4_CD4_Phuong trinh_Bpt mu va logarit

Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Ch PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH M V LOGARIT A Túm tt lớ thuyt I KIN THC C BN V HM S M Cỏc nh ngha: an a.a a (n Z , n 1, a R) n thửứa soỏ a a a a0 a n m an a a (n Z , n 1, a R / 0) an n am m n m an ( a 0; m, n N ) n m a Cỏc tớnh cht : am an am n am n am n a (a m )n (an )m am.n (a.b)n a n b n a an ( )n n b b Hm s m: Dng : y a x ( a > , a ) Tp xỏc nh : D R Tp giỏ tr : T R ( ax x R ) Tớnh n iu: *a>1 : y ax ng bin trờn R * < a < : y a x nghch bin trờn R 77 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON th hm s m : y y y=ax y=ax 1 0 , a v N > nh ngha: dn aM N log a N cú ngha a a N log a N M iu kin cú ngha: Cỏc tớnh cht : log a log a a log a a M M alog a N N log a (N1 N ) log a N1 log a N N loga ( ) log a N1 log a N N2 log a N log a N c bit : loga N log a N 78 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Cụng thc i c s : log a N log a b log b N log b N log a N log a b * H qu: log a b log b a ak N log a N k Dng y log a x ( a > , a ) Hm s logarớt: log v Tp xỏc nh : D R Tp giỏ tr TR Tớnh n iu: *a>1 : y log a x ng bin trờn R * < a < : y log a x nghch bin trờn R th ca hm s lụgarớt: y O y y=logax y=logax O a>1 0 0;N > thỡ : loga M = loga N M = N nh lý 5: Vi < a N (nghch bin) nh lý 6: Vi a > thỡ : loga M < loga N M < N (ng bin) CC PHNG PHP GII PHNG TRèNH M & LOGARIT: Dng c bn: ax m (1) m : phng trỡnh (1) vụ nghim m : ax m x loga m Dng c bn: loga x m m : loga x m x am a Phng phỏp 1: Bin i phng trỡnh v dng : aM = aN ; log a M log a N (Phng phỏp a v cựng c s) Vớ d 1: Gii phng trỡnh 0,125.4 2x x (1) Bi gii a hai v v c s 2, ta c: x 2 x6 2 x x9 2 x x x9 x6 2 Vy nghim ca phng trỡnh l x 80 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau x7 1) 1,5 4) 3x x x1 x 2) 4.2 x 3) 3x.23 x 576 x Vớ d 2: Gii phng trỡnh log x log x (1) Bi gii x x iu kin: x x x (*) Khi ú: log x log x log x 3x x 1 3x x x x [tha (*)] Vy nghim ca phng trỡnh l x Vớ d 3: Gii phng trỡnh log x log x log x log36 x (1) Bi gii iu kin: x p dng cụng thc log a c log a b log b c , a, b, c; a 1; b , ta cú log x log3 log x log log x log 36 log x log x log log log 36 * Do log log log36 nờn * log x x Vy nghim ca phng trỡnh l x T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) log x log x 2) log x log x log 3) log x x log x 4) log2 2x log 9x 2 5) log 32 x 1 log 3 (2 3x ) 7) log x 12.log x 1 6) log log x x x 8) log x log x log x 9) log x log x 2 10) log x log x 81 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON 11) log x log x Vớ d 4: Gii phng trỡnh: log3 (x 1)2 log (2x 1) (1) Bi gii x x iu kin: x x Khi ú: (*) log x log x log x log x log3 x x x x Vi (2) x thỡ x2 x x x : phng trỡnh vụ nghim Vi x thỡ x x x x 3x x 2 loaùi [tha (*)] Vy nghim ca phng trỡnh l x T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) log x log 3x 2) log2 x log4 x log 2 3) log x log x 4) log2 x log2 x log 5) log 2 x x 2log x b Phng phỏp 2: t n ph chuyn v phng trỡnh i s Vớ d 5: Gii phng trỡnh 9x 4.3x 45 (1) Bi gii t t 3x vi t , phng trỡnh (1) tr thnh t 4t 45 t (2) loaùi t Vi t thỡ 3x x 82 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Vy nghim ca phng trỡnh l x T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) 16 x 17.4 x 16 2) 25 x 6.5 x 3) 32x+8 4.3x+5 + 27 = 4) x x1 10.3 x x2 2 Vớ d 6: Gii phng trỡnh 3x 18.3 x 29 (1) Bi gii Bin i phng trỡnh (1) ta c 3.3x 18 29 3x (2) t t 3x vi t , phng trỡnh (1) tr thnh 3t 29t 18 (3) t t Vi t thỡ 3x x Vi t 2 thỡ 3x x log 3 3 Vy nghim ca phng trỡnh l x 2; x log T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) 5x1 53x 26 2) 101 x 101x 99 2 Vớ d 7: Gii phng trỡnh 6.9 x 13.6 x + 6.4 x = (1) Bi gii Chia hai v phng trỡnh (1) cho x ta c x x 13. t t vi t , phng trỡnh (1) tr thnh 6t 13t (2) x (3) 83 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON t 3 t 3 Vi t thỡ x 2 x 2 Vi t thỡ x 3 x Vy nghim ca phng trỡnh l x 1; x T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) 4.9 x 12 x 3.16 x 2) 3.16 x 2.81x 5.36 x 3) 32 x 45.6 x 9.22 x 4) 5.2x 10x 2.5x 5) 27 x 12 x 2.8 x Vớ d 8: Gii phng trỡnh log 22 x 3log x (1) Bi gii iu kin: x Khi ú: log 22 x 3log x t t log x , phng trỡnh (1) tr thnh t 3t (3) t t Vi t thỡ log x x [tha (*)] Vi t thỡ log x x [tha (*)] 1 Vy nghim ca phng trỡnh l x ; x Vớ d 9: Gii phng trỡnh log x log x (1) Bi gii x iu kin: log x log x (*) 84 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON t t t t 25 t t t t 5t t Vi t thỡ log x x 100 [tha (*)] Vi t thỡ log x x 1000 [tha (*)] t t log x t 5, t , phng trỡnh (1) tr thnh (3) Vy nghim ca phng trỡnh l x 100; x 1000 T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) log 22 x 4log x3 2) log2 2x log2 x2 3) log 3x 1.log 3x1 Vớ d 10: Gii phng trỡnh 2log x 2log x2 x (1) Bi gii iu kin: x t t log x x 3t thỡ phng trỡnh (1) tr thnh 2.2 2t 3t 2t 3t t 4 t t Vi t thỡ x (tha iu kin) Vy nghim ca phng trỡnh l x Vớ d 11: Gii phng trỡnh 5.2 x log x x (1) Bi gii iu kin 5.2 x (*) Ta cú: 5.2 x 23 x x 2 x 5.2 x x 5.22 x 16.2 x 16 (2) t t x vi t , phng trỡnh (2) tr thnh 5t 16t 16 (3) t t Vi t thỡ x x [tha (*)] 85 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Vy nghim ca phng trỡnh l x T luyn: Gii phng trỡnh sau log 3.2 x x c Phng phỏp 3: Bin i phng trỡnh v dng tớch s A.B=0, Vớ d 12: Gii phng trỡnh 4.5 x 25.2 x 100 10 x (1) Bi gii Ta cú: 4.5 x x.5 x 25.2 x 100 x x 25 x x x 25 x 25 x x2 Vy nghim ca phng trỡnh l x T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) 3.7 x 49.3x 147 21x 2) 32 x x x x 3) log x log x log x.log x d Phng phỏp 4: Ly lụgarớt hai v theo cựng mt c s thớch hp no ú (Phng phỏp lụgarớt húa) Vớ d 13: Gii phng trỡnh 3x.2 x (1) Bi gii Ly lụgarit hai v vi c s 3, ta cú log 3x.2 x log3 log 3x log x x x log3 x x x log x x log log Vy nghim ca phng trỡnh l x 0, x log e Phng phỏp 5: Nhm nghim v s dng tớnh n iu chng minh nghim nht (thng l s dng cụng c o hm) 86 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Ta thng s dng cỏc tớnh cht sau: Tớnh cht 1: Nu hm s f tng ( hoc gim ) khong (a;b) thỡ phng trỡnh f(x) = C cú khụng quỏ mt nghim khong (a;b) ( ú nu tn ti x0 (a;b) cho f(x0) = C thỡ ú l nghim nht ca phng trỡnh f(x) = C) Tớnh cht : Nu hm f tng khong (a;b) v hm g l hm mt hm gim khong (a;b) thỡ phng trỡnh f(x) = g(x) cú nhiu nht mt nghim khong (a;b) (do ú nu tn ti x0 (a;b) cho f(x0) = g(x0) thỡ ú l nghim nht ca phng trỡnh f(x) = g(x)) Vớ d 14: Gii phng trỡnh 3x 4x 5x (1) Bi gii Chia hai v phng trỡnh (1) cho x x 0, x , ta cú x x (2) ( Dng f x C ) Xột hm s f x trờn , ta cú x x 3 f ' x ln ln 0, x f x nghch bin trờn x Mt khỏc x f (2) cú nghim x (*) (**) T (*) v (**) ta suy phng trỡnh (2) cú nghim nht x Vy nghim ca phng trỡnh (1) l x Vớ d 15: Gii phng trỡnh x x (1) (Dng f x g x ) Bi gii Xột cỏc hm s f x v g x x trờn , ta cú x f x nghch bin trờn v g x ng bin trờn Mt khỏc f g (1) cú nghim x (*) (**) T (*) v (**) ta suy phng trỡnh (1) cú nghim nht x Vy nghim ca phng trỡnh l x Bi tp: 87 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Gii cỏc phng trỡnh sau x 1) x = 1+ 2) x x 3) 4) 2.2 x 3.3 x x 5) 3.25x 3x 10 5x x 6) x x 12 3x 11 x 3x x 8x 14 7) log 22 x x log x x Vớ d 16: Gii phng trỡnh 2log x x (1) Bi gii iu kin: x log5 x log x Khi ú: (2) t t log x x 2t thỡ phng trỡnh (2) tr thnh log t t t t t t (3) Xột hm s f t trờn , ta cú t t 2 1 f ' t ln 3. ln 0, t f t nghch bin trờn (*) f (3) cú nghim t (**) t Mt khỏc t T (*) v (**) ta suy phng trỡnh (3) cú nghim nht t Vy nghim ca phng trỡnh (1) l x IV BT PHNG TRèNH M & LễGART CC PHNG PHP GII BT PHNG TRèNH M & LOGARIT: a Phng phỏp 1: Bin i phng trỡnh v dng c bn : a M < aN ( , , ) loga M loga N ( , , ) Vớ d 1: Gii bt phng trỡnh 3x x (1) Bi gii Ta cú: x x 32 x2 x x2 x x Vy nghim ca bt phng trỡnh l S 1; 88 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON T luyn: Gii cỏc bt phng trỡnh 1) x x x 15 x 13 27 2) x 23 x Vớ d 2: Gii bt phng trỡnh log3 4x log 2x (1) Bi gii x 4x iu kin: (*) x 2x x Khi ú: log3 4x log3 2x log 4x log 2x 4x 2x 16x 42x 18 x3 So vi iu kin ta c nghim ca bpt(1) l T luyn: Gii cỏc bt phng trỡnh sau 1) log 2 x log 3x x3 2) log x 10 log x x 2 x4 3) log log (3 x) 2x 3 4) log x log x 5) log (x 6x 5) log3 (2 x) 6) log x log x log2 7) log x log ( x 1) 2 8) log x x Vớ d 3: Gii bt phng trỡnh log x2 3x x (1) Bi gii iu kin: x x2 3x x x (*) Khi ú: 89 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG log HBM - T TON x 3x log 1 x 2 x 3x x x 4x x x x x So vi iu kin ta c nghim ca bpt(1) l x T luyn: Gii cỏc bt phng trỡnh sau 2x x 2x 3) log 0,5 x5 3x x 3x 4) log 1 x2 1) log2 2) log3 x2 x Vớ d 4: Gii bt phng trỡnh: log 0,7 log x (1) Bi gii x2 x x2 x x x x x2 x x2 iu kin: 2 x2 x4 x4 log x x x x x4 x Khi ú: x2 x x2 x log log 1 log0,7 log6 0,7 x4 x4 (*) x2 x x2 x log 6 x4 x4 x x 5x 24 x4 x x So vi iu kin ta c nghim ca bpt(1) l x 2x T luyn: Gii bt phng trỡnh log log2 x log b Phng phỏp 2: t n ph chuyn v bt phng trỡnh i s Vớ d 5: Gii bt phng trỡnh x 36.3x (1) Bi gii Bin i bt phng trỡnh (1) ta c 90 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON 3x1 4.3x1 (2) t t 3x1 t , bt phng trỡnh (2) tr thnh t 4t (3) t x1 x x Suy ra: Vy nghim ca bt phng trỡnh l S 1; Bi gii 1) 2x - 3.2 x+2 + 32 < 2) x 23 x 3) x 5.3 x 4) 52x 5x 5) 9x 2x x2 2x 6) 32x 22x 5.6x Vớ d 6: Gii bt phng trỡnh log22 x log2 x (1) Bi gii iu kin: x t t log x , bt phng trỡnh (1) tr thnh t t (2) t Suy ra: log x x2 Vy nghim ca bt phng trỡnh l S ; T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) log 2 x 17 log x 2) 3.log32 x 14.log 3) log x 2log x 4) log 21 ( x 1) log ( x 1)5 3 5) log x log x 6) log 21 x log x 2 x3 B Bi Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh 1) log x 125 x.log 225 x 3) 25log4 x 5log16 x log 25log16 x 5) x log x 5.log ( x 1) 2) log x2 16 log x 64 x4 x 4) x log x 27.log x x 6) x log (2 x 1) x log (2 x 1) 91 Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON log2 x log2x 4 10) log x log9x 1 log x 8) log x 7) log x (4 x 1) log3 x log3 (4 x 1) 9) log2 2x x log2 2.3log2 4x 11) log 3x - log x+1 - = 12) 13) log2x 2x2 x log x 2x 12 14) log x 7x log7 x 1 logx 9x log3 x x 15) log x log 27 log 9x2 x Bi 2: Gii cỏc bt phng trỡnh 1) log x log 10 x 3) log x log x2 log2 2x 2) 22x 4x 16.22x x 4) log 2x2 3x 2 1 log2 (x 1)2 2 Bi : Gii cỏc h phng trỡnh sau x log y 1) y y 12.3 x 81 y xy xy 2) 32 log x y log x y log x log y log 3) x y 20 log x log y 4) x y y x y 5) 3log (9x ) log3 y x2 y x y ( ) ( ) 6) log ( x y ) log ( x y ) log ( y x) log y 7) x y 25 4x ( x 1)3y 8) x y log x -Ht 92 [...]... Mặt khác t Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t  1 ♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x  2  IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < aN ( , ,  ) loga M  loga N ( , ,  ) Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3x  x  9 2 (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  3 x  x  32 2