Mũ và logarit onl

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Bài 1: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ VÀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC A Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: Lũy thừa với số mũ nguyên: a Với n  N * a  R : an  a.a.a a (n thừa số) b Với a  n  ta có: a0  an  an Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: a Căn bậc n: ( n  + Nếu n lẻ n * a có nghĩa + Nếu n chẵn Chú ý: n ) n a có nghĩa a  1 n 0 Tính chất: n a n b  n a.b n a na  n b b ( n a )k  n a k m n a  m n a b Lũy thừa với số mũ hữu tỷ Cho a  , r  m (m  , n  n Kí hiệu :  ) số hữu tỷ Khi lũy thừa số a với số mũ r ar m a r  a n  n a m  ( n a )m Hệ : n a na B Lũy thừa với số mũ thực : Định nghĩa : Cho số thực k tồn dãy số hữu tỷ (rn ) cho lim rn  k Khi lũy thừa số a với số mũ k Kí hiệu : a k  lim ar n Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 C Tính chất lũy thừa : Điều kiện xác định lũy thừa : Lũy thừa Số mũ ak Điều kiện số k  N* aR  a0 k k 0 k a0 Tính chất lũy thừa : a Tính chất đẳng thức : với điều kiện có nghĩa i a x a y  a x y ii ax  a x y ay iii (a x ) y  a x y iv a x b x  (a.b) x v ax  a    bx  b  x b Tính chất bất đẳng thức : + Với a  : ax  a y  x  y + Với  a  : ax  a y  x  y + Với  a  b : a x  bx  x  a x  bx  x  D Bài tập áp dụng : 1/ Tìm điều kiện x để biểu thức sau có nghĩa : a/ A  x  x  b/ B  ( x  3x  4) c/ C  x  2/ Rút gọn biểu thức : Cho a  1 d/ a/ a (a ) a a a a b/ Lớp Toán 10-11-12-LTQG a2 a : a4 a 3  e/ (a ) a c/ a ( a ) 3 (a ) a f/ (a ) : a (a )3 a Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 3/ Không dùng máy tính so sánh: a/ 3 1 b/ 340 430 c/   2  11 3/ Rút gọn :  13 )   125 32  1 b/ 0.001  (2)2 64   (90 )2 a/ 810.75  ( c/ 27  ( )0,75  250,5 16 4 d/ (0,5)  625 0,25 112  (2 )  19.(3) 3 4/ Cho biểu thức có nghĩa, đơn giản biểu thức sau : 2  13  32  3 3 a/ A   a  b  a  a b  b     c/ C  4 a a a a b b  b b  1  14  14  12  4 b/ B   a  b  a  b  a  b      a d/ D  a b 5 7  a b  b 4/ Đặt điều kiện đơn giản biểu thức sau :  a 1 a a/ A  a  a 3 3 a  a3   1 1   12  2 a  a  a 1    b/ B    1    a  2.a   a  a    1  a.x3  a3 x  a.x  a a    1   x x a  x a x   c/ C   1  2 a  a b d/ D    3a  1   32 a  b a b    1 1     a  a b a  b   5/ Biết 9x  9 x  23 tính :  1   a  b       3x  3 x   6/ Chứng minh rằng: x   0;  Ta có:   7/Nếu x  : 2sin x 2 tgx 2 3x 1 (9x  4.3x  1).x  ( x2  1).3x  8/Chứng minh với số nguyên dƣơng n>2 ta có : (n!)2  nn 9/ Chứng minh a, b  0, x, y  R ta có: 25x  y  a  b2   a.5x  b.3y  Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Bài 2: LOGARIT A Lý thuyết: Định nghĩa: a Định nghĩa: Cho  a  1, b  tồn số thực  cho a  b Số  đƣợc gọi logarit số a b Kí hiệu : log a b log a b    a  b Có nghĩa : Điều kiện để log a b có nghĩa : a  0, a  b  b Logarit tự nhiên logarit thập phân : + Logarit tự nhiên : ln x  loge x n  1 Với e  lim 1    2, 718281828 x   n + Logarit thập phân : lg x  log x  log10 x Các tính chất logarit : a Tính chất đẳng thức : a  0, a   log a  log a a   log a x y  log a x  log a y Mở rộng : log a x1.x2 xn  log a x1  log a x2   log a xn Hệ : log a a N  N log a x M  M log a x log a  log a b  log c b log a c log a b    Lớp Toán 10-11-12-LTQG hay log a c.log c b  log a b logb a log a N x  aloga b  b Đk : b, c  0, c  Đk : b  0, b  1 log a x N log a N x M  Hệ ; Đk : x  x  log a x  log a y Đk : x, y  y  Hệ : Đk : xi  Đk : x  M log a x N Đk : x  Đặc biệt : alogb x  xlogb a Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 b Tính chất cho bất đẳng thức : + Với a  : log a x  log a y  x  y + Với  a  : log a x  log a y  x  y B Bài tập áp dụng : 1/ Tìm điều kiện xác định logarit sau : 2x  a/ log0,5 (2 x  3) b/ log3 ( x2  1) c/ log5 d/ log x1 e/ log ( x3  x  x) f/ log 42 x (25  x2 ) b/ log c/ log 125 x 2/ Tính : a/ log e/ log 27 3 d/ log 5 25 f/ log 1 (3  2) 3/ Tính: b/ log 27  log9 a/ log 16  log d/ log 64  log16 0,125       24  e/ lg 5.4  lg  lg  f/ log a a a b  log a b b a  log a b b b ( a, b  0, a  ) 4/ Tính: 1 b/   3 log8 15 a/ d/  9 3 2log5 log81 c/ 3log8 3 2log16 log 2 64 log  log e/ f/ 100 a/ log3 log b/ log log3 11 c/ log log3 d/ log a log3 a e/ log135 675 log 45 75 f/ log9 10 log10 11 5/ So sánh: 5/ Tính: a/ A  log3 2log 3log5 log15 14.log16 15 b/ B  1 1    với x  2014! log x log3 x log x log 2014 x c/ C  lg(tg1)  lg(tg 2)  lg(tg3)   lg(tg89) 6/ Tính log 16 theo x biết log12 27  x 7/ a/ Tính log 45 theo a,b biết a  log2 3, b  log2 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 b/ Tính log125 30 theo a,b biết a  lg 2, b  lg c/ Tính log3 135 theo a,b biết a  log2 3, b  log2 8/ a/ Tính A  log b/ Tính B  log b a b biết log a b  a ab b biết log a b  a 9/ Cho log27  a,log8  b,log2  c Tính log 35 10/ Rút gọn biểu thức: a/ A  (loga b  logb a  2).(loga b  logab b).logb a  b/ B  log 2 x  (log x).x log x (log x 1)  log 42 x c/ C  log m n  log n m  2.(logm n  logmn n) logm n 11/ Với điều kiện a,b,c có nghĩa.Chứng minh rằng: a/ log ac bc  log a b  log a c  log a c b/Nếu x2  y  14 xy log(x  y)   lgx  lgy 1 c/ Nếu a  101lg b , b  101lg c c  101lg a d/Nếu a  b2  7ab log 2014 ab  (log 2014 a  log 2014 b) 12/ Chứng minh với a  b  ta có bất đẳng thức: ab ( ln a  ln b )  ln 2 13/ Chứng minh rằng: a/ log2011 2012  log2012 2013 b/ Tổng quát: n  Cmr: log n (n  1)  log n1 (n  2) 14/ Với a, b  0; a, b  Chứng minh: log a b  logb a  15/ Không dùng máy tính, Chứng minh rằng:  log  log3  Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Bài 3: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT A Hàm số mũ: y  a x (a  0, a  1) Đạo hàm: Hàm mũ Hàm hợp (e x ) '  e x (eu ) '  u'.eu (a x ) '  a x ln a (au ) '  u '.au ln a ex 1 1 x 0 x Giới hạn: lim Tính chất đồ thị:  Tập xác định : D=R  Tập giá trị : T  (0; )  Sự biến thiên : y '  a x ln a + Nếu a   y '  : hàm số đồng biến D + Nếu  a   y '  : hàm số ngịch biến D x   y’   x y’ +  y   y 0 a  Đồ thị : Luôn qua điểm (0;1), (1;a), (1: ) + Nhận y=0 làm tiệm cận ngang a 1  a 1 y y O Lớp Toán 10-11-12-LTQG x O x Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 B Hàm số Logarit: y  log a x (a  0, a  1, x  0) Đạo hàm: Hàm logarit (ln x) '  Hàm hợp x (log a x) '  (ln u ) '  x.ln a u' u (log a u ) '  u' u.ln a ln(1  x) 1 x 0 x Giới hạn: lim Tính chất đồ thị:  Tập xác định : D  (0; )  Tập giá trị : T=R  Sự biến thiên : y'  x.ln a + Nếu a   y '  :hàm số đồng biến x  y x +   y  y + Nếu  a   y '  : hàm số ngịch biến  y   a  Đồ thị: qua ba điểm (1;0),( a;1),( ; 1) + Nhận x=0 làm tiệm cận đứng a 1  a 1 y O Lớp Toán 10-11-12-LTQG y x O x Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 C Bài tập áp dụng: 1/ Tìm đạo hàm hàm số sau: c/ y  (e x  e x ) b/ y  x e4 x  a/ y  ( x  1).e2 x d/ y  (3x  2) ln x e/ y  x  1.ln( x ) 2 ln x  f/ y  x 2/ Tính giới hạn sau: e3  e3 x  x 0 x b/ lim ln(1  3x) x 0 x d/ lim a/ lim c/ lim e x  e5 x x 0 2x ln(1  x ) x 0 x 3/ Xét tính đơn điệu hàm số sau: a/ y  ln(4 x  x2 ) b/ y  x.e x c/ y  ln(2 x  x 2) d/ y  ( x  1).e x1 4/ Tìm GTLN-GTNN (nếu có) hàm số sau: a/ y  e x 1 b/ ln( x  x2 ) c/ y  x  e x1 5/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau: a/ y  x b/ y  log x2 c/ y  x 6/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm : y  e x Từ suy đồ hàm số sau: a/ y  e x b/ y  e x  c/ y  e x2  d/ y  e x  7/ Chứng minh hàm số a/ y  log( x  x  1) đối xứng qua gốc tọa độ b/ y  e x  e x đối xứng qua trục Oy Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Bài 4: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A Phƣơng trình mũ: Phƣơng trình bản: a f ( x)  b a  0, a  + Nếu b  : phƣơng trình vô nghiệm + Nếu b  : pt  f ( x)  log a b Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ: a Đưa số: Đƣa hai vế phƣơng trình lũy thừa số dùng công thức: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) Áp dụng: Giải phƣơng trình sau: a/ x 3  43 x 2 x2  5.1252 x 1 25 d/ b/ 0.1252 x 3  232 x e/ 3.2x1  5.2x  2x2  21 c/ 27 x 1  27 x f/ 2x1  3x  3x1  2x2 b Đặt ẩn phụ: Khi toán quy hàm số theo a f ( x ) ta đặt ẩn phụ t  a f ( x)  t  Áp dụng: 1/ Giải phƣơng trình cách đặt ẩn phụ: a/ 4x  2.2x   b/ 5.25x  6.5x   c/ 52 x1  5x1  250 d/  1  x 3x 2/ Giải phƣơng trình: a/ 3x  6.3 x   b/ 5x2  51 x  30  x c/ x 10   d/ 3.4x  6x  2.9x 3/ Giải phƣơng trình: Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 x 1 x 1  8.2 x 1 40 a/ (2  3) x  (2  3) x  b/ 3.2 c/ 2sin x  5.2cos x  d/ 25x  12.2x  652.(0, 4)2 x  2 c Logarit hóa: Khi phƣơng trình cho dƣới dạng a f ( x ) b g ( x )  c a f ( x )  b g ( x ) ta lấy logarit vế theo số a b giải Áp dụng: Giải phƣơng trình: b/ 22 x1.5 x 1 x x b/ 3x1  5x 3 x2 a/ 5x  x1 c/ 5x.8 x1  100 x 7 x 1 c/ 3x1.7 x2  441  200 d/ 5x.2 x 1  50 d Phương trình tích: A  B  Biến đổi phƣơng trình trở thành tích phƣơng trình A.B    Giải phƣơng trình: b/ 6x  x  4.3x  x  2x  x  4 a/ 4x  3x  6x  2x 2 c/ 9x.52 x1  3x.(52 x1  15)  15  e Dùng tính đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm nhất: + Nhẩm nghiệm x   + Chứng minh - x    phƣơng trình vô nghiệm - x    phƣơng trình vô nghiệm + Suy phƣơng trình có nghiệm Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Áp dụng: 1/Giải phƣơng trình: a/ 2x   x b/ 5x  x  27 c/ 2.3x  5x  d/ 71 x  3x  52 2/ Giải phƣơng trình: a/ 3x  4x  5x b/ 3.2x  2.3x  5x1  c/ 2x  3x  4x  10x1 1 d/ 9x  5x  4x  2( 20) x B Phƣơng trình logarit: Phƣơng trình bản:  f ( x)  log a f ( x)  b   b  f ( x)  a Chú ý: Đối với phƣơng trình logarit ta nên đặt điều kiện trƣớc giải Áp dụng: 1/ Giải phƣơng trình: a/ log x  c/ log  0  x2 e/ log x ( x2  x  1)  f/ log log3  x  x  3  b/ log x ( x2  x  1)  c/ log x 1 (2 x2  3x  1)  d/ log ( x  x)  1   b/ log5 (2 x  4)    2/ Giải phƣơng trình: a/ log x (2  x)  2 Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit: a Đưa số:  f ( x)   g ( x)  log a f ( x)  log a g ( x)   or   f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Áp dụng: 1/ Giải phƣơng trình: x ) 1 x b/ log x  log (2 x  x2 ) a/ log5 ( x  1)  log (   c/ log    log3 ( x  1)  x 1  d/ log2 x   log2 ( x2  x  1) 2/ Giải phƣơng trình: b/ log3 x  log9 3x  log 27 x  a/ 3.log x  log x  5 c/ log ( x  3)  log  2log ( x  1)  log ( x  1) b Đặt ẩn phụ: Khi phƣơng trình quy hàm số theo log a f ( x) ta đặt ẩn phụ t  log a f ( x)  t  R Áp dụng: 1/ Giải phƣơng trình: 3.log x  x log a/ log22 (x  1)  3.log2 ( x  1)  2 b/ log x   c/ log3 (9x  8)   x d/ log7 (6  7 x )  x  2/ Giải phƣơng trình: a/ log x  log x  b/ log x 64  log x 16  2 x  log3 x  5.2log3 xlog3 x   c/ log3 (3x  1) log3 [3(3x  1)]  d/ 4log e/ 32log x  xlog  f/ log3 x  log3 3x   2 Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 c Mũ hóa: Phƣơng trình có dạng log a f ( x)  logb g ( x) ta lấy mũ số a b hai vế Áp dụng: Giải phƣơng trình: a/ log x  log3 x b/ log x  log3 ( x  1) c/ log x  log3 x  log6 x d/ log7 x  log3 ( x  1) d Phương trình tích: Giải phƣơng trình: a/ log2 x  log3 x   log2 x.log3 x b/ log5 x.log7 x  log5 x2  log7 x3  c/ log22 x  log2 x.log3 ( x  1)  (x  1).log2 x  ( x  1).log3 ( x  1)  2.log2 x d/ log x.log3 x  log5 x e Dùng tính đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm nhất: Áp dụng: 1/ Giải phƣơng trình: a/ log ( x2  1)   x b/ log2 x  log3 ( x  1)  2.log6 (7  x) c/ log5 (2  x )  log ( x  22) d/ log ( x2  3x  2)  x  log 8x  8 2/ Giải phƣơng trình: a/ log2 x  log2 (2 x  1)  x  Lớp Toán 10-11-12-LTQG b/ log3 ( x2  1)  x  x  log9 ( x2  x  1) Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Bài 5: BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A Lý thuyết bất đẳng thức: Nếu a  : ax  a y  x  y log a x  log a y  x  y Nếu  a  : ax  a y  x  y log a x  log a y  x  y B Các phƣơng pháp giải: Bất phƣơng trình bản: a f ( x)  b bất phƣơng trình có nghiệm với x + Nếu b0: - a  1,  f ( x)  log a b -  a   f ( x)  log a b log a f ( x)  b - a   f ( x)  a b -  a    f ( x)  ab Đƣa số: log a f ( x)  log a g ( x) a f ( x)  a g ( x) Đƣa hai vế bất phƣơng trình số sử dụng công thức Chú ý: + Đối với hàm mũ  a  ta nghịch đảo để chuyển a  + Đối với hàm logarit tùy vào dấu bất đẳng thức để suy điều kiện f(x) hay g(x) Áp dụng: 1/ Giải bất phƣơng trình sau: a/ 2 x 1 31 x b/ x  27  x  2 d/ log (2 x  1)  1 c/   2 x2  x 1  2  4 x e/ 2.log2 ( x  1)  log (5  x)  f/ 2.log3 x  5x   log3 ( x  3x  2)  2  1  g/     x2  x  1       6 x 2/ Giải bất phƣơng trình sau: a/ x x  Lớp Toán 10-11-12-LTQG b/ log x ( x2  x  1)    c/ log log ( x  2)     Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014 Đặt ẩn phụ: Đặt ẩn t quy toán hàm mũ hàm đa thức theo t, giải tìm điều kiện t sau thay vào suy tập nghiệm x Áp dụng: 1/ Giải bất phƣơng trình: a/ 52 x1  5x  d/ 3.9   2.4  2x 2x 2x b/ 9x  2.3x  15  c/ 7 x  3.7 x1  4x e/ x x   3 f/ (2  3)x  (2  3)x  2/ Giải bất phƣơng trình: b/ log32 ( x  1)  6.log3 ( x  1)   a/ log 22 x  3.log x   c/ log5 x  log x  d/ 3.log x  2.log4 x  3.log16 x   19  x   1   e/ log9 (3x2  x  2)   log3 (3x2  x  2) f/ log (19  x ).log  Bất phƣơng trình tích: Các công thức: A  A  A.B    or  B  B  A  A  A.B    or  B  B  Chú ý: Nếu có dấu nên xét giá trị để tránh tình trạng thiếu nghiệm số toán chứa thức biểu thức ko âm Áp dụng: Giải bất phƣơng trình: a/ 6x  x  3x  x1  2x  x  3 b/ log5 x  log4 x2   log5 x.log2 x c/ ( x2  x  1).log2 ( x2  5x  6)  d/ x   5lg x  xlg5  50   2 e/ log5 x4  log x3   6log x.log5 x f/ log5 ( x  1).log ( x  1).log3 ( x  1)  log ( x 1).log ( x 1) Mũ hóa logarit hóa: Lấy mũ số a hai vế bất phƣơng trình cho dƣới dạng logarit Lấy logarit số a hai vế bất phƣơng trình cho dƣới dạng mũ Nếu a>1 dấu bất phƣơng trình không đổi Nếu 0[...]... 2 2 e/ log5 x4  log 2 x3  2  6log 2 x.log5 x f/ log5 ( x  1).log 2 ( x  1).log3 ( x  1)  log 4 ( x 1).log 7 ( x 1) 5 Mũ hóa và logarit hóa: Lấy mũ cơ số a hai vế khi bất phƣơng trình cho dƣới dạng logarit Lấy logarit cơ số a hai vế khi bất phƣơng trình cho dƣới dạng mũ Nếu a>1 thì dấu bất phƣơng trình không đổi Nếu 0