Bài tập cơ học lưu chất

Để làm thí nghiệm thủy lực, người ta đổ đầy nước vào một đường ống có đường kính d = 300mm, chiều dài L = 50m ở áp suất khí quyển. Hỏi lượng nước cần thiết phải đổ vào ống là bao nhiêu để áp suất đạt tới 51at ? Biết hệ số nén ép Giải Lượng nước cần thiết phải đổ vào ống để áp suất tăng lên 51at là : Ta có hệ số giãn nở do áp lực :

Cơ Học Lưu Chất BÀI TẬP CHƯƠNG I MỞ ĐẦU Bài 1.1 Để làm thí nghiệm thủy lực, người ta đổ đầy nước vào một đường ống có đường kính d = 300mm, chiều dài L = 50m ở áp suất khí quyển. Hỏi lượng nước cần thiết phải đổ vào ống là bao nhiêu để áp suất đạt tới 51at ? Biết hệ số nén ép 1 20000 1 − = at p β Giải Lượng nước cần thiết phải đổ vào ống để áp suất tăng lên 51at là : Ta có hệ số giãn nở do áp lực : dpVdV dp dV V pp 1 ββ =⇒−= Do dpdV , đồng biến nên : dpVdV dp dV V pp 1 ββ =⇒+= Mà thể tích 3 22 5325,350. 4 )3.0.(14,3 . 4 . . mL d LSV ==== π )(84,8)(10.84,8)151.(5325,3. 20000 1 33 litermdV ==−=⇒ −  Vậy cần phải thêm vào ống 8.84 lít nước nữa để áp suất tăng từ 1at lên 51at. Bài 1.2 Trong một bể chứa hình trụ thẳng đứng có đường kính d = 4m, đựng 100 tấn dầu hỏa có khối lượng riêng 3 /850 mkg = ρ ở 10 0 C. Xác định khoảng cách dâng lên của dầu trong bể chứa khi nhiệt độ tăng lên đến 40 0 C. Bỏ qua giãn nở của bể chứa. Hệ số giãn nở vì nhiệt 10 00072,0 − = C t β . Giải Khối lượng riêng của dầu hỏa là : )(65,117 17 2000 850 10.100 3 3 m m V V m ≈===⇒= ρ ρ Hệ số giãn nở do nhiệt độ : )(542,2 85 216 )3040.( 17 2000 .00072,0 1 3 mdtVdV dt dV V tt ≈=−==⇒= ββ Mà : )(202,0 4.14,3 542,2.4 . 4 . 4 . 22 2 m d dV hh d dV ===∆⇒∆= π π  Vậy khoảng cách dầu dâng lên so với ban đầu là 0.202(m) Bài 1.3 Khi làm thí nghiệm thủy lực, dùng một đường ống có đường kính d = 400mm, dài L = 200m, đựng đầy nước ở áp suất 55 at. Sau một giờ áp suất giảm xuống còn 50 at. Xác định lượng nước chảy qua các kẽ hở của đường ống. Hệ số nén ép 1 20000 1 − = at p β . Giải Hệ số giãn nở do áp lực : dpL d dpVdV dp dV V ppp 4 . 1 2 π βββ −=−=⇒−= )(28,6)(10.28,6)5550(.200. 4 4,0.14,3 20000 1 33 2 litermdV ==−−=⇒ −  Vậy lựơng nước chảy qua khe hở đường ống là 6.28 (liter) Bài 1.4 Page 1 of 25 Cơ Học Lưu Chất Một bể hình trụ đựng đầy dầu hỏa ở nhiệt độ 5 0 C, mực dầu cao 4m. Xác định mực dầu tăng lên, khi nhiệt độ tăng lên 25 0 C. Bỏ qua biến dạng của bể chứa. Hệ số giãn nở vì nhiệt 10 00072.0 − = C t β . Giải Hệ số giãn nở do nhiệt độ : dtVdV dt dV V tt 1 ββ =⇒= Mà thể tích ban đầu là : h d V . 4 . 2 π = Thể tích dầu tăng lên : h d dV ∆= 4 . 2 π )(58)(058,0)525.(4.00072,0 . 1 mmmdthh dth h dt dV V t t ==−==∆⇒ ∆ == β β BÀI TẬP CHƯƠNG II THỦY TĨNH HỌC Bài 2.1 Xác định độ cao của cột nước dâng lên trong ống đo áp (h). Nước trong bình kín chịu áp suất tại mặt tự do là atp t 06.1 0 = . Xác định áp suất t p 0 nếu h = 0.8m. Giải Chọn mặt đẳng áp tại mặt thoáng của chất lỏng. Page 2 of 25 Cơ Học Lưu Chất Ta có : BA pp = Mà hpp hpp pp a B A . , 0 0 0 γ γ +=⇒    += = )(6,0 9810 10.81,9).106,1( 4 0 m pp h a = − = − =⇒ γ Nếu h=0,8m thì )(08,1/105948981008,0.9810. 2 0 atmNphp a ==+=+=⇒ γ Bài 2.2 Một áp kế đo chênh thủy ngân, nối với một bình đựng nước. a) Xác định độ chênh mực nước thủy ngân, nếu h 1 = 130mm và áp suất dư trên mặt nước trong bình 40000 N/m 2 . b) Áp suất trong bình sẽ thay đổi như thế nào nếu mực thủy ngân trong hai nhánh bằng nhau. Giải a) Xác định độ chênh mực thủy ngân (tìm h 2 ) : Chọn mặt đẳng áp như hình vẽ : Ta có : BA pp = ).( 21 2 0 hhpp OHA ++= γ 2 .hpp HgaB γ += 221 2 0 .).( hphhp HgaOH γγ +=++⇒ 1 2 0 2 2 .)()( hpph OHaOHHg γγγ +−=−⇔ Mà da ppp =− 0 Vậy : )(334,0 98100132890 013,0.981040000 )( . 2 1 2 2 m hp h HgOH OHd = − + = − + = γγ γ b) Áp suất trong bình khi mực thủy ngân trong hai nhánh bằng nhau : Ta có : DC pp = hpp OHC . 2 0 γ += aD pp = aOH php =+⇒ . 2 0 γ ckaOH ppph =−=⇔ 0 2 . γ )(0297,057,2913)334,0. 2 1 13,0.(9810 ).(. 2 2 1 1 22 at hhhp OHOHck ≈=+= +==⇔ γγ Bài 2.3 Một áp kế vi sai gồm một ống chữ U đường kính d = 5mm nối hai bình có đường kính D = 50mm với nhau. Máy đựng đầy hai chất lỏng không trộn lẫn với nhau, có trọng lượng riêng gần bằng nhau : dung dịch rượu êtylic trong nước ( 3 1 /8535 mN = γ ) và dầu hỏa ( 3 2 /8142 mN = γ ). Lập quan hệ giữa độ chênh lệch áp suất 21 ppp −=∆ của khí áp kế phải đo với độ dịch chuyển của mặt phân cách các chất lỏng (h) tính từ vị trí ban đầu của nó (khi 0 =∆ p ). Xác định p ∆ khi h = 250mm. Page 3 of 25 Cơ Học Lưu Chất Giải a) Lập mối quan hệ giữa độ chênh lệch áp suất 21 ppp −=∆ : Chọn mặt đẳng áp như hình vẽ : • Khi )(0 21 ppp ==∆ : thì mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng khác nhau ở vị trí cân bằng O : o BA pp = o 111 .hpp A γ += o 222 .hpp B γ += Theo điều kiện bình thông nhau : 1 22 12211 . γ γ γγ h hhh =⇒= • Khi )(0 21 ppp >>∆ : thì mực nước trong bình 1 hạ xuống 1 đoạn h ∆ và đồng thời mực nước bình 2 tăng lên 1 đoạn h ∆ . Khi đó mặt phân cách di chuyển lên trên 1 đoạn h so với vị trí O. ).( 111 hhpp A ∆−+= γ hhhhpp B .).( 1222 γγ +−∆++= Theo tính chất mặt đẳng áp ta có : (*)].[).().( .).().( .).().( 2211212121 1112221 1222111 hhhhpp hhhhhhpp hhhhphhp γγγγγγ γγγ γγγ −−+∆+−=−⇔ +∆−−−∆+=−⇔ +−∆++=∆−+ Ta thấy thể tích bình 1 giảm một lượng : h d V ∆= 4 . 2 π Thể tích trong ống dâng lên một lượng : h d V 4 . 2 ' π = Ta có h D d hVV 2 2 ' =∆⇒= và 2211 . hh γγ = thay vào (*) Ta được :         ++−= ++−=−=∆ ).()( ).().( 21 2 2 21 21 2 2 2121 γγγγ γγγγ D d h h D d hppp Tính p ∆ khi h = 250mm Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 /14081428535 05,0 005,0 8142853525,0 mNp =         ++−=∆ ĐS : a/         ++−=∆ ).()( 21 2 2 21 γγγγ D d hp b/ 2 /140 mNp =∆ Bài 2.4 Xác định vị trí của mặt dầu trong một khoang dầu hở của tàu thủy khi nó chuyển động chậm dần đều trước lúc dừng hẳn với gia tốc a = 0.3 m/s 2 . Kiểm tra xem dầu có bị tràn ra khỏi thành không, nếu khi tàu chuyển động đều, dầu ở cách mép thành một khoảng e = 16cm. Khoảng cách tàu dài L = 8m. Giải Page 4 of 25 Cơ Học Lưu Chất Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta biết mặt tự do của dầu là mặt đẳng áp. Phương trình vi phân mặt đẳng áp : (*)0 =++ ZdzYdyXdx Có : gZYaX −=== ;0; thay vào (*) (*) 0 =−⇔ gdzadx Tích phân ta được : Czgxa =− Vì mặt tự do của dầu đi qua gốc tọa độ O (x=0, z=0) 0 =⇒ C . Nên phương trình mặt tự do sẽ là : 0 =− zgxa Có β tgxz . = trong đó g a tg = β Như vậy mặt dầu trong khoang là mặt phẳng nghiêng về phía trước : )(24,12)(1224,0 81,9 3,0 .4. cmm g a xz ====⇒ với )(4 2 8 2 m L x ==+= Ta thấy z = 12,24 (cm) < e = 16 (cm) nên dầu không tràn ra ngoài. Bài 2.5 Một toa tàu đi từ ga tăng dần tốc độ trong 10 giây từ 40 km/h đến 50 km/h. Xác định áp suất tác dụng lên điểm A và B. Toa tàu hình trụ ngang có đường kính d = 2,5m, chiều dài L = 6m. Dầu đựng đầy một nửa toa tàu và khối lượng riêng của dầu là 850 kg/m 3 . Viết phương trình mặt đẳng áp và mặt tự do của dầu. Giải Gia tốc của toa tàu là : )/(28.0 3600.10 4050 0 sm t vv a t = − = ∆ − = Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng : )( ZdzYdyXdxdp ++= ρ Tích phân ta được : CZzYyXxp +++= )( ρ (*) Có X = -a; Y = 0; Z = -g Thay X, Y, Z vào (*) ta được : Cgzaxp +−−= )( ρ Vì mặt tự do của dầu đi qua gốc tọa độ (x=0, z=0) a ppC ==⇒ Vậy : a pgzaxp +−−= )( ρ Áp suất tại A (x= -L/2 = -3; y=0; z=-d/2 = -1,25) là : [ ] )(113,1/2,10923798100)25,1.(81,9)3.(28,0850 2 atmNp A ==+−−−−= )(113,01113,1 atppp aA A d =−=−=⇒ Áp suất tại B (x= L/2 = 3; y=0; z=-d/2 = -1,25) là : [ ] )(099,1/2,10780998100)25,1.(81,9)3.(28,0850 2 atmNp A ==+−−−= )(099,01099,1 atppp aA A d =−=−=⇒ • Phương trình mặt đẳng áp : Phương trình vi phân đẳng áp : 0 =++ ZdzYdyXdx Với : X = -a; Y = 0; Z = -g 0 =−−⇒ gdzadx Page 5 of 25 Cơ Học Lưu Chất Tích phân ta được : Cx g a zCgdzadx +−=⇒=−−⇒ • Phương trình mặt tự do : Tại mặt thoáng : x = 0; y = 0; z = 0 0 =⇒ C Nên : x g a z −= Bài 2.6 Một bình hở có đường kính d = 500 mm, đựng nước quay quanh một trục thẳng đứng với số vòng quay không đổi n = 90 vòng/phút. a) Viết pt mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực nước trên trục bình cách đáy Z 0 = 500mm. b) Xác định áp suất tại điểm ở trên thành bình cách đáy là a = 100mm. c) Thể tích nước trong bình là bao nhiêu, nếu chiều cao bình là H = 900mm. Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : a) Viết phương trình mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực nước trên trục bình cách đáy Z 0 = 500mm. Phương trình vi phân mặt đẳng áp : 0 =++ ZdzYdyXdx Trong đó : xX 2 ω = ; yY 2 ω = ; gZ −= Thay vào phương trình vi phân ta được : 0 22 =−+ gdzydyxdx ωω Tích phân : Cgzyx =−+ 2222 2 1 2 1 ωω ( ) (*). 2 1 . 2 1 22 222 Czgr Czgyx =−⇔ =−+⇔ ω ω Vậy phương trình mặt đẳng áp là : C g r z += 2 22 ω Đối với mặt tự do cách đáy Z 0 = 500mm Tại mặt tự do của chất lỏng thì : x = y = 0 và z = z 0 thay vào (*) 0 .zgC −=⇒ Vậy phương trình mặt tự do sẽ là : 0 22 . 2 zg g r z −= ω hay 0 22 2 z g r z += ω b) Xác định áp suất tại điểm trên thành bình cách đáy 1 khoảng a = 100mm : Phương trình phân bố áp suất : )( ZdzYdyXdxdp ++= ρ Trong đó : xX 2 ω = ; yY 2 ω = ; gZ −= Thay vào ta được : ( ) gdzydyxdxdp −+= 22 ωωρ Tích phân : Cgzyxp +       −+= 2222 2 1 2 1 ωωρ ( ) (**). 2 1 . 2 1 22 222 Czgrp Czgyxp +       −=⇔ +       −+=⇔ ωρ ωρ Page 6 of 25 Cơ Học Lưu Chất Tại mặt tự do (tại O) ta có : x = y = 0 và z = z 0 a pp =⇒ Thay vào (**) a pzgC +−=⇒ 0 ρ (**) 2 . 2 1 22 0 22 r hpzgpzgrp aa ω ργρρωρ ++⇔++−=⇔ Vì      = += −= g yxr zzh . 222 0 ργ Điểm trên thành bình cách đáy 100mm có : srad n mzzh m d ratp a /42,9 30 90.14,3 30 . ;4,0400100500 25,0 2 5,0 2 ;1 0 =====−=−= ==== π ω Áp suất tại điểm này sẽ là : atmN r hppp ad 068,0/6697 2 25,0.42,9 10004,0.9810 2 . 2 2222 ==+=+=−=⇔ ω ργ Bài 2.7 Người ta đúc ống gang bằng cách quay khuôn quanh 1 trục nằm ngang với tốc độ quay không đổi n = 1500 vòng/phút. Xác định áp suất tại mặt trong của khuôn, nếu trọng lượng riêng của ống gang lỏng 3 /68670 mN = γ . Cho biết thêm đường kính trong của ống d = 200mm, chiều dày ống mm20 = δ . Tìm hình dạng của mặt đẳng áp. Giải Tốc độ quay : srad n /157 30 1500.14,3 30 . === π ω Gia tốc lực ly tâm trên mặt khuôn : 22 /295012,0.157. smra === ω Trong đó : m d rr 12,002,0 2 2,0 2 0 =+=+=+= δδ Vì g = 9,81 m/s 2 << a = 2950m/s 2 nên khi tính ta bỏ qua gia tốc trọng trường. Chọn gốc tọa độ trên trục ống, trục x trùng với trục ống ta có : 0 = X ; yz 2 ω = ; zZ 2 ω = Thay vào phương trình vi phân cơ bản tổng quát của chất lỏng : ( ) zdzydy ZdzYdyXdxdp 22 )( ωωρ ρ += ++= Tích phân ta được : ( ) C r pCzyp +=⇔++= 22 22 22 2 ω ρ ω ρ Hằng số C được xác định từ điều kiện : khi 0 rr = (mặt trong của ống) thì at pp = do đó : 2 2 0 2 r pC a ω ρ −= Vậy ( ) a p rr p + − = 2 2 0 22 ω ρ Nhìn vào phương trình ta thấy áp suất trong gang lỏng thay đổi luật parabol theo phương bán kính. Page 7 of 25 Cơ Học Lưu Chất Áp suất dư tại mặt trong của khuôn là : ( ) ( ) atmN rr g rr ppp atd 87,3/380000 2 1,012,0(157 . 81,9 68670 2 . 2 2 222 2 0 222 0 22 == − = − = − =−= ω γ ω ρ Phương trình vi phân mặt đẳng áp : ( ) 0 22 =+ zdzydy ωω Tích phân ta được : const r = 2 . 22 ω . Ta thấy mặt đẳng áp là những mặt tròn có trục trùng với trục quay. Bài 2.8 Một của van hình chữ nhật đặt đứng có chiều rộng b = 3m, trọng lượng nặng 700kG có thể nâng lên hoặc hạ để khống chế lưu lượng qua cống. Mực nước thượng lưu H 1 = 3m và mực nước hạ lưu H 2 = 1.5m a) Xác định điểm đặt và áp lực tổng lên cửa van. b) Xác định lực nâng cửa van, biết chiều dày của van là a = 20 cm và hệ số ma sát tại các khe phai f = 1.4. c) Xác định điểm đặt bốn dầm ngang sao cho áp lực nước truyền lên từng dầm là như nhau. Giải a) Xác định điểm đặt và áp lực tổng lên của van. • Áp lực phía thượng lưu : Trị số : )(1324353. 2 3.9810 . 2 . 22 11 NH b p === γ Điểm đặt : )(23. 3 2 3 2 1 1 mHZ D === • Áp lực phía hạ lưu : Trị số : )(331095,1. 2 3.9810 . 2 . 22 22 NH b p === γ Điểm đặt : )(15,1. 3 2 3 2 2 2 mHZ D === • Áp lực tổng hợp : ( ) Nppp 9932633109132435 21 =−=−= • Điểm đặt áp lực tổng hợp lên cửa van : Ta có : A p A p A p MMM 21 −= ( ) )(833,1 99326 5,131.331092.132435 ).(. ).( 2121 2121 21 21 m P HHZPZP Z HHZPZPZP DD D DDD = −++ = +++ =⇒ +++= b) Lực nâng cửa van : ( ) N FPfGT AC 4,154725 882999326.4,181,9.700 . = ++= ++= c) Xác định điểm đặt bốn dầm ngang sao cho áp lực nước truyền lên từng dầm là như nhau : Áp lực lớn nhất khi H 2 = 0 Áp lực là P 1 . Do đó mỗi dầm chịu 1 lực là 4 1 P Page 8 of 25 G : trọng lượng tấm chắn f : hệ số ma sát khe phai F AC : lực đẩy Acsimét. ( ) NHbagVgF AC 88295,1.3.2,0.81,9.1000 2 ==== ρρ Cơ Học Lưu Chất ( ) N P PPPP dddd 75,33108 4 132435 4 1 4321 ======⇒ Ta xem cửa sổ gồm 4 tấm ghép lại. Gọi A, B, C, D là 4 vị trí thấp nhất của biểu đồ áp suất tĩnh tác dụng lên 4 dầm. • 2 1 2 1 2 . 4 1 2 . 4 1 H b OA b P P d γγ =⇔= m H OAHOA 5,1 2 3 24 1 1 2 1 2 ===⇒=⇒ mOAZ d 15,1 3 2 3 2 1 ===⇒ • ( ) 2 1 22 1 2 . 4 1 2 . 4 2 H b OAOB b P P d γγ =−⇔= 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 1 22 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 HHHHOA OBHOAOB =+=+= ⇒=−⇒ mHOB 12,23 2 1 2 1 22 1 ===⇒ m OAOB OAOB Z d 828,1 5,112,2 5,112,2 3 2 3 2 22 33 22 33 2 = − − = − − =⇒ • ( ) 2 1 22 1 2 . 4 1 2 . 4 3 H b OBOC b P P d γγ =−⇔= 2 1 2 1 2 1 2 1 222 1 22 4 3 4 1 2 1 4 1 4 1 HHHHOBOCHOBOC =+=+=⇒=−⇒ mHOC 6,23 4 3 4 3 22 1 ===⇒ m OBOC OBOC Z d 368,2 12,26,2 12,26,2 . 3 2 3 2 22 33 22 33 3 = − − = − − =⇒ • ( ) 2 1 22 1 2 . 4 1 2 . 4 4 H b OCOD b P P d γγ =−⇔= 2 1 2 1 2 1 2 1 222 1 22 4 1 4 3 4 1 4 1 HHHHOCODHOCOD =+=+=⇒=−⇒ mHOD 3 1 ==⇒ m OCOD OCOD Z d 805,2 6,23 6,23 3 2 3 2 22 33 22 33 4 = − − = − − =⇒ Bài 2.9 Xác định lực nâng Q để nâng tấm chắn nghiêng một góc α , quay được quanh trục O. Chiều rộng tấm chắn b = 1.5m, khoảng cách từ mặt nước đến trục O là a = 20 cm. Góc 0 60 = α , H = 1.5m. Bỏ qua trọng lựợng tấm chắn và ma sát trên bản lề của trục O. Giải Áp lực lên tấm chắn là : ( ) NH b P 191155,1 60sin2 5,1.9810 sin2 . 2 0 2 === α γ Vi trí tâm của áp lực : Page 9 of 25 Cơ Học Lưu Chất ( ) mHZ D 155,15,1. 60sin3 2 . sin3 2 0 === α Để nâng được tấm chắn này lên thì : 00 PQ MM > ( ) ( ) ( ) N a Sin H aZP Q aZPa H Q D D 13406 2,0 60sin 5,1 )2,0155,1(19115 sin 0 = + + = + + >⇒ +>       +⇔ α α Vậy Q > 13406 (N) Bài 2.10 Một cửa van phẳng hình chữ nhật nằm nghiêng tựa vào điểm D nằm dưới trọng tâm C 20cm (tính theo chiều nghiêng) ở trạng thái cân bằng. Xác định áp lực nước lên của van nếu chiều rộng của nó b = 4m và góc nghiêng 0 60 = α . Giải Ta có aZZ CD += Mà αα sin2sin H h Z C C == a H Z D +=⇒ α sin2 Mặt khác α sin3 2H Z D = ( ) mbaH 04,160sin.6.2,0sin 0 ===⇒ α Vậy ( ) NH b P 2450404,1. 60sin.2 4.9810 sin2 . 2 0 2 === α γ Bài 2.11 Xác định lực tác dụng lên nắp ống tròn của thùng đựng dầu hỏa. Đường kính ống d = 600 mm, mực dầu H = 2.8m. Xác định điểm đặt của tổng tĩnh áp. Khối lượng riêng dầu hỏa là 880 kg/m 3 . Cho moment quán tính 64 . 4 0 d I π = Giải Lực tác dụng lên nắp ống chính là lực dư : ωγ hP = Trong đó : h c là khoảng cách từ tâm diện tích đến mặt thoáng = H ω - diện tích nắm ống tròn ( ) ( ) NkgP 43,683468,696 4 6,0.14,3 .8,2.880 2 ===⇒ Điểm đặt : ( ) m H d d H Z I ZZ C CD 808,2 14 64 . . 2 4 0 =+=+= π π ω Page 10 of 25 . Cơ Học Lưu Chất BÀI TẬP CHƯƠNG I MỞ ĐẦU Bài 1.1 Để làm thí nghiệm thủy lực, người ta đổ đầy nước.  Vậy lựơng nước chảy qua khe hở đường ống là 6.28 (liter) Bài 1.4 Page 1 of 25 Cơ Học Lưu Chất Một bể hình trụ đựng đầy dầu hỏa ở nhiệt độ 5 0 C, mực