: at 235 ;w ww bi olo gie ze ntr um THEORIE org / DER rsi tyl ibr ary EELATIYEN MAXIMA UND MINIMA BESTIMMTER INTEGRALE ww bi od ive VON PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER INIVERSITÄT IND DER TECHNISCHEN AKADEMIE ZU LEMBRRQ htt K K K K DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM rsi ty IN 13 JÄNNER 187e df rom Th eB iod ive VORGELEGT He rita ge Lib r ary p:/ /w LORENZ ZMIRKO, * ow nlo a Theorie des Grössteu und Kleiusteu bestimmter Integrale mit beliebiger Anzahl von unbeliauüteu Fimctioueu, ;O rig i na lD welche überdies durch mehrere beltauute Relationen zusammenhängen i verdanken wir die Untersuchungen, welche die Aufdeckung der Kriterien luitiative deijenigcn Ca mb Jacob rid ge ,M A) Einleitende Bemerkungen oo lo gy ( des Grössten und Kleinsten eines bestimmten Integrals bezwecken Er behandelt den einfachsten Fall, näm- V pa rat iv tion einer einzigen 'ü^^ unbekannten Func- ü^, U^, U„, welches in der om das eZ Maximum und Minimum eines einfachen bestimmten Integrals mit und ihren etwa bis zum Range n reichenden Differentialquotienten lich se um of C Form V—f{,x, Vdx, l\, l^, ü„)U, -^—ü, 1) the Mu S- ary ibr von p unabhängig eine sehr kleine beliebig bezeichnete Grösse, und v ay rL Für oU=(:,s, wo of gegeben sein mag man oU^^cz, und ity ,E rns tM bige innerhalb gegebener Grenzen continuirliche endliche Function bedeutet, erhält z eine belie- ers =U^ ^•^ SS dC'rdUr' ' ' ' I dx' rva rd Un iv o«.v the Ha Jacobi unterzieht den Ausdruck 2) Form zu dem Zwecke umzusetzen damit die Discussion über die Stabilität oder Nichtstabilität seines Vor- ed by , einer einziehenden Untersuchung, und sucht ihn in eine einfachere Dig itis zeichens im Bereiche vorgelegter Integrationsgrenzen vorbereitet und erleichtert werde Auf Grund der Gleichung dS tion den aus w-f-1 Argumenten = s, s^ gelang es, mittelst der sogenannten Jaeobi'schen Doppelttransformaz^ z„ gebauten homogenen Ausdruck von weniger Argumenten Form zu geben ö*- falls homogenen Ausdruck 2) nach und nach in einen eben- zu verwandeln, und schliesslich in folgender vereinfachten ^) ^'-^^'l^J^^' ee .: Liorenz Zmurho 236 wo von willkürlichen Constanten vor- lind einer beträchtliclien Aiizalil eine Function von s, ^^, z^, 1^ stellt Jacobi daran geknüpften Dieses Eesnltat, sowie die von 17 Gegenstande eigener Forschung zu machen, man in gedrängter Kürze im Gewichtige Kräfte haben sich veranlasst, diese Theorie zum niedergelegt Bande von Grell e's Journal Schlüsse tindet um die Jacobi'sche Theorie näher zu beleuchten, theils um um at theils Hesse gegebenen äusserst verwickelten und wenig durchsichtigen Algorithmus beruht veranlasste auch mich ;w ww bi olo gie ze ntr hieraus neue Ausgangspunkte zur Erforschung allgemeinerer Probleme zu gewinnen Die Begründung der Jacobi'scheu Do])pelttranslbrmation, welche sogar in der von Form auf einem ibr ary org / Algorithmus derart einzurichten, Einiges zur Vereinfachung desselben beizutragen, und es gelang mir, diesen man in den Fällen w=l, 2, 3, stufenweise fortschreitend, die entsprechenden Transfonnationsresuldass tyl eine neue höchst einfache Transformation, welche die Doppelttransformation von ww bi od ive Summirung Später begründete ich auf Grundlage der wiederholten Eechniing hinschreiben kann alle rsi ohne tate beinahe Jacobi in vol- Lib r ary htt p:/ /w lem Maasse ersetzt Diese und andere Untersuchungen über die Maxima und Minima bestimmter Integrale habe dem Titel „Beitrag zur Variationsich in den Memoiren der Krakauer Akademie der Wissenschaften unter publicirt rechnung", Band II, in polnischer Sprache Beim Übergang zu allgemeineren Problemen, wo das vorgelegte rsi ty He rita ge Integral S: l'djCräj'i—i ive dx Th eB iod 4) df rom nebst den Bedingungsgleichungen nlo a >, = in welchem Symbole die ergibt sich, unter Aufrechthaltuug der im sind, ge ,M A) (g, SB, ^ '"''' " ô r d''\ rid ii dV, I I oo lo eZ Bezug auf das Vorzeichen näher zu untersuchende Ausdruck Nachdem ich mich überzeugte, dass Jacobi'scheu analoger Transforniatiousvorgang zur Vereinfachung des Ausdruckes G) nicht einge- werden konnte, suchte om dem leitet xj ich in der seit of C ein J Bedeutung zu nehmen pa rat iv als der in xJ u- Ca mb l,s2 X|' J ersichtlichen eingefỹhrten Bezeichnungen gy ( 6) Đ x," rx," fx." = ,}2(g x", F, v in der im § x', rig i ist, ;O gegeben na lD ow 5) Mu se um diesem Zwecke geeigneteren Werkzeugen reichhaltig angewachsenen Literatur nach anderen zu in dieser Beziehung imstreitig der oberste Bang zuerkannt werden the Den Arbeiten von A Gl eh seh muss Jacobi ' und dem Jacobi'- alle diejenigen Glieder liefert analog ary of In seiner letzten Arbeit erhebt er sich bis zur Betrachtung des Ausdruckes 6), clXr ,E ip^ dXr-i tU' S ,S S ,S f-' f-'«l 7«= " , ^«( Un iv ers ity = dôđ 7) rns tM ay rL ibr scheu Resultate den Ausdruck G) in folgender vereinfachten Form rva rd welche aus G) dadurch hervorgeht, dass man darin z mZ übergehen lässt, und dann the Ha ihr Dasein weglässt, welche nicht den Differentialquotienten höchsten Banges (der unbekannten Functionen V) überdies sind Argumente bezeichneten mit verdanken Die in der Anzahl n^-^n^-A- -^n^ vorhandenen Dig itis ed by Z Band; S Spitz.er, Sitzungsber d kaisBand 54, p 227; A Clebsch, Crelle's Akad d Wissensch I2:Baud, p lOi, 14 Baiid, p 41; Clebsch, Crelle-s Journal, Band 56, A B.and55, Journal, 300; p Crelle's Minding, 53.=.; und Journal, Band 55, p 254 Band 65, A Mayer, Crelle's Journal, Band 69, p 238; Lipsclntz, Crelle's Journal, I J.acobi, Crelle-Journal, 17 Band; Delauuay, p 122; A.Mayer, in dem Tagblatt die Unzulängder 48 VersamuiUing deutscher Naturforseher und Arzte skizzirter Vortrag „Über gewordenen Kriterien des Grössten und Kleinsten bestimmter In egrale etc." -svird mit dieser lichkeit der bis jetzt bekannt Abhandlung Crelle's lournal, Teubner, 1866; P- 26 Mein Liouville's Journal, Hesse, berichtigt und vervollständigt Theorie der relativrm gruppenweise Maxima nnd Minima 237 bestimmter Integrale einfache duicli alle Probleme hindurch sich gleich bleibende Differentialgleichungen flttrch sein- unter einander verknüpft , dass mit dem Resultate 7) die Theorie über die Kriterien des werden kann, nicht als abgeschlossen betrachtet sei es uns gestattet, folgende Bemerkungen anzuführen: eigentlich blos Im allgemeinen werden dürfen = ny^n^=^ )i.^=:»^ = = n^ = n.^ Falle wäre demgemäss anzahl der reducirten zweiten Variation anstreben die Zahl Argumente willkürlich die Grenze, welche p Diesem Bestreben setzen soll eben erwähnten zwischen den iV Argumenten bestehenden, für man als sich aber in stellt, angononnneu Argumentenden Weg die mögliehen Probleme der Variationsrechibr ary allt; denen man bei der anzustrebenden Reduction Rechnung tragen soll Theorie in die allgemeine ww bi od ive Die Auflösung dieser Beziehungen gehört jedenfalls rsi tyl sich gleich bleibenden Bezieliungen, der Zahl Nr 2772 sich in (3 (3 N:^n^-\~7i^-^ ist at r^ix dieser Argumente, im angezogeneu Fall blos rj 1) um -Hw^, ein Betrag, der etwa für während nung Form Die Anzahl der Argumente der von C leb seh gelieferten vereinfachten org / Maximums und Minimums ze ntr zu zeigen ;w ww bi olo gie Um — es sei denn, dass man die Unmöglichkeit der Beseitigung dieses Hindernisses mit einem Beweis erhärtet Integrationszeichen stehenden Summe p:/ /w dem In der reducirten, unter htt welche liefern, erst nacii Einsicht in die Summe iod rom die gesetzliche Veränderlichkeitsspliäre erschöpft hat; nlo a er gibt nicht die innerhalb deren die in die Function zu substituirenden Werthe der Grundow Grenzwerthe der Variablen an der vorgeschriebenen Veränderlichkeitssphäre verbleibend, schliess- stets in man der Untersuchung , na lD dass um während Th des Vorzeichens einer Function lich versichert zu sein, wie man sich zu benehmen habe, eB bietet keine Instruction, df Clebsch ive werden können wird demgemäss diejenigen Kriterien Eigeuschalteu der Integrationsgrenzeu gewonnen rsi ty ganz gewiss nicht spiegeln sich die zur Dar- He rita ge tuellen Stabilität oder Niehtstabilität des Vorzeichens dieser in 7) Weise ab; der Nachweis der even- Lib r ary stellung der Integrationsgrenzen dienenden Functionen x', x" in keinerlei rig i variablen enthalten sein müssen ;O Die durch den Calcül-Mechanismus erreichte Thatsaclie des Überganges von den ursprünglichen zur neuen mit Z, Z^, Z^, Z^ bezeichneten Argumentenschaar, welche der aus- s^, s^, z„, rid z, ge ,M A) Argumenten Ca mb gezeichneten Eigenschaft sich erfreut, dass die einzelnen 2'- Argumente im Angesichte des vorgelegten Inte- eZ Ranges verschwinden, wäre jedenfalls einer analytischen Diseussion zu unterwerfen, pa rat iv fialquotienten tieferen rückschliessend die mit obigen Eigenschaften ausgerüstete undifferenzirte Form der Z-Argumente om um dann Diflferen- oo lo gy ( grationswesens nur in den höchsten Differentialquotienten ihre Existenz beurkundend, sonst in allen of C zu ersinnen jeder Beziehung eine dankbare Mu Die Substitution solcher Z-Formen an der Stelle der ursprünglichen würde im Angesichte des vorgelegten Integrationswesens vor Allem die von the 6) of den Ausdruck angestrebte und erreichte Reduction ganz gewiss zur Folge haben, und im Weiteren entweder eine ay rL Clebsch in ary in 2-Argumente ibr wäre se um Eine derartige Diseussion und die hiedurch veranlasste Entdeckung der undiiferenzirten Z-Argumente rns tM neue im Wesen der angestrebten Reduction zwar gegründete, dem Forscher jedoch im Vorhinein noch nnbeity ,E wusste Vereinfachung von ^*(S bewirken — oder Im in minder günstigem Falle ausser der von ersteren Falle erreicht man die Clebsch be- Grenze jeder möglichen Un iv ers wirkten keine weitere Vereinfachung bieten rva rd Vereinfachung von ư'^®, im zweiten Falle wäre der oben erwähnte Unmưglichkeitsbeweis geliefert, der uns the Ha dann von jedem Streben nach weiterer Vereinfachung von >}*â ed by Unter Anleitung der hier vorgebrachten Bemerkungen Theorie der relativen Maxima und Minima bestimmter ist dispensirt es mir möglich geworden, die nachstehende Integrale zu verfassen, welche in ihrer Anlage Dig itis und Durchführung sich durch musterhafte Einfachheit auszeichnet, nnd der Erforschung specieller Fälle jeden theoretisch möglichen Vorschub bietet — ; : Lorenz Zmurko 238 1- §• Sei (') VdXr dxj^\ S: Vdxr dxr—i dx^ rfic, dx^ rfa-j 2) wobei allgemein: i^^{x^ = f^(x„ «; , rj) = f^(x^, a-; , X^ , U,„ , «;.= x^, x^) ,„, f, .) org / {x^, x^, »,_,), tyl = rsi x^ =^ F{ V^ ü,n,n, -)\ ibr ary V=F{ Xr, 3) ;w ww bi olo gie ze ntr um at 1) Aj^x^'— a-j, A;.=x"— a:^ htt p:/ /w — Xj, Aj=ar2 x\, A,^£c',' 5) ww bi od ive 4) durch angedeutet sein, dass .a-, V und in v^ die He rita ge soll Lib r F deu Ausdrucken i^und ary p lu Grössen a;„ aTj, x.^ daran erinnern, als unabhängige Variablen vorkommen, dagegen mag die symbolische Bezeichnung U,n,n,dass V und v^ Functionen sind der Unbekannten von r,, x^, x, abhängigen Functionen U^, U^, C/,, U^ ive rsi ty eB iod nebst ihren partiellen bis zu den Ordnungen n^, n^, n^, reichenden Ableitungen, welche durch die Zeiger als eine Gruppe von Zahlen ow nlo a df rom Th m, in der Weise angedeutet erscheinen, dass man sich vor Allem das Symbol m, denkt, und unter Einführung der Bezeichnung im Folgenden C/(jifx„ definirt: ;O Symbole Umm,, ge ,M A) die rig i na lD 6) ' ^\j (£«., [A, dx\^^da.^^ dxl" Zahlengruppen gehörigen V,^ in eZ zur Function abnehmender Ordnung fortlaufend bezeichnen pa rat iv Die oo lo gy ( dx^^^'^dx^'^-dx";" JW n ^m)m^ Ca mb ( rid ^in m, 7) »',, m,; _| '«3V ?M,; , +(,, w;; _1, rii,; «i;; se um of C W, 8) om wu' mit nach 6) zu deutenden Zahlensummeu [wj, [OTg], iw,;„ i] ["',;„,], [w,;„,+ i], ••['"'"„-' I' ^"'",J ay rL ibr ary [m^\, 9) of the Mu dergestalt, dass die ers ity ,E rns tM entweder abnehmend, oder zum wenigsten nicht wachsend geordnet erscheinen In Bezug auf die ersten Ausdrücke in 9) mag noch folgende Relation gelten: rd Un iv 10) U,n rva gen von den hưchsten Differentiationsrang andeutet, Ha die Zahl «„ the wornach Den Zahlen «„ by erheben dürfen In dem ed Bezug auf Falle, wo eine unbekannte Function angehörigen Diffeicntialquotienten 11) in V n,„ = ( lim -+->•— r— in 1 , „ ««, welchem sich die partiellen Ableitun- gehưrt offenbar die oben ausgesprochene BeU^, f'j, C;j U^, U^-u U^, allen möglichen, bis einschliesslich an dem Range /;„ man: , Problemen gehören sehr menden Unbekannten, welche sub V,„ erscheint, findet V In diesbezüglichen n^, unbekannten Functionen die entsprechenden itis in Dig deutung w^, «,,_,, bis zu ' oft auch diejenigen Functionen in die Reihe der zu bestim- vermitteln, dass eine 4) die Darstellung der Integrationsgrenzen in der Art ) : Theorie Maxima und Minima der- i'elativen bestimmter Integrale Grenzfun ction etwa Xp als eine Function blns derjenigen Grundvariablen zu gelten Zeiger als p 239 welche mit kleinerem bat, behaftet sind Diese Probleme lauten der Hauptfassung folgendcrmassen in : 12) mit Z7„, = U„, rj pZ,,, ;w ww bi olo gie die Variation von , unter p eine sehr kleine beliebig bezeichnete von x^, x^, x^, x, org / man unabhängige Zahl verstanden, so ibr ary Bezeichnet ze ntr um at Man soll die unbekannten Functionen U^, l\ U^„ x', x" so bestimmen, dass unter Berücksichtigung der Bedingungsgleichungen 2) das bestimmte rfache Integral S sub 1), wenn dies überhaupt möglich ist, einen Maximal- oder Minimalwerth erreiche =: g p ^'3, in Bezug auf -HAj Tj-t-Äg J'3-H -4-Ä, V, ^ P ^1,, rsi p Z,„ !,, ,„, 13") ^tC J ihre Functionsform unveränderliche Func- Lib r sei ferner x^, x^; p (Z„,)™^ $ U^^ 4, , = ww bi od ive üg, , = (p Z,„),„^ unbestimmte, l^, a^, /g, /^ einstweilen £Cj, ,„/^, = U„Xn, 2', = %{ .Xr .U^ „,, (r) ^« SB dxr dxr- dx^ dx^ 14) SB dxr dxr-\ dx^ dx^ , Lagrange ow das in Problem folgendcrmassen aus- U^, x" so bestimmen, dass hiedurch das 7-fache Integral Z7^, x', A) Unbekannten ü^, ge ,M soll die ;O rig i sprechen Man definirte 12) na lD kann man nach dem Vorgange von so nlo a df rom eB / (S Th ' / iod ive m = T'-hX, He rita ge Seien tionen von P Z„,' (o p:/ /w ^ Um'm', = U,n)m, htt = 5{ = „>, ary ün, rsi ty hält er- tyl man zu einem Maximum den dass durch ihre Werthe den Bedingungen 2) genügt werde l^, Ä^, A3 so @ verfügt wer- 15) gy ( Durch Entwicklung nach Taylor, mit oo lo eZ = g( Xr, { IL ,n, -t-p Z^ ,„, ) ) 16) man ^ss rf 17) -}3B TT ay rL 8* s„,,s,„s.s m' "-' in ""^ 1111 ""' '^~' ' SB dUmm.dUr,,',,.^, ^mm, Zm'rn',, = iJ* 18) SB ,E ers ity Hilfe des theilweisen Integrirens lässt sich jedes Integral Un iv — Mit ^ rns setzt ~ ^« tM r ibr ary of the Mu se um sobald = SB^SB, p^SB, of C om ' Reihe abschliessend, findet man: p* die pa rat iv soll, Ca mb rid oder Minimum werde, wobei schliesslich über die Functionen 3SB r the Ha rva rd ('' by aus zwei Theilen zusammengesetzt darstellen, und zwar: ff' 82B ~-rfj Dig itis ed als , ^m OT, "ôr dxr—\ , , dx^ , ote, 8SB = fWf-^ I Der plicirt, die (— ^ i'"'^ ^m ^'^r dXr-l dx^dx^-h T(,„, Differentiationszeigergruppe — Zwecke dem Ausdrucke -jj- m, vom Ausdrucke links unterhalb anhängt ,) 19) J wird aus dem vorgelegten Integral erhalten, indem erste dieser Theile und ' I Z„„,^ Der zweite mit man loslösend, T(„,) es mit (_ 1)K] dieselbe zu multi- gleichem bezeichnete Theil besteht aus : : Lor en: 240 m u r ko • man nach Ausführung Integralen niederer Ordnung als r, weil der bei diesen Ausdrücken sich darbietenden Integrationen angewiesen wird, in derselben einige der Integrationszeicheu etwa: unizugestalten, und in eben 19) angedeutete Operation lässt sich mit Hilfe des theilweisen Integrirens ze ntr in zwar etwas mühselig, so doch ohne dem recht gerne T(,„s) org / ibr ary man rsi > ww bi od ive n" ox'=iJi tyl zur Bezeichnung der Variation der Grenzen p:/ /w und kürzerer Schreibweise wegen '/,-, wenn jeweiligen Unternehmen, irgend einen speciellen der wirklichen Ausbildung zuzuführen Setzt stufenweise, möglichen Hindernisse bewerkstelligen Wir überlassen daher die alle Complexes endgiltige Darstellung des Fall Index r andeutet als dies der einen Coniplex von ;w ww bi olo gie Die Ordnung anzusehen, r^ms) ^^^ um Integralen niederer dem Maasse entspre- at 20) ch^nde Substitutionszeichen in dxr—i dx\^i oxs dx,,^t > > ary dx, iJ/JLa f-iiA.- " f ^*r man: dx dx dx^ dx^ Sh ~i> iod I rsi ty '(') ư® = 22) ive SO findet He rita ge Lib r i htt ';,+, 21) eB 18) und' 19) Th 17), aas dx^dxr dx^ dx nlo a {'] =p (-1)["'»1 ^n ^-p s„-"> na lD ow o@ 23) df rom und wegen ' rig i jeden Zeiger zu geltenden Voraussetzung: ;O für ge ,M A) und unter der I = =U 'JX r(r] = © dxr dxy i .dx^dx^gg S ,S bei o© JTT ^tt 7 , , der Ermittlung der Maxinia und Minima gewöhnlicher Functionen den Coefficieut von of C in pa rat iv Übereinstimmung mit dem om In üblichen Verfahren setzen wir o^'as \ eZ oo lo o"« gy ( 24) Ca mb rid rjX se um sigen Willkürliehkeit von Z^, Z^, Z^^, 3', j" p der Null gleich, und erhalten innerhalb der zuläs- auf Grund der von Sarrus hierüber niedergelegten Bemerkun- the Mu gen und überhaupt auf Grund der bei verschiedenen Problemen dieser Art verschieden sich gestaltenden ibr ary of Orientirungsumständen folgende Systeme von Bestimmungsgleichungen ay rL 82B (-1) 8SB ^[2J dU,,J',~'^s[^ rns S, tM (I) 25) ^^ dL\ •4[( )-,^l,.-^ ity ,E (") v.,= i\ 0\ rva rd Un iv ers 26) ("I) ^.-=^, ;w ww bi olo gie ze ntr darbietenden Orientirungsumstände verhilft uns schliesslich zur Auftindung und Feststellung der noch Unbe- kannten X,) «j, a;„_i) x',„= 'fm{x^, x^ (,(,, Cj, 30) .Xr), 1) x,„_i) m subsummirten Falle nur einzig Lib r Werthe der Unbekannten, das Integral dies geschieht, ob rsi ty man Ob © und hiemit auch S dieser Zustand wirklich eintritt, ive und wenn diese für im Zustande des Maximums oder Minimums zu betinden 3U), ihn als Maximal- oder Minimalzustand anzusehen habe, darüber wird uns iod sich sei, dem den Lösungen eB fähig zu gelangen, so kưnnen wir behaupten, dass in von o'® auf Grundlage der durch die Gleichungen 26) einge- schränkten Willkürlichkeit der Functionen Th erst eine nähere Erörterung des Vorzeichens Z^ einen sicheren Aufschluss gewähren Z^, Z^, ow nlo a df >?,, rom "51) Werthe von He rita ge für alle erforderlichen ary htt A„, , p:/ /w =/ X^, ww bi od ive m m = [\X^, x'm = öm{x^, U„, na lD § ;O rig i Bevor wir den Ausdruck o^g einer näheren Prüfung dem bestimmten Integral gy ( Ca mb rid wir nach, was in Bezug aufsein Vorzeichen unterwerfen, fragen ge ,M A) in dXr—\ dx^ F{Xr , Xr- l, 1) 37,) zu integrirenden Ausdrucke für Veränderungen vorsieh gehen, om dem wenn mau ^-1 als eine wiederholte ansieht se um Summirung der Ditferentialelemente of C mit pa rat iv eZ oo lo dx, wird x'r vollführt, wenn man in Fix,., rc^-i, •••x^ the Mu Die Integration in Bezug auf xv zwischen xl und = a;,!-t-a,A^ 2) in dem daraus hervorgehenden allgemeinen Ausdruck ay rL und dann tM substituirt, ibr ary of a,v 3) als eine zwischen Null und der Einheit variable Grösse ansieht Un iv «, ers ity ,E rns F=F^{