b = 10 , lại có b x1 x2 > x3 x4 ⇔ e a > 10 b b ⇒ − > − ln10 ⇔ a > ⇔a≥3 a ln10 ( a, b nguyên dương), suy b > 60 ⇒ b ≥ Vậy S = 2a + 3b ≥ 2.3 + 3.8 = 30 ,suy S = 30 đạt a = 3, b = 9t 9t + m2 với m tham số Câu 98: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Xét hàm số f ( x) + f ( y) = thực Gọi S tập hợp tất giá trị m cho với x+ y x, y thỏa mãn e ≤ e( x + y) Tìm số phần tử S số thực A Vô số B C D Lời giải f ( t) = Ta có f ( x) + f ( y) = ⇔ 9x+ y = m4 ⇒ x + y = log9 m4 = log3 m2 x + y = t ,t > Đặt x+ y t e ≤ e( x + y) ⇒ e ≤ et ⇔ t ≤ 1+ ln t ⇔ 1+ ln t − t ≥ 0,∀t > f ( t) = ln t + 1− t Xét hàm Bảng biến thiên Vì (1) 1− t f ′ ( t) = − = = 0⇒ t = t t với t > Dựa vào bảng biến ⇔ 1+ ln t − t ≤ 0,∀t > (2) Từ ( 1) ( 2) thiên, ta có f ( t) ≤ f ( 1) ,∀t > 2 ta có t = 1⇒ log3 m = 1⇒ m = ⇒ m = ± Câu 99: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Xét số thực dương a, b thỏa mãn 1− ab = 2ab+ a+ b− a+ b Tìm giá trị nhỏ Pmin P = a+ 2b 10 − 10 − 10 − Pmin = Pmin = Pmin = 2 A B C D log2 Pmin = 10 − Lời giải Điều kiện: ab < Ta có 1− ab log2 = 2ab+ a+ b− ⇔ log2 2( 1− ab) + 2( 1− ab) = log2 ( a+ b) + ( a+ b) ( *) a+ b y = f ( t) = log2 t + t ( 0; +∞ ) Xét hàm số khoảng f ′ ( t) = + > 0,∀t > f ( t) t.ln Ta có Suy hàm số đồng biến khoảng Do đó, ( 0; +∞ ) ( *) ⇔ f 2( 1− ab) = f ( a+ b) ⇔ 2( 1− ab) = a+ b ⇔ a( 2b+ 1) = 2− b⇔ a = −2bb++ 12 P = a+ 2b = g′ ( b) = −b+ + 2b = g( b) 2b+ −5 ( 2b+ 1) (vì b > 0) + = ⇔ ( 2b+ 1) = 2 10 10 − ⇔ 2b+ 1= ⇔ b= 2 10 − 10 − Pmin = g ÷= ÷ Lập bảng biến thiên ta Câu 100: Xét số thực dương giá trị nhỏ A Pmin = Pmin = Pmin x, y thỏa mãn log3 1− xy = 3xy + x + 2y − x + 2y Tìm P = x + y 11 − 3 B Pmin = 11 − 19 C Pmin = 18 11 − 29 21 D 11 + 19 Lời giải Với x, y dương kết hợp với điều kiện biểu thức 1− xy = 3xy + x + 2y − x + 2y ta 1− xy > 1− xy log3 = 3xy + x + 2y − x + y Biến đổi log3 ⇔ log3 ( 1− xy) − log3 ( x + 2y) = −3( 1− xy) + ( x + 2y) − log3 ⇔ log3 ( 1− xy) + log3 3 + 3( 1− xy) = log3 ( x + 2y) + ( x + 2y) ⇔ log3 3( 1− xy) + 3( 1− xy) = log3 ( x + 2y) + ( x + 2y) ( 1) Xét hàm số f '( t ) = f ( t ) = log3 t + t D = ( 0; +∞ ) + 1> f t = log3 t + t t.ln với x ∈ D nên hàm số đồng biến ( ) D = ( 0; +∞ ) 3− 2y Từ suy ( 1) ⇔ 3( 1− xy) = x + 2y ⇔ 3− 2y = x( 1+ 3y) ⇔ x = 1+ 3y (do y > 0) Theo giả thiết ta có x > 0, y > nên từ x= 3− 2y 1+ 3y ta < y < 3− 2y 3y2 − y + P = x+ y = + y= 1+ 3y 3y + Xét hàm số g( y) = 3y2 − y + 3 3y + với < y < g'( y) = 9y2 + 6y − 10 ( 3y + 1) =0 ta y= −1+ 11 −1+ 11 11 − P = g ÷= ÷ 3 Từ suy Câu 101: (Đề minh họa lần 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ơng muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hồn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ơng A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng khơng thay đổi thời gian ơng A hồn nợ (1, 01)3 100.(1, 01)3 m= m= (1, 01)3 − (triệu A (triệu đồng) B đồng) 120.(1,12)3 m= (1,12)3 − D 100.1, 03 m= C (triệu đồng) đồng) (triệu Lời giải Cách 1: Công thức: Vay số tiền A lãi suất r % / tháng Hỏi trả số tiền a a= ( A.r + r ( 1+ r ) n ) n −1 = ( ) 100.0,01 + 0,01 ( + 0,01) 3 −1 để n tháng hết nợ Cách 2: Theo đề ta có: ơng A trả hết tiền sau tháng ơng A hồn nợ lần Với lãi suất 12%/năm suy lãi suất tháng 1% Hoàn nợ lần 1: -Tổng tiền cần trả (gốc lãi) : 100.0,01 + 100 = 100.1,01 (triệu đồng) - Số tiền dư : 100.1,01 − m (triệu đồng) Hoàn nợ lần 2: - Tổng tiền cần trả (gốc lãi) : ( 100.1, 01 − m ) 0, 01 + ( 100.1, 01 − m ) = ( 100.1, 01 − m ) 1, 01 = 100 ( 1, 01) (triệu đồng) 100 ( 1, 01) − 1, 01.m − m - Số tiền dư: Hoàn nợ lần 3: - Tổng tiền cần trả (gốc lãi) : (triệu đồng) − 1, 01.m 100 ( 1, 01) − 1, 01.m − m 1,01 = 100 ( 1, 01) − ( 1, 01) m − 1,01m (triệu đồng) 100 ( 1, 01) − ( 1, 01) m − 1, 01m − m - Số tiền dư: (triệu đồng) ⇒ 100 ( 1, 01) − ( 1, 01) m − 1, 01m − m = ⇔ m = 100 ( 1, 01) 100 ( 1, 01) ( 1, 01 − 1) ( 1, 01) ⇔m= = ( 1, 01) + 1, 01 + 1 ( 1, 01 − 1) ( 1, 01) − ( 1, 01) + 1, 01 + (triệu đồng) Câu 102: (Đề tham khảo lần 2017) Hỏi có giá trị m nguyên [ −2017; 2017] để phương trình log ( mx ) = 2log ( x + 1) B 4014 C 2018 nhất? A 2017 4015 có nghiệm D Lời giải Điều kiện x > −1 x ¹ log ( mx ) = log ( x + 1) ⇔ mx = ( x + 1) Xét f ′( x) = hàm ( x + 1) ⇔m= x f ( x) ( x + 1) = x ( x > −1, x ≠ ) x =1 x2 −1 = ⇔ x2 x = −1 ( l ) Lập bảng biến thiên m = Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm m < ; m ∈ [ −2017; 2017 ] Vì m ∈ ¢ nên có 2018 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu m ∈ { −2017; −2016; ; −1;4} Chú ý: Trong lời giải, ta bỏ qua điều kiện mx > với phương trình log a f ( x ) = log a g ( x ) g ( x) > ) f ( x) > với < a ≠ ta cần điều kiện (hoặc ... log log x log x log x = ⇔ (log x) = 16 ⇔ ⇔ x = log x = − 2 Câu 43: (Tham khảo 2018) Có giá trị nguyên dương tham số m để x x x phương trình 16 − 2.12 + ( m − 2).9 = có nghiệm dương? A B... Vi-ét ta có t 1.t2 = , nên x1 + x2 = log = Câu 77: (Tham khảo THPTQG 2019) Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng Ông ta mu n hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ... 1 1 log a2 ( ab ) = log a2 a + log a b = log a a + log a b = + log a b 2 2 Ta có: Câu 28: (Đề tham khảo lần 2017) Tìm đạo hàm hàm số y = log x A C y′ = x y′ = x ln10 B D y′ = ln10 x y′ = 10
Ngày đăng: 26/01/2019, 19:44
Xem thêm:
