Tiểu luận các công thức tính xấp xỉ xác suất và ứng dụng

Tiểu luận các công thức tính xấp xỉ xác suất và ứng dụng

Tiểu luận“Các công thức tính

xấp xỉ xác suất và ứng dụng”

NHÓM 3

DANH SÁCH THÀNH VIÊN VÀ NHẬN XÉT CHI TIẾT HOẠT ĐỘNG NHÓM

1 Lê Thị Anh Thư: tìm lý thuyết + bài tập phần “Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân

3 Võ Thị Thanh Thảo: tìm lý thuyết + bài tập phần “Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng

phân phối chuẩn”

NX: Tích cực tham gia các hoạt động nhóm, gửi bài đúng hạn, tìm và dịch được nhiều tài liệu tiếng Anh hay, có nhiều hình ảnh minh họa

4 Phan Thị Ngọc Khuê: tìm lý thuyết + bài tập phần “Xấp xỉ phân phối Poisson bằng

phân phối chuẩn”

NX: Nhiệt tình tham gia trao đổi về bài tiểu luận, tuy chịu trách nhiệm tìm phần khó nhất trong 4 mục xấp xỉ nhưng vẫn gửi bài đúng hạn, nội dung ổn

5 Hồ Thị Quỳnh Trâm: tổng hợp 4 phần, sửa chữa, bổ sung thêm lý thuyết và bài tập

(lượng bổ sung thêm khoảng 30%)

NX: Tích cực tham gia xây dựng và hoàn thành bài tiểu luận, hoàn thành đúng thời hạn

đề ra, tìm được nhiều bài tập bằng tiếng Anh lẫn tiếng Việt

1 XẤP XỈ PHÂN PHỐI SIÊU BỘI BỞI PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

2 Nếu lấy không hoàn lại (phép chọn không lặp) khi đó X~H(N, M, n)

Trường hợp n rất nhỏ so với N, sự khác biệt giữa cách lấy có hoàn lại và không hoàn lại

là không đáng kể và ta có thể dùng phân phối nhị thức để xấp xỉ phân phối siêu bội:

Bài 1: Một lô hàng chứa 10.000 sản phẩm, trong đó có 8.000 sản phẩm tốt và 2.000 sản

phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm Tính xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt

Bài giải

Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra Khi đó X có phân phối siêu bội

X ~ H(N, M, n) với N = 10.000; M = 8.000; n = 10 Vì n = 10 rất nhỏ so với N = 10.000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X ~ B(n,p)

Bài 2: Một trường gồm có 10000 sinh viên, trong đó có 1000 học kém Một Đoàn

thanh tra đến trường, chọn ngẫu nhiên 100 sinh viên để kiểm tra Tính xác suất để có 20 sinh viên học kém

C C C

Vì N = 10000 rất lớn, n = 100 << N= 10000 nên X xấp xỉ phân phối nhị thức: X ~ B(100; 0,1) với p =M/N=1000/10000=0.1

Bài 3: Một cây lan có 60000 cây sắp nở hoa, trong đó có 7000 cây hoa màu đỏ Chọn

ngẫu nhiên 20 cây lan trong vườn này Tính xác suất để chọn được 7 cây lan có hoa màu

Bài 4: Một công ty nhập 5000 thùng hóa chất, trong đó có 1000 thùng kém chất lượng

Công ty này phân phối ngẫu nhiên 10 thùng (không hoàn lại) cho 1 cửa hàng Tính xác suất để cửa hàng này nhận 3 thùng kém chất lượng

Bài giải

Gọi X là ĐLNN chỉ số thùng kém chất lượng trong số 10 thùng được chọn

Ta có, X là phân phối siêu bội, X~H(5000, 1000, 10)

Bởi vì n=10 rất nhỏ so với N=5000 nên có thể xem X là một phân phối nhị thức với n=10

Bài 5: Một của hàng có 10000 con cá da trơn, trong đó có 1000 con cá tra Tính các suất

để khi chọn ngẫu nhiên 50 con cá thì được 10 con cá tra

2 XẤP XỈ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC BẰNG PHÂN PHỐI POISSON

2.1 Cơ sở lý thuyết

Khi X B(n, p) mà n khá lớn và p rất nhỏ (p<0,1) ta có thể xem như X~ P(np) Tức là có xấp xỉ

( )( ) ; 1 ; 0,1, 2, , n

Bài 1: Trong một quy trình sản xuất kính, khi sản xuất ra những sản phẩm lỗi hoặc bị sủi

bọt, người ta vẫn đưa ra những sản phẩm không mong muốn này cho bộ phận tiếp thị Biết rằng, trung bình trong 1000 sản phẩm có 1 sản phẩm bị sủi bọt Xác suất để một mẫu ngẫu nhiên gồm 8000 sản phẩm có chứa ít hơn 7 sản phẩm bị sủi bọt

Bài 2: Một ống dệt có 1000 ống sợi Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có 1 ống

sợi bị đứt là 0,2% Tìm xác suất để trong 1 giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt

không xảy ra với xác suất q = 1 – p = 0,998 Do đó, gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân phối nhị thức X ~ B(n, p) với n=1000; p=0,002

Vì n = 1000 khá lớn và p = 0,002 < 0,1 nên ta có thể xem X có phân phối Poisson:

X~P(a) với a=np=2

Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là

Bài 3: Một lô hàng thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu chứa 0,6% bị nhiễm khuẩn Tính

xác suất để chọn ngẫu nhiễn 1000 gói thịt từ lô hàng này có

a Không quá 2 gói bị nhiễm khuẩn

b Đúng 40 gói bị nhiễm khuẩn

Bài giải

Gọi X là số gói thịt bị nhiễm khuẩn trong 1000 gói thịt được chọn ngẫu nhiên

Ta có X~B(1000, 0,006) Bởi vì n =1000 khá lớn và p=0,006<0,1 nên ta có thể xem như X~P(np), trong đó np=6 để tính gần đúng P(X  2)

a) Xác suất để có không quá 2 gói bị nhiễm khuẩn là:

K

e K

e

) = 0,0902

Bài 5: Nước giải khát được chở từ Sài Gòn đi Vũng Tàu, mỗi xe chở 1000 chai bia Sài

Gòn, 2000 chai Coca và 800 chai nước trái cây Xác suất để một chai mỗi loại bị bể trên đường đi tương ứng là 0,2%; 0,11% và 0,3% Nếu không quá một chai bị bể thì lái xe được thưởng

a Tính xác suất có ít nhất một chai bia Sài Gòn bị bể

b Tính xác suất để lái xe được thưởng

c Lái xe phải chở ít nhất mấy chuyến để có ít nhất một chuyến được thưởng không nhỏ hơn 0,9

Bài giải

Gọi X1 là ĐLNN chỉ số chai bia Sài Gòn bị bể trong một chuyến Khi đó, X1 có phân phối nhị thức X1~(1000; 0,002) Vì n1 = 1000 khá lớn và p1 = 0,002 <0,1 nên ta có thể xem X1 có phân phối Poisson

X1 ~ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,002 = 2, nghĩa là X1 ~ P(2)

Hoàn toàn tương tự, gọi X2; X3 lần lượt là các ĐLNN chỉ số chai Coca, chai nước trái cây

bị bể trong 1 chuyến Khi đó X2; X3 có phân phối Poisson:

X2 ~ P(2000.0,0011) = P(2,2)

X3 ~ P(800.0,03) = P(2,4) a) Xác suất có ít nhất một chai bia Sài Gòn bị bể là

0 2

b) Xác suất để lái xe được thưởng

Theo đề bài, lái xe được thưởng khi có không quá 1 chai bị bể; nghĩa là

Theo câu b; xác suất để lái xe được thưởng trong 1 chuyến là p=0,0103 Do đó theo công thức Bernoulli ta có:

0,1

1 – 0,98970,9897



 



Vậy lái xe phải chở ít nhất là 223 chuyến

Bài 6: Một máy tính gồm 1000 linh kiện, 800 linh kiện B và 2000 linh kiện C Xác suất

hỏng của 3 linh kiện đó lần lượt là 0,02%; 0,0125% và 0,005% Máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1 Các linh kiện hỏng độc lập với nhau

a Tính xác suất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng

b Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động

c Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động

Bài giải

Gọi X1 là ĐLNN chỉ số linh kiện A bị hỏng trong một máy tính Khi đó, X1 có phân phối nhị thức X1~(1000; 0,002) Vì n1 = 1000 khá lớn và p1 = 0,002 <0,1 nên ta có thể xem X1

có phân phối Poisson

X1 ~ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,002 = 2, nghĩa là X1 ~ P(2)

Hoàn toàn tương tự, gọi X2; X3 lần lượt là các ĐLNN chỉ số linh kiện B, linh kiện C bị hỏng trong một máy tính Khi đó X2; X3 có phân phối Poisson:

X2 ~ P(800.0,000125) = P(0,1)

X3 ~ P(2000.0,00005) = P(0,1) a) Xác suất có ít nhất một linh kiện B bị hỏng là

0 0,1

b) Xác suất để máy ngưng hoạt động

Theo đề bài, máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1; nghĩa là

X1 + X2 + X3 1

Vì X1 ~ P(0,2); X2 ~ P(0,1); X3 ~ P(0,1) nên X1 + X2 + X3 ~ P(0,2+0,1+0,1) = P(0,4) Suy ra xác suất để máy ngưng hoạt động là

P(X1 + X2 + X3 1) = 1 – P(X1 + X2 + X3 1) = 1– (P(X1 + X2 + X3 = 0)

0 0,40, 4

0!

 

Bài 7: Một trường cấp 3 có 900 học sinh Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi học sinh

phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học sinh phân phối đều cho các ngày của năm Số giường của trạm ý tế tối thiểu là bao nhiêu để tỷ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01?

 m=7 (thử lần lượt từng giá trị đến khi m=7)

 Vậy cần phải có tối thiểu 7 giường để tỷ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01

3 XẤP XỈ NHỊ THỨC BẰNG PHÂN PHỐI CHUẨN

3.1 Cơ sở lý thuyết

Khi sử dụng phân phối nhị thức, nếu n khá lớn thì việc tính toán theo công thức Bernoulli

sẽ gặp khó khăn vì khi đó cỡ mẫu gia tăng chúng ta sẽ mất nhiều công sức hơn để tính số lúy thừa cao của p và q (tức là của (1-p)) và số hạng cần phải tính để cộng lại với nhau cũng nhiều hơn

Lúc đó nếu p nhỏ đến mức npnpq thì có thể dùng phân phối Poisson thay thế cho nhị thức Nhưng nếu p không nhỏ (p>0,1) thì không thể dùng phân phối Poisson để thay thế được Khi đó ta dùng phân phối chuẩn để thay thế cho phân phối nhị thức

Đôi khi rất khó để tính toán xác suất trực tiếp cho một nhị thức (n, p) biến ngẫu nhiên, X Chúng ta cần một bảng khác nhau cho mỗi giá trị của n, p Nếu chúng ta không có một bảng,việc tính toán trực tiếp có thể nhận được kết quả nhanh chóng như rất rườm rà

Ví dụ: Tính P (X ≤ 100) với n = 150, p = 0,35

Đối với các biến ngẫu nhiên bình thường thì việc tính xác là rất dễ dàng, chỉ cần tra bảng Tuy nhiên, chúng ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức bởi một phân phối chuẩn, với cách chọn μ và σ thích hợp

Để có thể hiểu được tại sao điều này có thể xảy ra, chúng ta hãy nghiên cứu quincunx Quincunx là một thiết bị được phát minh bởi Sir Francis Galton trong những năm 1800 trong đó cho thấy khi quan sát nhiều lần các biến nhị thức ngẫu nhiên cho ra một biểu đồ trông giống hình chuông, miễn là số các phép thử không phải là quá nhỏ

(Xem trang web quincunx tại: http://www.rand.org/methodology/stat/applets/clt.html) Nói chung sự phân phối của một biến nhị thức ngẫu nhiên có thể xấp xỉ chính xác bằng một biến ngẫu nhiên chuẩn miễn là np ≥ 5, nq ≥ 5, và giả định rằng sự liên tục được thực hiện để giải thích cho thực tế là chúng ta đang sử dụng một phân phối liên tục (phân phối chuẩn) để xấp xỉ một nhị thức rời rạc

Để xấp xỉ phân phối của X, chúng ta sẽ sử dụng phân phối chuẩn có nghĩa là μ = np, phương sai σ2

Từ đó chúng ta rút ra được một biểu đồ dạng thanh của phân phối nhị thức với n,p cho trước xếp chồng lên các phân phối chuẩn để tạo xấp xỉ Lưu ý cách tăng lên khi p dịch chuyển ra khỏi 0,5

 Nếu p(x) là phân phối Nhị thức và f(x) là mật độ chuẩn thì xấp xỉ là

1 2

1 2

1 2

b b

Trong sơ đồ trên, các thanh đại diện cho phân phối nhị thức

với n = 10, p = 0,5 Đường cong chồng lên trên là mật độ chuẩn f (x) Gía trị chuẩn là μ =

Vì vậy, sử dụng xấp xỉ bằng phân phối chuẩn là cần thiết

Theo sơ đồ, diện tích mật độ chuẩn giữa 3,5 và 4,5 cho biết một xấp xỉ hợp lí cho chiều cao của thanh p(4) Điều này sẽ lý giải rõ ràng tại sao sự điều chỉnh liên tục là hữu ích

* CÔNG THỨC

Đối với ĐLNN X có phân phối nhị thức kiểu B(n,p), khi p không quá gần 0 hoặc 1 và n khá lớn, ta có thể xem X~N(np, npq), q=1-p; tức là có xấp xỉ

1 ( ) n k k n k (k np), 0,1, ,

Bài 1: Các hãng hàng không và khách sạn thường chấp thuận việc đặt phòng trước vượt

quá năng lực phòng nhằm giảm thiểu những tổn thất do đã đặt phòng nhưng không sử dụng Giả định rằng ghi nhận của một khách sạn dọc đường cho thấy, tính trung bình thì

có 10% khách sắp đến của họ sẽ không yêu cầu đặt chỗ trước Nếu khách sạn chấp nhận

215 chỗ đặt trước và chỉ có 200 phòng trong khách sạn đó, thì xác suất mà tất cả khách đến yêu cầu một phòng sẽ nhận được phòng là bao nhiêu?

Bài giải

Theo đề, 10% khách sắp đến của họ sẽ không yêu cầu đặt chỗ trước, suy ra 90% khách đến của họ yêu cầu đặt chỗ trước Tức là giả sử nếu có 100 khách đặt chỗ trước thì chỉ có

90 khách đến nhận phòng

Gọi X là ĐLNN chỉ số khách đến yêu cầu một phòng, thì X ~ B(215; 0,9)

Vì n =215 khá lớn và p = 0,9 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên có thể xấp xỉ X bằng công thức Laplace Trong đó np=215.0,9=193,5 và npq 4, 4

Xác suất để tất cả các khách đến yêu cầu một phòng sẽ nhận được phòng là

Bài 2: Một khách sạn nhận đặt chỗ của 425 khách hàng cho 400 phòng vào ngày 30

tháng 4 vì theo kinh nghiệm của những năm trước cho thấy tỷ lệ khách đặt chỗ nhưng không đến là 10% Tính xác suất:

Bài 3: Sáng mai chuyến bay từ Ilberia đến Mandrid có thể chứa 370 hành khách Theo

kinh nghiệm trước đây, Ilberis biết rằng xác suất 1 hành khách giữ vé xuất hiện trong chuyến bay là 0,90 Họ đã bán 400 vé, cố tình đặt trước nhiều chuyến bay Làm thế nào Ilberia có thể tự tin rằng sẽ có hành khách không lên chuyến bay ( hoặc trì hoãn lại chuyến bay) ?

Bài 4: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất ra một loại sản phẩm Tỷ lệ sản

phẩm loại II của các phân xưởng tương ứng là: 10%, 20%, 30% Từ một lô hàng 10000 sản phẩm (trong đó có 3000 sản phẩm của phân xưởng 1; 4000 sản phẩm của phân xưởng

2 và 3000 sản phẩm của phân xưởng 3); người ta chọn ngẫu nhiên ra 100 sản phẩm để kiểm tra Nếu thấy có không quá 24 sản phẩm loại II trong số 100 sản phẩm kiểm tra thì mua lô hàng đó Tìm xác suất để lô hàng được mua

Bài giải

Gọi X là số sản phẩm loại II có trong 100 sản phẩm lấy ra từ lô hàng để kiểm tra thì X có phân phối siêu bội

Nhưng vì lấy ra 100 sản phẩm từ tập hợp có số lượng lớn là 10000, nghĩa là lấy ít từ một tập hợp có số lượng phần từ lớn nên ta có thể xem X là một phân phối nhị thức với n=100

Bài 5: Độ tin cậy của cầu chì điện là xác suất để cho cầu chì đó, được chọn ngẫu nhiên từ

số sản phẩm sản xuất ra, sẽ hoạt động được trong những điều kiện mà qua đó nó được thiết kế Một mẫu ngẫu nhiên gồm 1000 cầu chì được kiểm tra và x=27 cầu chì lỗi được quan sát Tính xác suất của việc quan sát thấy 27 hoặc nhiều hơn số cầu chì bị lỗi, bằng cách giả định rằng độ tin cậy của cầu chì là 0,98

Bài giải

Xác suất của việc quan sát một sản phẩm bị lỗi khi một cầu chì duy nhất được kiểm tra là

p = 0,02; khi đã biết độ tin cậy của cầu chì là 0,98

Gọi X là số cầu chì bị lỗi quan sát được trong 1000 cầu chì lấy ra thì X ~ B(1000; 0,02)

Vì n = 1000 lớn và n = 0,02 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể dùng công thức Laplace

Bài 6: Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên một trong

hai máy và với máy đã chọn sản xuất 100 sản phẩm Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra

có từ 80 sản phẩm loại I trở lên thì được nâng bậc thợ Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại I đối với 2 máy tương ứng là 0,7 và 0,9 Tính xác suất để công nhân A được nâng bậc thợ

Bài giải

Gọi A1, A2 tương ứng là các biến cố công nhân A chọn được máy thứ nhất; thứ hai; B là biến cố công nhân A được nâng bậc thợ Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2)

Gọi X1, X2 tương ứng là các biến cố công nhân A chọn được máy thứ nhất, thứ hai

Bài 7: Một phân xưởng có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm loại

A của máy thứ nhất, thứ hai và thứ ba tương ứng là: 70%, 80%; 90% Các sản phẩm do phân xưởng sản xuất được đóng thành từng hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 3 sản phẩm do nhà máy thứ nhất sản xuất; 4 sản phẩm do nhà máy thứ hai sản xuất và 3 sản phẩm do nhà máy thứ ba sản xuất Tiến hành kiểm tra lô hàng do phân xưởng sản xuất theo cách sau: Từ lô hàng chọn ngẫu nhiên không hoàn lại 100 hộp, rồi từ các hộp đã

chọn lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra Nếu thấy có 80 sản phẩm loại A trở lên thì nhận lô hàng Tính xác suất nhận lô hàng

Bài giải

Gọi B là biến cố nhận lô hàng

Gọi X là ĐLNN chỉ số sản phẩm loại A có trong 100 sản phẩm lấy ra kiểm tra

Theo đề, nếu có 80 sản phẩm loại A trở lên thì nhận lô hàng Suy ra, B(X80)

Gọi p là xác suất lấy được sản phẩm loại A khi lấy ngẫu nhiên một hộp ra để kiểm tra

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta tính được:

Bài 8: Sản phẩm của một nhà máy sau khi sản xuất xong được đóng thành từng hộp Mỗi

hộp có 10 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại I có trong mỗi hộp Cho biết X có phân phối xác suất như sau:

Tiến hành kiểm tra 300 hộp theo cách sau:

Mỗi hộp chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm để kiểm tra Nếu thấy cả 3 sản phẩm lấy ra kiểm tra đều là loại I thì nhận hộp đó

a Tính xác suất để số hộp nhận được thuộc khoảng (170; 190)

b Tìm số hộp được nhận có khả năng lớn nhất

Bài giải