Bài tập cơ học đất

Cơ học đất là một ngành của cơ học ứng dụng chuyên nghiên cứu về đất. hầu hết các công trình xây dựng đều trên đất, nghĩa là dùng đất làm nền cho các công trình, số khác các công trình như nền đường.

Ví dụï 7.1 bài toán CU và CD trên đất cố kết thường NC

Đất NC có các đặc trưng: M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32 được tiến hành thí nghiệm ba trục thoát nước và không thoát nước

Hai mẫu đất trên cùng chịu nén cố kết đẳng hướng đến áp lực 200 kPa Tiếp đến là giữ nguyên áp lực buồng và tăng áp lực đứng lên từng gia số 20 kPa

Mẫu A theo điều kiện thoát nước (u=0)

Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (εv =0)

Tính các độ biến dạng và áp lực nước lỗ rỗng?

01

'ln'

×

=

−+

'ln

Mp q

Mẫu A áp ứng suất lệch theo lộ trình AC - có thoát nước

Cách giải 1: tính theo các giá trị thể tích riêng (hoặc hệ số rỗng) của mẫu đất sau mỗi gia số ứng suất

Từ q0 = 0; p’0 = 200 kPa và v0 = 2,26 mẫu đất đang đường NCL thuộc mặt gia tải, nếu gia tải lộ trình ứng suất sẽ di chuyển trên mặt ngưỡng và sẽ xuất hiện biến dạng

dẻo

Gia tải lần thứ nhất: ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = ∂σ1 = 20 kPa

và ∂p = ∂p’ = ∂σ1/3 = 20/3 = 6,7 kPa

Bước 1 Tính q1 và p’1

q1 = q0 + ∂q = 20kPa và p’1 = p’0 + ∂p’ = 200 + 6,7 = 206,7kPa

lúc này trạng thái mẫu đất di chuyển từ điểm C0 đi trên mặt giới hạn và đến điểm D1 thuộc mặt ngưỡng mới có giao điểm với NCL tại p’C1 và cắt CSL tại p’X1, Từ công thức (7.25) suy ra

425,417,206ln7,20602,1

201

'ln'

×

=

−+

'ln

Mp q

Hình 7.1 kết quả ví dụï 7.1 lộ trình thoát nước

Áp dụng công thức (7.37)

200

7,206ln26,2

05,0

ln '

0

' 1 0

e e v

p

p v

p

p C ln x 1 5,425 C 227

cũng có thể sử dụng công thức p’C1 = e×p’C0 = 2,718 × 83,5 = 227 kPa

Bước 4 tính biến dạng thể tích dẻo, áp dụng công thức (7.38):

%84,00084,0200

227ln26,2

05,02,0

ln '0

' 1 0

v

p

p v

κ λ

Bước 5 tính tổng biến dạng thể tích

%913,0

%84,0

%073,

=

∆+

∆

=

v e v

ε

Bước 6 tính biến dạng dẻo cắt theo công thức

%824,002,1

%84,0

' 0 0

p v p

d

ε ε

Vì C1 nằm trên đường NCL có thể tính dễ dàng vC1 = 3,32 – 0,2ln227 = 2,235

Trên đường nở từ C1 có thể tính thể tích riêng tại D1

7,206

227ln05,0235,2ln

' 1

' 1 1

D

C C

D

p

p v

Gia tải lần 2 ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0

∂q = ∂σ1 = 20 kPa và ∂p = ∂p’ = ∂σ1/3 = 20/3 = 6,7 kPa

Bước 1 Tính q2 và p2,

q2 = q1 + ∂q = 40kPa và p2 = p1 + ∂p’ = 213,4kPa, lúc này trạng thái mẫu đất đang

di chuyển từ D1 của đường ngưỡng (p’C1) trên mặt giới hạn đến điểm D2 của đường ngưỡng (p’C2), có giao điểm với CSL tại p’X2, Từ công thức (7.25) suy ra

547,414,213ln4,21302,1

401

'ln'

×

=

−+

36,94

'ln

Mp q

Tính p’C2 trên trục p’ có q = 0

136,94ln

Bước 2 tính biến dạng đàn hồi thể tích tương đối

%072,000072,07,206

4,213ln24,2

05,0

ln '

1

' 2 1

ε

Với v là thể tích riêng tại D1

Bước 3 Biến dạng dẻo thể tích tương đối ∆εp

v

%82,000818,0227

5,256ln)05,02,0(24,2

Với v là thể tích riêng tại D1

Bước 4 Tính biến dạng thể tích tương đối

%892,0

%82,0

%072,

=

∆+

∆

=

v e v

ε

Bước 5 Tính biến dạng dẻo cắt

%89,07,206

2002,1

%82,0

' 1 1

p v p

d

εε

Tính tuần tự các gia số biến dạng theo từng gia tải nối tiếp đến khi lộ trình ứng suất p’-q cắt đường CSL trong mặt (p’, q), cần phải tính toán với từng gia tải vì quan hệ ứng suất – biến dạng là phi tuyến

cách giải 2: áp dụng trực tiếp các công thức

Gia tải lần thứ nhất ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0

Với gia tải ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
q1 = 20kPa và p1 = 206,7kPa

∂q = 20 kPa và ∂p’= 6,7 kPa

002,1(2020002,126,2

05,02,0'

)(

' 0

0 '

p

v

κ λ

ε

00855,002,1

00872,0

' 0 0

p v p

d

ε ε

%074,000074,0200

7,626,2

05,0'

' 0

v1 = v0 - ∂v = 2,26 – 0,02 = 2,24

Gia tải lần thứ hai ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0

Từ q1 = 20kPa và p’1 = 206,7kPa và v1 = 2,24

Tính q2 và p2

Với gia tải ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = 20 kPa và ∂p’= 6,7 kPa

q2 = 40kPa và p2 = 213,4kPa Tính ∂εp

2002,1(207,20602,124,2

05,02,0'

)

1

1 '

1

p p

q M q M

2002,1

00832,0

' 1 1

p v p

d

ε ε

%0724,0000724,

07,206

7,624,2

05,0'

' 1

e

v

κε

http://www.ebook.edu.vnCó thể tính biến dạng dọc trục: 0,901 0,904/3 1,2%

Hình 7.2 Ccác lộ trình ứng suất – biến dạng lần gia tải 1 trong ví dụï 7.1

Gia tải lần thứ ba ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0

Từ q2 = 40kPa và p’2 = 213,4kPa và v2 = 2,22

Tính q3 và p3

Với gia tải ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = 20 kPa và ∂p’= 6,7 kPa

q3 = 60kPa và p2 = 220,1kPa Tính ∂εp

v; ∂εp

d; ∂εe

v và ∂εv

05,02,0'

)

2

2 '

2

2

p p

q M q M

4002,1

0066,0

' 2 2

p v p

d

ε ε

%071,000071,04,213

7,622,2

05,0'

' 2 2

e

v

κε

d

ε ε ε

v3 = v2 - ∂v = 2,22 – 0,016 = 2,204

Mẫu B, thí nghiệm không thoát nước, ở cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng áp ứng

suất lệch ngay: q0 = 0 và p’0 = 200 kPa, v0 = N - λlnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26

vf = Γ - λlnp’ =3,17-0,2lnp’f = 2,26
lnp’f = (3,17 - 2,26)/0,2 =
p’f = 94,6kPa

[Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’0 = 200 kPa ứng với v0 = 2,26 trạng thái mẫu nằm trên mặt ngưỡng có p’x = 73,7 kPa]

Với gia tải ∂σ1 = 10 kPa; ∂σ3 = 0
q1 = 10kPa và p1 = 203,3kPa

∂q = 10 kPa và ∂p= 3,3 kPa

,

0

'02

' 1 ' 0

∂

Tính gia số ứng suất hữu hiệu trung bình ∂p’1

kPa p

%0792,0000792,

020026,2

16,705,0'

'

0 0

p

e v p

v

κε

ε

Biến dạng dẻo cắt hoặc biến hình 0,078%

02,1

%0792,01

d

M εε

Tính biến dạng dọc trục

Mẫu không thoát nước thể tích không đổi

0

=

∂+

∂

=

v p

d

ε ε

ε

[Cuối giai đoạn gia tải có p’ = 192,84 kPa; q = 10 kPa, v0 = 2,26, trạng thái mẫu đất đang

ở trên mặt ngưỡng ứng với

p x 3,17 2,26 0,05ln192,84 4,3127 x exp(4,3127) 74,64

05,0

Với gia tải ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
q1 = 20kPa và p1 = 206,7kPa

∂q = 20 kPa và ∂p= 6,7 kPa

,

0

'02

' 1 ' 0

∂Tính gia số ứng suất hữu hiệu trung bình ∂p’1

kPa p

%169,020026,2

3,1505,0'

'

0 0

p

e v

p

v

κε

ε

Biến dạng dẻo cắt hoặc biến hình 0,166%

02,1

169,01

d

M εε

Tính biến dạng dọc trục

Mẫu không thoát nước thể tích không đổi

0

=

∂+

∂

=

v p

d

ε ε

ε

[Cuối giai đoạn gia tải có p’ = 184,7 kPa; q = 20 kPa, v0 = 2,26, trạng thái mẫu đất đang

ở trên mặt ngưỡng ứng với

p x 3,17 2,26 0,05ln184,7 4,327 x exp(4,3) 75,72

05,0

Ghi chú quan trọng: khi tính toán không thoát nước, chúng ta vẫn sử dụng cùng bộ

thông số M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32 với bài toán thoát nước

c- Trường hợp nén ba trục CD trên mẫu đất cố kết trước nhẹ (OC)

Một mẫu đất cố kết trước là mẫu đất khi áp ứng suất lệch tại trạng thái ứng suất nhỏ hơn ứng suất đã chịu trong quá khứ Trong thí nghiệm nén 3 trục, mẫu đất chịu cố kết đẳng hướng đến p’C0 rồi giảm áp trong buồng nén về p’0, ta có được mẫu đất cố kết trước và trạng thái đang trong miền đàn hồi

Nếu p’0 > p’X mẫu đất cố kết trước nhẹ

Và nếu p’0 < p’X mẫu đất cố kết trước nặng

Từ p’0 tiến hành áp ứng suất lệch theo AY,trạng thái mẫu đất di chuyển trong miền đàn hồi nên mẫu đất chỉ có ứng xử đàn hồi cho đến khi lộ trình ứng suất chạm mặt ngưỡng p’Y, xem hình 7.11 Trong giai đoạn này có thể tính thể tích riêng tại mỗi trạng thái ứng suất rồi suy ra các biến dạng đàn hồi thể tích và biến dạng đàn hồi cắt và cũng có thể sử dụng

Từ điểm ngưởng Y, nếu gia tăng ứng suất trạng thái mẫu đất sẽ di chuyển trên mặt giới hạn “tương tự mặt Roscoe” có ứng xử đàn hồi – dẻo và lộ trình trạng thái mẫu đất (p’, v, q) di chuyển qua các mặt ngưởng (tường đàn hồi) khác nhau, nhờ đặc điểm này có thể tính được các biến dạng dẻo và đàn hồi của từng gia số ứng suất cho đến khi lộ trình chạm đường CSL thì mẫu đất bị trượt Các bước tính các gia số biến dạng của từng gia số ứng suất tương tự như đất NC

Hình 7.3 Lộ trình thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nhẹ

Lộ trình ứng suất A đến Y chỉ có biến dạng đàn hồi

A

Y A

p

p v

Y

p

p v

v = +κ

Trong hình 7.12, xét một gia số ứng suất lệch YD1 của trạng thái mẫu đất di chuyển trên mặt giới hạn, từ mặt ngưỡng C0C0 sang C1C1 trong gia số ứng suất lệch này độ thay đổi thể tích riêng là : ∆v = vY – vD1

Thể tích riêng tại Y có thể tính theo đường nở từ C0

'

' 0

Y

C C

Y

p

p v

Thể tích riêng tại D1 có thể tính theo đường nở từ C1

' 1

' 1 1

D

C C

D

p

p v

mặt khác, thể tích riêng tại C1 có thể tính theo đường NCL từ điểm C0

' 0

' 1 0

C

C C

C

p

p v

1

' 1 1

'

' 0

D

C C

Y

C C

p

p v

' 1 '

0

' 1 '

' 0 '

1

' 1 '

0

' 1 0

'

' 0

D C C

C Y

C D

C C

C C

Y

C C

p

p p

p p

p p

p p

p v

p

p v

∆

' 1 '

1 '

0 '

1 '

' 0 '

1 '

0 '

0

'

ln)(

Y D C

C

p

p p

p

v= λ−κ +κ

∆Biến dạng thể tích tương đối ∆εv

' 1lnln

)(1

Y D C

C v

p

p p

p v

v

v

κ κ

λ

(7.1)

Với v là thể tích riêng tại Y

Trong đó, biến dạng đàn hồi thể tích tương đối trong biến dạng thể tích tương đối là:

'

' 1

ln

Y D e

e v

p

p v v

∆(7.2)

Biến dạng thể tích dẻo có thể suy ra:

' 0

' 1ln

C

C e

v v p v

Và biến dạng dọc trục tính như công thức 7.59

Các gia số ứng suất lệch tiếp theo tính tương tự như thí nghiệm CD trên mẫu cố kết thường

d- Trường hợp nén ba trục CU trên mẫu đất cố kết trước nhẹ (OC)

C

C0 C

C1

Y

U1 v

p’C0 p’0

p’f p’X0

v

p’U1

Hình 7.4 Lộ trình không thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nhẹ

Trong thí nghiệm CU, từ p’0 tiến hành áp ứng suất lệch theo AY, trạng thái mẫu đất di chuyển trong miền đàn hồi theo giao tuyến của mặt v = v0 = const và tường đàn hồi chứa điểm A, nên mẫu đất chỉ có ứng xử đàn hồi cho đến khi lộ trình ứng suất chạm mặt ngưỡng tại Y, xem hình 7.13

Trong quá trình không thoát nước, thể tích mẫu không đổi nên trong giai đoạn AY biến dạng đàn hồi thể tích bằng với biến dạng đàn hồi cắt nhưng trái dấu

e d e

v e

d e

p v e

v p

v e

'

vp

p vp

v e

Ví dụï 7.2 về bài toán CU và CD trên đất cố kết trước nhẹ

Mẫu đất NC có: M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32

Hai mẫu đất trên cùng chịu nén cố kết đẳng hướng đến áp lực p’c = 200 kPa Tiếp đến lùi áp lực buồng về p’0 = 100 kPa rồi giữ yên áp lực ngang và tăng áp lực đứng

Mẫu A theo điều kiện thoát nước (u = 0)

Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (v0 = const)

a) Phân tích chi tiết khi áp các gia số ứng suất lệch?

b) Tính các gia số biến dạng và gia số áp lực nước lỗ rỗng khi mẫu trượt?

Ghi chú: Nếu chúng ta tính toán theo trạng thái tới hạn sẽ có ngay ứng suất ở lúc bị trượt

Tính p’f và qf

p’f = 100 + (qf /3)
qf = 3(p’f – 100)

thay p’f = 1,02qf vào biểu thức trên:

Cũng có thể tính biến dạng thể tích nhưng kết quả sẽ chỉ cho điểm cuối

Tuy nhiên để có thể tính đầy đủ đặc điểm phi tuyến của quan hệ thể tích riêng theo trạng thái ứng suất, đặc biệt là các biến dạng cắt trong suốt quá trình chịu tải phải sử dụng mô hình ứng xử của đất

Giải: Cuối giai đoạn nén đẳng hướng có thể tích riêng v:

Mẫu A: Bài toán thoát nước

Tính tọa độ (p’y và qy) của điểm ngưỡng Y

Để đơn giản có thể xem khi áp ứng suất lệch từ p’=100kPa lộ trình ứng suất đi trong miền đàn hồi theo lộ trình AC đến cắt mặt ngưỡng tại điểm ngưỡng Y có tọa độ (p’y; qy) , giao điểm của đường ngưỡng ln ' ln 73, 6 1

p

p p

−

+ − = ⇒ (lnp’y – 2,36)p’y = 294,1
p’y = 120,85 kPa Gia số ứng suất hữu hiệu trung bình trong miền đàn hồi

∂p’y = 120,85 – 100kPa = 20,85 kPa

Suy ra gia số ứng suất lệch tương ứng: ∂qy = qy = 3×20,85 = 62,55 kPa

Tính thể tích riêng của mẫu trên mặt ngưỡng đầu tiên :

'

)('ln

p

q M p

λκ

+Γ

=v= 3,17 + 0,2 – 0,05 – 0,2ln120,85 –(0,15/1,02)*(62,55/120,85)= 3,32 – 0,959 - 0,076

= 2,285

2, 295

e v

v v

×Mặt khác, trong thí nghiệm ba trục có: ∂εv =(∂ε1+2∂ε3) (= ∂εa +2∂εr)

Và biến dạng cắt ∂εd = (∂ε −∂ε )= (∂εa −∂εr)

3

23

v d

ε

1 3

Gia tải lần 1 từ điểm ngưỡng: p’y = 120,85 kPa; qy = 3×20,85 = 62,55 kPa; p’C0 = 160,7 kPa

và v = 2,285

Chọn gia số ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = ∂σ1 = 20 kPa

và ∂p = ∂p’ = ∂σ1/3 = 20/3 = 6,7 kPa

Bước 1) Tính qD1 và p’D1 (theo hình 7.11)

q1 = qy + ∂q = 82,55kPa và p’D1 = p’y + ∂p’ = 120,85 + 6,7 = 127,55kPa

lúc này trạng thái mẫu đất di chuyển từ điểm Y đi trên mặt giới hạn và đến điểm D1 thuộc mặt ngưỡng mới có giao điểm với NCL tại p’C1 và cắt CSL tại p’X1, Từ công thức (7.25) suy ra

http://www.ebook.edu.vnBiến dạng thể tích tương đối ∆εv theo công thức 7.32

Hình 7.6 Lộ trình ứng suất – biến dạng trên mặt gia tải của đất cố kết trước nhẹ

Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (∂∂∂∂εεεεv =0)

Tính p’x

Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’c = 200 kPa ứng với vc = 2,26

Tính p’x của mặt ngưỡng có p’c = 200 kPa

Sử dụng công thức: lnp x' 1 ( v κlnp'c)

κ

=

d- Trường hợp nén ba trục CD trên mẫu đất cố kết trước nặng (OC)

Một mẫu đất được cố kết đẳng hướng đến điểm C0 nằm trên mặt ngưởng C0C0 và p’C0, sau đó giảm ứng suất đẳng hướng về điểm A có p’0 < p’X0, mẫu đất có trạng thái cố kết trước nặng Tiếp theo, áp ứng suất lệch có thoát nước, mẫu đất bị nén trong miền đàn hồi theo lộ trình AY là giao tuyến của mặt thoát nước với tường đàn hồi tương ứng, như trong hình 9 38 và trong hình 7 15, giai đoạn này mẫu chỉ có ứng xử

đàn hồi Tiếp đến, trạng thái mẫu đất di chuyển trên mặt giới hạn “tương đương Hvorslev” mẫu đất nở ra và bị trượt khi cắt đường CSL tại Df Lộ trình từ Y trên mặt ngưởng đến điểm Df trên đường CSL, mẫu đất có cả biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo và lộ trình đi qua nhiều mặt ngưởng mặt C0C0 đến C1C1 Mặt khác, vì ứng xử đàn hồi – dẻo là phi tuyến nên để lời giải cần tiến hành tính với nhiều gia số ứng suất giữa Y và Df như các trường hợp trên

Hình 7.7 Lộ trình thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nặng

e- Trường hợp nén ba trục CU trên mẫu đất cố kết trước nặng (OC)

Tương tự như trên, mẫu đất được cố kết đẳng hướng đến điểm C0 nằm trên mặt ngưởng C0C0 và p’C0, sau đó giảm ứng suất đẳng hướng về điểm A có p’0 < p’X0, mẫu đất có trạng thái cố kết trước nặng Tiếp theo, áp ứng suất lệch trong điều kiện không thoát nước, mẫu đất bị nén trong miền đàn hồi theo lộ trình AY là giao tuyến của mặt

A

A

vC1

có v = const với tường đàn hồi tương ứng, như trong hình 9.39 và trong hình 7.17, giai đoạn này thể tích mẫu không đổi nên gia số biến dạng đàn hồi thể tích bằng gia số biến dạng đàn hồi cắt nhưng trái dấu, mẫu chỉ có ứng xử đàn hồi Tiếp đến, trạng thái mẫu đất di chuyển trên mặt ngưỡng bị trượt khi cắt đường CSL tại Uf Lộ trình từ Y trên mặt ngưởng đến điểm Uf trên đường CSL

Hình 7.8 Lộ trình không thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước

A

Y

qf

hàm chứa nhiều một số nguy cơ sai số, trong đó nổi bật là vùng xung quanh điểm giao của mặt ngưỡng và trục p’

7.3 MÔ HÌNH CAM CLAY CẢI TIẾN [46]

1- Mặt ngưỡng của mô hình Cam clay cải tiến

Ngay sau khi công bố mô hình Cam clay, các tác giả đã công bố mô hình Cam clay cải tiến bằng cách thay biểu thức năng lượng

' '

2

2

p p p M

p p p M

(7.6)

2 ' ' 2

M

q p p

(7.7)

( ' ' ' 2)2

2

p p p M

(7.8)

( ' ' ' 2)

p p p M

q= c− (7.9)

Cách viết thuận tiện để thấy họ mặt giới hạn có dạng ellipse

2 2 2 '

02

'

'

' ' 2

+

∂+

p

p

η

ηη

(7.11)

Hoặc:

0'

2'

'

' ' 2

2 2

∂+

q M

p

p M

M

η

η η η

Sau cùng phương trình mặt giới hạn của mô hình Cam Clay cải tiến trong không gian (v, p’, q) được Burland và giới thiệu năm 1968 có dạng sau:

1'lnexp

v N Mp

(7.13)

Hình 7.9 Dạng mặt ngưỡng của Cam clay cải tiến

2- Các đặc điểm cơ bản của mô hình Cam clay cải tiến

X

X

CSL CSL

CSL

NCL NCL

p’c p’c

p’0p’0

p’0 p’c p’,p q

Hình 7.10 Mặt ngưỡng của Cam clay cải tiến và các thông số cơ bản

Do mặt ngưỡng có dạng ellipse nên: ' '

2

c X

ln

'

' 0 0

c X

p

p v

v = +κ

(7.15)

Với v0 là thể tích riêng ứng với p’0

Mặt khác, trên đường CSL, có thể viết

2ln

'

c X

2/)(

ln2

ln

' '

0 0

'

' 0 0

'

c c

p v

p

p v

p

κκ

lnln

' '

' 0 0

c

p p

=

Γ

2ln)(ln

' '

0 0

c

p p

' 0

c

p

v +λ

=Γ(7.19)

3- Các biến dạng của mô hình Cam clay cải tiến

Theo mô hình Cam Clay cải tiến, mặt giới hạn đàn hồi có dạng:

M

q p p p

Như vậy, phương của vecteur gia số biến dạng dẻo (∂εp

v; ∂εp

d) theo phương hướng

ra của pháp tuyến trên mặt ngưỡng, có thể viết

η

ηε

ε

22

)'2(/

p

p d

'

vp

p c

p v

∂

∂p' vp'

p v

G

K

e d

e

3

10

0'1

ε ε

M M

2)

(

2

2 2

2 2

η

ηη

ηη

η

κλε

4- Các cách tính biến dạng theo mô hình Cam clay thường được sử dụng

- Biến dạng thể tích

Biến dạng thể tích của mẫu đất gồm biến dạng thể tích đàn hồi và biến dạng thể tích dẻo với các gia số

p v e v

∆

Độ thay đổi tỷ số rỗng ứng với gia tải DE là: eE - eD

Hệ số rỗng tại D có thể tính theo đường nở từ C

D

p

p e

E

p

p e

G

p

p e

e = −λ

D

C C

E

G G

D E

p

p e

p

p e

e e

∆Thay eG vào biểu thức trên:

' ' '

' '

'

lnln

ln

D

C C

E G C

G C

D E

p

p e

p

p p

p e

e e

' ' '

' '

'

lnln

ln

E G C

G D

C D

E

p

p p

p p

p e

e

∆

κ(lnp’C – lnp’D) +λ(lnp’G – lnp’C)- κ(lnp’G-lnp’E) = (λ-κ)lnp’G - (λ-κ)lnp’C+κ(lnp’Elnp’D)

-( ) ''

'

'

lnln

C G D

E

p

p p

p

e=κ + λ−κ

∆biến dạng thể tích tương đối ∆εv ứng với gia tải DE

=+

1

1

G D

E o

v

p

p p

p e

e

e

κ λ κ

ε

(7.25)

Với e0 là hệ số rỗng tại D

Trong đó, biến dạng thể tích đàn hồi tương đối trong biến dạng thể tích tương đối là:

' '

0

'

ln11

E E

D o

e v

p

p e e

e e e

e

+

=+

−

=+

'

'ln

G o

e v v p v

(7.27)

Trong đó p’C ≡ p’c0 và p’G ≡ p’c1 tương ứng với gia tải DE

Biến dạng cắt

Biết phương trình của mặt giới hạn đàn hồi ( ) 2 0

2 ' ' 2

M

q p p

tuyến bằng cách vi phân hàm ngưỡng theo p’ và q, tiếp tuyến của hàm là:

02

=

M

dq q dp p dp p

Sắp xếp lại để có độ dốc:

)/(

)2/(

2

' '

'

M q

p p

dq

')

'/(

d

d

εε

' ' 2 '

p M q dq

dp d

d

c p

v

p d

Điều này dẫn đến

p v p d

p p M

q d

trong chương trước cũng có công thức tính biến dạng cắt do đàn hồi

q G

e

∆3

1

ε

Các công thức tính biến dạng chỉ có giá trị khi biến dạng nhỏ Cụ thể là không thể dùng các công thức này để tính biến dạng trượt bằng cách đơn giản là thay vào các ứng suất trượt

Phải tính tuần tự các biến dạng theo gia số ứng suất nhỏ cho đến khi trượt và tính tổng các thành phần biến dạng riêng lẻ Phải làm như vậy vì lẻ trạng thái tới hạn xem đất như là vật liện đàn hồi dẻo không là vật liệu đàn hồi tuyến tính

Hình 7.11 Cắt thoát nước với Cam clay cải tiến trên mẫu cố kết trước nhẹ

Ví dụï 7.3 Sự nở lớn của mặt ngưỡng

Chứng minh rằng mặt ngưỡng giản nở trong thí nghiệm không thoát nước có dạng:

κ λ

'

)(

p

p p

p c c prev prev

trong đó p’c giá trị ứng suất trên trục chính của mặt ngưỡng hiện tại

(p’c)prev giá trị ứng suất trên trục chính của mặt ngưỡng trước

p’ là giá trị ứng suất hữu hiệu trung bình hiện tại

Giải: Cần vẽ giản đồ e-lnp’ và dùng nó để chứng minh công thức trên

prev

prev c A

B

p

p e

(ln

p

p p

p e

prev

prev c B

c B

D

p

p e

e

)(

ln '

'λ

[4]

thay [4] vào [3] và giản lược có được

κ λ

'

)(

p

p p

p c c prev prev

(7.29)

Hình 7.12 Sự nở lớn mặt ngưỡng

- Tính toán ứng suất – biên dạng của thí nghiệm nén ba trục

Trong thí nghiệm ba trục thoát nước hoặc không thoát nước có thể tiên đoán ứng suất – biến dạng, thay đổi thể tích và áp lực nước lỗ rỗng thặng dư từ trạng thái ban đầu đến lúc bị trượt Các thông số của đất cần có: p’0; e0; p’c; OCR; λ; κ; ϕ’cs ; ν’

Bài toán thí nghiệm nén thoát nước

1 Xác định ứng suất hữu hiệu trung bình và ứng suất lệch tại mặt ngưỡng ban đầu, p’y và qy, bằng cách tìm tọa độ giao điểm của mặt ngưỡng và lộ trình ứng suất hữu hiệu ESP

2

))(

9(36)18(

)18(

2

2 ' 0 2

' 0 '

2 '

0 '

2 '

+

+

−+

++

=

M

p M

p p

M p

p M

e0= eC = eA

eB

eD

3 0'

'

M

p M p

ν κ

ν

+

−+

y e

Cho mỗi gia số ứng suất hữu hiệu

6 Tính ứng suất đẳng hướng cho mỗi gia số ứng suất, theo CamClay cải tiến

' 2

2 ' '

p M

q p

p c = +(7.33)

7 Tính tổng gia số biến dạng thể tích (7.84)

8 Tính gia số biến dạng dẻo thể tích (7.86)

9 Tính gia số biến dạng dẻo cắt (7.87)

10 Tính gia số biến dạng đàn hồi cắt (5.40)

11 Cộng gia số biến dạng cắt dẻo và đàn hồi vào gia số tổng biến dạng cắt

7 Tính tổng gia số biến dạng thể tích εv

13 Tính tổng gia số biến dạng cắt εd

14 Tính biến dạng trục

33

31

v d v

ε ε ε

15 Tính

' '

q

p −

=

σ