DTHP GIỚI HẠN BỞI NHIỀU HƠN 2 ĐƯỜNG CONG, TRỤC HOÀNH VÀ CẬN

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG III CHỦ ĐỀ 3.2 DTHP giới hạn nhiều đường cong, trục hoành cận MỨC ĐỘ Câu [2D3-3.2-3] [BTN 163] Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y =  x đường thẳng y =  x bằng: A (đvdt) B (đvdt) C 18 (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm parabol đường thẳng  x   x  x  x  x  0    x 2 Ta có: 2    x     x   dx    x  x  dx 1 1  x x3  8  1   x                1  3  3  9 Vậy S   (đvdt) 2 Câu  H  giới hạn đường y e x , y 0 , chia  H  thành hai phần có diện tích S1 S [2D3-3.2-3] [Minh Họa Lần 2] Cho hình thang cong x 0 , x ln Đường thẳng x k (0  k  ln 4) hình vẽ bên Tìm k để S1 2S B k ln A k ln C k  ln D k ln Hướng dẫn giải Chọn D k x x Ta có S1  e dx e  k ln e k  S2  e x dx e x ln k 4  ek k TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Ta có S1 2 S2  e k  2   e k   k ln Câu [2D3-3.2-3] [THPT Tiên Lãng] Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  , trục tung trục hoành Xác định k để đường thẳng  d  qua điểm A  0;  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích A k  B k  C k  D k  zzzzz zzzzz Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  x  trục hoành là: x  x  0  x 2 Diện tích hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  , trục tung trục hoành là: 2 S x  x  dx  x  x   dx 0  x3    x  x    0 Phương trình đường thẳng  d  qua điểm A  0;  có hệ số góc k có dạng: y kx  4  ;0  k  Gọi B giao điểm  d  trục hồnh Khi B  Đường thẳng  d  chia  H  thành hai phần có diện tích B  OI S OAB  S  4  0  k  k      k  1  4 k   S  OA.OB    OAB 2 k Câu [2D3-3.2-3] [BTN 173] Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  đồ thị hàm số y  x  A S 16 B S 4 C S 8 Hướng dẫn giải D S 2 Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y  x3  x  y  x  là:  x 0  x  x   x   x  x 0    x 2 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP S  x  x dx  x  x dx  x  x dx 2 2 0 2  x4   x4    x  x  dx   x  x  dx    x     x  8   2  0 2 Câu [2D3-3.2-3] [THPT CHUN VINH] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y x , y 2  x y 0 Mệnh đề sau đúng? A S  x dx   1 B S   x dx  x   dx 1 C S   x 3 D S  x    x  dx  x   dx  0 Hướng dẫn giải Chọn B 1 3 Ta có: S x dx    x dx   x dx 0 Câu [2D3-3.2-3] [THPT Chun Hà Tĩnh] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 3 x y  x  3x  Chọn mệnh đề mệnh đề sau ? A S   16; 17  B S   15; 16  C S   14; 15  D S   13; 14  Hướng dẫn giải Chọn D 14 12 10 g(x) = x 3∙x + 10 5 Ta có S    x 2 Câu  3x   3 x  dx    x  3x   3x  dx 13,4 [2D3-3.2-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành đường thẳng y = x - A S = B S = 10 C S = 16 D S = 22 Hướng dẫn giải Chọn B TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Hồnh độ giao điểm x = x - Û x = ( x ³ 0) x =0 Û x =0 ; x- =0 Û x = Diện tích S = ị ( x dx + ò x - x + dx = ò xdx +ò Câu 2 ) x - x + dx = 10 [2D3-3.2-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Diện tích hình phẳng giới hạn Parabol  P  : y 3  x , đường thẳng d : y 2 x , trục tung x 2 là: A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn D D (đvdt)  x 1 2 Phương trình hồnh độ giao điểm:  x 2 x  x  x  0    x  Diện tích cần tìm tính cơng thức sau đây: S  x  x  dx   x  x  dx 1 x x x x2    3x    3x 3 Câu 5    4  đvdt  3  [2D3-3.2-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hịa] Diện tích hình phẳng giới hạn đường ln x , y 0 , x 1 , x e là: x A  e B  e y C  e Hướng dẫn giải D  e Chọn A e ln x dx Diện tích hình phẳng tính cơng thức: S  x dx  u ln x   du  x Khi ta có: Đặt:  dx   d v   v  x x   e e e ln x ln x S  dx  dx  x ln x  1 x x e e e dx  x ln x  x 2  1 x  e TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP Câu 10 [2D3-3.2-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Biết hình phẳng  H  giới hạn đường thẳng y 2  x , y 0 , x k , x 3  k   có diện tích Sk Xác định giá trị k để S k 16 A k   15 B k 2  31 C k 2  Hướng dẫn giải 15 D k   31 Chọn B 3 2 3     S k 2  x dx 2  x dx  2  x dx   x  dx    x  dx  x  x    x  x  k  2  k k k     2k  k      1     k  2k   2 Mà S k 16 nên suy Vì k  nên k 2  27 k  2k  16  k  2k  0  2 2  k 2  31   k 2  31 31 Câu 11 [2D3-3.2-3] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hịa] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x đồ thị hàm số y  x  x 10 A S  B S  C S 6 D S 12 Hướng dẫn giải Chọn B  x 0 Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x  x  x  x  x 0   x   2 2 S x  3x dx  Câu 12 [2D3-3.2-3] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hịa] Cho hình phẳng giới hạn đường y 1  x y 0 quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:  15 A V  16  15 B V  16  C V  D V   Hướng dẫn giải Chọn B  x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm:  x 0    x  1 16 V    x  dx   15 1 Câu 13 [2D3-3.2-3] [BTN 165] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e  1 x y  e x  1 x A e 1 B e 1 C e  D e  TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP Hướng dẫn giải Chọn D     x 0  x 0   x 1 x   e e  x x Phương trình hồnh độ giao điểm:  e  1 x   e x  x e  e 0   1   Vậy diện tích cần tính: S  x e  e x  dx x  e  e  dx x e Tới sử dụng công thức phần casio ta tìm S   Câu 14 [2D3-3.2-3] [BTN 163] Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y =  x đường thẳng y =  x bằng: 9 A (đvdt) B (đvdt) C 18 (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm parabol đường thẳng  x   x  x  x  x  0    x 2 Ta có: 2    x     x   dx    x  x  dx 1 1  x x3  8  1   x                1  3  3  9 Vậy S   (đvdt) 2 Câu 15 [2D3-3.2-3] [BTN 161] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x đồ thị hàm số y  x  x A 12 B C 16 D Hướng dẫn giải Chọn A  x 0 Phương trình hồnh độ giao điểm x  x  x  x    x 1 1 Vậy S HP  x3 x  x  x dx       12 Câu 16 [2D3-3.2-3] [THPT TH Cao Nguyên] Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 4 x  x trục hoành  0; 2 Tìm m để đường thẳng y mx chia hình  H  thành hai phần có diện tích A m 4  B m 4  C m   Hướng dẫn giải D m 4  2 Chọn D TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP  x4  x  x d x     2x      Ta có diện tích hình phẳng  H  là: S   x 0 Xét pt hoành độ giao điểm: mx 4 x  x    x 4  m  1 4 Để đường thẳng y mx chia hình  H  thành hai phần có diện tích  pt  1 có nghiệm x 0  m  Khi  1  x   m Vậy để thỏa mãn u cầu tốn ta có: 4 m   4x  x  x mx   mx  dx 2   x         m  4 m 2 m   m     m  2  m2  8m  0   m 4  2   m 4  2  l  Vậy m 4  2 Câu 17 [2D3-3.2-3] [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường parabol:  P  : y x  x  , tiếp tuyến  P  M  3;5  trục Oy Tính diện tích hình  H  A 15  đvdt  B 12  đvdt  C 18  đvdt  D  đvdt  Hướng dẫn giải Chọn D  P  : y x  x  , y 2 x  PTTT  P  M  3;5  : d : y  y 3  x  3   d : y 4 x  3 0 2 Diện tích hình  H  : S  x  x     x   dx x  x  9dx  x  3 dx 3  x  3 9 Câu 18 [2D3-3.2-3] [THPT Chun NBK(QN)] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  x3  3x  x , trục hoành, trục tung đường thẳng x 3 17 17 11 A B C D 4  Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x3  x  x trục hoành là:  x 0 x  x  x 0   x 1  x 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S x  3x  x dx   x  3x  x dx    x 3  3x  x dx   x  3x  x dx 1 11    4 4 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Câu 19 [2D3-3.2-3] [THPT Kim Liên-HN] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn parbol ( P ) , tiếp tuyến với ( P ) điểm A( 1; - 1) đường thẳng x = ( hình vẽ bên) Tính S B S = A S = C S = 3 D S = Hướng dẫn giải Chọn D Parbol ( P ) qua O nên có dạng: y = ax Vì đồ thị hàm số qua A(1; - 1) nên a =- Xét hàm số y =- x ta có: y ' =- x Þ y '(1) =- Phương trình tiếp tuyến ( P ) A là: y =- 2( x - 1) - Û y =- x +1 Vậy S = ò éêë(- x +1) - ( - x ) ùúûdx = Câu 20 [2D3-3.2-3] [Sở Hải Dương] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , 27 x2 , y x 27 26 A S 27 ln  y C S  B S 27 ln 26 D S 234 Hướng dẫn giải Chọn A 10 y A f(x) = x2 h(x) = 27 x B g(x) = O x2 27 x 10 Tìm giao điểm đồ thị:  x2 27  y  f  x  x     y g x  27 y h  x     O  0;0  :  x , A  3;0  :  x ; B  9;0  :    27 y  g x    y h  x    y  f  x  x  27   x TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN   0 Vậy diện tích S   x  PHƯƠNG PHÁP  27 x  x2  26  26  d x      dx    27 ln   27 ln  27  x 27    3 (Hoặc bấm máy tính để tính tích phân – hiệu với đáp án để chọn kết 0) Câu 21 [2D3-3.2-3] [Sở Bình Phước] Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đường cong y  x  x y  x  x A S  19 37 12 B S  D S  C S  12 37 Hướng dẫn giải Chọn A  x 1  Ta có x  x  x  x  x  x  x 0   x   x 0 3 Vậy S  3 x  x  x dx  x  x  x dx  2 37 12 Câu 22 [2D3-3.2-3] [BTN 175]  1 Cho y1  f1  x  y2  f  x  hai hàm số liên tục đoạn  a; b  Giả sử  a; b  phương trình f1  x   f  x  0 có hai nghiệm   , với a    b Khi diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng đồ thị cho công thức: b   S  f1  x   f  x  dx   f1  x   f  x  dx  f1  x   f  x  dx a  2   Cũng với giả thiết  1 , nhưng: b   S   f1  x   f  x   dx  a  f  x   f  x   dx   f  x   f  x   dx   A Cả  1   sai B    1 sai C Cả  1   D  1   sai Hướng dẫn giải Chọn C Chú ý với x    ;   , f1  x   f  x  0 Vì f1  x  f  x  để liên tục khoảng   ;   , f1  x    f  x  giữ nguyên dấu Nếu f1  x   f  x   ta có:    f  x   f  x  dx  f  x   f  x   dx   f  x   f  x   dx    Nếu f1  x   f  x   ta có:     f  x   f  x  dx  f  x   f  x   dx   f  x   f  x   dx  2   Vậy trường hợp ta có:    f1  x   f  x  dx   f1  x   f  x   dx   TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Tương tự tích phân cịn lại vậy, hai công thức  1   Câu 23 [2D3-3.2-3] [BTN 173] Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  đồ thị hàm số y  x  A S 16 B S 4 C S 8 Hướng dẫn giải D S 2 Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y  x3  x  y  x  là:  x 0  x  x   x   x  x 0    x 2 2 S  x  x dx  x  x dx  x  x dx 2 2 0 2  x4  x4  2   x  x  dx   x  x  dx    x     x  8   2  0 2 3 Câu 24 [2D3-3.2-3] [BTN 166] Ở hình bên, ta có parabol y x  x  , tiếp tuyến với điểm M  3;5  Diện tích phần gạch chéo là: A 10 B D 15 C 12 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt f1  x   x  x  Ta có f1  x  2 x  2, f1  3 4 Tiếp tuyến parabol cho điểm M  3;5  có phương trình y  4  x  3  y 4 x  Đặt f  x  4 x  Diện tích phải tìm là: 3  f1  x   f  x  dx  x  x     x   dx 0   x  3  2  x  x   dx  x  3 dx   9   0  0 3 Câu 25 [2D3-3.2-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành đường thẳng y = x - A S = B S = 10 C S = 16 D S = 22 Hướng dẫn giải Chọn B TRANG 10 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Hoành độ giao điểm x = x - Û x = ( x ³ 0) x =0 Û x =0 ; x- =0 Û x = Diện tích S = ị 4 ( x dx + ò x - x + dx = ò xdx +ò ) x - x + dx = 10 Câu 26 [2D3-3.2-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x - x + y = x + A B Hướng dẫn giải C D Chọn B  x 1 2 Phương trình hồnh độ giao điểm x  x  x   x  x  0    x 2 2  x Diện tích cần tính S   x     x   dx x  x  dx  x Rõ ràng khoảng  1;  phương trình x  x    S  2 1  x   dx  Câu 27 [2D3-3.2-3] [THPT Chun Hà Tĩnh] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 3 x y  x  3x  Chọn mệnh đề mệnh đề sau ? A S   16; 17  B S   15; 16  C S   14; 15  D S   13; 14  Hướng dẫn giải Chọn D 14 12 10 g(x) = x 3∙x + 10 5 TRANG 11 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Ta có S    x 2  3x   3 x  dx    x  3x   3x  dx 13,4 Câu 28 [2D3-3.2-3] [THPT Chuyên SPHN] Gọi S phần diện tích phần mặt phẳng giới hạn parabol y x  x  đường thẳng y kx  với k tham số thực Tìm k để S nhỏ : A k  B k 2 C k 1 Hướng dẫn giải D k  Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm parabol đường thẳng : x  x  kx   x    k  x  0  *    k   16  Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình  * x2 x2 x2  x3  k    S  x    k  x  dx   x    k  x   dx    x  x   S1   x1 x1 x1 2 x23  x13  k   x2  x12    x2  x1   x2  x1  S  P   k  2  16 x22  x12  x2  x1   x2  x1  S S  P  k    k  2  16 x23  x13  x2  x1   x22  x12  x2 x1   S  P  S  4P   k         k    4  S1    k  2  16  2 k  k  2  k  2  16   k  2  k  2   k  2    k   k  2    k    16    4   1 2   k    16   k  4k  20    k    16   k    16  6 1 2 2 S   k   16   k    16   k    16   k   16  6 S nhỏ k  0  k 2 2  16  16 Câu 29 [2D3-3.2-3] [THPT Chuyên SPHN] Diện tích S hình phẳng giới hạn hai đường cong y 1  x , y  x  10 B S  A S 2 C S  D S 4 Hướng dẫn giải Chọn B  x 1 2 Phương trình hồnh độ giao điểm:  x x   x 1    x  Diện tích S hình phẳng cần tìm là: 1 1   S  2 x  dx 2   x  dx 2  x  x    1  1 1 2 TRANG 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Câu 30 [2D3-3.2-3] [THPT Trần Phú-HP] Cho m số thực kí hiệu S  m  diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y m.x parabol y  x  x  Hỏi S  m  đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A 2 Phương trình hồnh độ giao điểm : x  x  mx  x    m  x  0 có hai nghiệm x1 ; x2 Diện tích hình phẳng : x2 x2 x3  x3  m x3  m S  x    m  x  dx   x  2x    x2  x12    x2  x1  3 x1 x x2  x1   x2  x1   x2 x1   m  2 x22  x12  x2  x1   x2  x1   m   8  m  2 8 2 x23  x13  x2  x1   x22  x12  x2 x1   x2  x1    x2  x1   x2 x1    m    2       m    2  m    2 m  S    m  2   m    2  m        m  2   m  2  m  2 8 2   m  2 8   m  2  m  2 8 8  m  2 1  m  2   8   m  2  m  2 8 2    m    8  8.8    TRANG 13 ... x2  x1   m   8  m  2? ?? 8 2 x23  x13  x2  x1   x 22  x 12  x2 x1   x2  x1    x2  x1   x2 x1    m    2? ??       m    2? ??  m    2? ?? m  S    m  2? ??... x1 ; x2 Diện tích hình phẳng : x2 x2 x3  x3  m x3  m S  x    m  x  dx   x  2x    x2  x 12    x2  x1  3 x1 x x2  x1   x2  x1   x2 x1   m  2? ?? x 22  x 12  x2  x1...   m  2? ??   m    2? ??  m        m  2? ??   m  2? ??  m  2? ?? 8 ? ?2   m  2? ?? 8   m  2? ??  m  2? ?? 8 8  m  2? ?? 1  m  2? ??   8   m  2? ??  m  2? ?? 8 2    m    8  8.8