Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 53-2-0035-0060

m at 35 en tru ZMURKO /; w ww bio Pkof De log iez DER INTEGRATOR DES ibr a ry org IN /w ww bi od ive rsi tyl SEINER WIRKUNGSWEISE UND PRAKTISCHEN VERWENDUNG ibr ary htt p:/ DARGESTELLT VON DER TECHNISCHEN HOCHSCIRl.E K K IN LKMBtRG (S\Lit wii3 18 llotzrichnittcn.) IN DER SITZUNG AM JULI 188C mb ri dg e, MA ); O rig ina VOKOEI.EGT lD ow nlo a df rom Th eB Saf' 1/ z= /"(.r) gegeben ist, lässt sich immer eine andere Co mp ara tiv Zu eZ oo log y( Ca Einleitung m of Curve verzeichnen, deren Ordinaten gewissen Integralen der f(x) proportional sind; diese zweite Curve nennen wir die Integralen rve der ersteren aus der ersteren wurden von Dr Zmurko seinem im Jahre 1864 erschienenen Werke über Mathematik yo in wie auch eine schon im Jahre 1861 f th letzteren veröffentlicht Der Autor ver- Lib rar gegeben und ihrer Integralcurve, eM us eu Der Zusammenhang zwischen der ursprünglich gegebenen Curve und Methode der Verzeichnung der tM ay r wendet diese Methode der Verzeichnung der Integral cur ven unter Anderem zur Bestimmung der Natur der Gelegenheit constatirt, wie fälschlich englische Autoren die erste Behandlung dieses ty, sei bei dieser rsi Es Er ns Wurzeln der Gleichungen höheren Grades ive Jahre später (1872) erschienenen Abhandlung des Herrn Solin in Prag zu finden Un in einer eilf rd Gegenstandes Ha rva meinen ist es dem Herrn Abakanowicz in Lemberg gelungen, eine Vor- by the Auf Grund der obcrwälinten Methode tis ed richtung zu erfinden, welche die Integralcurve mechanisch verzeiciinet; diese Vorrichtung basirt auf einem Dig i Schraubenbolzen mit veränderlichem Gewinde Sic wurde in einer im Jahre 1880 erschienenen Broschüre gehend beschrieben, und erscheint Der hier zur jetzt namhaft verbessert als Besprechung gelangende Integrator des Dr Integraph von Zmurko, zu ein- Napoli und Abakanowicz.' dem das Project schon im Jahre 1881 gezeichnet wurde, benützt als einen Bestandtheil seines Mcclianismus einen drehbaren Tiscli mit einer auf ihm und mit ihm beweglichen Rolle, ähnlich wie es ' Wetli in seinem Momentcnplauimeter verwendet Coinptes rendus hobd des seanccs de l'Acad6mie des sciences, Nr 11, 1885 Karl Skihinski, 36 Dieser Integrator zeichnet vou anderen derartigen Instrumenten dadurch aus, dass er bei verhältniss- sicli mässig einfacher Coustruction und leichter Handhabung eine mehrfache Verwendung znlässt, indem er ausser der Integralcurve von der Form J:r"/'(x)(7x-, I bekannten Vorrichtungen — auch noch liefern, durch entsprechende Einstellung des Curven von der Form und Sx"f'{j')dx—^x'-fhj n,v)dx ["^^ III diesem Integrator so zu sagen drei verschiedene Instrumente in org denen wir die Namen: Gewöhnlicher Integrator, I und ry vereinigt, Es sind somit ist directer Momentenintegrator II ibr a zu verzeichnen im Stande /; w ww bio II In- m at bis jetzt — en tru strumentes log iez welche die /w ww bi od ive rsi tyl Momentenintegrator beilegen invcrser III In der folgenden Abhandlung beabsichtige ich die Theorie dieses interessanten Instrumentes zu geben, den Ingenieurwissenschaften zu besprechen in ibr ary htt p:/ wie auch dessen praktische Verwendung, insbesondere perspectivischc Ansicht, Fig Gniiulriss, auf bi^sonderen Tafeln.) L Ein schweres Lineal des Lineals eingearbeitet iod ive rsi ty He ri mit den Pratzen L' bildet die Stütze In der Nuth kann ist, sich die starke Platte Th eB (Fig tag eL Beschreibung des Instrumentes.' dritten Stützpunkt bildet für die Platte T Feder verbundene Röllchen die Rolle r^ mit zwei Nuthen, von mb ri der Platte T sind y( Ca bestimmt, nöthigenfalls den Draht ist Rahmen zwei dem längs andrückt eine runde Tischplatte Lineale L L fest verbundenen die Tischplatte P in Dre- aufzunehmen I)^ mit den Führungsrollen m^ befestigt, zwischen welchen das Lineal L^ Co mp ara tiv An T eZ oo log versetzt wird, die andere T denen die eine den mit dem Lineal Draht D^ aufnimmt, wodurch bei der Bewegung der Platte L das Umkippen der Platte nach der befindet sich etwas oberhalb der Platte e, T indem die ganze des Lineals MA ); O Verbindung mit der Achse unterhalb dg In fester a, den ; rig entgegengesetzten Seite veriiüteu P und h soll Wand ganzen Länge verschieben ina mittelst einer starken lD ow nlo a Vorrichtung mit einem geringen Übergewichte das EöUchen an die seitliche Das mit der Achse in der R Eädchen lose ansitzende Röllchen df rom das an ihrer Achse welche n, mittelst zweier Dieses Lineal trägt an seinem Ende den Umfahrungsstift dem Lineale sind die Drähte D^, 1»^ oder Dj verbunden, deren beliebige Anspannung durch Spannschräubchen bewirkt wird Der Draht D^ ist s Mit us eu ein Lib dient ns ty, der Draht D^ rsi ist D^ dagegen ein klei- um T befestigten umwickelt, welcher von S Achse sind die beiden Rollen r, und dem zwischen den Führungsrollen m^ r^ ange- gleitenden rd Un ive Tj Lineale L^ geführt wird der Draht Dieses Lineal trägt den Zeichenstift einer gemeinschaftlichen, an die Platte um bracht; r^, eben so adjustirtes Lineal L^ angebracht, welches zur Führung des tM ay r umwickelten Drahtes D^ Er An ist D kann nöthigenfalls die Rolle ansitzendes Röllchen umspannen yo zum Lineale L^ Parallel die Rolle r r^ f th an derselben Achse mit eM die Rolle r, umwickelt; der Draht neres, rar um m of gleitet Ha rva In den Zwischenstücken c ist der Rahmen B derart zwischen Spitzen gefasst, dass er ebenfalls zwischen Spitzen die ed ist tis B Dig i Rahmen by the Bewegungen des Lineals L^ mitzumachen, und dass dieses Röllchen wird durch das Gewicht des Mit dem Cylinder z, welcher die Achse Achse A Das Bewegung mitzumachen, jedoch erste Exemplar, welches mir gezwungen ist, die die Spitzen gestattet Im an ihrem Ende das Röllchen /^ trägt; die Tischplatte angedrückt lose umfasst, ist die Rolle r^ fest derart construirt, dass er zwischen den Führungsrollen durchlässt, ohne diese Drehung um gefasst, welche Rahmens an A eine kleine er m^ die Achse die A Drehung um zum Studium überlassen wurde, ist bei verbunden; der Cylinder während ihre ihrer Längsbewegung ist frei Längsachse mitmacht dem renommirteu Mechaniker G Coradi in Zürich höchst exact und elegant ausgeführt Die Veröifentlichung erfolgt mit Erlaubniss des Erfinders, durch welchen der Integrator bezogen werden kann ' Der Integrator des Prof Dr Znnirko 37 Das Anzielien des Schräubchens d bezweckt eine kleine Drehung nach oben des Rahmens B um wodurch man das Röllchen r^ Der oberhalb des Lineals L an ihm befestigte Draht die Rolle Wie aus der Beschreibung ersichtlich, bildet die Platte B T einen Wagen, welcher sammt der U der Nuth n vermittelst der Räder in und dass ist, Tischplatte, und der Rolle a sich Achse A zur bio es erforderlich, dass die ist log iez lässt Für die exacte Wirkungsweise des Instrumentes parallel andere Art der Ein- (für eine fort- en tru den Linealen und dem Rahnicu bewegen kann uöthigenfalls Z) umwickelt werden /'j m at um stellung) die ausser Contact mit der Tischplatte bringen kann Nuth ii genau /; w ww Spitzen, und L^ eine dazu senkrechte I^age besitzen; die genaue Einstellung auf die Lineale L^ Das Instrument kann auf zwei verschiedene Arten ibr a ry org diese Richtungen lässt sich durch Correctionsschräubchen erreichen werden, welche drei verschiedene /w ww bi od ive rsi tyl eingestellt Wirkungsweisen gestatten Ge wöimliclier am für die umwickelt i\ ist, ferner D^ um r^ und D^ um wie auch für die zu verzeichnende Intcgralcurvc IJ, wir lD ow Diese letzteren ina eine Bedingung, welche, wie schon früher erwähnt MA ); O e, Richtung der dg in der i/ nach oben um dij, so dreht sich die Pfeil angegebeneu Richtung, wobei sich von ihrem Umfange ein dem der mit s mb ri Basen der dritten Integralcurve gemessenen Ordinate und der dritten Potenz der Instrumcntconstante gleich ist dem halben Trägheitsmomente der ganzen Figur, bezogen auf die ihr entsprechende Ordinate der gegebenen Curve Lib rar yo f th eM us eu m of welche besagt, dass das Product aus der zwischen den ay r ganz allgemein, es gilt somit auch für eine ausserhalb der gegebenen Figur gelegene tM ist ns Bezug auf welche das Trägheitsmoment bestimmt werden ty, Er Dieses Gesetz verticale Achse, in sich obige Gesetze, bei entsprechender Auffassung der ive rsi Für geschlossene krummlinige Figuren lassen anwenden Un direct rd Bedeutung der Basen, soll Ha rva Analog kann man Momente höheren Grades verzeichnen, und zwar entspricht die nie Integralcurve dem the — Iten Grades der gegebenen Fläche Dig i tis ed by Momente n Nr 35 Ist die Der gerade gegebene Figur Integrator dazu verwenden, um Biilken ein Balkenquerschnitt, so lässt sich nach den vorigen Nummern der seinen Flächeninhalt, seine Schwerpunktsachse, ferner sein statisches und Trägheitsmoment zu bestimmen In den folgenden Nummern wollen wir darlliun, wie man den Integrator zur Siehe Nr Karl Skibinski, 54 Bestimmung der verticaleu Scheerkräfte (Transversalkräftc), der Momente und der elas-tischen Linie eines belasteten geraden Balkens benützen kann Transversalkräfte und Momente Der Balken J.5 von 16 Fi«- D und Belastungslinie und der Achse die zwischen ihr Fläche die Belastungsfläche bio ÄA'EG ry die Fläche c.y^ stellt ibr a so /w ww bi od ive rsi tyl EM, dieser Fläche in Bezug auf die Ordinate c.GR ist Momente sich befindliche /; w ww org der unteren Moment AB man zur Belastungslinie die erste Integralcurve FH mit Basis FG, ferner die zweite Integralcurve KNL sammt ihrer Verzeichnet Basis durch und D' Die Linie A'EB' nennt man bekanntlich m at den Stützen seien sei Die AuflagerdrUcke an pro Längeneinheit betragende Belastung bedeckt ij in Fig 16 / en tru eine coufinuirliclie, die Grösse Länge der log iez Nr 36 «/ vor; ganzen Belastungsfläche und c^.ML der Bezug auf die Endordinate p:/ in und c^.y^ das statische B D deren statischen gleich finden wir aus der Bedingung, ibr ary htt Die Grösse des Auflagerdruckes dem entsprechend Momente des Auflagerdruckes und der ganzen Belastung in Bezug auf B numerisch einander gleich sein müssen Es ist somit He ri = c^.ML, woraus iod ive rsi ty D.l tag eL dass die Th eB — = ML.— l = D-cu, = ina D^r>jdx f FH dg D — und FG, zieht JJ' parallel zu mb ri gleich XVII so sind die zwischen der ersten Integral- und der Geraden JJ' gemessenen Ordinaten, den Transversalkräften proportional AG man als die algebraische Summe der Momente des Auflager- liegenden Belastung, somit of druckes und der auf findet Co mp ara tiv Das Biegungsmoment im Punkte G eZ oo log curve FJ gleich y( Ca Macht man sonach -y,^' (^ C e, MA ); O F,=: die Transversalkraft im Punkte ist lD ow Nun lässt rig bestimmen sich graphisch leicht nlo a df rom c us eu m M^= D X - ü^ //2 D = [— t x—c J man KQL yo die Linie als Integralcurve der Geraden JJ', so ist die Ordinate Lib rar Verzeichnet f th eM //2 Er ns tM ay r QP = ,i=^]r-^-^, Un ive rsi ty, folglich c^.LM=D.l, rva rd oder c the Ha c ist Drückt M ein, man so erhält mit dem Endpunkte aus der vorletzten Gleichung man y^, y, und ;; es sein soll KQL hienach JJ' eine Ausgleichende im Sinne von Die Oidiuaten Grössen der Curve Dig i Es m'uss L tis ed by wonach der Endpunkt i/ — Ni- durch y^ der zweiten Integralcurve KNL zusammenfallen 24 '^^^^ ^^"'^ ^^^zt diesen Werth in die Gleichung für schliesslich sind als desswegen Last pro Längeneinheit Grössen nullten Grades, so auch die später vorkommenden ist das Product c.y^ vom ersten nud die Producte (.•-.y2 und (."'.vj vom zweiten Grade, wie = c[c.!j^-c.y^ = c^y',-y^=r\r, die Oixliu;ite r, Fasst man QN ^ bezeiclinet wird KQL die Integralcurve der ausgleichenden Geraden JJ' als Schlusslinie der zweiten gralcurve auf, so l)esagt Formel XVIII das Gesetz, wonach die zwischen der zweiten Integralcurve der Belastungslinie und ihrer Schlusslinie gemessenen Ordinaten wirkenden Biegungsmomenten direct proportional sind wäre dann die AB vorgenommen, dass die Verzeichnungen so KQL den auf den Balken der Nullachse gelegen wäre, so würden in würde geradlinig sein; die zweite Integralcurve /; w ww man und JJ' horizontale Linien und die Schlusslinie vj wirkliche Seilcurve der gegebenen Belastungsfläche folgt der Werth für das Moment in C: org Hätte FG Iiite- m at mit en tru wenn XVIII, log iez M, 55 Zvnirko Integrator des Prof Dr bio Der man beide Seiten zweimal, so erhält man f^ vj dx l/^ (; p:/ D X := = tag eL D- He ri c':5i ibr ary htt Differenzirt — =r i^/ /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry Aus obiger Erörterung '17 = ^'-'^ XIX, rom Th eB idcr wonach der zweite df Differcntialquotieiit der Seilcurvenordinate proportional ist der nlo a einen bekannten Ausdruck, iod ive rsi ty und ina die Belastung des Balkens nicht continuirlich, wie es vorhin angenommen wurde, sondern rig Wäre = P^z=hb' aa', dg , nin = cc' Maclit , man endlich = nB' Momente der Lasten Co mp ara tiv n of Die ganze Fläche aa'efg us eu eM Momente der Lasten in kB' B ist A durch dargestellt somit gleich der Bezug auf B Ebenso Bezug auf ist die durch die Fläche Aaa'ef Summe Summe ikA' dargestellt Lib rar yo f th der Momente in in B Bezug auf die Flächeninhalte der Rechtecke aa'lB, efml, ft trägt also dtl' , das Kräftepolygon auf und zieht die angedeuteten Hori- zontalen, so sind die der Zwecke zu diesem B' j„ \ hh' m || aa', BB' auf L,h Im = y( Ca = Bf Fis- 17 mb ri Bestimmung der Transversalkräfte und Momente benützen eZ oo log Integrator zur kann man auch den (Fig 17) bestehend, so e, aus einem Systeme vereinzelter Lasten P, MA ); O Nr 37 lD ow Ordinate der Belastungsfläche CE für die man für Geraden den gebrochenen Linienzug Aaa'ef- AB und B'A' die lufegralcurven CMF, und FG, so erhalten wir nach der früheren Auseinander- setzung folgende statischen Momente der Lasten in Bezug auf eine beliebige Verticale the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Verzeichnet kB' und LL gelegenen Lasten in c.//, tis ed by der links von LL: Dig i c.'A algebraischen Summe für sämmtliche Lasten in Der Dnrchschnittspunkt der Geraden gleich Null ist, bestimmt die Siehe obiife Note CE und FG, Lnge der Resultirenden ß für welchen die algebraische sämmtlicher Lasten Bestimmt c{>Ji—y't)- Summe man der Momente nun, der vorigen , 56 K(i)l Skihinski, Nummer tnlen JJ' die analog, die Grösse des linken Auflagerdmckes AJ ^ und der gebrochenen Linie gemessenen Ordiuaten Nummer Gerade GF, welche nach voriger — die EF, so zwischen der Horizon- stellen die Transversalkräfte so sind die ergibt, Ordinatcnc den auf dem Balken auftretenden Biegungsmomenten proportional Es braucht wohl kaum gesagt zu werden, dass der Linienzug CMF mit dem Seilpolygone m at gleiclibedeu- dessen >Schlusslinie CF, und welches für das Kräftepolygon BB' mit der Poldistanz verzeichnet c log iez ist, en tru tend mau noch Zieht vor Geraden JJ' sich als Integralcurve der Die /; w ww bio wurde Nr 38 /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry org elastisclie Linie Zwischen der Durchbiegungscurve der Balkenachse und der Belastung des Balkens besteht Zusammenhang: 1^' Punkt, teten E das il/, eine ibr ary Th eB als Begrenzung der Momentenfläche Ist die als Ordinate auf, so Momentencurve welche Constructiou erhalten worden und erscheinen die Momente ÄEB in Form y.H, ina lD ow in der constanten Factor bedeutet, so geht vorige Gleichung in folgende über: rig H einen rom Momentencurve Fig 18 durch irgend wobei Achse das jedem Querschnitte entsprechende Moment einer geraden df man von den betrach- das staute Trägheitsmomeut des nlo a man J für _y.H XX dg e, d^r, MA ); O erhält Moment der einwirkenden Kräfte der Elasticitätsmodul des Balkeumaterials und Balkenquerschnittes bedeuten Trägt tag eL =/(a;) die Ordinate der elastischen Linie, He ri r, EJ' iod ive rsi ty worin htt p:/ bekanntlich folgender angenäherte eZ oo log y( Ca mb ri 1^^~~EJ Analog der Fig 16 bezeichnen wir mit FII Co mp ara tiv XX bezogenen Ordinalen y, und FG y^ zweimal und beachtet, dass us eu m of man Gleichung sie 18 f y(h' = r.y^; fy^,J.r=c.y^ und C ||^(].r = c LM wenn Lib rar yo f th eM Fiff LM die zwischen den gemessene Ordinate bedeutet, so erhält man ty, Er ns tM ay r ihrer Basis Endpunkten der zweiten Integralcurve und rsi ive Un rd j' wo c ^= — C^ gesetzt XXI, ^ wurde; ferner ist by the Ha rva I [>"-"] dx C" // ed Integrirt entsprechenden unteren Basen mit den auf die zweite Integralcurve, ferner mit tis KM die KNL Dig i und die erste, mit C" muss Null sein, weil für a; r= auch lyi wir aus der Bedingung, dass für /=:/, von X wird LM+ C^ — — y^ = ML, , oder somit C, ist = -LƠ y -: = r; = ist C, bestimmen wird; für diesen Wcrtli : D&r Werth man in FJ man Integralconstaute der ersten lutegralcurve; trägt ist die C'j FG auf, zieht JJ' parallel zu die Ordinate QN- : und //" es Zmurko Integrator des Prof Dr KQL und verzeichnet f>: somit ihren berechneten oder construirteu Geraden als lutegralcurve der JJ', so erh.ält nach Analogie mit Nr 36 ist n^^.y" mau zur Monientencurve die zweite Integralcurve verzeichnet, die log iez Diese Formel besagt uns, dass wenn en tru m at XXIII /; w ww bio zwischen dieser Curve und ihrer Sclilussliiiie gemesseneu Ordinaten, den Ordinaten der elastischen Linie proportional sind.' wollen wir zeigen, um durch die Belastung des Bal- die diesen Fällen zu bestimmen, in denen in gerade welcher Weise der Zusammenhang zwischen der in zweiten Integralcurve und der elastischen Linie benützt werden kann, kens hervorgerufenen Momente auch org KQL Nullachse annehmen, so wäre die Schlusslinie Nummern ry in der ibr a AB In den folgenden /w ww bi od ive rsi tyl Würde man genöthigt ist, die Elastici- ibr ary htt p:/ tätsgesetze zu Hilfe zu nehmen man A ein au den Enden frei unterstützten Balken mit der für einen A eingespannten negatives Moment, etwa dem Stücke der Momeutencurve und zugleich ihre Achse Balken blos die Lage der Schlusslinie, A(_' proportional, entsteht CB wäre somit die Schluss- der von uns gegebenen Auffassung, da die Momentenrom in Die Lage dieser Schlusslinie ist df ordinaten auf sie bezogen erscheinen He ri Momeutencurve die aus den Bedingungen zu bestimmen, nlo a linie in AEB so ändert sich für denselben in aufliegende Balken Th eB indem AB, frei iod ive rsi ty Sei in Fig 19 die Linie Schlusslinie tag eL Der an einem Ende horizontal eingespannte, am andern Nr 39 lD ow welchen die elastische Linie zu genügen hat AEB und der Geraden AB, so entsprechen: Curve AEB die Curven FH und KL; Geraden AB die Gerade FG und die Burabel KM dg y( Ca der mb ri der e, Momeutencurve MA ); O 19 rig ina Verzeichnen wir die erste und die zweite Integralcurve der Fi}? Wäre nun CB angenommen, eZ oo log richtig Genüge Co mp ara tiv Linie folgenden drei Bedingungen und Schlusslinie muss Null sein, d b die Curve müssen von demselben Punkte aus- m of ihre leisten us eu KL A Die Ordinate im Punkte so müsste die elastische f th eM gehen Die Ordinate im Punkte yo ns ty, Er ive rsi sein, d h die Curve Un Ha the setzt; in unserer by man ed genügt, dass tis vom Punkte Dig i der zweiten Integralcurve KL und sein, d h die in ihre Schlusslinie gemeinschaftliche Tangente Der ersten Bedingung, welche besagt, dass 6'"=: muss Null End- A muss horizontal müssen in K eine besitzen rd I^IVI B und ihrer Schlusslinie müssen zusammen- Die Tangente an die elastische Linie rva KL fallen tM ay r Lib rar punkte der Curve K für r — L) auch •/-;=: ist, wird in Gleicliuug Figur wird dieser Bedingung entsprochen, wenn XXII dadurch die Scblus.sliuie aus verzeichnet wird Die ganze Durchführung wuriK! nnr in Kurze angegeben, weil sie derjenigen von Nr .^G analog ist, wi(^ auch zwisclicu den Formeln XX und XXIII die von Mohr gefundene Analogie besteht; nur sind hier //, //" und r, (IriLssen er.steu Grades Wären die Momente nach Nr 30 durch y.c- ausgedrückt, so würde sieh "^/ä-" ergeben DeokscbrirUa der matUam.-aaturw Cl LUI lij AbliauJluugeu voji NichliuitgliaJeru ; Karl 58 Der dritten Bedingung gemäss muss Shibiriski, in Gleicbiing Nun wodurcli n der Ordinate y^ direct ])roportional wird welche lind ihrer Basis, XXI ist ij^ zweite Integralcurve der Geraden liier als CB = -^ = ü, sein, somit C, die zwischen der zweiten Integralcurve ÜB gemessene Ordinate; sich ergibt, Schlusslinie der Curve die — aucli KL es ist und die zwischen beiden /iTL, m at somit die zweite Integralcurve der Geraden x^Q für jiro])orlional en tru Curven gemessenen Ordinalen y^ sind den Ordinalen der elastischen Linie des Balkens direct log iez es ist nämlich /; w ww ' 1/2- ry org EJ bio H.i in Bezug auf = 0, B die Endordinate Moment des Dreieckes ACB ist Nun ist Für den Endpunkt des Balkens y^ proportional; dieses statische statischen dem statischen Momente der Moment wird Null, wenn das Momente der Fläche yiEB Bezug auf die Ordinate in B ibr ary ist Moment drückt sich aus durch tag eL Das erstere He ri numerisch gleich htt p:/ dem yj = wenn /w ww bi od ive rsi tyl Momentenfläche statische vj ibr a Die zweite Bedingung verhilft uns zur Bestimmung der Länge ACJ wird nämlich nach obiger Gleichung letztere durch Th eB und das iod ive rsi ty ^AC.l.ll=^AC.l^ erhalten somit die Gleichung MA ); O AC.P = ML.c^ AC den Werth mb ri für y( Ca und dg e, rig ina Wir lD ow nlo a df rom ML XXIV Co mp ara tiv eZ oo log ACz=z3ML welcher Ausdruck, wie in der Figur angegeben, sich leicht coustruiren man noch die Ordinaten of m f th yo rar Lib ay r tM ns Er ty, rsi ive Un rd rva Ha the by so verzeichnet aus die erste und die zweite Integralcurve der Geraden 67?; das Fig 20 ed , us eu K und lässt der Durchbiegungslinie des Balkens erhalten eM F tis den Punkten Dig i Will Integralcurve muss mit dem Ende der Curve KL Ende man von dieser zweiten zusannneufallen und die Der XXI Darnacli inuss iu Formel Zmurko Integrator des Prof Dr = ^ für dx — = /, also auch 0, //, =0 59 sein, da der dritten Bcdinguni;- ent- drj sprecliend C, = Die Bedingung gesetzt wurde =: y, = x für besagt, dass der Fläclieninlialt der zwi- / CD schen der Momentencurve und ihrer richtig bestimmten Schlusslinie ACDB der Flächeninhalt des Trapezes oder, dass gleich dem ÄEB Flächeninhalte der Fläche (th die mittlere Ordinate des Trapezes, so sein Fläclieninlialt durch ab./ gegeben; es en tru Ist numerisch m at ist ist bestellt log iez ist, eingeschlossenen Fläche gleich Null ^.1= bio somit die Gleichung /; w ww GH.c, GH XXV 4" Der ersten Bedingung wird auf dieselbe Weise wie vorhin 30 entsprochen p:/ in Nr /w ww bi od ive rsi tyl = ab ibr a ry org woraus ß in Bezug ibr ary htt Der zweiten Bedingung wird genügt, wenn die statischen Momente dieser beiden Flächen Nun summirt sich das statische Moment des Trapezes aus dem statischen Momente des Rechteckes AC'iyB von der Höhe ah und der Länge I, und aus der algebraischen Summe der statischen Momente der Dreiecke CC'b und DD'b Diese Summe drückt sich folgendereinander gleich sind iod ive rsi ty He ri tag eL auf die Ordinate Th eB massen aus: b o man die statischen Momente beider Flächen einander gleich, so erhält man e, b mb ri dg MA ); O rig ina Setzt lD ow nlo a b df rom ^.l.^l + (JC'.\l ^l—CC'.\l.~l -^^b.l'^+^'CÜ'.lK y( Ca woraus eZ oo log XXVI Gleichung auf die Form erste Glied auf der rechten Seite dieser iTTF 2c; 3c rar yo f th eM us eu m of Das - ßML^ — 3^ Co mp ara tiv CG' ay r Lib gebracht, lässt sich graphisch leicht construiren Durch die Grössen ah und C'C" ns tM ist die rsi ty, Er Durchbiegungscurve haben, so verzeichnet Lage der Schlusslinie man wieder bestimmt Will die beiden Integralcurvcu der zwischen der zweiten Integralcurve dieser Geraden und der Linie KL mau die Ordiuatcu der Geraden CD und die eingeschlossenen Ordinaten liefern, mit rva wirklichen Ordinaten der Durchbiegungscurve by durchgeführten Aufgaben wurden in Bezug auf die Belastung des Balkens keinerlei ed In allen vorhin the Ha multiplicirt, die rd Un ive CD wie sie Dig i tis Beschränkungen gemacht; die Anwendung des Integrators erlaubt daher eine Allgemeinheit der Annahmen, durch die üblichen graphischen Constructioncu nur annähernd erreicht wird h* Karl Skihinski, Der Integrator des Prof Dr Zmiirko r org US sw t Aus der Darytelluug der für Vcrwenduiij;- des Integrators erhellt, dass er für den Mathematiker sowohl, wie den Techniker ein äusserst brauchbares Instrument wenn ist, es sich darum handelt, im Bereiche der Verwendung rasch und mit genügender Genauigkeit Werthziffcm zu eihaltcn; hicbei ist die voriiini p:/ geführten /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry S eil /; w ww bio log iez en tru m at 60 ibr ary htt eigcnthümliche Art der tlieilweiseu lutegrirung, ferner die Allgemeinheit der Verwendung besonders erschöpft jedoch mit den vorhin beschriebenen Aufgaben die Anwendung des Integrators oifenbar nicht He ri ist So würde es nicht schwer fallen, den Integrator zur Bestimmung der Pfeilermomente eines Lage der Drucklinic eines elastischen Bogens mit Vortheil zu verwenden Dig i tis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib rar yo f th eM us eu m of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca mb ri dg e, MA ); O rig ina lD ow nlo a df rom Th eB nuirlichcn Balkens oder der iod ive rsi ty Es tag eL hervorzuheben _ 'TrJStriT' _ conti- Taf.I um at K.Skibinski:|)pi' Inlc-^ralor vun L.Zmurl« nat Gr mp ara -f tiv eZ oo log y( Ca mb rid g e, M A) ;O rig i na l Do wn loa df rom Th eB iod ive rsi t yH eri tag eL ibr ary htt p ://w ww bi od ive rs ity lib rar y.o r g/; ww w bio log iez en tr /'/(/./ Mu se um of Co nnikscliririrn d.k AUiul.d.W luiiHi.iialnrw.nassr I.III.IM H-Ahth iCk Hof-u Staafsdruckerei ed tis Dig i by the rd rva Ha ty, rsi ive Un Er tM ns ay r eM f th yo rar Lib m us eu of e, dg mb ri y( Ca eZ oo log Co mp ara tiv rom df nlo a lD ow ina rig MA ); O iod ive rsi ty Th eB ibr ary tag eL He ri p:/ htt m at en tru log iez bio /; w ww org ry ibr a /w ww bi od ive rsi tyl rd rL Er ns tM ay DenkscTiriftcn d.k.Akad.d.W.iniith.natiirw.riasseLIII.B^l.ll.Ablh rsi ty, ive Un ary ibr of the um se Mu of Co m ive rat pa gy olo Zo am (C bri e, dg ); O MA ad nlo ow lD ina rig m fro ty rsi ive iod eB Th ry ibr a eL tag He ri rsi t ive /w ww bi od p:/ htt or g/; rar y ylib ntr um ze Füj.Z gie olo ww w bi at K Skibiiiski:l)pr IiitpÄrator von L.Zmurko Taf.ll đ jiô Dt KI< Hof-u Staatsdrtickerei ... Scala, deren Einheit Zweite Wirkungsweise Der directe Momeutenintegrator Eine andere Wirkungswenn man bei derselben (zweiten) Art der Einstellung die Stifte so verwechder Umfahrungs- und S der verzeichnende... Rechteckes AC'iyB von der Höhe ah und der Länge I, und aus der algebraischen Summe der statischen Momente der Dreiecke CC'b und DD'b Diese Summe drückt sich folgendereinander gleich sind iod ive... >., Lib der Tischplatte ändert sich dadurch p der Mittellinie der Rolle /^ Ä sammt von der um = r^d-^ = ^d>/ df ty, Er ns tM ay r Mitte r^ Richtung von links nach rechts Die Entfernuug rar der Rolle