Công thức nghiệm của phương trình bậc ba và bậc bỗn

Năm 1545, nhà toán học Italia Pherari (Ferrari), học trò của Cácđanô, đã tìm ra cách giải tổng quát phương trình bậc bốn. Công thức ra đời đã giải quyết sự bế tắc suốt nhiều thế kỉ khi giải phương trình bậc bốn Giải tổng quát mọi phương trình bậc ba cũng như bốn với ứng dụng của số phức lượng giác là tính toán căn bậc ba của số phức Muốn sử dụng được công thức bậc 4 phải học thành thạo công thức bậc ba và ngược lại

3 0

x px q  với mọi giá trị p và q Ông đã giải được 30 bài toán của đối phương trong ngày

đọ sức, trong khi đối phương không giải được bài nào trong 30 bài ông đưa ra.

Theo lời khẩn khoản của Cac-đa-nô (Cardano), Tac-ta-li-a đã truyền lại cách giải ấy, nhưng yêu cầu giữ bí mật Năm 1545, Cac-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phương trình bậc

ba trong một cuốn sách của mình.

CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

Phương trình bậc ba tổng quát có dạng: 3 2

0

ax bx   cx d (a�0) Đối với phương trình bậc ba một ẩn: ax3bx2  cx d 0 (a�0)và biệt thức

'

� � � �

 � � � �

� � � � với

,

- Nếu  ' 0 thì phương trình có một nghiệm thực duy nhất:

x

a

        

- Nếu  ' 0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt trong đó có một nghiệm kép:

3 1

3

2 3

4 3

2 3

b

a

a

- Nếu  ' 0 thì phương trình có ba nghiệm thực phân biệt:

1 1 1

3

b

a

b

a b

a

  

Trong đó: 3 3

u     v     và 1 1

3

p

Ta thực hiện phép biến dổi sau:

0 ( 0)

0 (1)

ax bx cx dx e a

�

Đặt B b,C c,D d,E e

    được:

 

0

2

2

�

Để đưa được về dạng  2 2  2

x x  x thìyphải thỏa mãn  VP 0 hay:

�

Đến đây ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc ba để tìm y, sau đó thế ngược vào (2) để tiếp tục giải phương trình bậc bốn Trong trường hợp có nhiều giá trịyphù hợp ta chọn giá trị thuận lợi cho các phép biến dổi tiếp theo

- Ví dụ áp dụng: Giải phương trình: x48x315x24x 2 0 ( )

Giải:

Theo công thức biến dổi như trên ta được:

Tìmy R� thỏa mãn: 3 2 1

8 6 2

y

y

 

�

 �

�

Thay y 1 thay vào (-) ta được:

2

2

4

�

Ta thực hiện phép biến dổi sau:

2

2

0

ax bx cx dx e

a x abx acx adx ae

ax bx b ac x adx ae

ax bx y b ac ay x ad by x ac y

    

�

�

�

Để đưa được về dạng  2 2  2

x x  x thìyphải thỏa mãn 'VP 0 hay

�

Đến đây ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc ba để tìm y, sau đó thế ngược

vào (2) để tiếp tục giải phương trình bậc bốn Trong trường hợp có nhiều giá trịyphù hợp ta chọn giá trị thuận lợi cho các phép biến dổi tiếp theo

- Ví dụ áp dụng: Giải phương trình: 4 3 2

Giải:

Theo công thức biến dổi như trên ta được:

( ) � 2x  8x y  (4 4 )y x (16 16 ) y x y 8 ( ) Tìmy R� thỏa mãn: 3 2 1

8 6 2

y

y

 

�

 �

�

Thay y 1 thay vào (-) ta được:  2 2 2

2

�

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S   2� 3; 2 � 6