Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 53-2-0119-0154

m at 119 bio log iez en tru ÜBER VOM GESCHLECHTE ZWEI, ibr a ry org /; w ww ClIRVEN VIERTER ORDNUNG /w ww bi od ive rsi tyl IHRE DEUTSCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN PkAG DER SITZUNG AM FEBRUAR 1S87 mb ri dg e, MA ); O rig ina IN lD ow VORGELEGT nlo a df rom Th eB K K iod ive rsi ty KARL BOBEK, D" rnlVATDOtENT AN DKR He ri tag eL ibr ary htt p:/ SYSTEME BERÜHRENDER KEGELSCHNITTE UND DOPPELTANGENTEN Ordnung vom Geschlechte Curven vierter drei wurden bezüglich der Systeme vierfach Co mp ara tiv Die ebenen eZ oo log y( Ca Einleitung 4*'='- Ord- of berührender Kegelschnitte und Doppeltaugeuten mehrfach untersucht Hingegen wurde den Curven nung vom Gesclilechte Zwei weniger Interesse zugewendet Ameseder^ yo in einer rar Später hat Herr f th eM us eu m Herr Brill' hat zuerst mit Hilfe des Jacobi'schen Umkehrproblems die Systeme vierfach berührender Kegelschnitte und Doppelangenten für die Cur\ en 4^" Ordnung mit einem Doppelpunkte angegeben vierler Ordnung auch Lib Curven die Curve vierter Ordnung mit Doppelpunkt und Spitze betrachtet ay r schnitte der Reihe geometrischer Untersuchungen über die berührenden Kegel- rsi ty, Er ns tM 4'«' Ordnung vom Gcschlechte Zwei Die nachfolgenden Untersuchungen beziehen sich auf Curven betrachtet Im I Abschnitte In der ersten Abtheilung wurde die Curve 4*" Ordnung mit einem Doppelpunkte rva rd Un ive wurden Erzeugungen dieser Curve angegeben, auf Grund deren man zu zwei kanonischen Gleichungsformen Gleichungen der Systeme vierfach der Curve gelangt Diese Formen erlauben nun, in einfacher Weise die es, die 16 Doppeltangenten und ich habe Dig i gelingt tis ed by the Ha Classification berührender Kegelschnitte aufzustellen und es wurden inllaus diesenGleichungen mehrere für die Grund dieser Sätze Auf der Systeme von Doppeltangenten sehr wichtige Sätze aufgestellt und bewiesen in III in die 30 Systeme der vierfach berührenden Kegelschnitte einzuordnen, zwei diese Anordnung darstellende Tabellen angeben Functionen eines Parameters d.arstellen Brill, „über diejenigen Curven, deren Coordinaten sich als hyperelliptisohe 4"'- Ordnung mit einem Doppelpunkte^ Curve einer Doppeltangenten über und „Note lassen", Grelle, Bd LXV, p 283 — Mathematische Annalen, Bd VI, S 66 Araeseder, „Geometrische Untersuchung der ebenen Curven Wissenschaften in Wien, Bd LXXXVIl, S 15 4i'> Ordnnng", Sitzungsberichte der kais Akademie der Karl Bobek, 120 Im die 16 in wurden die zur Curve adjungirten dreifach berührenden Kegelschnitte betrachtet und IV Absclinitte Systeme dadurcli dass jedesmal die sechs Doppeltangenten angegeben wurden, welche charakterisirt, einem solchen System Die daselbst gegebene Tabelle auftreten vom In der zweiten Abtheilung wurden besondere Curven dem Doppelpunkte Curve Ordnung mit 4**^'' Anordnung diese vor Geschlechte Zwei betrachtet Und zwar solche oder zwei Wendepunkte besitzen, und schliesslich wurde die einen Es wurden bei derselben die Systeme vierfach berührender einer Spitze betrachtet m at Curven, welche in stellt und die Systeme der Kegelschnitte bewirkt Zwei daselbst in die auf- bio Einordnung der Doppeltangenten dieser Curve log iez en tru Kegelschnitte, sowie auch die Sj'steme der adjungirten dreifach berührenden Kegelschnitte angeben /w ww bi od ive rsi tyl ibr a ry org /; w ww gestellte Tabellen veranschaulichen diese Einordnung Erste Abtheilung Ordnung mit einem Doppelpunkt voraus, dessen 4''"' htt setzen wir eine Curve p:/ In der ersten Abtheilung leicht, die dass kein Wendepunkt im Doppelpunkte liegt tag eL treffen, so Beschränkung anzugeben, welche mit dem Fallenlassen derselben Um eintreten ist aber nicht zu weit- werden zu müssen, wurde an den Voraussetzungen festgehalten und etwaige Bemerkungen wurden der zweiten Abtheilung gemacht, insoweit in betrachteten Curven erforderhch erschienen sie für die dort Erzeugung der Curve ina man einen Strahienbüschel ein-eindeutig auf die Kegelschnitte eines Systems rig Bezieht Ordnung mit einem Doppelpunkte MA ); O ist 4'»' lD ow I nlo a df rom Th eB läufig einem Punkte in Abschnitt angestellten Betrachtungen fordern zwar nicht überall diese Voraussetzungen, und es He ri I iod ive rsi ty Die im ibr ary Tangenten die Curve noch ausserhalb der Ort der Schnittpunkte entsprechender Curven eine Curve dg mb ri lineare, H quadratische Functionen der Coordinaten, so möge y( Ca (-J, eZ oo log B und Co mp ara tiv Sind A, 2, so e, büschels einen Doppelpunkt besitzt vom Index 4'«'' Ordnung, welche im Scheitel des Strahlen- (1) = &a+2Hl-\-&,.A^ (2) us eu m of die Gleichung des Strahlenbüschels A-1B = vom Index f th rar Lib mögen einander (1) die und Curven (2) ist (1) und (2) dann = (rKB^+2HAB-h(-)i,A^ — (3) ns dass die Curve •trzo, die wir auch einfach nennen wollen, in den Schnittpunkten der Geraden Er B einen Doppelpunkt besitzt ty, zeigt, und rsi A Die Kegelschnitte (2) hüllen eine Curve 4*" Ordnung S4 ein, deren ive und tM ay r sein, und es Die Gleichung des Erzeugnisses von X besitzen yo entsprechen, welche dasselbe eM die Gleichung des Kegelschnittsystems rd Un Gleichung =:U (4) the Ha rva t,= H^-0„0, aber auch umgekehrt möglich, jede vorgelegte Curve 4*" Ordnung ed ist Doppelpunkte mit einem tis Es Dig i by ist d auf die angegebene Art Es mögen die Punktepaare, welche die zu erzeugen Geraden A, B, C, X durch d auf ausschneiden mit a a, bß, cy, x£, bezeichnet werden Sie bilden die Gruppen der einzigen linearen Schaar von Gruppen zu zwei Punkten ^^'), die auf der hyperelliptischen Curve auftreten kann 3'" Ordnung bezeichnet werden, die durch den Doppelpunkt von Es sei K ein Kegelschnitt, der durch das {E) nennen wollen, trifft Dann geht durch (iC) Paar wfx von und irgend ein Ferner mögen durch gehen, also zu f th ausschneiden, da yo nicht so, dass eine von den nicht durcli (-)„, von He ri ;i W,,, y«/7 /w ww bi od ive rsi tyl da wir voraussetzten, dass resp ,Z>,J,n ^D^.D.^lr of Annahmen derThat gelingt f th eM vidualisirten Doppeltangenten gebracht sind In Einordnung der Paare der Doppeltangenten zu je acht alle es in die Punkte rar Lib ay r tM h, l in erhält hiedurch 30 der Quadrate ausgefüllt und die sehr Quadrat, einträgt, so dass zuerst die Combinationen einschreiben, die sich aus den kann man dem leicht in DiD, im gemachten Annah- anwendbare Regel in 26 Un men ergeben Man indem man mit der Zeile von Z>4 schneidet, die Zahlen Z>, in zu bewiiken ns liegt, so an, [ik] indi- 26 angegebenen Regel Er [hl] Columne von I ty, System hiezu eine Tabelle nach Art der folgenden Tabelle sich die Verbindung mit den 16 nun mit Hilfe der 15 Systeme rsi welchem man in „ D,,, Z»,,, Systems vorstellen müssen, dann aber auch den Z>, ein Quadrupel bilden, die drei Systeme, denen Satz, dass, sie als wenn nur drei verschiedene Zahlen besitzen können Unter einem Quadrupel von Doppeltangenten ein solches zu verstehen, wie es in 24 betrachtet wurde In der Tabelle I wurden die Systeme [//, | und |/A]' durch die Zahlen il- und il; die Paare angehören, charakterisirt ist stets ed tis Dig i by the rd rva Ha ty, rsi ive Un Er tM ns ay r eM f th yo rar Lib m us eu of e, dg mb ri y( Ca eZ oo log Co mp ara tiv rom df nlo a lD ow ina rig MA ); O iod ive rsi ty Th eB ibr ary tag eL He ri p:/ htt m at en tru log iez bio /; w ww org ry ibr a /w ww bi od ive rsi tyl 142 Karl Bobek, Tabelle I über Curven 4'"'' Onhnii/;/ Dg i>5 i»9 [45] roiii Geschlechte Zwei il,o [45]' |4G] ^n ^^5 ^6 ^'U [46]' m at [56] Aus dieser Tabelle log iez en tru [56]' 80 Quadrupel von Doppeltangenten anzugeben, ebenso es leicht, die bio ist die 60 Grup- liegen punkte p:/ betrachteten vierfach berührenden Kegelschnitten der Curve .^, in denen schneidet das ganzß berührt des obigen Büschels durch einen der Punkte des Punktes a.j Th eB / Punkten J, ô,, «j, die vier in eine t;, so muss offenbar •// zer- ist zweite Gerade, die Doppeltangente ina *I> rig von denen ein Kegelschnitt K von lD ow fallen in die aus, in Kegelschnitt Der Büschel von Kegelschnitten durch berührt man durch berühren möge, und legt ^^ rom Legt die a.^ irgend einen Kegelschnitt K, so schneidet er ein Kegelschnitt y' die System von Tripeln a^, , df d, a^, a^, a^ rf, iod ive rsi ty ein solcher Kegelschnitt, der in nlo a Punkte Y^ tag eL gehend, diese in drei Punkten berühren Ist (/ ibr ary 28 Ausser den in den Doppelpunkt gelien, Ordnung mit einem Doppelibr a 4'«"^ dreifach berülirenden Kegelschnitte der Curve /w ww bi od ive rsi tyl Die adjungirten IV ry org /; w ww pen von zwei Paar Doppeltangenten, deren acht Berührungspunkte auf einem Kegelschnitte dem Doppelpunkte jede Tangente aus in Verbindung mit einer Doppeltangente einen eZ oo log Da umgekehrt mb ri auf y( Ca Kegelschnitte dg e, MA ); O Es treten mithin in einem System der dreifach berührenden Kegelschnitte stets sechs Doppeltangenten gepaart mit den sechs Tangenten aus dem Doppelpunkte als zerfallende welchem noch die fünf übrigen Tangenten gepaart mit fünf Doppeltangenten auftreten, so Systeme adjnngirter dreifach berührender Kegelschnitte gibt Systeme erhält man am einfachsten, wenn man eine der Tangenten, z B T^ nach Diese 16 of es blos 16 m dass man, einander mit f th eM allen 16 Doppeltangenten verbindet yo Anordnung der 16 Doppeltangenten in diese 16 Systeme mit den ihnen zugehörenden Taugenten rar 29 Die ersieht us eu in Co mp ara tiv dreifach berührenden adjungirten Kegelschnitt darstellt, also zu einem System solcher Kegelschnitte gehört, man aus den fünf ersten Systempaaren der Tabelle II, indem jedes Paar Doppeltangenten eines dieser Systeme mit dem Paar Tangenten aus d, welche das System charakterisiren, zwei zerfallende Kegelschnitte desselben dreifach berührenden Systems von adjungirten Kegelschnitten gibt So liegt in dem System, welches durch T^ D^ bestimmt ist, auch 1\ D^, da I)^ D^ ein Paar aus dem System [12] darstellen, ebenso liegen Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib Ti erhält demselben System dreifach berührender Kegelschnitte wie T^D^ the Ha könnte auch irgend fünf Systempaare nehmen, die eine erhält hiedurch folgende Tabelle: Dig i tis ed Man by Man in rva rd noch TgDj, T^D^, T^D^^ und rgö,5 2'i Tabelle IIl Ziffer gemeinschaftlich haben - KarlBohek, 144 Die sechs Tangenten immer mit den sechs Doppeltangenten T, sind einer Columne in einem System von adjungirten dreifach berührenden Kegelschnitten enthalten, und zwar bildet jede Tangeute mit der Doppcl tangente derselben Zeile ein Paar Die cauonische Gleichungsform der Ciirve m at die Gleichung des Systems der dreifach berührenden adjungirten Kegelschnitte in einfacher Weise aufzustellen, welches der Tangente und der Doppeltangente D^ 7', entspricht bio Identität ry org /; w ww Aus der en tru erlaubt audi Ordnung 4'*^^'' log iez 30 /w ww bi od ive rsi tyl man, dass die Kegelschnitte p:/ ersieht htt ist, ibr a wobei welche durch den Dopptlpunkt von gehen, für alle Werthc von v die Curve O noch in drei Punkten iod ive rsi ty *I> o, tag eL ibr ary = D, r,-2v(T, 7;-r, 7',)-v^i>,7; = He ri x berühren dem System ist für v — 0, y = oo auch das Paar D^ '1\, resp D^ '1\ enthalten Dieselbe Form j in den zwei Funktepaaren «' «', i' (^ a) welchen der Kegelschnitt in (3', X^ X\ rom die IX Th eB iod ive rsi ty K = V/^ XI— v/^ XI + df r = X^+a,XJ + a3X^ + «^X,X; + \/^ A,X,— 2p.(v/^A^— V/^X^)— |^«X,Xj( = Man mehr erhält auch nicht als zwei solcher Systeme Das Einführen von ina berührt — \/'% an Stelle rig (t>g V «0 wird durch Änderung des Vorzeichens von MA ); O die von lD ow nlo a (20a) ^ compensirt Ä und ^' tritt für |u^ = cx) das Geradenpaar mb ri dg e, In beiden Systemen vierfach berührender Kegelschnitte Wir haben daher: Hat die Curve Ordnung eZ oo log 4'" y( Ca X,, Xj auf im Doppelpunk te auf jedem Zweige einen Co mp ara tiv Wendepunkt, so treten zwei einander conjungirte ausgezeichnete Systeme von Quadrupeln von Punkten auf, in denen Kegelschnitte die vierfach berühren Die vier Punkte eines Quadrupels bestehen aus zwei Paaren der ^^^ von O und werden aus d durch je eine of f th eM us eu m quadratische Strahleninvolution projicirt Ein Paar beider Strahleninvolutionen sind die Wendetangenten X",, X^ des Doppelpunktes, die auch einen Kegelschnitt beider Systeme rar yo vorstellen ausgezeichneten Systems von Quadrupeln in dem Doppelpunkt Wendepunkte tM (t» besitzt, wurde subM Er II ty, 131 gezeigt rsi S von Punkten bereits in der ersten Abtlieilung ns hinreicht, dass solclien ay r Lib Dass umgekehrt das Auftreten eines ive Die Gleichungen (20) resp (20a) lassen erkennen, rd Un rva A'j zur dass die Kegelschnitte dieser ausgezeichneten Polare von d besitzen Dies folgt übrigens auch daraus, dass die Paare der gW Ha Systeme die Gerade by the auf den Strahlen von d harmonisch getrennt sind durch d^ und X^ Daher schneiden einander je zwei Kegel- sind jedem der Systeme liegen Dig i In Systeme tis ed schnitte der conjungirteu in vier vier Punkten, die paarweise auf Strahlen durch d liegen Paar zerfallende Kegelschnitte, welche acht Doppeltangenteu von «I> Der Schnittpunkt jedes Paares muss auf A3 liegen und beide Doppeltangenten werden durch A' und d von einander harmonisch getrennt Hieraus folgt, dass jedes Paar Doppeltangenten von den sieben Paar anderen Doppeltangcnten in 4.7 = 28 Punkten getroffen wird, die paarweise auf 14 Strahlen durch d liegen Dies gibt V^ 14 56 Strahlen durch d, auf denen 112 Schnittpunkte der 16 Doppeltangenten liegen Die acht noch fehlenden liegen auf A3 = tjher Curven III Die Gleichung der Curve = (T-T,fJ\ + t., fr, t- auf % besitzt, T, l\ + 2a,,'l\ an 7' , T^ wie (21) — J\ =0 die Glei- en tru F j ist die erste Polare von s für deren Berührungspunkte T^, T.^, Ordnung F ausgeschnitten werden, 3'"^"^ die in s eine Spitze hat, Mau kann daher , , f,, auf 15 verschie- ibr a berührender Kegelschnitte ergeben sich aus der Identität = [2^7;T, + (,r,±2V)r,,r+27^,n[//,q=r.\ 2fx(7;±2V)r,,-2^''T,T,| «I> t^, f^, und dieselbe /w ww bi od ive rsi tyl vierfacli und sind, , dene Arten auf die Form (21) bringen Die Systeme + 2«,, '1Y1\,\ m at s sechs Tangenten 1\, T^, T^, 1\, *!>, von einer Curve j, , ist Spitze s gehen au Spitzentangente + 2a, zwei der Tangenten aus der Spitze 'i\ % 'P,+a,, Tl Form log iez Von der , mit einer Spitze kann stets auf die bio chung der Spitzentangente 1\ 2;[«, , /; w ww gebracht werden, wobei T,, Ordiuiiig Ordnung mit einer Spitze org j ty, ein Doppeltangentenpaar, das in [12] B und die Gerade D' ein Kegelschnitt des Systems =$ |12], §' also auftritt rsi DD' Er welche zerfallen rd Un ive Die zehn Doppeltangenten der Curve 4'" Ordnung mit einer Spitze ordnen sich daher in Systeme vierfach be rührender Kegelschnitte derart ein, dass in jedem System drei Paare vorkommen Die vier übrigen Doppeltangenten treten in dem coujungirten System dreifach berührender Kegelschnitte, gepaart mit vier Tangenten aus dem Doppelpunkte auf Dig i tis ed by the Ha rva die 15 sich Die Anordnung der Doppellangenten am einfachsten aus folgendem Satze: Legt man durch drei der Punkte in die Systeme [ih]' dreifach berührender Kegelschnitte ergibt einen Kegelschnitt, welcher die Spitzentangente noch in zwei Punkten, die Berührungspunkte einer Doppeltangente sind Man erhält dieselben Punkte, wenn man den Kegelschnitt durch die drei übrigen Punkte legt, so dass er die Spitzentangente berührt berührt, so schneidet er t,, 'l>^ /, über Curven Was den in 151 Geschlechte Zwei so folgt er aus der Betrachtung in ersten Tlieil des Satzes anbelangt, Doppeltangenten vom 4f^' OrdiiuiKj den Systemen dreifach berührender Kegelschnitte (>., uns die vier die Der zweite Theil der obigen lieferte Behauptung ergibt sich folgendermassen K welcher durch der Kegelschnitt, % und durch berülirt t^, t^, t^ t^, t^, t^ % geht und die Spitzentangente berührt, und K' der- dann muss eine Identität bestehen geht, = D.V, ^ und ''"'' die schon frülier erwähnte erste Polare des Punktes s für r, Spitzentangente hat Denn eine Curve des Büschels noch einen Punkt gemeinscliaftlich muss F hat, K.K'^0 welche durch die Schnittpunkte von = mit als Theil enthalten ed #, He ri der Terne tis liegen die Doppeltangenten in nachfolgender Art zuordnen ^—IKK' m at Sei jenige, welcher D^ : Es soll Karl Bobeky 152 In jeder Coliirane, die die Bezeiehuung; ik führt, treten vier Doppeltangenten bilden drei in auf, auftretende zerfallende Kegelschnitte, und es bandelt sich darum, die [ik] die sechs übrif^en Anordnung der sechs Doppeltangenten in die drei Paare anzugeben Hiezu benutzen wir folgenden leicht zu beweisenden Satz: Die sechs Punkte, und D^^ sowie und hieraus ein Kegelschnitt s, t^, t^ folgt, dass D^, Dj m at [34]', also geht durch die Berührungspunkte von „ einen Kegelschnitt im Systeme [12] stets ein immer nur dieselben D^D^, welche im System und T, T,, liegen in derselben Zeile der Tabelle IV Columne stehen Die untereinander Paar im System drei Paare, z ry die untereinander in einer ibr a stehenden bilden Mit org leicht folgende Regel: /w ww bi od ive rsi tyl nun Die sechs unter einander stehenden Tangenten [ik] B liefern die Zeilen von T^ und 1\ die drei Paare I>^D^^, D^D^, [12] auftreten Dig i tis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib rar yo f th eM us eu m of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca mb ri dg e, MA ); O rig ina lD ow nlo a df rom Th eB iod ive rsi ty He ri tag eL ibr ary Auf diese Art erhält man ans der Tabelle IV die nachstehende p:/ ersieht htt Man sechs Doppeltaugenten, /; w ww bilden liefern welche zwei Tripel berühren, liegen auf •!>, bio Z>5 dem System in die [ik]' en tru einem Kegelschnitte, der durch s geht Nun liegt z B T^ mit D und T^ mit i), „ Systems log iez bilden, in denen zwei Kegelschnitte desselben über (Jurvcn dem Berlibrungspunktc Ordnung vom 4'^'' eines Kegelschnittes Kegelsclinittsschaar Der Kegelsdniitt H der durcli die vier Geraden bestimmten t), trifft noch 1), Denn jedem solchen Systeme in als specieller Kegelschnitt auftreten Möglichkeiten erschöpfen mit Dopjjclpunkt IG Doppeltangenten, 30 Systeme vierfach und eZ oo log 10 Die Curve Wir haben sind, ist schnitte sind, keine niüsste eine sub I nlo a Gleichungsfornicn (121 in der ersten Abtheilung Schaar zu nehmen rom entsprechend lassen sich auch GO canouische Gleielnmgsformen der dg Dem ten (indem, wie wir sahen, blos r= ar,3 Co mp ara tiv 16 Systeme adjungirter dreifach berührender Kegelschnitte gefunden Übergeht durch Änderung der Constanwird) die Curve in die Curve , mit einer Spitze, so übergehen m of sechs Doppeltangenten in die sechs Tangenten T, von der Spitze an die Curve Von den 30 Systemen vier- eM us eu fach berührender Kcgelsciinitte bleiben nur 15 Systeme erhalten Die 15 übrigen fallen mit 15 von den 16 zusammen und das letzte 16''' System adjungirter dreifach in die rar ay r Anmerkung am Ende Ordnung übergeht ns 4'"'' der ersten Abtheilung in die Curve sechs Tangenten übergehen, jede also dreifach !/', 4'"'' als zusammen, Ordnung mit so ersieht man, dass, einer Spitze, 18 Doppcltau- Doppeltangente zälilt (^was mit der in ive rsi genten Curve tM diess mit der Er man die allgemeine doppelt gezählten Geraden durch die Spitze ty, Fasst wenn in die Lib berührender Kegelschnitte übergeht yo f th dreifach berührenden adjungirtcn Kegelschuitten T,, Ti, in jedem der Systeme [ik] dreimal zählend auftritt) und rd Un gemachten Bemerkung übereinstimmt, dass Ha rva nur zelin Doppeltangenten bleiben als solche eriialten Von den 63 Systemen the by 45 übergelien ed die Spitze, in die 15 Systeme adjungirter dreifach berührender Kcgelsciinitte tis Geraden durch vierfach berührender Kegelschnitte übergehen drei in den Büschel doppcltgezählter Dig i und nur 15 Systeme vierfach berührender Kegelschnitte bleiben Denkschrifteu der mallium.-uaturw ct LIil Bd Abhaudluugeu vou NicUtiuitgüederu erhalten — Karl Bubek, Über Curven 4''"' Onlnaiuj vom Gcschkchlc Zwei ibr a ry org /; w ww bio log iez en tru m at 164 Seite htt p:/ /w ww bi od ive rsi tyl Iiihaltsverzeicliiiiss Erzeugung der Curve 4'«'| Orduiiug mit einem Doppelpunkte He ri I tag eL Erste Abtheilung 4