Lý thuyết bài giảng giới hạn của dãy số (2)

Bài giảng giới hạn dãy số chi tiết, dễ tiếp cận cho các em học sinh. Đồng thời là tài liệu để quý thầy cô giảng dạy. Tài liệu được cập nhật thường xuyên do trong quá trình biên soạn theo cấu trúc mới.

Lý thuyết giảng chương (Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên) A Giới hạn dãy số Bài Dãy số có giới hạn Lý thuyết I Định nghĩa   a) Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn kể từ số hạng trở dãy số, số hạng có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương bé tùy ý Khi ta viết lim un  n  lim un  un    có giới hạn   b) Nhận xét: Dãy un có giới hạn dãy un Một số dãy số có giới hạn thường gặp 1  0; lim  0; lim 0 n n n 1  0, lim k k    Tổng quát: lim k n n a) lim     b) Dãy không đổi un có un  có giới hạn c) Nếu | q |  lim q n     Định lý: Cho hai dãy số un , II  u  v n thỏa mãn:  n  lim un  lim v  n  Ví dụ Ví dụ 1: a) lim 0 3n b) lim 2n n   7 0 Ví dự 2: Chứng minh a) lim III  sin 3n  n 0 b) lim sin 2n  cos 2n 2.6n 0 Bài tập GV: Hoàng Văn Phiên Gmail: ppk43a@gmail.com SĐT: 0979.493.934 01235.493.934 Trang Lý thuyết giảng chương (Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên) Bài Dãy số có giới hạn I Lý thuyết Định nghĩa giới hạn dãy số     Ta nói dãy un có giới hạn số hữu hạn L lim un  L  Khi ta viết lim un  L n  lim un  L un  L Một số tính chất Định lý 1: Nếu lim un  L thì: a) lim un  L ; lim un  L L  b) Nếu un  0, n  lim un  L Định lý 2: Nếu lim un  a; lim  b; c     a) Các dãy số un  , un u  b) Nếu b  dãy số  n  v   n Định lý 3: (Định lý kẹp giới hạn)     lim u  v  a  b n n  , c.un có giới hạn lim un  a.b lim c.u  c.a n  u a có giới hạn lim n  b     v  un  wn Cho dãy số un , , wn Nếu với n ta có  n lim un  L lim  lim wn  L Định lý 4: (Định lý Weiertrass)     a) Dãy tăng bị chặn có giới hạn b) Dãy giảm bị chặn có giới hạn Tính chất đặc biệt n  1 a) lim     e n    b) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn | q | S  u1  u1 q  u1.q   II u1 1q Ví dụ Ví dụ 1: Với số nguyên dương k số c ta có: lim GV: Hoàng Văn Phiên Gmail: ppk43a@gmail.com c  c.lim k  k n n SĐT: 0979.493.934 01235.493.934 Trang Lý thuyết giảng chương (Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)  16 sin 2n  Ví dụ 2: Tính lim  25 n2 Ví dụ 3: Tính a) lim  2n  3n  3n  5n  3n  b) lim 3n  3n  3n  5n  3n  3n  n  1 Ví dụ 4: Tính lim    n  1 Ví dụ 5: Tính tổng S     2 Ví dụ 6: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a) 0, 3333 b) 3, 292929 c) 0, 99999   Ví dụ 7: Gọi (C) đường tròn đường kính AB  2a (a số thực dương) Gọi C đường gồm AB AB Gọi C đường gồm nửa đường tròn đường kính ,…, 2 AB Gọi C n đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính n ,… Gọi pn độ dài C n , Sn diện tích giới hạn đường C n với đoạn thẳng AB   hai nửa đường tròn đường kính       a) Tính pn Sn    b) Tính giới hạn dãy pn , Sn a   q  q   q n 1  Ví dụ 8: Cho | q | 1,| Q |  n 1 b   Q  Q   Q  Tính tổng S   q Q  q Q   q n Q n  III Bài tập Bài Dãy số có giới hạn vô cực I Lý thuyết   Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn  kể từ số hạng trở dãy số mà số hạng lớn số dương lớn tùy ý Khi ta viết lim un   ,… (TT với giới hạn âm) Các quy tắc tìm giới hạn vô cực (Không định lý 2)  Quy tắc 1: Nếu lim un  ; lim   lim un GV: Hoàng Văn Phiên Gmail: ppk43a@gmail.com  xác định sau (kẻ bảng) SĐT: 0979.493.934 01235.493.934 Trang Lý thuyết giảng chương (Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)  Quy tắc 2: Nếu lim un  ; lim  a  lim un Quy tắc 3: Nếu lim un  a  0; lim  0,  lim  xác định sau (kẻ bảng) un xác định sau (kẻ bảng) Chú ý: a) Nếu lim  0,  lim b) Nếu lim un   lim II   | | 0 un Ví dụ Ví dụ 1: Có: lim n  ; lim n  ; lim n  ; lim 2n  ; lim  2n  ; lim n     Ví dụ 2: Tính giới hạn sau n2  2n  Ví dụ 3: Tính giới hạn sau b) lim a) lim a) lim  n 1  n 3n  2n  2n  3n    1 b) lim     2 n  n  n  n    Ví dụ 4: Tính a) lim   22   2n   32   3n b) lim 12  22  32   n  2n     2n   Ví dụ 5: Tính lim 2.3n  n  (Khó) Ví dụ 6: Tổng CSN lùi vô hạn tổng hai số hạng đầu 4,5 Tìm số hạng đầu công bội CSN   Ví dụ 7: Cho dãy số un u1   Đặt  un  : un  3, n  un 1       a) Chứng minh CSN b) Tính lim un III Bài tập B Giới hạn hàm số C Hàm số liên tục GV: Hoàng Văn Phiên Gmail: ppk43a@gmail.com SĐT: 0979.493.934 01235.493.934 Trang .. .Lý thuyết giảng chương (Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên) Bài Dãy số có giới hạn I Lý thuyết Định nghĩa giới hạn dãy số     Ta nói dãy un có giới hạn số hữu hạn. ..  q Q  q Q   q n Q n  III Bài tập Bài Dãy số có giới hạn vô cực I Lý thuyết   Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn  kể từ số hạng trở dãy số mà số hạng lớn số dương lớn tùy ý Khi... Định lý 4: (Định lý Weiertrass)     a) Dãy tăng bị chặn có giới hạn b) Dãy giảm bị chặn có giới hạn Tính chất đặc biệt n  1 a) lim     e n    b) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn |