Bài tập cơ học đất

Cơ học đất là một ngành của cơ học ứng dụng chuyên nghiên cứu về đất. hầu hết các công trình xây dựng đều trên đất, nghĩa là dùng đất làm nền cho các công trình, số khác các công trình như nền đường.

http://www.ebook.edu.vn Ví dụï 7.1 bài toán CU và CD trên đất cố kết thường NC Đất NC có các đặc trưng: M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32 được tiến hành thí nghiệm ba trục thoát nước và không thoát nước. Hai mẫu đất trên cùng chòu nén cố kết đẳng hướng đến áp lực 200 kPa. Tiếp đến là giữ nguyên áp lực buồng và tăng áp lực đứng lên từng gia số 20 kPa. Mẫu A theo điều kiện thoát nước (u=0) Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (ε v =0) Tính các độ biến dạng và áp lực nước lỗ rỗng? Giải: Thể tích riêng v cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng đến p’ c0 , trạng thái ứng suất- biến dạng mẫu đất nằm trên đường NCL thuộc mặt giới hạn: v = v 0 = N - λlnp’ c0 = 3,32 - 0,2ln200 = 2,26 lúc này mẫu đất đang nằm trên mặt ngưỡng ban đầu có p’ x tính theo công thức (7.25) 298,41200ln 20002,1 0 1'ln ' ln ' =−+ × =−+= p Mp q p x  p’ x = 73,6 kPa cũng có thể tính p’ x theo (7.31b) ' 200 200 73,57 2,71828 x p kPa e = = = =73,6kPa Phương trình mặt ngưỡng ban đầu có dạng: 1 6,73 ' ln ' =+ p Mp q Mẫu A áp ứng suất lệch theo lộ trình AC - có thoát nước Cách giải 1: tính theo các giá trò thể tích riêng (hoặc hệ số rỗng) của mẫu đất sau mỗi gia số ứng suất. Từ q 0 = 0; p’ 0 = 200 kPa và v 0 = 2,26 mẫu đất đang đường NCL thuộc mặt gia tải, nếu gia tải lộ trình ứng suất sẽ di chuyển trên mặt ngưỡng và sẽ xuất hiện biến dạng dẻo Gia tải lần thứ nhất: ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0  ∂q = ∂σ 1 = 20 kPa và ∂p = ∂p’ = ∂σ 1 /3 = 20/3 = 6,7 kPa Bước 1. Tính q 1 và p’ 1 q 1 = q 0 + ∂q = 20kPa và p’ 1 = p’ 0 + ∂p’ = 200 + 6,7 = 206,7kPa lúc này trạng thái mẫu đất di chuyển từ điểm C 0 đi trên mặt giới hạn và đến điểm D1 thuộc mặt ngưỡng mới có giao điểm với NCL tại p’ C1 và cắt CSL tại p’ X1 , Từ công thức (7.25) suy ra 425,417,206ln 7,20602,1 20 1'ln ' ln ' =−+ × =−+= p Mp q p x p’ x1 = 83,5 kPa Phương trình mặt ngưỡng C1 có dạng: 1 5,83 ' ln ' =+ p Mp q http://www.ebook.edu.vn Hình 7.1 kết quả ví dụï 7.1 lộ trình thoát nước Áp dụng công thức (7.37) Bước 2. tính %073,000073,0 200 7,206 ln 26,2 05,0 ln ' 0 ' 1 0 ==== ∆ =∆ C D C e e v p p vv v κ ε Bước 3. tính p’ C1 nằm trên trục p’ có q = 0, nên từ công thức (7.25) suy ra: kPappp CxC 227425,51lnln ' 1 '' 1 =⇒=+= cũng có thể sử dụng công thức p’ C1 = p’ C0 = 2,718 × 83,5 = 227 kPa Bước 4. tính biến dạng thể tích dẻo, áp dụng công thức (7.38): %84,00084,0 200 227 ln 26,2 05,02,0 ln ' 0 ' 1 0 == − =         − =∆ C C p v p p v κλ ε Bước 5. tính tổng biến dạng thể tích %913,0%84,0%073,0 =+=∆+∆=∆ p v e vv εεε Bước 6. tính biến dạng dẻo cắt theo công thức %824,0 02,1 %84,0 ' 0 0 == − ∂ =∂ p q M p v p d ε ε Vì C1 nằm trên đường NCL có thể tính dễ dàng v C1 = 3,32 – 0,2ln227 = 2,235 Trên đường nở từ C1 có thể tính thể tích riêng tại D1 thi du 12.1 0 20 40 60 80 100 120 0 50 100 150 200 250 300 p' (kPa) q (kPa) C 0 C1 C2 D 1 D 2 p’ x0 0 p’ x1 p’c 0 0 X 0 X 1 http://www.ebook.edu.vn 7,206 227 ln05,0235,2ln ' 1 ' 1 11 ×+=+= D C CD p p vv κ = 2,24 Gia tải lần 2 ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0  ∂q = ∂σ 1 = 20 kPa và ∂p = ∂p’ = ∂σ 1 /3 = 20/3 = 6,7 kPa Bước 1. Tính q 2 và p 2, q 2 = q 1 + ∂q = 40kPa và p 2 = p 1 + ∂p’ = 213,4kPa, lúc này trạng thái mẫu đất đang di chuyển từ D1 của đường ngưỡng (p’ C1 ) trên mặt giới hạn đến điểm D2 của đường ngưỡng (p’ C2 ) , có giao điểm với CSL tại p’ X2 , Từ công thức (7.25) suy ra 547,414,213ln 4,21302,1 40 1'ln ' ln ' =−+ × =−+= p Mp q p x p’ x2 = 94,36 kPa Phương trình mặt ngưỡng C2 có dạng: 1 36,94 ' ln ' =+ p Mp q Tính p’ C2 trên trục p’ có q = 0 1 36,94 ln ' 2 = C p  p’ C2 = 256,5 kPa hoặc p’ C2 = p’ x2 = 2,7183×94,36 = 256,5 kPa Bước 2. tính biến dạng đàn hồi thể tích tương đối %072,000072,0 7,206 4,213 ln 24,2 05,0 ln ' 1 ' 2 1 ==== ∆ =∆ D D D e e v p p vv v κ ε Với v là thể tích riêng tại D1 Bước 3. Biến dạng dẻo thể tích tương đối ∆ε p v %82,000818,0 227 5,256 ln)05,02,0( 24,2 1 ==       −= ∆ =∆ v v p v ε Với v là thể tích riêng tại D1 Bước 4. Tính biến dạng thể tích tương đối %892,0%82,0%072,0 =+=∆+∆=∆ p v e vv εεε http://www.ebook.edu.vn Bước 5. Tính biến dạng dẻo cắt %89,0 7,206 20 02,1 %82,0 ' 1 1 = − = − ∂ =∂ p q M p v p d ε ε Tính tuần tự các gia số biến dạng theo từng gia tải nối tiếp đến khi lộ trình ứng suất p’-q cắt đường CSL trong mặt (p’, q), cần phải tính toán với từng gia tải vì quan hệ ứng suất – biến dạng là phi tuyến. cách giải 2: áp dụng trực tiếp các công thức. Gia tải lần thứ nhất ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0 từ q 0 = 0; p’ 0 = 200 kPa và v 0 = 2,26 tính q 1 và p 1 thi du 12.1 0 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 200 250 300 350 p' (kPa) q ( k P a ) p’ c0= CSL http://www.ebook.edu.vn Với gia tải ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0  q 1 = 20kPa và p 1 = 206,7kPa ∂ q = 20 kPa và ∂ p’= 6,7 kPa Tính ∂ε p v ; ∂ε p d ; ∂ε e v và ∂ε v 00872,07,6) 200 0 02,1(20 20002,126,2 05,02,0 ')( ' 0 0 ' 0 =       ×−+ ×× − =       ∂−+∂         − =∂ p p q Mq Mvp p v κλ ε 00855,0 02,1 00872,0 ' 0 0 ==         − ∂ =∂ p q M p v p d ε ε %074,000074,0 200 7,6 26,2 05,0' ' 0 === ∂ =∂ p p v e v κ ε Từ %074,0=∂ e v ε và %872,0=∂ p v ε  %946,0074,0872,0 =+=∂+∂=∂ p v e vv εεε Với %855,0=∂ p d ε Có thể tính biến dạng dọc trục: %17,1 3 1 = ∂ +∂=∂ v d ε εε Tính v 1 02,000946,026,2 =×=×=∂⇒ ∂ = vv vv v v εε v 1 = v 0 - ∂ v = 2,26 – 0,02 = 2,24 Gia tải lần thứ hai ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0 Từ q 1 = 20kPa và p’ 1 = 206,7kPa và v 1 = 2,24 Tính q 2 và p 2 Với gia tải ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0  ∂ q = 20 kPa và ∂ p’= 6,7 kPa  q 2 = 40kPa và p 2 = 213,4kPa Tính ∂ε p v ; ∂ε p d ; ∂ε e v và ∂ε v =       ×−+ ×× − =       ∂−+∂         − =∂ 7,6) 7,206 20 02,1(20 7,20602,124,2 05,02,0 ')( ' 1 1 ' 1 p p q Mq Mvp p v κλ ε 0,0083 2 00901,0 7,206 20 02,1 00832,0 ' 1 1 = − =         − ∂ =∂ p q M p v p d ε ε %0724,0000724,0 7,206 7,6 24,2 05,0' ' 1 === ∂ =∂ p p v e v κ ε Từ %0724,0=∂ e v ε và %832,0=∂ p v ε  %904,00724,0832,0 =+=∂+∂=∂ p v e vv εεε Với %901,0=∂ p d ε http://www.ebook.edu.vn Có thể tính biến dạng dọc trục: %2,13/904,0901,0 3 1 =+= ∂ +∂=∂ v d ε εε Tính v 2 02,000904,024,2 =×=×=∂⇒ ∂ = vv vv v v εε v 2 = v 1 - ∂ v = 2,24 – 0,02 = 2,22 q p’ v Nở - Nén lại NCL CSL p’ ∂q ∂p’ C C O O q ε 1 v CSL ε 1 D 1 D D 1 D C 1 C 1 X X 1 Hình 7.2 Ccác lộ trình ứng suất – biến dạng lần gia tải 1 trong ví dụï 7.1 Gia tải lần thứ ba ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0 Từ q 2 = 40kPa và p’ 2 = 213,4kPa và v 2 = 2,22 Tính q3 và p3 Với gia tải ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0  ∂ q = 20 kPa và ∂ p’= 6,7 kPa  q 3 = 60kPa và p 2 = 220,1kPa Tính ∂ε p v ; ∂ε p d ; ∂ε e v và ∂ε v http://www.ebook.edu.vn =       ×−+ ×× − =       ∂−+∂         − =∂ 7,6) 4,213 40 02,1(20 4,21302,122,2 05,02,0 ')( ' 2 2 ' 22 p p q Mq Mpv p v κλ ε 0,006 6 0079,0 4,213 40 02,1 0066,0 ' 2 2 = − =         − ∂ =∂ p q M p v p d ε ε %071,000071,0 4,213 7,6 22,2 05,0' ' 2 2 === ∂ =∂ p p v e v κ ε Từ %071,0=∂ e v ε và %66,0=∂ p v ε  %73,0071,066,0 =+=∂+∂=∂ p v e vv εεε Với %79,0=∂ p d ε Có thể tính biến dạng dọc trục: %03,1 3 73,0 79,0 3 1 =+= ∂ +∂=∂ v d ε εε Tính v 2 02,00073,022,2 =×=×=∂⇒ ∂ = vv vv v v εε v 3 = v 2 - ∂ v = 2,22 – 0,016 = 2,204 Mẫu B, thí nghiệm không thoát nước, ở cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng áp ứng suất lệch ngay: q 0 = 0 và p’ 0 = 200 kPa, v 0 = N - λ lnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26 v f = Γ - λ lnp’ =3,17-0,2lnp’ f = 2,26  lnp’ f = (3,17 - 2,26)/0,2 =  p’ f = 94,6kPa [Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’ 0 = 200 kPa ứng với v 0 = 2,26 trạng thái mẫu nằm trên mặt ngưỡng có p’x = 73,7 kPa] Với gia tải ∂σ 1 = 10 kPa; ∂σ 3 = 0  q 1 = 10kPa và p 1 = 203,3kPa ∂ q = 10 kPa và ∂ p= 3,3 kPa Tính p’ 1 ( ) [ ] 01 1 1 'ln ' vp Mp q −Γ+−+− − = κλλ κλ ( ) [ ] 26,217,305,02,0'2,0 05,02,0 '02,1 10 1 1 −+−+− − = Lnp p [ ] kPapLnpp 84,192'06,1'2,0'8.610 111 =⇒+−= Tính gia số áp lực nước lỗ rỗng ∂ u 1 = p 1 – p’ 1 = 203,3 – 192,84= 10,46 kPa Hoặc kPa q ppu 46,10 3 10 84,192200 3 ' 1 ' 01 =+−= ∂ +−=∂ Tính gia số ứng suất hữu hiệu trung bình ∂ p’ 1 kPappp 16,720084,192''' 011 −=−=−=∂ Vì không thoát nước v 0 = const nên biến dạng thể tích đàn hồi bằng với biến dạng dẻo nhưng trái dấu và tính như sau: http://www.ebook.edu.vn %0792,0000792,0 20026,2 16,705,0 ' ' 00 == × × = ∂ =−∂=∂ pv p e v p v κ εε Biến dạng dẻo cắt hoặc biến hình %078,0 02,1 %0792,01 ≈=∂=∂ p v p d M εε Tính biến dạng dọc trục Mẫu không thoát nước thể tích không đổi 0=∂+∂=∂ e v p vv εεε Mô hình Cam Clay không xét biến hình đàn hồi nên tổng biến hình bằng biến hình dẻo %078,0=∂=∂ p dd εε %078,0 3 1 = ∂ +∂=∂ v d ε εε [Cuối giai đoạn gia tải có p’ = 192,84 kPa; q = 10 kPa, v 0 = 2,26, trạng thái mẫu đất đang ở trên mặt ngưỡng ứng với ( ) kPapp xx 64,74)3127,4exp(3127,484,192ln05,026,217,3 05,02,0 1 ln '' ==⇒=−− − = Thí nghiệm không thoát nước, ở cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng áp ứng suất lệch ngay: q 0 = 0 và p’ 0 = 200 kPa, v 0 = N - λ lnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26 v f = Γ - λ lnp’ =3,17-0,2lnp’ f = 2,26  lnp’ f = (3,17 - 2,26)/0,2 =  p’ f = 94,6kPa [Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’ 0 = 200 kPa ứng với v 0 = 2,26 trạng thái mẫu nằm trên mặt ngưỡng có p’x = 73,7 kPa] Với gia tải ∂σ 1 = 20 kPa; ∂σ 3 = 0  q 1 = 20kPa và p 1 = 206,7kPa ∂ q = 20 kPa và ∂ p= 6,7 kPa Tính p’ 1 ( ) [ ] 01 1 1 'ln ' vp Mp q −Γ+−+− − = κλλ κλ ( ) [ ] 26,217,305,02,0'2,0 05,02,0 '02,1 20 1 1 −+−+− − = Lnp p [ ] kPapLnpp 7,184'06,1'2,0'8.620 111 =⇒+−= Tính gia số áp lực nước lỗ rỗng ∂ u 1 = p 1 – p’ 1 = 206,7 – 184,7 = 22 kPa Hoặc kPa q ppu 22 3 20 7,184200 3 ' 1 ' 01 =+−= ∂ +−=∂ Tính gia số ứng suất hữu hiệu trung bình ∂ p’ 1 kPappp 3,152007,184''' 011 −=−=−=∂ Vì không thoát nước v 0 = const nên biến dạng thể tích đàn hồi bằng với biến dạng dẻo nhưng trái dấu và tính như sau: http://www.ebook.edu.vn %169,0 20026,2 3,1505,0 ' ' 00 = × × = ∂ =−∂=∂ pv p e v p v κ εε Biến dạng dẻo cắt hoặc biến hình %166,0 02,1 169,01 ≈=∂=∂ p v p d M εε Tính biến dạng dọc trục Mẫu không thoát nước thể tích không đổi 0=∂+∂=∂ e v p vv εεε Mô hình Cam Clay không xét biến hình đàn hồi nên tổng biến hình bằng biến hình dẻo %166,0=∂=∂ p dd εε %166,0 3 1 = ∂ +∂=∂ v d ε εε [Cuối giai đoạn gia tải có p’ = 184,7 kPa; q = 20 kPa, v 0 = 2,26, trạng thái mẫu đất đang ở trên mặt ngưỡng ứng với ( ) kPapp xx 72,75)3,4exp(327,47,184ln05,026,217,3 05,02,0 1 ln '' ==⇒=−− − = q p’ v Nở - Nén lại NCL CSL p’ ∂q ∂p’ C C O O q ε 1 V, u CSL ε 1 U 1 D U 1 D U U p’ X Ghi chú quan trọng: khi tính toán không thoát nước, chúng ta vẫn sử dụng cùng bộ thông số M = 1,02; Γ =3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32 với bài toán thoát nước. http://www.ebook.edu.vn c- Trường hợp nén ba trục CD trên mẫu đất cố kết trước nhẹ (OC) Một mẫu đất cố kết trước là mẫu đất khi áp ứng suất lệch tại trạng thái ứng suất nhỏ hơn ứng suất đã chòu trong quá khứ. Trong thí nghiệm nén 3 trục, mẫu đất chòu cố kết đẳng hướng đến p’ C0 rồi giảm áp trong buồng nén về p’ 0 , ta có được mẫu đất cố kết trước và trạng thái đang trong miền đàn hồi. Nếu p’ 0 > p’ X mẫu đất cố kết trước nhẹ Và nếu p’ 0 < p’ X mẫu đất cố kết trước nặng. Từ p’ 0 tiến hành áp ứng suất lệch theo AY,trạng thái mẫu đất di chuyển trong miền đàn hồi nên mẫu đất chỉ có ứng xử đàn hồi cho đến khi lộ trình ứng suất chạm mặt ngưỡng p’ Y , xem hình 7.11. Trong giai đoạn này có thể tính thể tích riêng tại mỗi trạng thái ứng suất rồi suy ra các biến dạng đàn hồi thể tích và biến dạng đàn hồi cắt và cũng có thể sử dụng Từ điểm ngưởng Y, nếu gia tăng ứng suất trạng thái mẫu đất sẽ di chuyển trên mặt giới hạn “tương tự mặt Roscoe” có ứng xử đàn hồi – dẻo và lộ trình trạng thái mẫu đất (p’, v, q) di chuyển qua các mặt ngưởng (tường đàn hồi) khác nhau, nhờ đặc điểm này có thể tính được các biến dạng dẻo và đàn hồi của từng gia số ứng suất cho đến khi lộ trình chạm đường CSL thì mẫu đất bò trượt. Các bước tính các gia số biến dạng của từng gia số ứng suất tương tự như đất NC. C D Y D 1 C 0 C 1 v p’ NCL CSL C 1 Y D 1 C 0 C 1 p’, ε p v q, ε p d CSL p’ D1 p’ Y p’ C0 p’ C1 p’ X1 p’ X2 D’ 1 v D1 v D’1 v Y v C0 v C1 C 0 Pháp tuyến mặt ngưỡng ∂ε p ∂ε p v ∂ε p v p’ 0 p’ C0 q Y A A . toán các biến dạng tương tự như bài toán CU trên mẫu đất NC. Ví dụï 7.2 về bài toán CU và CD trên đất cố kết trước nhẹ Mẫu đất NC có: M = 1,02; Γ =3,17;. với bài toán thoát nước. http://www.ebook.edu.vn c- Trường hợp nén ba trục CD trên mẫu đất cố kết trước nhẹ (OC) Một mẫu đất cố kết trước là mẫu đất khi