Thí dụ : Tung 2 đồng xu. Tính xác suất có ít nhất một sấp. Ω = { SS, NN, SN, NS} A = { Đồng xu 1 sấp} = {SS, SN} B = { Đồng xu 2 sấp} = {SS, NS} P(Có ít nhất một sấp) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 24 +24 –14 =34.Thí dụ : Tung 2 đồng xu. Tính xác suất có ít nhất một sấp. Ω = { SS, NN, SN, NS} A = { Đồng xu 1 sấp} = {SS, SN} B = { Đồng xu 2 sấp} = {SS, NS} P(Có ít nhất một sấp) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 24 +24 –14 =34.
Chương 2: CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT I Cơng thức cộng xác suất a) A B P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) b) A, B C P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – – P(AC) – P(BC) + P(ABC) Thí dụ : Tung đồng xu Tính xác suất có sấp = { SS, NN, SN, NS} A = { Đồng xu sấp} = {SS, SN} B = { Đồng xu sấp} = {SS, NS} P(Có sấp) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 2/4 +2/4 –1/4 =3/4 II Xác suất có điều kiện Xác suất A với điều kiện B xảy định nghĩa sau : P( AB) P( A / B) P( B) Thí dụ : Tung súc sắc []= 36 A = {Súc sắc có điểm} B = {Súc sắc có điểm > điểm súc sắc } [ AB] P ( AB) [] / 36 P( A / B) /15 [ B] 15 / 36 P( B) [ ] Tính chất: P( A / B) P( A / B) III Công thức nhân xác suất Từ định nghĩa xác suất có điều kiện ta có: P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) IV Các kiện độc lập Sự kiện A B gọi độc lập P(AB) = P(A) P(B) Các SK A, B C gọi độc lập toàn P(AB) = P(A) P(B) P(AC) = P(A) P(C) P(BC) = P(B) P(C) P(ABC) = P(A) P(B) P(C) Nhận xét: Nếu A B độc lập P(A / B)= P(A) P(B / A)= P(B) Thí dụ : Tung đồng xu Xét kiện A = {Đồng xu sấp} B = { Đồng xu sấp} A B độc lập P(AB)=1/4 = 1/2 1/2 = P(A) P(B) Nhận xét: Các kiện A1, …, An độc lập toàn kiện độc lập với tích kiện cịn lại Thí dụ: Tung hai đồng xu Xét kiện A={ Có sấp}={SN, NS} B={ Có sấp}={SS} P(AB) = ≠ 2/4 1/4 = P(A)P(B) Vậy A B không độc lập Cách khác: P(A/B)=0/1=0≠ 2/4 = P(A) V Cơng thức xác suất tồn phần Cơng thức Bayes Xét KGSKSC , có nhóm đầy đủ A1, … , An kiện A Khi A AA1 AAn P ( A) P ( AA1 AAn ) Do kiện AA1, …,AAn xung khắc đôi nên P ( A) P ( AA1 ) P( AAn ) Theo cơng thức nhân, ta có cơng thức xác suất toàn phần sau P( A) P( A1 ) P( A / A1 ) P( An ) P ( A / An ) n �P( Ai ) P( A / Ai ) i 1 Công thức Bayes P ( Aj / A) P ( Aj )P (A / Aj ) n �P(A )P(A / A ) i 1 i i , j 1, , n Thí dụ : Có 10 thăm, có thăm có thưởng Sinh viên A bắt đầu tiên, B bắt sau a) Hỏi có cơng khơng ? b) Nếu B thưởng, tính xác suất A thưởng Giải : a) A = { Sinh viên A thưởng } A= { Sinh viên A không thưởng } B = { Sinh viên B thưởng } Ta có A nhóm đầy đủ Theo cơng thức xác A suất tồn phần P ( B ) =P(4/10 A) P( B3/9 / A) + P6/10 ( A) P.( B4/9 / A)= 4/10 = P(A) Vậy công b) Theo công thức Bayes P ( A) P ( B / A) /10 / P( A / B) 3/ P( B) /10 ... P( B) [ ] Tính chất: P( A / B) P( A / B) III Công thức nhân xác suất Từ định nghĩa xác suất có điều kiện ta có: P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) IV Các kiện độc...I Công thức cộng xác suất a) A B P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) b) A, B C P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – – P(AC) – P(BC) + P(ABC) Thí dụ : Tung đồng xu Tính xác suất có sấp... ) P( AAn ) Theo cơng thức nhân, ta có cơng thức xác suất tồn phần sau P( A) P( A1 ) P( A / A1 ) P( An ) P ( A / An ) n �P( Ai ) P( A / Ai ) i 1 Công thức Bayes P ( Aj / A) P