Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 36-2-0195-0234

um at 195 ;w ww bi olo gie ze ntr ÜBEK ibr ary org / DIE MALFATTISCHE AUFGABE ww bi od ive rsi tyl UND DEREN htt p:/ /w CONSTRUCTION UND VERALLGEMEINERUNG VON STEINER Lib r ary >VON DEK SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATUEWISSENSCHArTLICHEN tLASSE AM 14 OCTOBER 1875 hat im XI Bande ' des Crelle'schen Journals eine Constraction derjenigen von rid lücker Steiner* her- Ca mb -L ge ,M A) ;O rig i na lD IN ow VOKGELEGT nlo a df rom Th eB iod ive rsi ty He rita ge MERTENS F oo lo gy ( rührenden Verallgemeinerung der Malfatti'schen Aufgabe, wo an die Stelle dreier gegebener Geraden drei beliebige Kreise gesetzt werden, gegeben, welche wesentlich von der Stei ner'schen Constraction* der nämeZ Aufgabe abweicht Dieser Umstand veranlasste mich zu einer analytischen Behandlung der Malfatti'pa rat iv lichen om schen Aufgabe für das ebene Dreiecii und drei in einer Ebene liegende Kreise mit besonderer Berücksichti- Mu se um of C gung der Stei ner'schen Lösungen derselben Selbstverständlich bedarf das im Folgenden befolgte Verfahren nur leichter Änderungen, um unmittelbar auf die Kugel anwendbar zu sein Schroeter im LXXVII Bande of the In Betreff der einschlägigen Literatur verweise ich auf die von Herrn ay rL ibr ary des Crelle-Borchardt'schen Journals* gegebene Übersicht ity Malf atti'sche Aufgabe ebene Dreieck lautet: beschreiben, von denen Jeder zwei Seiten des Dreiecks rd drei Kreise zu Ha rva die beiden anderen Kreise berührt itis ed by the Bezeichnen Dig und für das ABC Un iv In ein gegebenes Dreieck ers Die ,E rns tM = ^, x-\-B^ = M=A^x-^B^y-^C^ = N =: A.^x-hB^y-\-('^ = Z y-\- C, Analytisch-geometrische Aphorismen, Nr VI Einige geometrische Betrachtungen von H Steiner, Nr Ebendaselbst • Die Steine r'sche 15, im Bande des Crelie'schen Journals Auflösung der Malfatti'schen Aufgabe, von H Schroeter ^ z* ed itis Dig by the Ha rd rva ary ibr ay rL tM rns ,E ity ers Un iv of the se um Mu of C pa rat iv om ;O A) ge ,M rid Ca mb gy ( oo lo eZ ow na lD rig i rom df nlo a rsi ty ive iod eB Th He rita ge ary Lib r htt ibr ary tyl rsi ww bi od ive p:/ /w org / um ze ntr ;w ww bi olo gie at 196 über MalfattV sehe Aufgabe und deren Construction Summe für i), ergibt sich durch Bildung der der Quadrate der Gleichungen 3) und 4) die Gleichung D\ ^ y \^ ('ô-+-'3)*^= ('ô'" ''3) (^2"^3)-+-^! 11^ l>3 org / man, wenn zur Abkürzung («1 - ^2) —^3 (''l — "2) == ^3 ww bi od ive A rsi tyl ibr ary findet -2rjr,(r,-+-r3) «' «J2 's ll Ebenso at also um ist = ^r,r, ary htt p:/ /w gesetzt wird, — ^'^(Wg— He rita ge Lib r (r3-H;-,)^ß,= (»3— r,) (yg— e»,) Th eB iod ive rsi ty (,-3^^,)' M = -j {r,-r,) (Ä3-Ä,) H-A Dig itis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of C om pa rat iv eZ oo lo gy ( Ca mb rid ge ,M A) ;O rig i na lD ow nlo a df rom = 4r,r, /;| ze ntr Ea 197 etc ;w ww bi olo gie und die !, dass die Anzalil sämmtlicher Auflösungen der Gleichungen 47), 48), von denen K^ die Kreise K^ at um ;w ww bi olo gie den Abschnitten und G behandelten Aufgabe von drei sich in ans, conslruirt drei Kreise K^, K^, ^^ Đi^, ,, (ò{^, S(^), im Allgemeinen G4 beträgt org / geht behufs Auflösung der von aussen berührenden Kreisen k^ zugelassen werden, /i^, /;,, ze ntr "Werthe der Halbmesser die Kreise (Ä,, Ä,) ibr ary Plücker' leisten folgt leicht, K^ von gleichen Halbmessern, tyl wenn auch negative it5) und rsi Aus den Formeln n ' die Kreise /v'., (Ä',, ww bi od ive den Gleichnngeu 48) Geniige 2Q, n ' Ä^) von aussen berührt, zieht die drei gemeinschaftliclien inneren 7'angenten der Kreispaare (Äj.Äg), (^.„Ä,), (^pÄj), beschreibt drei Hilfs- von denen der erste den Kreis 7\', von aussen und die gemeinschaftlichen inneren Tangenp:/ /w !>,, söj, -^3, htt kreise (ÄpÄj) auf der entgegengesetzten Seite wie ^, berührt und die beiden anderen Bezug auf iv'j und 7v haben, und behauptet, dass die Potenzlinien (Chordalen nach Benennung) in je zweier der Kreise 7v',, A'^, A' gemeinschaftlielie innere Tangenten der Kreispaare (.X\, §3), Plücker ohne Beweis aufstellt, iod diese Behauptung, welche zu prüfen, seien ow nlo a df rom Th eB Um ive rsi ty seiner Lib r Lage He rita ge eine ähnliche ary ten der Kreispaare (ÄpÄj), na lD = (-«-M3)'^-(y-^'3)'-i=o A) ;O rig i Ä, - a,f -^ (y - ö,y ge ,M (.r 7.^ - f Ca mb rid A; = gy ( = G^-ô.)^+0/ ò.)^-p? = o of C om pa rat iv eZ oo lo ^ K^ und der Hilfskreise Mu se um die Gleichungen der Kreise R^, M^, M3, AT,, A\, the Gleichungen 47), 48) noch neun Gleichungen für die Hilfskreise $,, werden g)^, $3 •'p.^- statt, Es finden dann ausser den von denen nur die auf den sollen: ay rL ibr ary of ersten derselben sich beziehenden hergesetzt ;p,, fi^, ,(ô,, ò,)-SX,{a,, ò,) ers ity ,E rns tM ,(a,, j3,)-.t,(=c,, ß,) 2p, (;-,-t-rJ 2p,(;-, + ,-3) = 2p,A,-Hp^ 97) Ha by Ä.5 den Halbmesser und die Mittclpunkrscooidinanten des Kreises, welciier die Kreise v senkreekt schneidet, so dass also Dig itis ed Ä,, Äj, r, u, the Bezeichnen rva rd Un iv A-(=.,,i5,) = = ist und werden Falle immer A, die ^^ (^u, v) = ^^(i(, v) == Ä3(", 3*- v) = r' _^ _ Bezeichnungen der Abschnitte ö und G beibehalten, so kann man ///,, ^//^, ]//i^ positiv voraussetzen, Analytisch-geometrische Aphorismen, VI, 2, in dem vorliegenden nnd wenn man annimmt, dass die Kreise im U Bande des Crolle'sclicn lournals i'i'ir A',, M:\tliematili K^, K^ unter ' 999 Mertens F den zwei möglichen Lagen eines jeden diejenige haben, (für diese Kreise) die grössere Punktes {u, v) in so ist, Bezug auf den Kreis müssen auch A',, wenn man sein A,, jtositiv Man {u, v) erhält nämlich die Potenz des der Identität 55) in =V '/ Hiedurch entspringt u r "2 !'j "3 '-3 4Vv-3 (',^'-,)' 'ô-^'3 u }; i ifj (u, v) =^ r^ ze ntr um at setzt Bezug auf welche die Potenz des Punktes in \, A,, Lib r A.ia, man ä'((/, ?') dem Aj, A3 positiv annehmen, damit, wie es die positiven in -/_ A'j, ]\\ den Formeln G6) diejenigen Winkel sind, welche df y, •^, Glei- K^{xi, v), rom Th dem unmittelbar ersichtlich, dass A, entspricht erheischt, nlo a die von ist Werthe von Plücker'sche Figur K^{ii, r) grösser ausfallen, als für die zweiten möglichen I.ngen der Kreise Überdies 98) A eB cherweise muss rsi ty dass der grössere Werth der Potenz ive sieht, iod und man He rita ge ('j-t-'s) nach den Mittelpunkten der Kreise M^ und ^^, K^ und ^3, K^ und Ä; gezogenen Halbmesser bezüglich mit einander bilden, und dass also für die Längen a, b, c, der Seiten des von den Mittelpunkten der Kreise K^, h\, K^ gebildeten Dreiecks nach 68) folgende Formeln gelten: ,^, -h^ sin gy ( Ca mb rid ge ,M A) ;O rig i na lD ow Mittelpunkte des Kreises oo lo J_(A/>^,-Hr,A,l/A//^ pa rat iv eZ '2-3' om of C se um Mu the of ary ay rL K rns Dig itis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E und zur Abkürzung ^Ph \_[^\fh,-^r^^^{^^h\-^r,^^ ibr man daher '3-^3 2-3'- 2;-, /j tM Setzt 'V |A/^.3 '3^3 ^ds = J'i /., =d 99) über die Malfattf sehe Aufgabe und deren Construction 223 etc = 2/»-j>-3(fl?-t-rg-Hr3) A, = /»"TTT^^ip^Ti^-rj A3 = Aj \fr^ rj(^—2d-h2r^g.^g, «I rid — rj- H- 0?;-, := , gy ( Ca mb -+- Ä'j (_«,, ?'j) wegen der Identität ary of the Mu hervorgeht, welche se um of C om pa rat iv eZ oo lo oder in einfacherer Gestalt nach 100), 101) und überdies positive Wurzeln tM reelle hat rns immer ay rL ibr s (A',, A'^), (A",, A'g) sind ers ity ,E Die Gleichungen der Potenzlinien der Kreispaare = daher zu untersuchen, ob diese Geraden von dem Kreise g», Un iv - A, — A", = A'.j the berührt werden, hat man die A,(a,, ^,)-A', A^a,, ß,)- A, («„ (a,, ,3,), Dig itis ed by Um Ha rva rd a; zu bestinnnen Da dieselben linear sind, so hat A'j(a,, ß,) — 7\',(9:,, und nach 100), 47), 101) ^,) = [l -H^_' ] ß.) man nach 103) (h\(u, ?') — A',(^^, v)) — ^-' (A',,!«,, y,) — A',^)/,, w,)) Ausdrücke 2-24 Mertens F = 4'-3(/-,72-'-2'7l)|l+Ml/' 'i man ze ntr um at Zieht ò,) ir,(ô 2cp, = ò,) 4.-3(r,r/,-r,^.,;) - òz ) f -H a -i-2d se um of C ^2) om J\\ pa rat iv eZ '^'s Ca mb rid 7f3(aò,)-A',(ôò,) ^^Vô3'ò3)-^^'3Kò3)=2ip, ibr (ô3' ò'i) ^^'3 (ô3' òs) = - « P3 ,E rns dass die Behauptung Plücker's nur in punkten der Kreise K^, ity folgt nun, tM ay rL -^^'2 ary of the Mu a'i-2d /v'., Un iv ers /-b, so wäre dem -+- erheischt Die Cousfruction, welche Plücker, auf die obige Behauptung gestützt, für das auf drei Kreise von gleichen Halbmessern bezügliche Problem entwickelt, mittelst verkehrter Leitstrahlen hergeleitete riclitio- sowie auch die aus derselben durch Umgestaltung- Lösung der allgemeinen Aufgabe sind daher im Allgemeinen uu- ed itis Dig by the Ha rd rva ary ibr ay rL tM rns ,E ity ers Un iv of the se um Mu of C pa rat iv om ;O A) ge ,M rid Ca mb gy ( oo lo eZ ow na lD rig i rom df nlo a rsi ty ive iod eB Th He rita ge ary Lib r htt ibr ary tyl rsi ww bi od ive p:/ /w org / um ze ntr ;w ww bi olo gie at über die MalfattV sehe Aufgabe und deren Construction etc 225 Es seien Ä, 226 wo Mertcns F zur Abkürzung- G («j, G {u^, v^)=G' worden G (u^, r^) = G'" Es seien ferner ist $, = (a:-a,)*-4-(y-b,)*-^l==0 ^8 = ('^-ai)'-i-(^-V)' — = 105) ^1 |»,, von welchen der erste die Kreise ^^, §3, der Gleichungen /v,, Q^, Q^ nach Massgabe ;w ww bi olo gie die Gleichungen dreier Hiifskreise ze ntr um at gesetzt = G" v^) = (G'" _G')^r + 2(G" + G'r,)^, = (G"'-G')^?-+-2(G"'r, + G"'^i(ai, bO-ö'Ä3(a„ ^i(apW) = + r, b,) org / G" Ä,(a„ b,)-G'Ä,(a., ww bi od ive für die übrigen ähnliche durch Buchstabenvertauschung herzuleitende Gleichungen gelten sich die Gleichungen 106) auch in der Gestalt p:/ /w Da während 107) htt berührt rsi 2;.,^,- ^I ^ G'>-3)^, tyl ibr ary 6,) r\ r\ V,) r, ^,) Lib r - +2 r, ^, ) man ive aus denselben iod schreiben lassen, so schliesst rsi ty He rita ge V,) ary = G" ($, {u„ - ,,-)-r=-2r,^,) ử'fe(ô3 ^3)-i + r3^,) = G'" (Đ,(ô G' (&! (ô eB = r2-H2r,f), -heG' ^iK^'8) = '-2-2r,^, + £G" = i-2.3r;, + ^G"' ^i(«3 $,(m„ rom Th «,) nlo a df 108) na lD ow ^'3) F in Bezug auf x, y vom ersten — ;O A) ge ,M wo j? (a;, y) Grade Ca mb gesetzt, — rid (a;, 2/) $, rig i Wird nun G {x, y) sein wird, so ^',) = F(aj, ist in 2/) Folge der Gleichungen 108) = 2r,^, of C identisch Mu se um und daher om pa rat iv eZ oo lo gy ( n«,, £ ^,(a',2/) = fl-t-^U-^^,-HeG 109) tM ay rL ibr ary of the '1 nehme man rns Zur Bestimmung von in dieser Identität rd da nach 107) rva es wird dann, Un iv ers ity ,E £ the Ha §,(a„ J,):-2//,^,-+-Ä^ ed by ist, itis + A^ = Dig 2A,^, |'l + ^)^(a.,^)-^t,(«„^)-H-eG(a., '1; 6j) '-1 =3ri-H^j(i:.(«,t,)-,-*+/.0-^(iriK,t,,)-.i+Ä0H-^ư(a„6.) -eG(a„^) = (1 ^-^^j (Z,K t.)-r«) -^ (Z,(M„ e )-'1 + 2Ä.rJ 110) über die Malfatti'sche Aufgabe und deren Construction Nach der Bestimmung von Halbmesser lässt sich der s 227 etc aus der Gleichung 109) herleiten f), für denselben eine quadratische Gleichung, so dass es also zwei Kreise ^,, $,' gibt, Man erhält welche den Gleichungen 106), 107) genügen Es Wahl der Geraden G bei gehöriger nun zu untersuchen, ob bleibt einer der Hilfskreise ^,, ^\ die Potenzkreise ist h\ v) - — Äj = /v, at h^ 111) um = auf Grund der Identität 109) ;w ww bi olo gie Es h^ A', tyl ibr ary org / berührt — ze ntr K\ h^ = -2 1), /^, -t- ( ^^ ^, ( K^ {u, r^) -+- G {a^, c- h.^ Lib r ary Abkürzung zur h\(u, r)A'j (m, ^') ?•' ::= n — = /-^ He rita ge man daher i> rsi ty S'fetzt htt p:/ /w ^J ww bi od ive rsi I Th eB iod ive ,„,_w„ df l'i -^ ^'2 "2 ^ !' I + ^ K, J,) = (>^,-/^^)^;- ;O rig i von 107) b,) -4/^,^,^, + /^,7«, fl -^ ^i| ^h^tG (a„ i,) ' '- ' Ca mb rid hj ^3 ) so stellt die Gleichung d,p,K,-d,p,K, ~s = 114) F Merten.i 230 einen dnrch die Beruh rungspuukte (£, gehenden Kreis dar, und //) es wird die Gleichung jedes diese zwei Berührungspunkte enthaltenden Kreises = Q, (^, y) Qi («2' ^2) [ Ưl ("3 ^a) — — ^2 (^ ^3 C^- — — ze ntr um /fj) derart, dass tx 1^ — 4^3 -^- ^hPi l"- ^ f^ ''2 ^^2 ;w ww bi olo gie [ A, /-fj ^ilh^] ^3 = ^2 V- o^ai's)] org / + die Constanten (f^/j ,a ibr ary genügen müssen Man bestimme nun — ^ ^v, ' wenn man Lib r erfüllt, = i^, (.4 Pt., (di fK — - ^3 Vh) IJ- =PU' rsi ty Ä He rita ge und wird ary htt p:/ /w ww bi od ive rsi wird Mit Hilfe der Gleichungen 113) verwandelt sich diese Bedingung in tyl = Qi {^, y) at def Identität eB — y^'^^) ^^'1 '-^3 Th = Pi y) (•^> ^^'2 l^^i i'^iPi — f^ai^s ^O rom Qi iod ive also y= rid f^ ^3 1/7/, [,/, ^3 Z^'s) d, (d, \'k, d, ^'7^ (.4 ^/k-rf, \fh,f] oo lo -2 - P] {d,P^-d,p,)] + + Üi J- /^-'^3 [P (^2 1)1 Ca mb (as- gy ( Qi ge ,M A) ;O rig i na lD ow nlo a df nimmt Überdies wird fi^, f^j, ftg, Es ijerührt f«!, ist nämlich, the Mu die Kreise se um of C om pa rat iv eZ Diese Gleichungen drücken aus, dass der Kreis (oder die Gerade) \ff>, — d^ \fQ — {d^p.-d^p^ p^^ ibr ary of Pi {dl wenn der Ausdruck ( d, ,E rns ^- tM ay rL nicht verschwindet, d, d, fl?3 \IQ ( dl - {d^ ^K-d^ P~J Pi-d^Pi] \rk\ Un iv ers ity + d, fh\ {d^ /^ + - d^ \[h,) — Piid-i Ph • ed jener Ausdmck verschwindet , so Summe ist die \lh\ + ^3 der Quadrate der Coefficienten von x, y in Qi (^ y) Dig itis wenn dagegen by the Ha rva rd der Halbmesser des Kreises = 4A, [c/, d^ d, -^ d^ U\ (d-, //^;) - iß^ fK-d^ ik^f]^- Gleicherweise stellen die Gleichungen Qt i^, y) ' (?.,(.r, y) =P =p, t (d, {d, fh-d, P\-d^ \fh,) //.,) K, - K^ - \fh^ (d,p, h'-d^Pi \lh, id,p, K,~d,p, Ä-,) A', ) ^ = über die MalfaitV sehe Atifgale und deren Construction zwei Kreise (Gerade) dar, welclie bezüglicli durch die Berührungspunkte des Kreises Kreises K^ mit ^3, ^.^ und laufen 231 etc Kj, mit ^j, ^\ und des den Grujtpen die in ^v ^\ •^3' ^'v ^V ^'v ^i' ^'i enthaltenen Kreise berühren at identisch p:/ /w so gehören die Kreise Q^, Q^, Q^ zu derselben Kreisschaar, wie die Kreise —I^ K rom == nlo a df Il^K Th eB iod ive rsi ty He rita ge Lib r ary htt ist, ww bi od ive rsi tyl ibr ary org / ;w ww bi olo gie ze ntr um Da A) ;O rig i na lD ow Ein Kreis eZ oo lo gy ( Ca mb rid ge ,M welcher die Kreise K^, K^, Q^ nach Massgabe der Gleichungen r] -f- r, {d, d, d, -^ d, 'fh^-d^\ß'^)-\[h^ {^aPs-'^iPi)) se um Mu dem durch \fT, (d, ^h, ^d,fh,)- id, y\ - d, \fh,Y) lA^ die Gleichungen 71) defiuirten, weil sich tM ay rL ibr ary of the berührt, unterscheidet sich nicht von of C om (i), (c?3 pa rat iv = A", (?6„ v^) rns und berührt auch den Kreis ^3 auf Grund der Gleichung ^1) = —2 '"i G^3 W f^\—di \ßt) — {.d^l}^—d^2h) fQ -H \fh^ — p7^ r, {d^ f4 f/3 {d^ \[h^ -t- d^ d^ (c?, lA^-rf, lA^)") 1/^^- itis ed by the Ha rva rd Qzi^v Un iv ers ity ,E ergibt, Dig 9- Man kann §3' ähnlich, wie bei der einfachen Ov Qv Qs umgehen Es seien M^, M^, M^ die Mittelpunkte Malf atti'schen Aufgabe, die Construction der Kreise ^,, $j, der drei gegebenen Kreise K^, K^, K^, Potenzen derselben oder der Mittelpunkt des Lothkreises Ä', P,, Pj, M der Punkt gleicher P^ die drei Potenzkreise + F 232 Mertens h^K^ — hJ, ^ä, ^ä; + /ä; + J3 1^)) = + /*; /Ä, ^3 /r, ia/t;^3 S, = -p, d^ fh, K, -^ 1^ /Ä; -f d, fh, ^ lA/ö) + ^ fh^ /ä; — ^3 P., , /'3 (/'3 \fh\ ;O (Ji^ -f l^i /'3 ^^'3) '^i Ca mb rid ge ,M A) , fh^ ^hj2 71^2 — {d, d, d^ \f¥^ 7, iAAj)) \[Y, C73 \/l,,) -^'3) ="0 //i^ {d^ \/h, -f- fZj^j //t; 7Q == \fh,] K, //t;] k, • ^^3 lA/Tj) - {d, lA/i;- iaä;^ - {d, \/F, - d, ^F,)p, + + ) über die Malfatti sehe Aufgabe und deren Construction c?3 [ j, (rf, '^ilh [c?, a?3 c/j - c/, d, ]fh,) - {d, \fh, - d, i^A^)« ^/T; (rf, - ư', ^d^fh^)^ - d, ][h,)f, IAä,] 7v, -^ (rf, 1A/7; _ (/^ ^^] K, i/7(, i/Ä,)» - iAä; - d^ \[h^)p^ lA/Tj] 71:3 (,/, = I\\) aus, deren geometrische Bedeutung leicht anzugeben ist ^/7;)^3 K\ Die ersten sechs Gleichungen stellen bezüglich Potenzkreise der Kreispaare (A'„ (A'„ P3) (A;, P.) (A;, P,) (A-,, 7-3) P,) (A-3, htt 7',^ p:/ /w 1) //T, - {d, ]fhl = J^'i) iA/t3 (c/, -f- ^3(0', d^ /Ä, (c/3 ^F,y - at =