Chương 2: Phương trình- bất phương trình - hệ phương trình mũ và logarit ppt

Trang 1

Chung 2

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRINH MU VA LOGARIT

§1 PHƯƠNG TRINH MU VA LOGARIT

I KIEN THUC CO BAN

1 Dạng cơ bản a Phuong trinh mii

Phương trình mũ cơ bản cé dang: a“ =b (a >0, a #1) * Cách giải:

+ Khib>O>a@ =box=log,b

+ Khi bg 0> a‘ =b v6 nghiém b Phitong trinh légarit

Phuong trinh légarit cd ban cé dang: log, x=b (a>0, a #1) * Cỏch gii:

log,x=bôââx=a, tc l phng winh log, x=b (a>0, a#1)

luén cé nghiém duy nhat x =a’

2 Các phương pháp giải

a Phương pháp đưa về cùng cơ số

b Phương pháp đặt ẩn phụ c Phương pháp lôgarH hóa

Trang 2

Phát biểu nào sau đây đúng?

A Chỉ (ID đúng B Chỉ (II) đúng € Chỉ (II) đúng D Chi (II) va (IID) ding

Trang 5

x+2z0 vs c., -6<x<4 b Điều kiện: 4_—-x>0<> x#-2 x+6>0 (2) <= 3log, jx + 2|-3 =3log, (4—x)+3log, (x+6) 4 4 4 = log, |x+2|-log, (+) =e, (4—x)+log,(x+6) 4 4 4 4 4 = log, (4|x+2)) =log, [(4-x)(x+6) | = 4|x+2|=(4-x)(x+6) NHANG 4(x+2)=-(4-x)(x+6) “1 nN 2 hay x =-8 x'~2x-32=0_ |x=l+A33 So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x =2 hayx=1—/33 Ví dụ 4 Giải các phương trình sau: 3 > | , a _ + | tog, x-log, = =—+log, Vx (1) (Dai hoc Kinh t& 1991) Xx : 43 2 ° b log, 2.log,,2=log,,.2 (2) Gidi a Điều kiện: x>0

(1) = (1- log, #)-log, x>[ 3l, x =2 ]= 2 +2 log,+

= log, 3.log; x— 2log; x.log, x— 6log; x = 0

3

< log, Đa [ &> x.| log, x’? —log, — |=0 Đ; x)

67

Trang 6

log, x =0 x=] x=] => 2 3©| ,„ 3© log, x = log, — x =— ee 3 ` "64 64 8 So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x = l hay x= 3 x>0 b Điều kiện: 1 ] x#l,x#—,x#— 2 16 l I l (2)= = log, x log,2x log; l6x | | — l

log, x I+log,x 4+log,x

<> 4+ log, x =(I+log, x).log, x

2 l

ñ ta eas |

Trang 7

a.2.2 Lời giải

Bail Giải các phương trình sau: a 6 + 6`" + 6°? = 5° + sh — 5 <= 6'(1+6+6°)=5'(1+5°-5) š] 121 121 S\|=] =~ @x=log,, — 5 43 "43 b 2`.3''5” = 37500 © 2'.3.3`.515' = 37500 © 75(2.3.5) =37500 <> 30' = 500 = 2 = log,, 500 ay J c | — aff =| =a 4 3 16 Điều kiện x ,x>2 5 ¬ 2 x=-1 @(3] 4 -(2) ¬ ề 4 x x=5

Trang 8

79

I 1 1 1

(2) © —log,(x ) 2 ga( -1)+—log,(2x +1) =—+ —log,(x +2 ) 2 gạ( ) 25 oga( ) <> logo(x — 1) + logo(2x + 1) = 1 + logo(x + 2) <> logal(x — 1)(2x + 1] = log2[2(x + 2)] > (x — 1)(2x + 1) = 2x +2) [x=-l Sal $a 0 5 X=— 2

So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là x=—

ce log, Vx+1 log, (3—x)-log,(x-1)' = 0 Digu kiện: Ï< x <3 2 Ta cé: logs Vx+1 —log,(3—x)— logz(x~— ĐỶ =0 2 © log,(x+l])+ log;(— x)~ log;(x ~ Ù) =0 = log, [ (x +1)(3 -x)] = log, (x-1) â (x+)G-x)=x-1 ôâx è-x-4=0<>x _1+ý17 2

So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình: X = —5— 14+ V17 a.3 Một số lưu ý khi giải dạng toán này

e_ Đây là phương pháp cơ bản để giải phương trình dạng này, nhưng chỉ giải được một số không nhiễu các phương trình, đối với phương trình lôgarit, hoặc phương trình mũ có cơ số chứa ẩn thì nên đặt điều kiện để phương trình có nghĩa rồi hãy đi biến đổi

Trang 10

Ị2 _=4=2 pe i

l nd S|

> 2 2

|2 7= 2= 2 xˆ =x+l=Ơ (vơ nghiệm) x=2

Trang 11

b log, x* -14.log,,,x° + 40.log,, Vx =0 (2) x>0 Điều kiện: 1 I x#2,X#—,x#— l6 4 (2) => 2log, x-42.log,, x +20.log, x=0 3

log, x 91 log, x +10 log, x =0 log, 3) log, 16x log, 4x

Trang 12

74 (1) < 4Irlos x — x!98:6 — 2.32(I*l8; x) Đặt £= log, x => x= 2' Ta có phương trình: aly —(2')""" < 2/3209) có 444 (2°)! = 18.9" 4.4! —6' = 18.9 t 20 =4-{3) -18(3| (2) 2 2 Dat »-(3) ,» >9 (2)©18y°+y-4=0 yas hay y=—5 (loa (3) 4 (3 ” I >l=|=-=l|—-| ©/=-2<©x=- 2) 9 \2 4 l So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x =— bị log,(x=Ýš'=1}leg,(x+šÊ=1]=legu(x= =1} — 0) - x'-l>0 Điều kiện: Oxe x-vVx7-1>0 Nhận xét: [x+vx ¬ -1)=1 Do đó: Dat t=xtvVx'°-1, (t > 0) thi x-Vx? -1 a! t

1) <= log 1 log, ¢ = log 4 t 5 20 1 © log,í.log.,/ =log„;/ t 4 5 20

Trang 13

So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình: l _ x=lhay x= =(st +5 a4) 2 b.2 Một số bài tập áp dụng có lời giải b.2.1 Dé bai Bail (*) Gidi cdc phương trình sau: a 2°**1 7.27% 47.2% -2=0 (Để dự bị khối D; 2007) b 9-10.37 +1=0 (Đề dự bị khối B; 2006) 1 12 c.2”-6.2' Tr†sr=l 2 v-l) 22 (Đại học Y Hà Nội, 2000) ` d 9 49°" 210 (Đại học An ninh, 1999)

Bai2 (*) Giải các phương trình sau:

a (2 -log, x)log,, 3- —— = | (Để dự bị Khối B; 2007)

° 1-log, x

b log, (3° -1)log, (3 -3)=6 (Đề dự bị Khối D, 2006)

c log,2+2log;,4=log — 8 (Đề dự bị Khối A; 2006)

1 ` ¿

Trang 14

b 9° 8-10.39? 41=0 2 9,9" 8? 193"? 41-0 Datt=3° "2.750 Ta dude: 9° -10f+1=0 © f= I —_ 3 =! 3 > x +x-2=0 t=— 3° +x-2 —=_— x'+x-2=~-2 x=0 hay x=-1 x +x-2=0 x=1 hay x=-2 , > x +x=0 Vậy nghiệm của phương trình là: x =—-2; x=0; x =+1 3 : ` c.2'"—6,2'— : ey =(2" Fr) -6(2" -=)F pert) 2" 23 2 2 Dat t = 2° _ —=2”'—=-—=r` +6 Ta có phương trình: 4 2ẦA O+6t-6t=lor=lorel = 2S =I <> 2?*-2'-2=0 2 2' =-I(loai) hay 2 =2 oO rx=1 Vậy nghiệm của phương trinh: x =1 d gan 4 gers = 10 (1) Đặt ứ=9Ÿ”*,Ta có: O<sin’x<SIS1<t<9 ¬¬ oa 9 Suy ra: 9° * = ghey CC 2 t 9 t=] , ` Khi đó:(I)©r+—= I0 ©/?—10+9=0 =| c (thỏa điều kiện) t gr a] sin? x =0 sinx =0 > > c gg | sin? x= cos x = 0 @ sin2x= 0 x=k> (keZ) tA 2 ` a

Vậy nghiệm của phương trình: x = ke (k € Z) Bài2 Giải các phương trình sau:

4

a (2-log, x }log, 3 ~——— (2 log, x)log,, ion x = | (1) (1

Trang 15

x >0 x>0 Diéu kién: 49x #1 S I X#—;X#3 logyx#l 9 (1) 2 Togs x 4 =1 c 2-08 x_ 4 _ log,(9x) I-logyx 2+log;x 1-log,x Dat t=log,x (t#-2,141) 1 [1 1 fx-! — {=— Ov, X=—- —=— Ta có: : =I et -3-4200) 4 an 63 4 ol * 3 +t —1 ple O4X = lx- SỊ So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x= 3 hay x= 6] b log,(3` =1)log, (3`''=3)=6 Điều kiện: 3`— I>0<>x>0

Ta có: log, (3' - I)log, (3 -3) =6 > log, (3° -l)log; [3(3 -1)] =0 <> log, (3' -1)| 1 +log, (3* -1) |=6 Dit ¢=log, (3° — 1) „ ta CÓ: f0xD=6%/”+r=6=0 | ~ 3 t=- => > l log, (3° -1) 2 3 —=1=9 log,(3'-1)=-3 | 3'-1=5- 3° =10 x = log, 10 = 3° =— 283° x = log, 28 — 27 , So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: 28

x=log, 10 hay x =log, 7 c log, 2+2log,, 4=log 5-8

Điều kiện: x >O,x #1,x #5

Trang 16

Ta có: log, 2+ 2log,, 4 = log „— 8 © log,2+4 log,,2=6log,, 2 <> log, 2-2log,,2=0 Io 2 ` log, x log, 2x l 2 log,x 1+log, x > log, x=la@x=2

Trang 18

b.3 Một số lưu ý khi giải dạng toán này

a Day là phương pháp rất hay dùng để giải phương trình mũ và lôgarit, ta

khéo léo đặt ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về dạng đại số với

ẩn mới, giải phương trình này tìm nghiệm thế vào ta sẽ được phương trình cơ bẩn hoặc phương trình đơn giản hơn

b Khi đặt ẩn phụ ta cần đặt điều kiện thích hợp cho ẩn mới, để rút ngắn

Trang 19

x=4 > ~2=-log,2—2 ng o> | _ log, 3 Vậy nghiệm của phương trình: x = 4 hay x =—log, 18 Ví dụ 2 Giải các phương trình, bất phương trình sau: " ys : ` a 2°.5° =0,2.(10°") b 3% =4 Giải à 2551 =0,2/(1071))

<> 10° = 510 <> log(10") = log + log 10%)

S2 x=log2~l+§x =5 @ Áx =6~log2 @œ x =2 = log2,

a

b 3” =4” © log, (3”}= log, (4” )

©4' =3' log, 4© 5) = log, 4 = x= log, (log, 4) 3 c.2 Một số bài tập áp dụng có lời giải c.2.1 Đề bài Bail Giải các phương trình sau: a 31g =36 b 3° 4 =5°? ce x SMP HSM, Bai 2 Giải các phương trình sau: 1x 2 4 log 6 a 4.x" = x b x*.6° = 6°: girsns[sin? <+5sinx.cosx2) 1 9

e.2.2 Lời giải

Bail Giải các phương trình sau:

a 39.891 =36

Điều kiện x # —]

Trang 20

3x © log, [xz"] = log, 36 © x+ tog, 2=2+2log, 2 X+ x-2 1 ox-2+ log, 2=0<(x-2)| 1+——1 2 x+l Ba - (* Í ee 2 | x-2=0 x=2 c© l _ l =| =-1-1 2 x+l log2 LỄ °F x=2 ` <> (thỏa điều kiện) x=-log; Vậy phương trình có nghiệm x =2 hay x =—log, 6 b 3° 4257 oo x?-4= (x-2).log,5<> x°-4=(x-2).log, 5 x=2 © (x-2)(x+2-log,5)=00 5 ( M £5) v= —2+log, 5=log, c A ` ey ` 5 Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 2 hay x = log, 9ˆ cx SP = SS (1) Điều kiện 0 < x # Ï (1) © log,(x°.5 th ) = log, (5°) = 6.log, x—log, 5=-5 = 6log,’ x+5log, x-1=0 log, x = —1 yastal =|, Lo 5 (thda diéu kién) og,x=— 1 x" x=5¢ = 9/5 1

Vậy phương trình có hai nghiém: x = 5 hay x= $5, Bài2 Giải các phương trình sau:

a 4x“ =ự” (1)

Điều kiện: x >0

(1) = log, (4x) =log, x’ > 1+log, x.log, x =2log, x = log,’ x-2log,x+1=0 log, x=lox=4

Trang 21

b x'.6° = 6° (1) Diéu kién: 0< x ¥1 (1) <> log, (x*.6°) = log, (64) ©4.log,x+3=log, 6 © 4log,°x+3log,x—1=0 log, x=—-1 x=6'= 1 c© | © 6 (thỏa điều kiện) log,x=— | ¬ ne bai popia | 4

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = S hay x= %6

log, ;(sin? x+Ssin x.cosx+2) l

4 =— (1)

9

Điều kiện: sin” x + 5sin x.cos x +2 >0

(1) c© log, am heeenall ~ log, ;

c

c.3 Một số lưu ý khi giải dạng toán nay

Trang 23

b.(2V6) +I=5' © Gal + (2) =| 1 3 + Với rae =F oso 2-loe,( 5] @ x=2-log,3 + Vớir=3-xe©5 /=3-x (*) Nhận xét: x = 2 là một nghiệm của phương trình Mặt khác: + f(x) = 5° 1A ham s6 ludn luôn đồng biến; + g(x)=3—x là hàm số nghịch biến

Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Trang 24

| + Với £= —Z, tà có: |og, x= =2 €9 Xa + Với log,x=3-—x (*) Nhận xét: x = 2 là nghiệm của phương trình Mặt khác: + f(x)=log, x là hàm số đồng biến; + ø(x)=3—x là hàm số nghịch biến Vậy, x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (*) z > 1 Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho la x = 4 hay x=2 b.x +39 0 =x 3” () Điều kiện: x >0 Dit t=log,x>x=2' ()(a) 49 =a a2" 43-2) e443 =5' =(2] 1š] =] 5 5 Nhận xét: t= 2 là nghiệm của phương trình Mặt khác: 4Ý (3 by xxx + #()= 5 + 5 là hàm số nghịch biến + g(t)=1 1a ham hing

Trang 26

d.2 Một số bài tập áp dụng có lời giải d.2.1 Đề bài Bail Giải các phương trình sau: a 3` +x-4=0 b.|—| 4 =-x +x-—] Bài2 Giải các phương trình sau: 8 3 ¬log n2 a log,x=l1—2x ¬— ` Bài 3 Giải các phương trình sau: (+8 +[d=4B] = de v.3°-(3) +5"-(3) [5] =-ae+10 3 4 12

Bài 4 (*) Giải phường uinh: 2.log, (Vx + Vx) = log, Vx (

(Đại học Y khoa Hà Nội, 1998) Bài 5 (*) Giải phương trình sau: 3Ì +2 =3x+2 (Dự bị B; - 2003) 2*-] lx Bài 6 (*) Giải phương trình: log› =l+x-2* (Dự bị Ð; - 2007) Bai7 (*) Giải phương winh: 4° - 2"! +2(2' -1)sin(2° + y-1)+2=0 (Du bi D, - 2006) d.2.2 Lời giải Bài ! Giải các phương trình sau: a 3° +x-4=003' =4-x

Ta thấy: /(x) = 3” đồng biến trên R; g(x)= 4— x nghịch biến trên

Trang 27

Bài 2 a Bài 3 Giải các phương trình sau: log, x =I1-2x Ta thay: f (x) = log, x dong bicn trén (0 ; +0); g(x) =11-2x nghich bién trén R Mặt khác: /(3) = s3 =], suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 8 ap 2 lopyx jog, 2 —x th! = y 2981 T- v98” (1) Điều kiện: x >0 (ye 5 (2 ) = x Deen _ gees v (vi gtr = closed ) & 8 jis, = x _ l Dat log, x =f => x =3', dan dén phugng trinh: 3 3\3/ \9 + f(t)= nh + (=) là hàm số luôn nghịch biến + g(t) = [ là hàm hằng + 700=343]*|g]=!=et)

Do đó, đồ thị của hai hàm số f(t) va g(t) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ ¡=1 = log, x=lax=3

Trang 28

+ Khi x>2= /(z)</(2)=1 + Khix<2= /(z)>/(2)=1 + Khix=2> f(x)=/(2)=1 Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình b 3° -[§} +5" -(3) -(3) = -3x+10 3 4 12 - ; _ 1 x , _ 1 " 5 Xx Xót /(x) =3 b) xề ñ l5) = s'(x)=3.1n3-(5] Ins +5" ins-( 5) ine -(5] ‘In 4 \12 12 =3.n3+{ 4) hà+# T532) ine( 5] In2>0,vxeR 3 4 l2) 5 Nên ƒ(x) đồng biến trên Ñ; g(x) = 3x + I0nghịch biến trên IR l 1 5 Và /W)=3~3+5~2~m=7: g(I)=-3.1+10=7, suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = l

Bài 4 Điều kiện: x > 0

Dat t= log, Vx Khido: Vx =4',4/x = 42, Vx = 48 ()<© 2g, (4 waar c© | # +2] N | f ©4242? =6 =5] (3) =] 3 3 Nhận xét: t = 2 là nghiệm của phương trình Mặt khác: +05] + g(t) = l là hàm hằng Nin t 1 \2 ee ae + ls) là hàm số nghịch biển

Do đó, f = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Suy ra: Vx =4° & x = 256 (thỏa điều kiện)

Trang 29

Bài 5 " Bài 6 Taco: 3° +2* =3x+2 ©©3`'+2`'-3x-2=0 (1) Nhan xét: x = 0; x = 1 1a nghiém cia (1) Xétham sé: f(x) =3'+2*-3x-2, xeR f'(x) =3* In3+2* In2-3 f"(x)=3" In’? 342" In? 2>0, Vx => f'(x) là hàm số đồng biến V x e R J (0) =In6-3<0 #*%)=nI0§-3>0 = /'{x)=0 có một nghiệm duy nhất xạ e (0; 1) Mặt khác: | => f'(0).f (1) <0 Bảng biến thiên: x -00 Xo +00 F(x) _ 0 + F(x} o™ _—” CT Suy ra, phương trình f(x) =0 có hai nghiệm: x=0; x = 1 loge st 14-2" (1) Ix| Điều kiện: x > 0 (1) <> log, (2* - 1) — logox = 1 + x — 2* <> log, (2* - 1) + (2° - 1) = log;x +x Datu=2*- l,u>0

Ta có: logạu +u = log;x + x © f(u) = f@X) Xét hàm đặt trưng: f(Ù = logạt + t, với t> 0 fq=—=—+ I>0,Vt>0 tint => f(t) IA ham sé déng biến Vt >0 Do đó: f(u) = fx) Su=x<ââ2`-l=xôâ2`=x+l Nhn xột: x= 0; x = 1 là hai nghiệm của phương trình

Mặt khác: Đề thị (C) của hàm số y = 2* lõm trên khoảng (0; +œ)

Do đó, đường thẳng (đ): y = x + 1 chỉ cắt dé thị (C) tối đa tại hai điểm Mà x >0 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = I

Trang 30

Bài?7 Ta có:

4'~2*"+2('—])sin(2'+y—l)+2=0

=(|2'- 2.2" +1)+2( (2'—I)sin(2'+y~—l)+1=0

=|(2'=I) ) +2(2' =1).sin(2' + y—l) +sin?(2" ty=D|xI-sin (2°+y-1)=0

=|?' ~l+sin(2' +y-DÏJ +cos’(2°+y-1)=0 2'=l+sin(2`+y~—l) =0 (1) <> cos(2' + y—1) =0 (2) (2) Ssin(2*+y-l=+41 + Với sin(2'+y—l)=l: (I) 2` =0: vô nghiệm + Với sin(2'+y—l)=-l:2'=2«<>x=l Thế x=[l vào (1), ta có:

sin(y£1)=—I@ y+1==5 +28 G6 y =—I— 2 +k2r (k eZ)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1, y==l=S+k2z (ke) d.3 Một số lưu ý khi giải dạng toán này

a Đây là dạng toán khó, thường khi sử dụng ba phương pháp trên vẫn không giải được ta phái nghĩ đến cách này Khéo léo đưa phương trình thành dạng có hai vế là hai hàm số có tính đơn điệu khác nhau, chỉ ra nghiệm và kết luận đó là nghiệm duy nhất

b Nếu phương trình nào có nhiều hơn một nghiệm ta cần dựa vào bảng tA tA + a ^ biển thiên để suy ra kết luận Ẵ& DẠNG 5: Phương trình mũ và lôâgarit chứa tham số c.].' Các ví dụ mình họa

Ví dụ 1 Cho phương trình: ?r.Ló”+2.81° =5.36” (m là tham số) (1) 1 Giải phương trình khi m = 3

Trang 31

Giải gà (9 A 9) 9) ()eoms2[ 2) -5(2) =2{2) -5(5] +m=0 9)’ › Đặt/= ñ „>0 Ta được phương trinh: 2¢° -S5r+m=0 (2) 1 Khi m = 3: (2) = 20° =5/+3=0 | Vậy: Khi m = 3 phương trình có nghiệm: x=0 hay x= 2" 2 (2) -2t +5 =m Xét hàm số: f(y =-2r°+51, t>0 f'(t)=-4t+5 5 “t)=O@ra— /(0)=0er=Š Bảng biến thiên: t 0 f'{U % 5Ư ÍỨÐ ee lala t fịt) , ¬ ¿ sie 25 Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán <> m <0 hay m= s Ví dụ 2 Cho phương trình: 4` -7n.2'”°+2m =0 (1) 1 Giải phương trình khi m = 2

2 Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt X,,X, saocho x, +x, =3 (Đại học Cần Thơ, 1998)

Trang 32

Giải

Đặt ¢=2*,t>0, suy ra (1) c6 dang ¢? —-2mt+2m=0 (2)

1 Khi m=2: (2) -4t4+4=0 St=2 52 =2ox=1

2 Phuong trinh (1) c6 hai nghiém phan biét x,,x,: x, +x, =3

© Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt í, = 2",/, = 2`? thỏa: A'>0 m(m—2) >0 tá, =212% <215 =2è<ẹĐ@>4S>0 â42m>0 om=A4 P=8 2m=8 Vậy, giá trị m cần tìm là: m=4 Ví dụ 3 Cho phương trình: 81 4.81% = (1) 1 Giải phương trình khi m = 30 2 Xác định m để phương trình có nghiệm Giải Đặt /=8§l””, ta có: - 3 s2 v -sin? ] 0<sin x<l—lI</<8§1I—6§I°°'=§1' te 8 _ Sl $ yes t 8l Khi đó (1) trở thành: + —= (2) t 7 ` 1 Khim=30: (2) ©r” -30:+8I=0 (thỏa điều kiện) | Em *=27 le = 3 ee x=3 bu —COS 2x) =3 => => > >

g ypsin’s =3 Zasin’ x =3 4sin? x=l 2(1~—cos 2x) = |

Trang 33

Bảng biến thiên: Skis Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài todn 18 <m <82 Ví dụ 4 Tìm m để phương trình: log(x” +mx}—log(x-3) =0 (1) cé nghiém Gidi (1) = log(x? + mx) = log(x-3) x-3>0 x>3 x>3 4, oy © 3 x+mx=x-3 —x°+x-3=mx —x+l-—=m x ¬ 3 Xét hàm số: #(&)=-x+l-=, x>3 x 3 , Taco: f'(x)=-1+— <0,Vx>3 => f(x) là hàm số nghịch biến Vx > 3 về Yêu cầu bài toán <> m< f (3) oam<-3 Vidu 5 Tìm m để phương trình: flog,” x+log,x”—=3= m(log, x -3) (1) 2

có nghiệm thuộc nửa khoảng [32:+=)

Trang 34

Ta có phương trình: V/” —2/~ 3 =im (¢-3) > f(t+1)(¢-3) = m/( (¢-3 = (do >5) Xét hàm số: f(t)= fel t>5 (—3 Taco: f'(t)= a <0,Vt25 +0

Ti bang bién thién ta thdy yéu cdu bai tofn <> 1 <i < 3 e2 Một số bài tập áp dụng có lời giải e.2.1 Đề bài Bài 1 Xác định m để phương trình sau có nghiệm: (m-2).4°"'—(m41).2°"'+2m-6=0 (1) Bài2 (°) Cho phương trình: (2+V3) +(2-v3) =m () 1 Giải (1) khi m = 4

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

(Đại học Quốc gia TP.HCM, 1996) Bài 3 Tìm mì để phương trình sau đây có nghiệm:

9° — 1.3" +2m4+1=0 (1)

(Đại học Giao thông Vận tai, 1999)

Bài 4 Chứng minh rằng phương tinh x"! =(x+l)` có một nghiệm dương duy nhất

Trang 35

Bài 5 (*) Cho phương trình:

2log, (2x ~x+2/m= Am" + log, (x? + mx ~2m?) = 0M

2

Xác định tham số m để phương trình (1) có 2 nghiém x,,x, tha x7 +x, >1

| (Đại học Y Dược Tp.HCM, 2001)

Bai 6 (*) Cho phuong trinh: log} x +./log, x+1—2m-1=0 (2)

Tim m dé phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 w ] (Khối A - 2002) 2 2 Bài7 (*) Tìm m để phương trình: 4(Iogvx] —log, x+m=0 có nghiệm thuộc 2 khoảng (0; 1) (Dự bị B, - 2003) Bai 8 (*) Cho phương trình: (x7 —1).1g7 (x7 +1)—m,/2(x? =1).1g (x? +1)+m+4= 0 (1) 1 Giải phương trình với m = -4

2 Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm x thoả mãn: l< |x| $3

(Đại học Cần Thơ, 2000)

Bài 9 (*) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:

log;(m—x+4)+ log, (mx -x’)= 0 (1)

7

có đúng hai nghiệm phân biệt

(Đại học Dân lập Đông Đô, 2000)

Trang 38

f(2)= In=-<0 Mat khac: 81 (3) = In—>0 F(3) SA => f (2).f (3) <0, f(x) liên tục trên [2:3] => f(x) =0 có ít nhất một nghiệm x e (2:3) (2 Từ (1l) và (2), suy ra phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất xe(2;3) Bài 5 (1) <> log, (2x —x+2m-—4m” ) =log, (x? + mx —2m? ) x’ +mx—2m’* >0 = 2 2 2 2 2x“ —x+ 2m — 4m = xˆ + mX — 2m x”+mx— 21m” >0 x -(m + l)x+ 2m — m” = 0(2) Xx ` +mx~2m” >0 x= 2m hay x=l—1m Yêu cầu bài tốn © phương trình (2) có 2 nghiệm xị = 2/1; x; = 1 - r thỏa: x, + MIX, —2m >0 4m” >0 x,” + MX, —2m' >0 ©342m +m-1<0 xy +x, >) m(5m—2)>0 m#0 -l<m<0 @\-l<m<-—- c©|2 1 2 —<m<— m <0V m3 An tế re Aa 2 1

Vậy, giá trị cần tìm là: —l<?m<0 hay —<m<— Bài 6.Ta có: l<x<3Ÿ <> 0 < log, x < V3

Nếu đặt / = J/log} x+1 thi

Trang 40

x -I=0 | =[ (do Vx? - 11g? (x? +1)+4V2 >0.vx:|x|> 1) So với điều kiện ta có nghiệm của phương trinh: x =+ | 2 Đặt t= [2(x° ~1).1g? (x? +1) Taco: 1<||<3ô@ââ-3<x<-l hay 1s x83 Xét hàm số: gí(x)=:=J2(z -1)Ig(z? +1), VỚI x€ [-3;-1]U [153] Fe ey telat " gs)=0© x=0e[-3;—1|[13] Bảng biến thiên: X -3 g(x) vi _ 4 NI g6) b >

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	865,06 KB