Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 53-2-0155-0184

m at 155 log iez en tru ZUR org /; w ww bio THEORIE DER COMBINANTEN /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry UND ZUR htt p:/ THEORIE DER JERRARD'SCHEN TRANSFORMATION TEOHNISCHEN tag eL He ri K HOrHSCIll'I.E IN WIEN- DER SITZUNG AM 10 FEBRUAR 1887.) MA ); O rig ina lD ow nlo a IN df (VORGELEGT rom Th eB iod ive rsi ty K IGEL, B I)K DOCKNT AN DER ibr ary VON die Theorie der Combinanten mit der dg e, In vorliegender Abbandlung wird keineswegs der Versuch gemacht, mb ri Theorie der Jerrard'schen Transformation in irgend welche Beziehung zu bringen, vielmehr werden diese y( Ca Und was den zusammenzufassen, ist eZ oo log beiden Gegenstände gesondert behandelt gemeinsame Methode, mit der die Verfasser veranlasst hat, dieselben in eine Arbeit er sie beliandelt und welche darin besteht, die in Abhandlung "b beschäftigt „Über die Combinanten und of 11: den Combinanten binärer Formen und die Gleichung lelint sich sechsten Grades" an Der an die Die dort us eu schöne Arbeit von Herrn Bri sich mit m erste Theil dieser Co mp ara tiv der Theorie der ein- und mchrstutigen Involutionen geltenden Sätze als Beweismittel zu verwerthen Auch ergeben auf diesem Wege manche Sätze, die Herr Brill ohne Beweis yo sich rar hat Anschliessend daran, wird ein von mir in einer frühereu Arbeit gegebener Satz verallgemeinert Lib gegeben f th aus diesen abgeleitet eM behandelten Combinanten werden hier auf ihre natürlicheren Formen gebracht und die dort gegebenen Sätze Bemerkung, dass rsi die Theorie der Jerrard'schen Form von Un ive ich die ty, Er ns tM ay r Der zweite Theil behandelt einige Punkte aus der Theorie der Jerrard'schen Transformation und wurde durch eine Anmerkung in der Abhandlung dos Herrn Raths^ veranlasst Schon vor zwei Jahren machte stellte nur für den Fall, dass C nicht mir damals die Frage, ob im Falle C'=:0 die Jerrard'sche rva rd verschwindet, giltig sein kann und ich Hermite sie möglich ist, die Theorie von Hermite nicht allgemein the Ha Transformation überhaupt möglich, oder ob, wenn Durch verschiedene Umstände wurde ich damals verhindert diese Frage weiter zu verfolgen Erst bei der LectUre der Abhandlung von Herrn Raths wurde ich durch die erwähnte Anmerkung auf diese Frage by sei wiederum geführt Dig i tis ed genug Das Resultat meiner Untersuchung geht nun dahin, dass Jerrard'sche Transformation möglich, und dass genug ist in Folge dessen die Theorie von selbst im Falle C Hermite = die nicht umfassend Im Anschlüsse daran werden noch andere einschlägige Fragen andeutungsweise behandelt, deren ausführlichere Behandlung ich nur für einen anderen Zeitpunkt vorbehalte Miithem Aunaleii, Bd 20 M.athem Annalen, Bd 28 B Igel, 156 § wenn die mau Stufe stiidirt bekauutlicli in foigeiideii zwei Fornieu Die eine en tru ist: /.ter Formen wten Grades sind und die Ä Parameter bedeuten Die andere Form ist: I /ưOi /'lOi 't) •fki.'-x '-i) Diese letzte Form die analytisch wichtigere, seitdem Herr Th eB aus der Doppeldarstellung der Involution unter Berücksichtigung, dass ihre beiden df nlo a Form lD ow ina diesem Paragraphen gezeigt werden in soll, ist dies, man von darstellen lassen Sieht der Homogenität der Formen ab und schreibt die- eZ oo log ~ "i of Co mp ara tiv fi y( Ca mb ri dg e, selben wie folgt: eM us eu m so ist, wie Herr Brill gezeigt hat rar yo f th a^„ tM ay r Lib /.(•o -/;x^.) Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns 1) Dig i tis ed by the wo dass die Combinanteu sich rig Was MA ); O in doppelter «ten Grades darstellen, diesen Satz be- aber in der letzten Zeit so häufig bewiesen worden, dass es überflüssig scheint, einen ist neuen Beweis zu geben auch dem Gebilde dieselbe Beziehung des linearen Gel)ildes zu weisen Derselbe Form von k+\ Paaren von Variablen dieselbe als eine Combiuanten der /«+! Formen." Man kưnnte auch Formen man sobald (I)^, iod ive rsi ty und Covarianten von betrachtet, sind die rom In- den Satz aufgestellt und bewiesen, He ri welcher lautet: „Die Gordan tag eL ist ibr ary htt '2) p:/ = *2 /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry org /' /; w ww bio log iez Form Grades uud «teil m at Die luvolution +"21 -K + • • +"i » -i'" {k+Vzizj)) Comhinanten und Jerrard^sche Transformation Die zweite Determinante rechts zerfällt in eine (« welche gleich dem Differeuzeuproducte der j;, ist —p+lVreihige Setzt man in 1) 157 von dem Werthe die und eine einander gleich x, x, so durch einen Grenzübergang u •/; m at n p-i ,,-(_i y-l Dig i tis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib rar yo f th eM us eu m of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca mb ri dg e, MA ); O rig ina lD ow nlo a df rom Th eB iod ive rsi ty He ri tag eL ibr ary htt p:/ /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry org /; w ww bio I log iez en tru 2) jo-reibige, erhält mau ed by the rd rva Ha ty, rsi ive Un Er tM ns ay r eM f th yo rar Lib m us eu of e, dg mb ri y( Ca eZ oo log Co mp ara tiv rom df nlo a lD ow ina rig MA ); O iod ive rsi ty Th eB ibr ary tag eL He ri p:/ htt m at en tru log iez bio /; w ww org ry ibr a /w ww bi od ive rsi tyl ist tis Nim Dig i 158 B.Igel, bekannt, dass diese sich = (« b) in folgende Detenuinanteuform bringen lässt xf —4'-'./-, («(,) (// a^b^ (— l)?.cf 1^ a>i Coinbinanten und Jerrard^acJie Transformation Form 4a, yt -'i) log iez \i'x{>»i L8x,S,rJ,, en tru m at in 41) mit ergibt sich leicht, dass die Functionen df rom Th eB Aus 47) 49) 51) iod ive rsi ty He ri 511 ina =1 MA ); O rig N^ lD ow nlo a die folgenden sind: y( Ca die Determinante eZ oo log Was mb ri dg e, X^^,r^ + A^x + A^ P^^x+A^) + P^{x^ + A^x + A^, + P^{x^ + A^x + A^), P,— P3 U^ + l, x + A^), P^(x-\-A^) P^ P^ of D —P^ + I'.ix^ + A^x + j;) + P3(^-+-^,) + P, {x+A^) so lässt sie sich folgendermassen schreiben: rar yo f th betrifft, eM us eu m 52) Co mp ara tiv , Lib + ay r (a; 1, ) + Pj tM Pj (.i:^ + P^{x^+A^x+A^), + J, + Jj) M.N^ M.N, a,' Er ns D= p^(^r.+A^) P,-P3(x*+^,a,-+Jj) + 7J3(x+J,) M.N, ive rsi ty, P, rd Un P, (;f + yl,) + P2(.t*4-^iX+ Jj) rva I + A^x+A^) P-P3(x^ + ^,; + ^,) M.\ P^{x+A^)-^-P^^x^ + J,a,-+Jg the Ha :k+^, by P, + PÄ^ + A,) ed tis —P^{x^+A^x+A^) Dig i 53) it;'' = M P, (.t'+^l,) Pj (x-2+^l|.i.+JJ _p^(,c -P3(x-*+.l,j';+J,) P3 (J'+J,) -P, ^M{x^ + A^x+A^)i^x + A^) + J,) i^ P, -P, -^3 Pz x^ x^ + A^x+A^ ,,;+.l, + A^x + A^ x + A, 174 B Igel, Es die ist man bekannt, dass eine Gleichung fünften Grades nur durch eine nicht lineare Substitution auf Form +i = ax x^ 4- m at 54) Form nennt man gewöhnlich die Jcrrard'sche Transformation Grades C verschwindet, lässt sich die Form durch eine lineare Substitution wo transformiren, log iez die Invariante zwölften Form 54) dann die Gestalt annimmt sie ,,, V^'-^'-o im Falle B und 0=0 die Invarianten vierten, resp achten Grades verstanden werden Es fragt sich nun, ob Jerard'sehe Transformation möglich die gemeinen Form fünften Grades auf die Hermite'sche genug nicht allgemein man zeigt ist, htt = möglich folgendermassen Es ist, mehr berechtigt, C'^0 im Falle Überführung der C all- nicht verschwindet und dass demnach die Theorie von sei Th eB Her mite die nur dann möglich, wenn ist im Falle C selbst so scheint, dass canonisclie überführen kann, denn in die Dass die Jcrrard'sche Transformation Form hervorzugehen ibr ary Form p:/ aus der Hermite'schen Theorie der Jerrard'sehcn nur eine lineare Substitution die um Diese Frage scheint mir ist iod ive rsi ty als A tag eL unter He ri wenn /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry 55) org /; w ww in die bio Nur wenn en tru bringen kann Eine solche Überführung der 56) Ordnung und Jcrrard'sche Transforma- erster Stufe, so lässt sich dieselbe durch die lD ow eine Involution fünfter ina Form MA ); O rig tion auf die nlo a df rom /,+>-/e=0 z^-i-Az+B —Q Form Invariante = C/,_i_)., mb ri in 56) entspricht eine in 57) d h 57) stellt die transformirte Involution dar zwölf Werthe von es gibt zwölf X, d h O Bf^+;,j,^ Gruppen in 56), Nun die sich in der eZ oo log liefert die Form y( Ca bringen Jeder dg e, 57) Co mp ara tiv Form V us eu m of erledigt sich rar Auf dieselbe Weise sich aber auch in 57, daraus folgt, durch eine Jcrrard'sche Transformation auf die yo ist, f th gleich Null dass auch solche Formen, canonische Form über- auch die Frage, ob eine Form, die schon die Gestalt ay r Lib führbar sind C eM Gruppen finden darstellen lassen Diese zwölf deren Invariate rj r'' + [t>x + -i Er ns tM 59) rsi ty, also die Eigenschaft der ive und canonischen Form Form 54), resp 55) sich bringen lässt Ha the by Dig i tis ed f\ f\ 3= a^.^'" = i„ x'' + ba^x'*+li) Cla^x^+lQ ^^a^x'^+a^x + +10 x' + b, X -^ b, + +5 a^ : //, ,Ä,).?:+(«,/2— ftjX,)// = bemerke man Folgendes Wenn man zwei Formen in der canonischen rar Lib hat rsi ty, Er ns tM ay r Form hat, direct zu ermitteln, yo Wurzel gemein eM aber die Gleichung fünften Grades, mit der jede der Jacobi'schen Determinanten in 68) eine f th Um us eu m of B F— (a„Xg bgli)x'''+b{a^\—b^A,)xy''+{a/A^ — h'^^i"^!/'' by Discriminante derselben Dig i tis ed bildet, so ist die the Ha rva rd Un ive und die Involution es entsprechen also den Werthen dieser Gleichung die fünf b,x^+b,y^ = {4 (04:) Werthe der Jacobi'schen Determinante 4b,xy''+b,y' x^+ {Ob) x^y + {4b) i/'^'l y^ = ' Comhiiiniiteu Von den obigen fünf Gleichungen verificiren Fasst man iiitd 68) in liat Determinante niinilich die { + )4) cc' 177 Jcrrnrd'sclic Traiiffoimation Wurzel dieser Gleieljung Dies je eine eine wie in (J8) lässt sich leicht zusammen: folgt + (05) x* y + (45) */S } !/=» + 4''(14)a;.y*+(41)arjr''+4(15)rS.r=' +ä4(01)./-' + 4.G(14),,'.y*+4(41)a;y* + 6(15)rSp.r2// + {6(01).r^+4^ (14).r//' + 6(41),ry*+4(15)y'*|p,.r/, (01).r' wenn leicht, dass, die erste Zeile dieses Ausdruckes, nämlich die vermöge der Gleichungen: G9), verschwindet, (01).r*+(41)/ =0 tag eL ibr ary +(51)// p:/ ^=4(41);r = htt ^= /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry die übrigen Zeilen, jede für sich, Covariante /; w ww man org so sieht bio log iez en tru m at '^^^ Th eB iod ive rsi ty He ri verschwinden df rom Eine Gleichung von der Form {a,A,-h^\){n,\-hl,)'^ + ^{a,\~h^l,f man nämlich ina auf die canonische Form bringen Setzt y( Ca mb ri dg e, MA ); O rig lässt sich leicht - lD ow nlo a 71) ^.^?i— = ^^ ^'o?« '^^ -, A , Co mp ara tiv /„ eZ oo log so folgt _«5?'-«o^; yo f th eM us eu m of Diese Ausdrücke in 71) eingesetzt, gibt Lib rar 72) rsi ty, Er ns tM ay r = ?iC2+^K45)?,-(40)t,}\ C, : t^ die Grösse z ein und setzt rd Un ive Führt man zur Abkürzung für +(40) '• (4b) (45) tis Ausdruck Dig i so geht der letzte ed by the Ha rva _ - in 72) in folgenden über: (U5)-^ (45) 45 73) -"'^^iW) welcher die canonische Form Denkschriften der mutheca.-uaturw ist Gl Daraus LUI Bd folgt, 145) dass die Invariante Abbandlungen von Nichlmitgliij^luru -^' C der linken Seite in 71) verschwindet X y 178 D hje.l, 10 Đ Bildet man aus zwei Formen Grades iuiifteu canonischeu Form und ihrer Jacobi'splien Covariante in der m at die Resultante /, — /^ : -f^ f\ setzt, die man bio 2, 5), He ri tag eL 1, Dass dies nicht der Fall sind zunächst in die Discriminante ist, soll jetzt = (01)(51)*+4*(41')-' den Werth der aus der Gleichung nlo a Ä, F_S (/,-//,)_ MA ); O rig lD ow : ina X, df rom 7) für dij dy 4«^. .) /; } yo f th eM us eu '/ = 4*(45)*|4(04)a;-^+(05)x*//+(45)//''j = 4»(4r))*.J Er ns tM ay r Lib rar 75) den Werth, der aus der Gleichung ty, für Ä, Ä., : rsi mau rva rd Un ive Setzt X 'dx ed nämlich by the Ha Z Dig i tis folgt, i/ htt = (/, iod ive rsi ty Setzt : ibr ary H Th eB den + Wurzeln der Discriminante der Involution die 1,: Form von x p:/ ist /, wo Resultante in eine /w ww bi od ive rsi tyl das Product folgender Gruppen /; w ww für übergeht, welche das Quadrat der Jacobi'schen Determinante enthält, da org wenn man dass, K01)(51)*+4*(4iy| ry Es könnte nun scheinen, + A/;j =1/ ibr a Ä{./,/-, 74) log iez en tru so geht dieselbe offenbar über in so geht die Discriminante, weil «, l?'oa;*+^//*| -^, \%x'^aj'\ = (ÖO).?,-" + (54) //" gezeigt wer- Comhlnantüu and Jerrdrd'sclic Tynisformafion über in = (04) [{(50)x*y+(54)y'^}*-4*(04)*(a,-)*] = (04) {(50)a;4y+(54)y'>-4 (04)3;^} {{bO)x'>i/+{M)i/'+4 —J, erste Factor ist wenn der zweite entsteht aus J, :v = x, y^—tj / denn es — J Da.!j] \\/{,%\—ho\).x- \/{h^\—,\)-y\X und da diese Involution, wenn eine Wurzel der Discriminante /^ : ist, eine Wurzel einer dieser Factoren hat, rom l^ df das Verhältniss derselben von vornherein einzusehen Anders verhält es sich, Werth, welcher aus der ursprüngliclien Involution nlo a ist folgt, in die lD ow so Th eB {\/{a,\—b^\):x+i\/{h^l-a^\).y\ [s/ i(i^\-h,\).x-i\/{h^\—a^\).y\ wenn man Discriminante einsetzt Denn hier \ \ den kommt nicht für : würde, sondern MA ); O rig ina nur die Jacobi'sche Covariaiite als einfacher Factor vor, was man, wie schon oben erwähnt, nicht erwarten auch die anderen Factoren es erscheinen in einer Form, die man a priori nicht erwartet '' 2- b^x''^bh^xy^-{-h.^y-=' eZ oo log • y( Ca mb ri dg e, Discriminante geht nändich für Co mp ara tiv da - "n + «4 + ^4 ' y + + y''\—b (04) x y" + (05) = {bQi)x-'+b{b4)xy'* + bb^xy'*-i-lKy-'\ —h.^\a(,x-' + bu^xy'* + -h,\n^x-' + ba,xy'^+a.^y''\ = {4Qi)x'> + {Ab)tj'' a,\b^x^' + bh,xy'' + ! ''„ •"' * ''.-, '/' /'„ ! •'' '•//* y'' ff I of «0 m u-,{I>o.c'' eM us eu (i.ji''] yo f th b.^y'^\ {(50).r^ + 5(54)a'y''| *+4*{ (40)x^+(45)y^p Er ns tM + (05)y^! {5(04)a;2/*4-(05)y^| {(50)x''*+5(54)a;y*P— 4* |5(04)x-'+(05),xVP ty, = = {5(04).ry'' rsi D= ay r Lib rar über in folgende (04) X -^ Un | r^ rd { ive + (05) y][{ (50) x^y + b (54) y *_ (04) + (05) x^y}"] = ^*{5(04)a-+(ü5j//|[|(5i»;).r»,/ + 5(54)y5j+ {4.5(04)a;5 + 4(05)irVI Jx t* Dig i tis ed by the Ha rva 77) Nun X[K5Ö)a;*y+5(54)y'|— {4.5(04)a;^+4(05)a;*y; Jx X[{(50)x*y + 5(54)/'|-f;{4.5(04)a;5+4(05);c*y}]X X[{(50)a;*Y/+5(54)//ä}— /{4.5(O4)a;5+4(05)x*2/}] ist ^=5.4 (04 1^ = ) f^ + (05) ,/;•' y (()5).t^*+5(45)//' Die 180 B Igel, es zerfällt also die Discriminante *1l ôZ «,-,)'*'' + ^l < "l • /' ist l5)-i''+ • • — 0, und der andere • +?5 («1 • • • • die Form hat: 'lO- en tru m at * denen der eine a.^ • • • ^5 /; w ww ; aber in erscheint jetzt in der die Involution Form: unter Th eB iod ive rsi ty wenn He ri tag eL ibr ary htt /' natürlich p:/ wiederum so zerfallt /w ww bi od ive rsi tyl und bestimmt man eine Gruppe der Involution durch diese Werthe, org •'•'2 ry } ibr a *'l bio log iez Sind die Wurzeln von i=0 Es folgt also unmittelbar nlo a df rom die elementaren symmetrischen Functionen der x, verstanden werden = -^,(a, a,) ^Y, = -^,(a a,) lD ow X, a, = -|.(X, X) ina • MA ); O rig a,^U^\ X,) y( Ca mb ri dg e, g^^ Co mp ara tiv Aus 87) und 88) folgen of die Identitäten: Ol yo f th eM us eu m setzt eZ oo log wenn mau a, der Involution ab und betrachtet 87) und 88) für sich, so kann Un man von man die Ha rva rd Sieht ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib rar 89) = ^i(,'>i(fli -J -"/'5l«i a3)) = MU^^ -) -U(^i - )) a, zwei fünffache Mannigfaltigkeiten auffassen, die sich gegenseitig entsprechen Transformirt Dig i als tis ed by the Xi und beide gleichzeitig auf irgend eine Weise, so dass dieselben in A;' = ^^{^aX a,' ) = 'Pi^X', Xi .) yi) 91) (O6 A7 = ^^(nf