BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY ĐẮK LẮK, NĂM 2016... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
ĐỀ TÀI
CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY
ĐẮK LẮK, NĂM 2016
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
ĐỀ TÀI
CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG
ĐẮK LẮK, NĂM 2016
Trang 3DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN
1q Huỳnh Đậu Mai Phương
2q Đinh Như Mạnh Hùng
3q Hoàng Văn Phung
4q Nguyễn Hồng Quân
5q Mai Đức Chung
6q Lê Hồ Quang Minh
7q Bùi Nguyễn Luân
8q Trần Kông Long
9q Vi Ánh Mừng
Trang 4MỤC LỤC
Trang 5DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
N : Tập hợp các số tự nhiên N t1, 2, u
N0 : Tập hợp các số N0 NY t0u
E : Đối ngẫu đại số của E
E1 : Đối ngẫu topo của E
Eco1 : Không gian E1 với topo compact mở
Bpa, rq : Hình cầu mở tâm a bán kính r
Bpa, rq : Hình cầu đóng tâm a bán kính r
l1 : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối
c0 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không
c0 : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không
intU : Phần trong của U
XK : Không gian Banach sinh bởi K X
PpE, Fq : Không gian các đa thức từ E vào F
HbpE, Fq: Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập
bị chặn của E giá trị trong F
H pUq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng
H pU, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F
Np N q : Tập các đa chỉ số
Trang 6Mở đầu
Trong tiểu luận này chúng ta sẽ được biết cách xây dựng công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó
Trang 7Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả cần thiết, liên quan đến nội dung chính của tiểu luận
Định nghĩa 1.0.1 Giả sử E, F là các không gian Banach còn m P N Ánh
xạ A : Em Ñ F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến Nghĩa
là với mọi a pa1, a2, , amq P Em và mọi 1 ¤ j ¤ m, các ánh xạ
Ej Q xj Ñ Apa1, , aj1, xj, aj 1, , amq
là tuyến tính
Kí hiệu: LapmE, Fq và LpmE, Fq lần lượt là các không gian vectơ các ánh
xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ Em vào F tương ứng Với
AP LapmE, Fq, xác định
}A} sup}Apx1, , xmq} : xj P E,}xj} ¤ 1, 1¤ j ¤ m
và gọi là chuẩn (suy rộng) của A
Khi m 1, ta viết Lap1E, Fq LapE, Fq và Lp1E, Fq LpE, Fq Khi F K viết Lapm
E, Kq LapmEq và Lpm
E, Kq LpmEq Cuối cùng khi m 1, sẽ viết như thông thường LapEq E#, LpEq E
Định nghĩa 1.0.2 Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất bậc m)nếu tồn tại A PLapmE, Fq sao cho
Ppxq Axm @x P E
Kí hiệu: PapmE, Fq không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E tới F và PpmE, Fq là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục
Trang 8của PapmE, Fq Đối với mỗi P P PapmE, Fq, đặt
}P} sup}Ppxq} : x P E,}x} ¤ 1
và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P
Khi F K ta viết PapmE, Kq PapmEq và PpmE, Kq PpmEq
Định nghĩa 1.0.3 Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a P E là chuỗi có dạng
8
°
m 0
Pmpxaq, ở đây Pm PPapmE, Fq với mọi m PN0
Chú ý rằng chuỗi lũy thừa
8
°
m 0
Pmpxaq có thể viết như
8
°
m 0
Ampxaqm, ở đây Am P Ls
apmE, Fq, Apm Pm Định nghĩa 1.0.4 Giả sử U là tập mở trong E Ánh xạ f : U Ñ F gọi là chỉnh hình hay giải tích nếu với mọi aP U tồn tại trong hình cầu Bpa, rq U
và một dãy các đa thức Pm P PpmE, Fq sao cho
fpxq
8
¸
m 0
Pmpxaq
hội tụ đều với x P Bpa, rq
Kí hiệu: HpU, Fq là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F Khi F C ta viết HpU, Cq HpUq Dãy pPmq trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu Pm Pmfpaq với mọi m P N0 Chuỗi
8
°
m 0
Pmfpaqpxaqnhư thông thường gọi là chuỗi Taylor của f tại a Ta kí hiệu
Amfpaq là phần tử duy nhất thuộc LspmE, Fq thỏa mãn A{mfpaq Pmfpaq Định lí 1.0.5 Cho R là một bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa °8
m 0Pmpx
aq khi đó:
(a) R xác định bởi công thức Cauchy- Hadamard
1
R lim
m Ñ8sup}Pm}1
m
(b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên ¯Bpa; rq khi 0 ¤ r R
Bổ đề 1.0.6 Cho pcmq8
m 0 là một dãy trong F Nếu có r ¡ 0 thỏa mản
°8
m 0cmλm 0 với mọi λP K với |λ| ¤r thì cm 0 với mọi mP N0
Trang 9Mệnh đề 1.0.7 Cho °8
m 0Pmpxq °8m0Amxm là một chuỗi lũy thừa từ E vào F với bán kính hội tụ R ¡ 0 Lấy e1, , en PE với }e1} }en} 1, tập hợp
cα m!
α!Ame
α 1
1 eαn
n
với mỗi α pα1, , αnq PNn0 với |α| m khi đó ta có
8
¸
m 0
Pmpξ1e1 ξnenq ¸
α
cαξα1
1 ξαn
n
mỗi khi |ξ1| |ξn| R{e Cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều với
|ξ1| |ξn| ¤ r khi 0¤ r R{e
Bổ đề 1.0.8 Cho Cα P F cho mổi bộ α pα1, , αnq P Nn0 Nếu có
r ¡ 0 thỏa mản chuỗi °
αcαλα1
1 λαn
n hội tụ tuyệt đối tại không khi |λ1| ¤
r, ,|λn| r, thì cα 0 vơi mọi α
Mệnh đề 1.0.9 PpE; Fq H pE; Fq
Mệnh đề 1.0.10 Cho pfmq là một dãy trong E1 hội tụ đến không nếu chúng
ta đặt
fpxq ¸8
m 0
pϕmpxqqm với mọi xP E thì f P H pEq
Mệnh đề 1.0.11 Cho U là một tập con mở của E và a P E Với mổi
f P H pU ; Fq cho fa : U a Ñ F được định nghĩa bằng faptq fpa tq với mọi t P U a ta có:
(a) fa P H pU a; Fq và Pmfaptq Pmfpa tq với mọi t P U a và
m P N0
(b) ánh xạ f Ñ fa là một vectơ không gian đẳng cấu giữa H pU ; Fq và
pU a; Fq
Hệ quả 1.0.12 Cho µ là một độ đo Borel hữu hạn trên một không gian Hausdorff compact X Cho pfnq là một dãy ánh xạ liên tục từ X vào Y mà hội tụ đều trên X đến một ánh xạ f Khi đó f liên tục và
» A
f dµ lim
n Ñ8
» A
fndµ với mổi A P °
Trang 10Chương 2
Các công thức tích phân Cauchy
Định lí 2.0.13 Cho U là tập con mở của E, f P H pU, Fq, a P U, t P E và
r ¡ 0 sao cho a ζt P U với mọi ζ P 4¯p0, rq khi đó, với mổi λ P 4p0; rq ta
có công thức tích phân Cauchy
fpa λtq 1
2πi
»
| ζ | r
fpa ζtq
ζλ dζ Chứng minh Nếu ψ P F1 thì hàm gpζq ψfpa ζtq là hàm chỉnh hình trên một lân cận của đỉa đóng ¯4p0; rq Bằng công thức tích phân Cauchy đối với hàm chỉnh hình một biến phức ta có:
ψfpa λtq gpλq
1
2πi
»
| ζ | r
gpζq
ζλdζ
1
2πi
»
| ζ | r
ψfpa ζtq
ζ λ dζ với mổi λP 4p0; rq Vì F1 tách điểm của F đòi hỏi kết luận sau
Hệ quả 2.0.14 Cho U là một tập con mở của E, và cho f P H pU ; Fq Cho a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a ζt P U với mọi ζ P 4¯p0; rq Với mỗi
λP 4p0; rq ta có khai triển chuổi dạng
fpa λtq
8
¸
m 0
cmλm
Ở đây
cm 1
2πi
»
| ζ | r
fpa λtq
ζm 1 dζ
Trang 11Chứng minh Với |λ| |ζ| r ta có
fpa ζtq
ζ λ
f p a ζt q
ζ
ζ λ ζ
8
¸
m 0
λmfpa ζtq
ζm 1
và vì f là bị chặn trên ta ζt : |ζ| ru, chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều đối với
|ζ| r và |λ| ¤s r Bằng hệ quả (1.0.12) ta có thể tích phân từng số hạng
để nhận được:
»
| ζ | r
fpa ζtq
ζ λ dζ ¸8
m 0
λm
»
| ζ | r
fpa ζtq
ζm 1 dζ
Chuỗi cuối cùng hội tụ tuyệt đối và đều đối với |λ| ¤ s Áp dụng định lí (2.0.13) ta có điều phải chứng minh
Hệ quả 2.0.15 Cho U là tập con mở của E, f P H pU ; Fq, a P U, t P E và
r ¡ 0 sao cho a ζt P U với mọi ζ P 4¯p0; rq Khi đó với mỗi m P N0 ta có công thức tích phân Cauchy:
Pmfpaqptq 1
2πi
»
| ζ | r
fpa ζtq
ζm 1 dζ Chứng minh Vì f là chỉnh hình ta có khai triển chuổi dạng
fpa λtq
8
¸
m 0
Pmfpaqpλtq
8
¸
m 0
λmPmfpaqptq
với |λ| ¤ , ¡ 0 đủ nhỏ Bằng cách so sánh khai triển chuỗi này với khai triển chuỗi có được từ hệ quả (2.0.14) và áp dụng bổ đề (1.0.6) có bất đẳng thức Cauchy
Hệ quả 2.0.16 Cho L là tập con mở của E, f P H pU ; Fq, aP U, t P E và
r ¡ 0 sao cho a ζt P U với mọi ζ P 4¯p0; rq Khi đó với mỗi m P N0 ta có bất đẳng thức Cauchy:
}Pmfpaqptq} ¤ rm sup
| ζ | r}fpa ζtq}
Hệ quả 2.0.17 Nếu P P PpmE; Fq thì với a, t P E chúng ta có công thức tích phân
Pptq 1
2πi
»
| ζ | 1
Ppa ζtq
ζm 1 dζ
Trang 12Chứng minh Từ mệnh đề (1.0.9), PmPpaqptq Pptq Áp dụng hệ quả (2.0.15)
ta có điều cần chứng minh
Hệ quả 2.0.18 Cho P P PpmE; Fq Nếu P bị chặn bởi c trên một hình cầu
mở Bpa; rq thì P đồng thời bị chặn bởi c trên hình cầu Bp0; rq
Bây giờ ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào việc nghiên cứu hạn chế của ánh xạ chỉnh hình trên không gian con n- chiều Trước hết ta đưa vào một số khái niệm sau:
Một đa đĩa trong Cn là tích các đĩa trong C Một đa đĩa mở với tâm
a pa1, , anq và đa bán kính r pr1, , rnq sẽ được kí hiệu là 4npa; rq
Đa đĩa đóng sẽ được kí hiệu là ¯4npa; rq và được xác định
4npa; rq tz P Cn : |zj aj| rj với j 1, , nu
¯
4npa; rq tz P Cn : |zj aj| ¤rj với j 1, , nu
nếu a 0 p0, , 0q và r 1 p1, , 1q thì chúng ta viết đơn giản
4np0; 1q 4n và ¯4np0; 1q 4¯n Tập hợp
tz P Cn : |zj aj| rj với j 1, , nu
thì chứa trong biên B4npa; rq của 4npa; rq và được kí hiệu là Bo4npa; rq và được gọi là biên đóng của đa đĩa 4npa; rq
Định lí 2.0.19 Cho U là một tập con mở của E, và cho f P H pU ; Fq cho
a P U, t1, , tn PE và r1, , rn ¡ 0 sao cho a ζ1t1 ζntn P U với mọi
ζ P4¯np0; rq Khi đó với mỗi λ P 4np0; rq ta có công thức tích phân Cauchy
fpa λ1t1 λntnq p 1
2πiqn
»
B o 4 n p 0;r q
fpa ζ1t1 ζntnq
pζ1λ1q .pζnλnq dζ1 ζn Chứng minh Vì đa đĩa ¯4np0; rq là compact, nếu tồn tại R1 ¡ r1, , Rn ¡ rn sao cho a ζ1t1 ζntn P U với mọi ζ P4np0; Rq Nếu ψ P F1 thì hàm số
gpζ1, , ζnq ψfpa ζ1t1 ζntnq với ζ P 4np0; Rq
là chỉnh hình theo từng biến ζ1, , ζn khi cố định các biến còn lại Áp dụng liên tiếp công thức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình của một biến phức
ta được công thức
Trang 13ψfpa λ1t1 λntnq
p 1
2πiqn
»
| ζ 1 | r 1
dζ1
ζ1λ1
»
| ζ 2 | r 2
dζ2
ζ2 λ2
»
| ζ n | r n
ψfpa ζ1t1 ζntnq
ζnλn dζn vơi mổi λP 4np0; rq Vì hàm số
pζ1, , ζnq Ñ ψfpa ζ1t1 ζntnq
pζ1 λ1q .pζnλnq
là liên tục trên tập compact Bo4npa; rq, định lí Fubini cho phép chúng ta thay thế tích phân lặp bằng một đa tích phân Và vì F1 tách điểm, ta có kết quả sau
Hệ quả 2.0.20 Cho U là một tập con mở của E, f P H pU ; Fq, a P
U, t1, , tn P E và r1, , rn ¡ 0 sao cho a ζ1t1 ζntn P U với mọi ζ P 4¯np0; rq Khi đó với mọi λP 4np0; rq tồn tại khai triển chuỗi có dạng
fpa λ1t1 λntnq ¸
α
cαλα1
1 λαn
n
trong đó
cα p 1
2πiqn
»
B o 4 n p 0;r q
fpa ζ1t1 ζntnq
ζα1 1
1 ζαn 1
n
dζ1 dζn
chuỗi bội này tụ tuyệt đối và đều với λ P 4¯np0; sq trong đó 0 ¤ sj rj với mọi j
Chứng minh Chứng minh tương tự hệ quả (2.0.14) Thật vậy nếu|λj| |ζj|
rj với j 1, , n thì chúng ta có thể viết
fpa λ1t1 λntnq
pζ1λ1q .pζnλnq
¸ α
λα1
1 λαn
n
fpa ζ1t1 ζntnq
ζα1 1
1 ζαn 1
n
và chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều với ||ζj| rj và |λj| ¤sj rj Bằng cách lấy tích phân từng số hạng của chuỗi này, ta có được kết luận sau từ định
lí (2.0.19)
Định lí 2.0.21 Cho U là một tập con mở của E, F P H pU ; Fq, a P
U, t1, , tn P E và r1, , rn ¡ 0 sao cho a ζ1t1 ζntn P U với mọi ζ P 4¯np0; rq Khi đó với mỗi mP No và mỗi đa chỉ số α P Nno với |α| m chúng ta có công thức tích phân Cauchy
Amfpaqtα1
1 tαn
m!p2πiqn
»
B o 4 n p 0;r q
fpa ζ1t1 ζntnq
ζα1 1
1 ζαn 1
n
dζ1 dζn
Trang 14Chứng minh Bởi mệnh đề (1.0.7) ta có khai triển chuỗi
fpa λ1t1 λntnq
8
¸
m 0
Pmfpaqpλ1t1 λntnq
¸ α
cαλα1
1 λαn
n
trong đó
cα m!
α!A
mfpaqtα1
1 tαn
n
với mổi α P Nn0 với |α| m Chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều trên một
đa đĩa phù hợp ¯4np0; q Sau đó so sánh chuỗi mở rộng này với chuỗi mở rộng được cho bằng hệ quả (2.0.20), áp dụng của bổ đề (1.0.8) ta có điều cần chứng minh
Hệ quả 2.0.22 Cho A P LSpmE; Fq và cho P A¯ P PpmE; Fq.khi đó với mọi a, t1, , tn P E và mọi α P Nn0 với |α| m chúng ta có công thức phân cực
Atα1
1 tαn
m!p2πiqn
»
| ζ j | 1
Ppa ζ1t1 ζntnq
ζα1 1
1 ζαn 1
n
dζ1 dζn Chứng minh Áp dụng hệ quả (2.0.21) với f P
Ta nhắc lại điều sau một tập A trong E có chứa gốc thì gọi là cân nếu
ζx P A với mổi x P A và mổi ζ trong mổi đĩa đơn vị đóng ¯4 Nếu a P A thì
A gọi là a-cân bằng Nếu tập Aa là cân bằng
Định lí 2.0.23 Cho U là một tập con mở a-cân bằng của E, và cho f P
H pU ; Fq khi đó với mọi tập compact K P U tồn tại lân cận V của K trong
U sao cho chuỗi Taylor của f tại một hội tụ đến f đều trên V đủ nhỏ
Chứng minh Cho K là một tập con compact của U khi đó tập hợp
A ta ζpxaq : x P K, ζ P 4¯u
là chứa trong U , và f hội tụ trên A Vì K compact nên ta có thể tìm được
r ¡ l và một lân cận V của K trong U sao cho tập hợp
B ta ζpxaq: x P V, ζ P 4¯p0; rqu
Trang 15cũng chứa trong U , và f hội tụ trên B Vì thế chúng ta có thể viết
fra ζpxaqs
8
¸
m 0
fra ζpxaqs
ζm 1
và chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với xP V và|ζ| r sau khi tích phân qua vòng tròn |ζ| r và áp dụng công thức tích phân Cauchy (2.0.13) và (2.0.15)
ta kết luận
fpxq ¸8
m 0
Pmfpaqpxaq
và chuỗi này là hội tụ tuyệt đối và đều với x P V
Trang 16Kết Luận
Như vậy chúng tôi đã trình bày xong công thức tích phân Cauchy và một
số hệ quả của nó trong không gian Banach Tuy nhiên do thời gian có hạn và lượng kiến thức còn tương đối hẹp nên tiểu luận chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy, Cô và bạn đọc
Cuối cùng chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy, PSG TS Thái Thuần Quang đã tận tìn chỉ dạy cho chúng em
Trang 17TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] J Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland Math Studies, 120