Khảo sát phổ năng lượng của dao động tử điều hoà phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ XUÂN TRƯỜNG KHẢO SÁT PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN Chuyên ngành : Vật lí chất rắn Mã số : 64 44 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lưu Thị Kim Thanh HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa học Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn tới tồn thể thầy giáo nhà trường giảng dạy, hướng dẫn tận tình cho em trình học tập trường Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, động viên em suốt trình thực luận văn Cuối cùng, em xin cản ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp bên em, giúp đỡ chia sẻ khó khăn với em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù em có nhiều cố gắng tất nhiệt tình lực mình, nhiên khơng thể tránh khỏi thiếu xót hạn chế, mong nhận góp ý quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Học viên Ngô Xuân Trường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 11 năm 2012 Học viên Ngô Xuân Trường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Tên đề tài, kết cấu luận văn CHƯƠNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA TUYẾN TÍNH 1.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính học cổ điển 1.2 Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính học lượng tử Kết luận chương 22 CHƯƠNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN 23 2.1 Cơ sở toán học hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng 23 2.2 Xác định phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến lý thuyết biến dạng q 25 2.3 Chứng minh dao động tử điều hòa biến dạng q mơ tả dao động tử điều hòa phi tuyến 27 2.4 Phổ lượng dao động tử biến dạng  29 Kết luận chương 32 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG 34 3.1 Phân bố thống kê 34 3.2 Biểu diễn dao động tử đại số lượng tử SUq(2) 37 3.3 Tổng trạng thái, nội nhiệt dung hệ dao động tử điều hòa tuyến tính 41 3.4.Tổng trạng thái, nội nhiệt dung hệ dao động tử điều hòa phi tuyến 44 Kết luận chương 46 KẾT LUẬN CHUNG TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mơ nói chung lý thuyết trường lượng tử nói riêng tạo nên sở giới quan vật lý để lý giải chất hạt vi mô mặt cấu trúc tính chất Cùng với phát triển lịch sử loài người, vật lý học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều thành tựu quan trọng; Từ học cổ điển Niutơn đến thuyết điện từ trường Maxwell Faraday, vật lý lượng tử… Ngày nay, vật lý học đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất, người ta thấy ngồi quy luật tìm thấy vật lý cổ điển, xuất quy luật quy luật lượng tử, quy luật thống kê Vật lý thống kê phận vật lý đại nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp thống kê Để tìm định luật phân bố thống kê lượng tử có nhiều phương pháp có phương pháp lý thuyết trường lượng tử Lý thuyết trường lượng tử mở đường để nhận biết trình vật lý xảy giới vi mô, giới phân tử, nguyên tử, hạt nhân hạt [1,2] Dao động tử điều hòa tuyến tính mơ hình lý tưởng ứng dụng nhiều lĩnh vực vật lý, khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính số tốn giải xác vật lý sở để khảo sát nhiều hệ vật lý thực Thực tế, hệ vật lý thực thường tồn dao động tử điều hòa phi tuyến Vì vậy, áp dụng lý thuyết tắc vào hệ vật lý thực ln có sai khác lý thuyết thực nghiệm Trong Vật lý lý thuyết lý thuyết chất rắn, có sai khác lý thuyết tắc với kết thực nghiệm, nhà khoa học thường đưa phương pháp gần để giải Để khảo sát hệ dao động tử điều hòa phi tuyến , có phương pháp gần phương pháp mơ men, phương pháp trường trung bình … Trong năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số biến dạng [3,4,5] thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý, cấu trúc tốn học phù hợp với nhiều vấn đề vật lý thống kê lượng tử, vật lý chất rắn lượng tử, quang học phi tuyến… Việc tìm Hamiltonian hay toán tử lượng hệ yếu tố định việc khảo sát hệ vật lý Dưới hướng dẫn Cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh, em chọn đề tài “Khảo sát phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến” làm đề tài luận văn Trong luận văn này, em nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến sở phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính, phương pháp gần lý thuyết trường lượng tử, phương pháp biến dạng [6,7,8]; Và ứng dụng phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến tìm vào số vấn đề vật lý nói chung chất rắn nói riêng [9,10] Mục đích nghiên cứu Tìm phổ lượng hệ dao động tử điều hòa phi tuyến Ứng dụng phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến tìm vào số vấn đề vât lý vật lý chất rắn Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa tuyến tính vật lý cổ điển vật lý lượng tử - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa phi tuyến, tìm phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến phương pháp biến dạng lý thuyết trường lượng tử - Tính tổng thống kê lượng trung bình dao động tử điều hòa phi tuyến - Tính nội nhiệt dung đẳng tích hệ dao động tử điều hòa phi tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hệ dao động tử điều hòa phi tuyến lý thuyết biến dạng Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử - Phương pháp vật lý thống kê phương pháp giải tích khác Tên đề tài, kết cấu luận văn - Tên đề tài: Khảo sát phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến - Kết cấu luận văn: Gồm phần mở đầu kết luận; Nội dung luận văn trình bày ba chương : Chương 1: Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính Chương 2: Phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến Chương 3: Một số ứng dụng CHƯƠNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA TUYẾN TÍNH 1.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính học cổ điển Dao động tử điều hòa tuyến tính chất điểm có khối lượng m, chuyển động chiều theo trục Ox, tác dụng lực chuẩn đàn hồi, F kx, k hệ số chuẩn đàn hồi Phương trình chuyển động dao động tử điều hòa tuyến tính F  ma d x kx  m , dt '' x  k x0, m '' x  x0, với   (1.1) k ,  tần số góc m Nghiệm phương trình (1.1) có dạng: x  A sin(t  )  pha dao động, A biên độ dao động Động dao động tử điều hòa tuyến tính T 1 mv  mx 2 (1.2) T 2 ma  cos (t  ) Thế dao động tử điều hòa tuyến tính V  Fdx  kx 2 2 mA  sin (t  ) Năng lượng (cơ năng) dao động tử điều hòa tuyến tính V ETV 2 mA  (1.3) Vậy theo quan điểm cổ điển lượng dao động tử điều hòa tuyến tính có đặc điểm sau: Ứng với giá trị xác định tần số , lượng dao động tử điều hòa tuyến tính có giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với biên độ dao động A Năng lượng dao động tử điều hòa tuyến tính có giá trị nhỏ không Vận tốc hạt v dx  Acos(t  ) dt v  A  x A Chu kỳ dao động hệ T Xác suất dw dx = vdt (cd) 2  (x) mà hạt vĩ mô nằm khoảng từ x đến x + dx với dt  dx  T 2 v dx ( cd ) dw (x)  2A x  A dw ( cd ) (x)dx  1.2 Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính học lượng tử 1.2.1 Biểu diễn tọa độ Hamiltonian dao động tử điều hòa tuyến tính [1] Pˆ 2 ˆ ˆ ˆ HTU  kxˆ 2m 2  d Hˆ   kxˆ 2 2m dx Trạng thái lượng tử hạt với lượng E diễn tả hàm sóng  (x) thỏa mãn phương trình Schrodinger Hˆ (x)  E(x)  2 d 2    kx (x)  E(x) 2m dx  (1.4) Đặt  mk        m  ;  2E m 2E   k  (1.5) dùng biến không thứ nguyên  = x, ta viết lại phương trình (1.4) dạng  dĐ2 2 mĐ   2mE x (x)   (x)    2  dx  ˆ , ˆ j   Na i   aˆ  j ij ˆ , ˆ    ˆ  Nai j  a j ij (3.11) Không gian Fock với sở véc tơ trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử số dao động tử Nˆ  Nˆ  Nˆ n1 aˆ  aˆ 0  n q  n ,n q   n2 (3.12)  n 1 ! q  n  ! q Cũng tương tự biểu diễn dao động tử đại số SU(2), biểu diễn bất khả quy đại số lượng tử SUq(2) thu từ trạng thái (3.11) với n1 = j + m n2 = j – m Từ khơng gian với véc tơ sở biểu diễn bất khả quy  aˆ   aˆ   j ,m q  j m  m ,j  q jm   jm 0 , j  m  !  j   m  ! q (3.13) q j  n  n , m  n  n  2 vậy, với giá trị j xác định m có 2j + giá trị sau: m  j , j 1 , , j 1 ,  j  Các toán tử aˆ i , iaˆ (i  1, tác dụng không gian sau: 2) aˆ j , m  aˆ j , m q aˆ j , m q  aˆ j , m j  ,m  , 2   j  ,m  j  m  q 2   j  q q    q m , 1, , m2   mq  j   j  m   j  , m  q (3.14)  j 2 Đại số lượng tử SU(2)q biến dạng q đại số SU(2), xây dựng ba toán tử liên hợpJˆ ,1 Jˆ , J3ˆ biểu diễn theo toán tử hủy sinh dao động sau:   1 Jˆ1   aaˆˆ1  aˆ 2aˆ1  ,  ˆ aˆ ˆ a a  Jˆ  2 1 aˆ   , 2i  (3.15)  1 ˆ N1 ˆJ   Nˆ2   Hoặc để thuận tiện, thông thường người ta sử dụng vi tử tổ hợp vi tử sau Eˆ  Jˆ   iJˆ  aˆ  aˆ , ˆ  J 2 Fˆ  Jˆ    aˆ  aˆ , ˆ iJ ˆ J Hˆ  2Jˆ   Nˆ ˆ 3N Dựa vào hệ thức giao hoán (3.8) chứng minh đại số SUq(2) đóng kín sau: J ˆ , ˆ  J     Jˆ3 , q ˆ, ˆ ˆ J J  J  (3.16) 40 Hoặc, đại số lượng tử SUq(2) có dạng:  Eˆ , Fˆ    Hˆ  ,  q  Hˆ , Fˆ   2Eˆ ,  ˆ  H , Fˆ   2Fˆ  (3.17) Các đại số lượng tử SUq(2) (3.16), (3.17) có dạng đại số SU(2) thơng thường trường hợp giới hạn q = 1:   Eˆ , Fˆ   Hˆ ,   Hˆ , Fˆ   2Eˆ ,   Hˆ , Fˆ   2Fˆ Hoặc: ˆ J,3 Jˆ    Jˆ  ,   ˆ J, Jˆ   Jˆ ,     Jˆ ,  2Jˆ ˆ  J  Tác dụng vi tử Jˆ , Jˆ  , Jˆ  lên j, m q không gian sở biểu diễn bất khả quy (biểu diễn Jimbo) sau: Jˆ  j , m q   j  m   j q m   j ,m 1 Jˆ  j , m   j  m  j  m   j ,m  q Jˆ j , m q  m j , m q q , q , (3.18) Tốn tử Casimir có dạng: ˆ  Jˆ Jˆ  ˆJ ˆ J C q         q    ˆ J 3 q (3.19) Tốn tử Casimir có giá trị riêng Cq   j q  j  1 q (3.20) 3.3 Tổng trạng thái, nội nhiệt dung hệ dao động tử điều hòa tuyến tính 3.3.1 Đối với dao động tử Ta tìm tổng thống kê (tổng trạng thái) dao động tử [9,10], với đặc điểm bậc suy biến g=1 Tổng trạng thái với dao động tử  E   Z   exp   n   exp   kT   n 0       e x p n     2kT  n 0 kT   (3.21) Chú ý rằng, vế phải đẳng thức (3.21) có chứa cấp số nhân lùi    vô hạn với công bội q  exp  số hạng a=1 Áp dụng công   kT   a thức tính tổng số hạng cấp số nhân lùi vô hạn S  , ta được: 1 q  exp      Z  2kT   exp     kT  Z  exp     2 kT  exp    kT    (3.22) Năng lượng trung bình dao động tử Z       E n   E exp    n kT Z  kT n 0   E  kT   En Z Z T   exp     n 0 kT     exp         2kT         exp    kT  1 E Z  kT, T E   1  (3.23)    exp   kT  Từ hệ thức (3.3), thấy nhiệt độ thấp (T→0) lượng trung bình tiến dần tới T  ; nhiệt độ cao ( T   dd ) k lượng trung bình dao động tử có ‘trị số cổ điển” kT, Tdd   gọi k nhiệt độ đặc trưng dao động Nhiệt dung ứng với dao động tử xác định cơng thức  E  Cv   T  V 3.3.2 Đối với hệ N dao động tử Nếu ta có hệ gồm N dao độngtử tuyến tính độc lập dao động với tần số  lượng trung bình nhiệt dung cuả hệ lớn N lần lượng trung bình nhiệt dung ứng với dao động tử Biết tổng trạng thái hệ dao động tử, ta tìm hàm nhiệt động trung bình hệ N dao động tử khơng tương tác, Năng lượng trung bình hệ gồm N dao động tử nội U  NE hệ 3.3.2.1.Tổng trạng thái hệ Zhe  (Z) N  exp    kT    Z    exp  kT 3.3.2.2 Nội hệ  1  U  NE U  N  2      (3.24)     exp     kT   3.3.2.3 Nhiệt dung mol hệ Đối với mol N  N0 , với N số Avogadro, ta có  U  CV     V T           N0           C V             V              exp   kT       exp  kT      N k     kT      1  exp   kT    T  exp  dd   T   CV  N k Tdd (3.25) T        T  expT dd   1    Từ công thức ta suy rằng, nhiệt độ thấp T Tdd CV  Khi đó, tất phân tử nằm mức dao động “không” thấp Khi nhiệt độ cao T Tdd ta thu biểu thức cổ điển nhiệt dung nghĩa hiệu ứng lượng tử không biểu Cdd  kN  R 3.4.Tổng trạng thái, nội nhiệt dung hệ dao động tử điều hòa phi tuyến Ở ta thu phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến    1    E n    n   1     n  24         Từ đó, chúng tơi tính tổng thống kê lượng trung bình  1 dao động tử điều hòa phi tuyến theo bậc số hạng         exp  1   k T 24    Z 1 n   (3.26) ,       exp    24       kT      E 1    24        exp  1     kT  24   (3.27) Nội hệ 2   U  NE  NkT 1 dd  NkT dd  24 T 2      exp  dd 1     kT  24   Từ (3.28) có nhận xét nhiệt độ hệ T (3.28) Tdd , nội hệ phụ thuộc tuyến tính vào nhiệt độ theo biểu thức  Nk   U  NkTdd 1  T     24  1     24 (3.29) Vì nhiệt dung mol đẳng tích khơng phụ thuộc vào nhiệt độ N0 k  U  C V   const   T V  2   1  24   Khi nhiệt độ hệ T (3.30) Tdd , nội phụ thuộc vào nhiệt độ theo công thức sau: U  12   NkTdd 1   T    NkT exp   dd  24    T  2   dd 1  24   (3.31) Vì thế, nhiệt dung mol phụ thuộc phức tạp vào nhiệt độ theo công thức C V N kTdd  T  dd 2   exp   1   T T  24  (3.32) Các kết thu hệ dao động tử điều hòa phi tuyến (biến dạng q) trở trường hợp hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thơng số biến dạng q  1(  0)  Kết luận chương Trong chương chúng tơi trình bày số ứng dụng phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến , cụ thể 1/ Xây dựng phân bố thống kê biến dạng q   aˆ qaˆ q   kT  e  1    e     kT  q  q e 1 kT 1 2/ Xây dựng phân bố thống kê biến dạng  (  ) (1  )e 1  aˆ aˆ     2( ) e 1 3/ Tìm biểu diễn dao động tử đại số SUq(2), thỏa mãn hệ thức  Eˆ , Fˆ    Hˆ  ,  q  Hˆ , Fˆ   2Eˆ ,   Hˆ , Fˆ   2Fˆ  4/ Tính tổng trạng thái, lượng trung bình dao động tử điều hòa phi tuyến       exp   1  k T    Z        exp    24       kT   2  E 1    24   exp  ,      1      kT  24  5/ Tính nội hệ dao động tử điều hòa phi tuyến, từ thu biểu thức tính nhiệt dung mol đẳng tích hệ:    NkT dd U  NE  NkTdd 1      24   Tdd  exp 1     24     kT  Khi nhiệt độ hệ T Tdd , nhiệt dung mol đẳng tích khơng phụ thuộc vào nhiệt độ N 0k  U   const  V  T2  V        24  Khi nhiệt độ hệ T Tdd , nhiệt dung mol phụ thuộc phức tạp vào nhiệt độ theo công thức C  C N kT exp  dd  V dd T 2   T    1 T 24    Các kết thu trở trường hợp hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thơng số biến dạng có giá trị đặc biệt q=1     KẾT LUẬN CHUNG Luận văn nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến Các kết luận văn tóm tắt sau: + Trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa, tìm phổ lượng hệ dao động tử điều hòa tuyến tính học cổ điển, tìm phổ lượng hệ dao động tử điều hòa tuyến tính học lượng tử biểu diễn tọa độ biểu diễn số hạt Rút đặc điểm phổ lượng hệ dao động tử điều hòa tuyến tính, đặc biệt ý đến mức lượng “không” dao động tử điều hòa tuyến tính Từ biểu thức phổ lượng hệ dao động tử điều hòa tuyến tính, coi trạng thái dừng dao động tử lượng tử tập hợp nhiều hạt, hạt có lượng  + Tính phổ lượng dao động tử điều hòa biến dạng theo kiểu biến dạng q biến dạng  Trong trường hợp thông số biến dạng có giá trị đặc biệt phổ lượng dao động tử điều hòa biến dạng theo kiểu biến dạng q biến dạng  trở phổ lượng dao động tử điều hồ tuyến tính quen thuộc + Đã chứng minh hệ dao động tử điều hòa biến dạng q mơ tả hệ dao động tử điều hòa phi tuyến với có dạng  2  2  V(x)     x  x 2  120  + Xây dựng phân bố thống kê biến dạng q + Xây sựng phân bố thống kê biến dạng  + Tìm biểu diễn dao động tử đại số SUq(2) + Từ biểu thức phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến thu được, chúng tơi tính tổng trạng thái, lượng trung bình dao động tử điều hòa phi tuyến tính nội hệ dao động tử điều hòa phi tuyến , nhiệt dung mol hệ dao động tử điều hòa phi tuyến Các kết thu trở trường hợp hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thơng số biến dạng có giá trị đặc biệt Kết luận văn đăng 01 báo khoa học: [1] Lưu Thị Kim Thanh, Ngô Xuân Trường (2012), Khảo sát phổ lượng hệ dao động tử điều hòa phi tuyến tính lý thuyết biến dạng, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 21, 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Nxb ĐHQG Hà Nội [3] A.J Macfarlane (1989), On q – analogues of the quantum harmomic oscillator and the quantum groupe SU q(2), J Phys Agen 22, 4581 [4] D.V Duc, N.H Ha, N.N.L Oanh (1993), “Conformal anomaly of q deformed Virasoro algebra”, Preprint VITP 93 - 10, Ha Noi [5] D.V Duc (1994), “Generalized q - deformed oscillators and their statistics”, Preprint ENSLAPP - A - 494/94, Annecy France [6] L.C Biedenhar (1989), The quantum group SUq (2) and a q - analoque of the Boson operators, J Phys A: Math Gen 22, 1873 [7] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen (2004), Statistics of q - Oscillators, quons and relations to fractional Statistics, J Phys Lett [8] B5,187 - 193 Loan N.T.H (1996), Deformed Oscillators and Their Statistics, Communications in Physics, Volume 6, Number [9] Luu Thi Kim Thanh (2009), The Average Energy for the q-Deformed Harmonic Oscillator, Communications in Physics, Volume 19, Number 2, 124 – 128 [10] Tran Thai Hoa, Luu Thi Kim Thanh, Mai Thi Linh Chi, Luong Khanh Toan (2010),The Applications of Q-Deformed Statistics in Phonomenon of Bose-Einstein Condensation for the Q-Deformed Gases, The 35th national Conference on Theoretical Physics TP Hồ Chí Minh, 35 ... 1: Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính Chương 2: Phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến Chương 3: Một số ứng dụng CHƯƠNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA TUYẾN TÍNH 1.1 Phổ lượng. .. tài Khảo sát phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến làm đề tài luận văn Trong luận văn này, em nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa phi tuyến sở phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến. .. CHƯƠNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA TUYẾN TÍNH 1.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính học cổ điển 1.2 Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính học lượng tử