Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 36-2-0251-0272

um at 251 ;w ww bi olo gie ze ntr BEITEAGE org / ZUR ibr ary MmUl rsi tyl DER WPRZELSISIEIE ww bi od ive BILBUSG DER SLlliTRISCiES XTTr htt p:/ /w UND DER ESCHERICH TON DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM na lD IN 37 JANNER 1876 rid ge ,M A) ;O rig i VORGELEGT ow nlo a df rom Th eB iod GUSTAV Dß- ive rsi ty He rita ge Lib r ary 1' Die älteste und bekannteste derselben drlickt mittelst einer allgemeinen von oo lo gy ( Anzahl Methoden lich grosse herrührenden Formel zuerst die angegebene Function durch die Potenzsummeu der Wurzeln aus, eZ Waring Ca mb Ijnv Berechnung der einfachsten symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung besteht eine ziem- ist om theils theoretischen, theils praktischen Gebrechen, von deren of C Diese Methode leidet au mehreren, dass sie viele Glieder iu die Rechnung aufzunehmen und fortzuschleppen , se um chung letzteren das hauptsächlichste pa rat iv und dann jede dieser Potenzsummen vermöge der Newton'schen Relationen durch die Coefticienten der Glei- Es hat deshalb Waring in seinen „Meditationes the Mu zwingt, die sich schliesslich im Endresultate vernichten ary of algebraicae" eine neue Methode aufgestellt, die Glied für Glied aus der vorgelegten symmetrischen Function Gauss in der „Demonstratio uova altera" angibt, besitzt vor ay rL ibr eliminiren lehrt Dieses Verfahren, das auch tM der älteren Methode allerdings den Vortheil, klar zu zeigen, dass jede symmetrische Function der Wurzeln ist: es erfordert aber nicht minder Auch die theoretisch so elegante Methode Cauchy's, der Reihe nach die einzel- Un iv ers langwierige Rechnungen ity ,E rns eine ganze und ganzzahlige Function der Coefticienten der Gleichung rva rd nen Wurzeln der Gleichung aus der gegebenen symmetrischen Function zu eliminiren, beansprucht zu ihrer Ausführung oft Transon angegebene Verfahren aus, das Durch grosse Einfachheit zeichnet sich hingegen das von the Ha mühselige Rechnungen sich Al)el noch durch die von ihm gefundenen Sätze über den Grad by ' vereinfacht Diese Sätze haben auch zu einer an- Dig itis ed und das Gewicht einer symmetrischen Function erheblich deren höchst compendiösen Berechnungsweise der sj'mmetrisclien Functionen geführt nämlich, die litterale Form der symmetrischen Function aufzustellen Die noch unbekannten Coefticienten derselben werden mittelst eines Systems linearer Gleichungen bestimmt, das man in die litterale ' Sie ermöglichen es man erhält, entweder, Form die Wurzeln und Coefficienten zweckmässig gebildeter Gleichungen Ximvt'lles aiiiiales des iiKirlR'iii.-itiqiies t IX indem substituirt, Gustav 252 Escherich v oder durch eine von ßriosclii' aufgestellte Diflferentialformel füv Functionen aus den Coefficienten einer Auf einem ganz neuen Principe beruht Gleichung Borchardt' angegebene Methode die von nämlich eine erzeugende Function auf, Er stellt Typen der symmetrischen aus deren Entwicklung alle einfachsten Functionen hervorgehen, und bestimmt dann dieselbe durch die Coefficienten der gegebenen Gleichung Von diesen Methoden wurde Poisson System simuhaii«r Gleichungen für ein auch das von Schlaefli un- fast praktisch angegebene Verfahren zur Bestim- Der wichtige Satz über den Grad des Zählers und Nenners einer sym- der symmetrischen Functionen den Schlaefli bei dieser Gelegenheit aufstellte, erhielt seine Ergänzung durch eine , merkwürdige Abhandlung Betti's*, org / metrischen Function ist ' um welcher derselbe Formeln entwickelte in ibr ary mung sie erfordert, ze ntr Mit derselben nahezu identisch ausführbar um at zuerst die älteste durch aber wegen der ungeheuren Rechnungen, die ist ;w ww bi olo gie Diese Methode erweitert die symmetrischen Func- des Zählers der symmetrischen Function und auch den Nenner dersel- ^ einer Unbekannten vermögen allerdings die litterale Form des Zählers der ary Sie p:/ /w Diese Sätze besitzen aber keineswegs mehr die grosse Verwendbarkeit, wie die analogen lehrte bei den Gleichungen mit htt ben finden ww bi od ive rsi tyl tionen direct durch die Coefficienten der Gleichungen auszudrücken, ferner Sätze über den Grad, das totale Gewicht und die partialen Gewichte symmetrischen Function festzustellen, und wäre daher noch der Nenner berechnet, so Hesse sich Lib r in Anzald linearer Gleichungen zur Bestimmung der angenommenen simultanen Wurzelsystemen Coeffi- eben so grosse Anzahl Systeme simultaner Gleichungen mit iod erforderlich, also eine rsi ty jetzt eine ziemlich grosse Form cienten der litteralen ähn- Aber ab- ive gesehen davon, dass He rita ge Weise, wie bei den Gleichungen mit einer Unbekannten die ganze Function bestimmen licher mehr mit derselben Leich- Th eB zu bilden wäre, lassen sich diese nicht wie eine Gleichung aus gej;ebenen Wurzeln df rom tigkeit herstellen, Wegen na lD Meine Bemühungen führten mich auf ich ver- den folgenden ;O rig i ein \'erraliren, welches in ein- Dasselbe eignet sich zur Berechnung jedweder gegebenen symmetrischen A) werden ge ,M soll in Folge der Sätze Betti's eine besondere Kür- Ca mb rid Function, lässt aber bei den einfachsten Typen derselben zung Methoden entgegenstehen, habe Methoden Cauchy's und Abel Transon's verallgemeinern lassen und auch fachere Methoden ergeben Blättern dargelegt dieser all' ow nlo a der Schwierigkeiten, welche der Ausführung sucht, ob sich nicht die Die Beschaffenheit dieses Verfahrens Hess auch erkennen, dass mittelst desselben die logarithgy ( zu Lagrange * eZ oo lo mische Berechnungsweise der Kesultnntc, die pa rat iv ein beliebiges Gleichungssystem sich relativ einfach gestaltet für zwei simultane Ganz nngesucht Gleichungen anwandte, für führte die Entwicklung dieses of C om Verfahrens auch zu einer Verallgemeinerung der Methode Borchardt's nach Beendigung meiner Untersuchungen zufällig ersah, schon von Jacobi " Mu erst einer gewissen Function, die, wie ich se um Das ganze Verfahren beruht hauptsächlich auf den Eigenschaften für of the tanen Gleichungen zur Berechnung der Potenzsumnien ihrer Wurzeln benützt wurde Abhandlung mehr auf ary die Verallgemeinerung einer äusserst wichtigen ibr seine Liouville' aus rns Un iv Folgenden ganz von selbst Formel abzielte, sein Verfahren diese Formel in aller Allgemeinheit", die die mittelst («-(-1) Es und die er ableitete, zeigt sich aber, dass in dieser Jacobi'schen für ergibt Formel die von Liou- mon drei 1- e 1 di Tortolini, the C e's Journal, by Animli • ed Ha rva rd sich im ers ity allgemeiner als die Jaeobi'sche hielt Auch hat jedoch, da — er seiner Eliminationsmetliode gewann, — durch einen Übergang von zu n Dimensionen einer Relation ,E später tM ay rL zur Berechnung der Potenzsummen nicht weiter ausgebildet den Fall zweier simul- Jacobi t V Bd 53 Akad Wien, Denkschriften Annali ^ Diese Sätze lassen sich anch ohne Benützung- der Abliandliing- Betti's in derselljen Weise darthun, itis d kais Dig di Matematica, (Lesson introductory etc homogenen Gleichungen •J t I d Wiss in Sopra le fnnzione Deutsche Ausg'abe, IUI IV sinimetnclie etc p 65) die Sätze über den Grad und d.is in welcher SalGewicht einer Resultante von beweist Sur relimiuation des incounues etc Oeuvres Crelle's Journal, Bd 14 Theoremata nova etc s Dass Jacobi die Allgemeinheit seiner Formel kannte, geht aus seiner Abhandlung über das C'raraer'sche Paradoxon hervor: 'Iheoremata de punctis etc (Crelle's Journal, Bd löj ~' Journal de Mathematiques, Ser I, t IV : : ' Beiträge zur Bildung der symmetrischen Functionen der Wurzelsysteme ville angegebene, vermeintlich allgemeinere, als ganz specieller Fall enthalten schen lassen sich ferner durch passende Specialisirungen ist Aus 253 etc dieser Liouville'- Formeln gewinnen, die derselbe durch sein alle ze ntr um at Eliminationsverfahren ableitete ;w ww bi olo gie I Die folgenden Betrachtungen beruhen auf einer Bemerkung, die unmittelbar aus der Entwicklung einer fliegst nämlich Ist org / Function F{x,y, z ) der Veränderlichen x,y,z nach der Mac-Laurin'schen Reihe rsi tyl ibr ary F{x, y, z ) eine ganze, rationale Function der x,y,z , so sind in der Entwicklung des Quotienten: p:/ /w die Coefticienten welche Produeten aus , htt z negativen Potenzen Lib r Variablen angehören, gleich den Ausdrücken, welche in der Entwicklung von: He rita ge sämmtlicher ary nach fallenden Potenzen der x, y, — b){z—c) ww bi od ive F{x,y,z ) (x—a) (y rsi ty F{a,b,c ) denselben Potenzen der Variablen behaftet sind; insbesondere Fix V rom x, y, z mit ist Th nach fallenden Potenzen der eB iod ive {x—a){y—h){z—c) ^ z , ',] ' (x—a){y—b){z—c) ow nlo a df der Coefficient der ne£;ativen ersten Potenz des Productes sämmtlicher Variablen in na lD gleich rid ge ,M A) ;O rig i F{a,b,c ) gy ( Ca mb II = 0, pa rat iv f^{x^, x^ x„) = /j («„ ic^ a;„) = om f^{x^,.r^ Xn) eZ oo lo Es seien n Gleichungen se um of C mit den Unbekannten x^, x^ x„ gegeben vom Grade p und besässen bezüg- the Wurzeln of lich die x^ x„ seien x^, Mu Die Endgleichungen F^{x^), F^(x^) F„{x„) nach aj af tM ay rL ibr ary scj, rd die in derselben Colonne stehenden the vorstellen in (I.) zur Berechnung der symmetrischen Functionen der Wurzelsysteme itis werthen zu kưnnen, ist es zuvưrderst nothwendig, eine V Zj «pK, — und eine sie Summe von der Form: ' 2)^ «t .aD (a^-at) G*«-««) (a"«— «*)' in der yf«*, a| Äj) eine ganze, rationale reduciren kann ver- ed by nun die Bemerkung Dig Um Wurzeln Systeme simultaner Wurzeln der vorgelegten Gleichungen Ha rva wo Un iv ers ity ,E rns 1) Function der af, «g «* sein muss, — die sich auf eine Constante erzeugende Function, welche keine Wurzeln der vorgelegten Gleichungen ihren Coefticienten enthält, aufzufinden in — : : Gustav 254: Escliei'i'-h v Diese Aufgabe bietet iieiue grossen Schwierigiieiten, denn der blosse Anblick der an die Zerlegung einer echt gebrochenen algebraischen Function Wege Gedanken, die Lösung der Aufgabe auf diesem Ist den nun 0(a;,, x^ Xn) eine Grad und Summe 2) erinnert führt also auf den zu versuchen ganze rationale Function, die nach keiner ihrer Veränderlichen x^, x^ x^ übersteigt, so ist: ze ntr um at ()ui— l)ten in Partialbrüche, |;.ten Grad daher die gestellte Aufgabe lösbar sein, so muss Soll x^ x„) finden lassen, die nach keiner der Variablen «j, x^ x„ (a;„ und von den Eigenschaften, dass erreicht, einander gleich sind; p:/ /w ww bi od ive rsi den annehmen |x ;w ww bi olo gie bis sich eine ganze, rationale Function org / Werthe von die Indices r alle tyl wo Zj,,^ F[{cc[^) F^{cli) F:{cc:r){x^-c,['){^x,-cci^ {x„-cc';;y ^_ ibr ary F,{x^) F,{x,) F„{x„) He rita ge Ich will nun eine Function, welche die erste der angegebenen Eigenschaften besitzt, suchen, und es >t> muss jedes der Producte: ive dieser Eigenschaft der Function rom Th eB iod Nach rsi ty wird sich zeigen, dass derselben auch die zweite zukommt die verschiedenen Zeiten von 1) itis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of C om pa rat iv eZ oo lo gy ( nlo a Ca mb rid ge ,M A) 1>/,=«1^ na lD ow Form geben rig i die ;O man daher Diesen Froducten kann Dig den df für die Substitution irgend welcher w Wurzeln, entnommen sind, verschwin- , Beiträge ' Bildung der symmetrischen Functionen der Wurzelsysteme zu?- 255 etc Die gefundene Function ^±in\ m\ ml genügt somit allen gestellten Bedingungen x^ x„) die Determinante -dr»'!wj- (x, Fj ) ^^ '^^• ••»'",> ~^D (x^) F„ (x„) ""'^ ™'* (a;, («J, c^l «f;) - «*;) (Xj -«*) X, - aj;) ;w ww bi olo gie ze ntr i^, ^^ "^'"tx at a*x) rsi welcher bis htt annehmen, p Vertauschungen der sämmtlichen simul- für alle möglichen He rita ge tanen Wurzelsysteme der vorgelegten Gleichungen unverändert, so soll Wurzelsysteme genannt werden diese Summe symme- eine X-förmige nun die einförmige, sj'mmetrische Function a^ Entwicklung von durch die Coefficienten der Gleichun- x^ xj x^ x^) D{x^, x^ x„) nlo a a)(.r,, ow ^t(a;^, df rom in der ô,*,) iod ''^{c/J-, •p l Th gen auszudrücken, wird man = eB Ä ive rsi ty trische Function der simultanen Um ary schiedenen Werthe der Eeihe bezeichnet, und in der die Indices alle voneinander ver- .«*> Lib r aj», «* eine ganze, rationale Function der p:/ /w ww bi od ive in tyl ibr ary (ajs org / Bleibt die rig i na lD F^{x^)F,{x,) F„(x„) Bach fallenden Potenzen der x den Coefficienten von ;O oo lo die S 1'(«f', eZ zweiförmige symmetrische Function pa rat iv man der fast augenfällige Modification dieses man zuvưrderst die Gleichung o) dadurch, dass «*' «*'; a'i^, ein Glied der «^ .a';^) Summe rechts, zu berechnen, etwa das ^te, om transformire (I.) gy ( Verfahrens bestimmt werden B dann nach A) rid Ca mb Die mehrförmigen symmetrisclien Functionen können durch eine z ist ge ,M gesuchten symmetrischen Function gleich Um Dieser aufsuchen (x^, x^ x^)~'' se um of C von beiden Seiten der Gleichung subtrahirt; man erhält so; Mu 0(g,, x^.-.xj D («*, the (x.,) a'i -^^ {x, -a]) (x^-c^ (a:- «J) of F, (x,) F, (X,) F ary _y 4jD(a*, ay rL ibr (.c, -«J)(a;,- «*) (a;- + i) in der letzteren Entwicklung Hätte eine dreiförmige Function die Form: A3 = («{1)^1 (a*^)^'^ «")^" hl, h„ h K-)«' Kä)j, (a'^")? f («{3, a« «;;»), I : Beiträge zur Bildung ehr 'symmetrischen Functionen der Wurzelsysteme wo die Reihe /) und bis ju Exponenten bedeuten, und q erhalten sollen, so Hessen Bezeichnet man in 2hl etc von einander verschiedenen Wertbe der die h alle möglichen dieselben in ähnlicher Weise berechnen sicli der Entwicklung des Quotienten x^ x;^D{x^ ,x ^ x^ ) (& (o;,, ten von mit E (o;,, Xj ô)"' und den von den von mit C, x-'J'i+''> x^'J'i+^> x-'J'"+*' r-) ary Wurzeln alle W (a^', dass in jedem Gliede der Function U*(a*i, «^i ist der, Lib r .a^*x) Fall symme- He rita ge Der zweite, weit wichtigere p:/ /w trische Function gestaltet ^.-förmige rig i jene Glieder unterdrücken, welche nach Massgabe dieser Sätze im Schlussresultat nicht erscheinen können, A) ;O also insbesondere jene Glieder, deren Grad, vollständiges oder partiales Gewicht, ge ,M Während der Ausführung der nöthigen Ca mb Ausdrücken wird man dann immer sogleich alle jene Glieder weglassen, wenn dritte Fall tritt ein, S die symmetrische Function die Form leisten bat: !(ô,, ôj ô,,) eine ganze, rationale, algebraische Function der x^,x^ x^^ bedeutet; also, se um wo of C om pa rat iv Der oo lo gy ( den durch die Sätze Schlaefli's und Betti's ausgesprochenen Bedingungen nicht Genüge eZ die so abgekürzten rid im Endresultat zu erreichenden Grenze nicht herabzusinken vermag Rechnungen mit den zu der nach diesen Sätzen wenn S die the Mu Resultante des Systems simultaner Gleichungen = 0, f^{x^, x^ «„) = /,(-«i' ^f-^J =^ Der Logarithmus dieser fx-förniigen symmetrischen Function ist nun gleich einer transcendenten, ein- tM ist ay rL ibr ary of ^{x^, x^ x^) ers ity ,E rns fửrmigen, symmetrischen Function, nọmlich v;Kô^a^.,, /o ^— dass in gesetzt wurde: - u', = == «^ = r,= 0, u so ist ary htt p:/ /w ww bi od ive Jq rsi u tyl L - ibr ary org / ^{x^,x, x,:) ic""" Summe gleich der ist daher der Coefficient von 3^ ( Dieser Coefficient im Ausdrucke (u Fl ^ - u„)p , p^- , nun ist Th eB iod -r- rsi ty x^ x„ der Coefficienten von afi, ^,) -ôi'-"' "J um =oc =u OC -*- '^^ (ô2, !', ^'i'""' ằ,) X"l" • • • =-+- ww bi od ive rsi tyl ibr ary org / SO sind offenbar in -^- ze ntr Xj = u^ 3C '=?/„, ;w ww bi olo gie In der letzten 4/J («j, «., ;^„) = •]/' («2, (/, ur) = ist nach der eben gewonnenen ary , htt = ^l (mj, u^ m„) p:/ /w Wurzelsysteme der Gleichungen: für Wj, i/j.-.i/^ die simultanen ' ^'a " *ô) nh einen Grad höher f(.r^, x^ xj, also: — fli/(a'j, a;j a;J eB (Xj ist von demselben Grade als /(.-ip -^'j-^-aJ Somit Th so iod ive rsi ty Wäre X (*'i He rita ge Lib r zu setzen A) diese Gleichung mit a und lässt sodann darin Gleichheitszeichen über in (/=oo werden, so geht die Summe : in: Lif(a:vXi x,y eZ Sunmie rechts die unbestimmte Form O.oo an the ist rns tM ay rL ibr ary of Nun Summen nimmt Mu Die Differenz der beiden letzten se um of C om pa rat iv die erste oo lo gy ( Ca mb rid vom man ge ,M Multiplicirt ;O rig i na lD ow nlo a df rom Formel wenn man der Kürze halber ers ity ,E also, (^2X.+-^ -/2)/ 'f'i -A Xi (/i B, -^-^2^/2 ^i ^.+/, 'l'?^^.) rva the Ha setzt: '^i (A^B^Y rd Un iv M_ -M^ wo die auf M lün \a ' Hierin \ Dig itis ed by ^J.Xi folgenden Potenzen von a negative sind V X^{'PvW 4„) ist die _ y A^i ' i Lässt _,j^ Bedeutung der einzelnen Summenzeiclien wohl man , „^ dalier a l f y : i>- -'ij selbstverständlich X werden, so _V findet -^1X1 1( man: links Beiträge zur Bildung der symmetrischen Functionen der Wurzelsysteme Es ist aber: = — um ^dw\ \ \a' , , i' da „=00 ' ) xjrra*/ r I I ^^W dUi da /j da 8«, ' ibr ary dw org / ist die Gleichungen bestimmt sind: htt p:/ /w da 8a ibr ary of the Mu se um of C om pa rat iv eZ oo lo gy ( Ca mb rid ge ,M A) ;O rig i na lD ow nlo a df rom Th eB iod ive rsi ty He rita ge Lib r ary 8mj ay rL tM rns ,E ity ers Un iv rd rva Ha the da ww bi od ive —^ -r-2 durch by *, ed , da itis die Dig wo rsi tyl Ferner ;w ww bi olo gie ze ntr um at wenn man setzt etc 265 Gustav 266 Dk bezeichnet in den oberen Index ist hierin verwandelt in !|/ In 'S nimmt k Di, Werthe von alle in ihrer (/?•— l)ten bis w mit Colonne Ausnahme von : 8ii' 8J/' ;w ww bi olo gie 8m„ 3m,+i 8?) eZ oo lo Gleichungen; se um of C zu substituiren B^ aus den Coefficienten der in der angegebe- Mu In der obigen Formel sind noch die Grossen A^, Jj, B^, ay rL ibr ary of the nen Weise geordneten Gleichungen rns Weise für den Coefficienten A^ der höchsten Potenz von a;, ity ,E erhält auf die schon frülier angedeutete ers Man tM des Näheren zu bestimmen Dig itis ed by the Ha rva rd Un iv i° ^(•'Pi, •^^-•••W•• 8tl/' 8-A' •"^"'Sm,'"' 8m„ Die Summe aller Determinanten, welche ans ren Index der ^ irgend einer der (n ^1, gewonnen werden können, indem man — 1) letzten Colouuen um vergrössert, vermehrt um darin den obe- die Determinante ii* Gustav 268 E-'icherich V (»,-»;, f' |-« oii^ cu„ Hl ze ntr um at Hi ;w ww bi olo gie 3tL' , 3?