Bài tiểu luận các công thức tích phân cauchy

17 907 0
Bài tiểu luận các công thức tích phân cauchy

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY ĐẮK LẮK, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK, NĂM 2016 DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN 1q 2q 3q 4q 5q 6q 7q 8q 9q Huỳnh Đậu Mai Phương Đinh Như Mạnh Hùng Hoàng Văn Phung Nguyễn Hồng Quân Mai Đức Chung Lê Hồ Quang Minh Bùi Nguyễn Luân Trần Kông Long Vi Ánh Mừng i MỤC LỤC Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 2 Các công thức tích phân Cauchy Kết Luận 11 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT N N0 E✝ E✶ ✶ Eco B a, r B a, r l1 c0 c  intU U XK P E, F Hb E, F ♣ q ♣ q ♣ ♣ q q : : : : : : : : : : : : : : : H ♣U q : H ♣U, F q : : N♣Nq tr : ✏t ✏ ❨t ✉ ✉ Tập hợp số tự nhiên N 1, 2, Tập hợp số N0 N Đối ngẫu đại số E Đối ngẫu topo E Không gian E ✶ với topo compact mở Hình cầu mở tâm a bán kính r Hình cầu đóng tâm a bán kính r Không gian Banach dãy số phức khả tổng tuyệt đối Không gian Banach dãy số phức hội tụ không Tập dãy số thực dương hội tụ không Phần U Bao đóng U Không gian Banach sinh K X Không gian đa thức từ E vào F Không gian hàm chỉnh hình bị chặn tập bị chặn E giá trị F Không gian hàm chỉnh hình U giá trị vô hướng Không gian hàm chỉnh hình U giá trị F Tập đa số Trang ⑨ iii Mở đầu Trong tiểu luận biết cách xây dựng công thức tích phân Cauchy số hệ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết cần thiết, liên quan đến nội dung tiểu luận € Định nghĩa 1.0.1 Giả sử E, F không gian Banach m N Ánh F gọi m- tuyến tính tuyến tính theo biến Nghĩa xạ A : E m với a a1 , a2 , , am E m j m, ánh xạ Ñ ✏♣ ↕ ↕ q€ Ej ◗ xj Ñ A♣a1 , , aj ✁1 , xj , aj  1 , , am q tuyến tính q ♣ ♣ q Kí hiệu: La m E, F L m E, F không gian vectơ ánh xạ m- tuyến tính m- tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng Với A La m E, F , xác định € ♣ q ⑥A⑥ ✏ sup ⑥A♣x1, , xmq⑥ : xj € E, ⑥xj ⑥ ↕ 1, ↕ j ↕ m gọi chuẩn (suy rộng) A Khi m 1, ta viết La E, F La E, F L E, F L E, F Khi F K m m m m viết La E, K La E L E, K L E Cuối m 1, # viết thông thường La E E ,L E E ✝ ✏ ♣ ♣ q✏ ♣ q ♣ q✏ ♣ q ✏ q✏ ♣ q ♣ q✏ ♣ q ✏ ♣ q✏ ♣ q✏ Định nghĩa 1.0.2 Ánh xạ P : E Ñ F gọi đa thức m-thuần (thuần bậc m)nếu tồn A € La ♣m E, F q cho P ♣xq ✏ Axm ❅x € E ♣ q Kí hiệu: Pa m E, F không gian vec tơ đa thức m- từ E tới F P m E, F không gian gồm đa thức m- liên tục ♣ q Pa ♣mE, F q Đối với P € Pa♣mE, F q, đặt ⑥P ⑥ ✏ sup ⑥P ♣xq⑥ : x € E, ⑥x⑥ ↕ gọi chuẩn ( suy rộng) P Khi F K ta viết Pa m E, K Pa ✏ ♣ q ✏ ♣mE q P ♣mE, Kq ✏ P ♣mE q Định nghĩa 1.0.3 Chuỗi lũy thừa từ E tới F điểm a € E chuỗi có ✽ ➦ dạng Pm ♣x ✁ aq, Pm € Pa ♣m E, F q với m € N0 m✏ Chú ý chuỗi lũy thừa Am € ♣ Lsa m E, F ✽ ➦ m✏ ♣ ✁ aq viết Pm x q, A♣m ✏ Pm ✽ ➦ m✏ ♣ ✁ aqm, Am x Ñ ♣ q⑨ Định nghĩa 1.0.4 Giả sử U tập mở E Ánh xạ f : U F gọi chỉnh hình hay giải tích với a U tồn hình cầu B a, r U dãy đa thức Pm P m E, F cho € ♣ ♣ q✏ f x € q ✽ ➳ m✏0 ♣ ✁ aq Pm x € B♣a, rq Kí hiệu: H♣U, F q không gian véc tơ ánh xạ chỉnh hình từ U vào F Khi F ✏ C ta viết H♣U, Cq ✏ H♣U q Dãy ♣Pm q định nghĩa xác định f a, ta kí hiệu Pm ✏ P m f ♣aq với m € N0 Chuỗi ✽ ➦ P m f ♣aq♣x ✁ aq thông thường gọi chuỗi Taylor f a Ta kí hiệu m✏ m f ♣aq ✏ P m f ♣aq Am f ♣aq phần tử thuộc Ls ♣m E, F q thỏa mãn A④ ➦✽ Định lí 1.0.5 Cho R bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa m✏0 Pm ♣x ✁ aq đó: hội tụ với x (a) R xác định công thức Cauchy- Hadamard ✏ mlim sup ⑥Pm ⑥ Ñ✽ ¯ ♣a; rq ↕ r ➔ R (b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối B Bổ đề 1.0.6 Cho ♣cm q✽ m✏0 dãy F Nếu có r → thỏa mản ➦✽ m m✏0 cm λ ✏ với λ € K với ⑤λ⑤ ↕ r cm ✏ với m € N0 R m ➦✽ ♣ q ✏ ➦✽ m Mệnh đề 1.0.7 Cho m✏0 Pm x m✏0 Am x chuỗi lũy thừa từ E vào F với bán kính hội tụ R Lấy e1 , , en E với e1 en 1, tập hợp m! Am eα1 eαnn cα α! với α α1 , , αn Nn0 với α m ta có → ✏♣ ✽ ➳ m✏0 ✏ q€ ♣ Pm ξ1 e1 € ⑤ ⑤✏     ξnenq ✏ ➳ ⑥ ⑥✏ ✏⑥ ⑥✏ cα ξ1α1 ξnαn α ⑤ ⑤     ⑤ ⑤ ➔ R④e Cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối với ⑤ ⑤   ⑤ ⑤↕ ↕ r ➔ R ④e Bổ đề 1.0.8 Cho Cα € F cho mổi α ✏ ♣α1 , , αn q € Nn0 Nếu có ➦ r → thỏa mản chuỗi α cα λα1 λαn hội tụ tuyệt đối không ⑤λ1 ⑤ ↕ r, , ⑤λn ⑤ ➔ r, cα ✏ vơi α Mệnh đề 1.0.9 P ♣E; F q ⑨ H ♣E; F q Mệnh đề 1.0.10 Cho ♣fm q dãy E ✶ hội tụ đến không chúng ξ1 ξn ξ1 ξn r ta đặt ♣ q✏ f x f € H ♣E q ✽ ➳ n ♣ϕm♣xqqm với x m✏ €E € ♣q✏ ♣   q Mệnh đề 1.0.11 Cho U tập mở E a E Với mổi f H U ; F cho fa : U a F định nghĩa fa t f a t với t U a ta có: (a) fa H U a; F P m fa t P m f a t với t U a m N0 (b) ánh xạ f fa vectơ không gian đẳng cấu H U ; F U a; F € € ♣ ✁ ♣ q ✁ Ñ € ✁ € ♣ ✁ q ♣q✏ ♣  q Ñ q € ✁ ♣ q Hệ 1.0.12 Cho µ độ đo Borel hữu hạn không gian Hausdorff compact X Cho fn dãy ánh xạ liên tục từ X vào Y mà hội tụ X đến ánh xạ f Khi f liên tục ♣ q ➺ f dµ với mổi A €➦ A ✏ nlim Ñ✽ ➺ fn dµ A Chương Các công thức tích phân Cauchy € ♣ q € € € ♣ q Định lí 2.0.13 Cho U tập mở E, f H U, F , a U, t E r cho a ζt U với ζ ¯ 0, r đó, với mổi λ 0; r ta có công thức tích phân Cauchy →   € € ♣ q ➺ ♣   ζtq dζ ✁λ Chứng minh Nếu ψ € F ✶ hàm g ♣ζ q ✏ ψ✆ f ♣a   ζtq hàm chỉnh hình lân cận đỉa đóng ¯ ♣0; rq Bằng công thức tích phân Cauchy ♣   λtq ✏ f a f a 2πi ⑤ζ ⑤✏r ζ hàm chỉnh hình biến phức ta có: ψ ✆ f ♣a   λtq ✏ g♣λq➺ ✏ 2πi ✏ với mổi λ ♣q ✁ ✆ ♣   q ✁ g ζ dζ λ ⑤ ζ ⑤✏r ζ ➺ ψ f a ζt dζ 2πi ⑤ζ ⑤✏r ζ λ € ♣0; rq Vì F ✶ tách điểm F đòi hỏi kết luận sau € ♣ q Hệ 2.0.14 Cho U tập mở E, cho f H U; F ¯ 0; r Với Cho a U, t E r cho a ζt U với ζ λ 0; r ta có khai triển chuổi dạng € € € ♣ q →   € ♣   λtq ✏ f a Ở ✏ ➺ ✽ ➳ m✏ cm λm ♣   q f a λt cm dζ 2πi ⑤ζ ⑤✏r ζ m 1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối với λ S r ⑤ ⑤↕ ➔ € ♣ q ⑤ ⑤ ➔ ⑤ζ ⑤ ✏ r ta có f ♣a ζtq ✽ ➳ f ♣a   ζtq f ♣a   ζtq ζ ✏ ✏ λm ζ ✁ λ ζ ✁λ ζ m 1 ζ m✏ f bị chặn ta   ζt : ⑤ζ ⑤ ✏ r✉, chuỗi hội tụ tuyệt đối ⑤ζ ⑤ ✏ r ⑤λ⑤ ↕ s ➔ r Bằng hệ (1.0.12) ta tích phân số hạng Chứng minh Với λ để nhận được: ➺ ➺ ✽ ♣   ζtq dζ ✏ ➳ f ♣a   ζtq λm dζ m  ✁λ ζ ⑤ ζ ⑤✏ r m✏ f a ⑤ζ ⑤✏r ζ ⑤ ⑤ ↕ s Áp dụng định lí Chuỗi cuối hội tụ tuyệt đối λ (2.0.13) ta có điều phải chứng minh € ♣ q € € Hệ 2.0.15 Cho U tập mở E, f H U ; F , a U, t E r cho a ζt U với ζ ¯ 0; r Khi với m N0 ta có công thức tích phân Cauchy: →   € € ♣ q ♣ q♣ q ✏ P mf a t ➺ € ♣   q f a ζt dζ 2πi ⑤ζ ⑤✏r ζ m 1 Chứng minh Vì f chỉnh hình ta có khai triển chuổi dạng ♣   λtq ✏ f a ⑤ ⑤↕ → ✽ ➳ m✏0 m ♣ q♣ q ✏ P f a λt ✽ ➳ m✏ ♣ q♣ q λm P m f a t với λ , đủ nhỏ Bằng cách so sánh khai triển chuỗi với khai triển chuỗi có từ hệ (2.0.14) áp dụng bổ đề (1.0.6) có bất đẳng thức Cauchy € ♣ q € € Hệ 2.0.16 Cho L tập mở E, f H U ; F , a U, t E r cho a ζt U với ζ ¯ 0; r Khi với m N0 ta có bất đẳng thức Cauchy: →   € € ♣ q € ⑥P mf ♣aq♣tq⑥ ↕ r✁m sup ⑥f ♣a   ζtq⑥ ⑤ζ ⑤✏r Hệ 2.0.17 Nếu P tích phân € P ♣mE; F q với a, t € E có công thức ♣q✏ P t ➺ ♣   q P a ζt dζ 2πi ⑤ζ ⑤✏1 ζ m 1 ♣ q♣ q ✏ P ♣tq Áp dụng hệ (2.0.15) Chứng minh Từ mệnh đề (1.0.9), P m P a t ta có điều cần chứng minh € ♣ q Hệ 2.0.18 Cho P P m E; F Nếu P bị chặn c hình cầu mở B a; r P đồng thời bị chặn c hình cầu B 0; r ♣ q ♣ q Bây ta áp dụng kết vào việc nghiên cứu hạn chế ánh xạ chỉnh hình không gian n- chiều Trước hết ta đưa vào số khái niệm sau: Một đa đĩa Cn tích đĩa C Một đa đĩa mở với tâm a a1 , , an đa bán kính r r1 , , rn kí hiệu n a; r Đa đĩa đóng kí hiệu ¯ n a; r xác định ✏♣ q ✏♣ q ♣ q ♣ q n ♣a; rq ✏ tz € Cn : ⑤zj ✁ aj ⑤ ➔ rj với j ✏ 1, , n✉ ¯ n ♣a; rq ✏ tz € Cn : ⑤zj ✁ aj ⑤ ↕ rj với j ✏ 1, , n✉ a ✏ ✏ ♣0, , 0q r ✏ ✏ ♣1, , 1q viết đơn giản n ♣0; 1q ✏ n ¯ n♣0; 1q ✏ ¯ n Tập hợp tz € Cn : ⑤zj ✁ aj ⑤ ✏ rj với j ✏ 1, , n✉ chứa biên ❇ n ♣a; rq n ♣a; rq kí hiệu ❇o n ♣a; rq gọi biên đóng đa đĩa n ♣a; rq Định lí 2.0.19 Cho U tập mở E, cho f € H ♣U ; F q cho a € U, t1 , , tn € E r1 , , rn → cho a   ζ1 t1     ζn tn € U với ζ € ¯ n ♣0; rq Khi với λ € n ♣0; rq ta có công thức tích phân Cauchy ➺ f ♣a   ζ1 t1     ζn tn q f ♣a   λ1 t1     λn tn q ✏ ♣2πiqn ❇ ♣0;rq ♣ζ1 ✁ λ1q ♣ζn ✁ λnq dζ1 ζn Chứng minh Vì đa đĩa ¯ n ♣0; rq compact, tồn R1 → r1 , , Rn → rn cho a   ζ1 t1     ζn tn € U với ζ € n ♣0; Rq Nếu ψ € F ✶ hàm số g ♣ζ1 , , ζn q ✏ ψ ✆ f ♣a   ζ1 t1     ζn tn q với ζ € n ♣0; Rq n o chỉnh hình theo biến ζ1 , , ζn cố định biến lại Áp dụng liên tiếp công thức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình biến phức ta công thức ψ ✆ f ♣a   λ1t1     λntnq ✏ ✏ ♣ qn 2πi ➺ ➺ ➺ dζ2 dζ1 ψ ⑤ζ1 ⑤✏r1 ζ1 λ1 ⑤ζ2 ⑤✏r2 ζ2 λ2 ⑤ζn ⑤✏rn ✆ f ♣a   ζ1t1     ζntnq dζ n ζn ✁ λn ✁ ✁ vơi mổi λ € n ♣0; rq Vì hàm số ♣ζ1, , ζnq Ñ ψ ✆♣ζf ♣a✁ λ ζq1t . ♣ζ ✁  λζnqtnq 1 n n liên tục tập compact ❇o n ♣a; rq, định lí Fubini cho phép thay tích phân lặp đa tích phân Và F ✶ tách điểm, ta có kết sau € ♣ q € Hệ 2.0.20 Cho U tập mở E, f H U; F , a U, t1 , , tn E r1 , , rn cho a ζ1 t1 ζn tn U với n 0; r tồn khai triển chuỗi có dạng ζ ¯ n 0; r Khi với λ € € ♣ q →   € ♣ q ➳ α f ♣a   λ1 t1     λn tn q ✏ cα λ1     € λαnn α ✏ ♣ qn 2πi ➺ ♣   ζ1t1     ζntnq dζ f a dζn ζ1α1  1 ζnαn  1 chuỗi bội tụ tuyệt đối với λ ¯ n 0; s sj j cα ❇o n ♣0;rq € ♣ q ↕ ➔ rj với ⑤ ⑤ ➔ ⑤ζj ⑤ ✏ Chứng minh Chứng minh tương tự hệ (2.0.14) Thật λj rj với j 1, , n viết ✏ f ♣a   λ1 t1     λn tn q ➳ α ♣ζ1 ✁ λ1q ♣ζn ✁ λnq ✏ α λ1 λαnn ♣   ζ1t1     ζntnq f a ⑤⑤ ⑤ ✏ ζ1α1  1 ζnαn  1 ⑤ ⑤↕ ➔ chuỗi bội hội tụ tuyệt đối với ζj rj λj sj rj Bằng cách lấy tích phân số hạng chuỗi này, ta có kết luận sau từ định lí (2.0.19) € ♣     q q € Định lí 2.0.21 Cho U tập mở E, F H U; F , a U, t1 , , tn E r1 , , rn cho a ζ1 t1 ζn tn U với ζ ¯ n 0; r Khi với m No đa số α Nno với α m có công thức tích phân Cauchy ➺ α! f a ζ1 t1 ζn tn α1 m αn A f a t1 tn dζ1 dζn m! 2πi n ❇o n ♣0;rq ζ1α1  1 ζnαn  1 € ♣q € → ♣ q   € ♣   ✏ ♣ q     € € ⑤ ⑤✏ Chứng minh Bởi mệnh đề (1.0.7) ta có khai triển chuỗi ♣   λ1t1     λntnq ✏ f a ✏ ✽ ➳ m✏0 ➳ ♣ q♣ P m f a λ1 t1     λntnq cα λα1 λαnn α cα € ⑤ ⑤✏ ♣ q Am f ♣aqtα1 ✏ m! α! tαnn với mổi α Nn0 với α m Chuỗi bội hội tụ tuyệt đối đa đĩa phù hợp ¯ n 0; Sau so sánh chuỗi mở rộng với chuỗi mở rộng cho hệ (2.0.20), áp dụng bổ đề (1.0.8) ta có điều cần chứng minh € ♣mE; F q cho P ✏ A¯ € P ♣mE; F q.khi với € Nn0 với ⑤α⑤ ✏ m có công thức phân Hệ 2.0.22 Cho A LS a, t1 , , tn E α cực € Atα1 tαnn ✏ ♣ qn α! m! 2πi ➺ ♣   ζ1t1     ζntnq dζ P a ⑤ζj ⑤✏1 ζ1α1  1 ζnαn  1 Chứng minh Áp dụng hệ (2.0.21) với f dζn ✏P Ta nhắc lại điều sau tập A E có chứa gốc gọi cân ζx A với mổi x A mổi ζ mổi đĩa đơn vị đóng ¯ Nếu a A A gọi a-cân Nếu tập A a cân € € € ✁ € Định lí 2.0.23 Cho U tập mở a-cân E, cho f H U ; F với tập compact K U tồn lân cận V K U cho chuỗi Taylor f hội tụ đến f V đủ nhỏ ♣ q € Chứng minh Cho K tập compact U tập hợp A ✏ ta   ζ ♣x ✁ aq : x € K, ζ € ¯ ✉ chứa U , f hội tụ A Vì K compact nên ta tìm r l lân cận V K U cho tập hợp → B ✏ ta   ζ ♣x ✁ aq : x € V, ζ € ¯ ♣0; rq✉ chứa U , f hội tụ B Vì viết ✽ r   ζ ♣x ✁ aqs ✏ ➳ f   ζ ♣x ✁ aqs ζ ✁1 ζ m  m✏ chuỗi hội tụ tuyệt đối với x € V ⑤ζ ⑤ ✏ r sau tích phân qua vòng tròn ⑤ζ ⑤ ✏ r áp dụng công thức tích phân Cauchy (2.0.13) (2.0.15) f a ta kết luận ♣ q✏ f x ✽ ➳ m✏ ♣ q♣ ✁ aq P mf a x chuỗi hội tụ tuyệt đối với x 10 €V Kết Luận Như trình bày xong công thức tích phân Cauchy số hệ không gian Banach Tuy nhiên thời gian có hạn lượng kiến thức tương đối hẹp nên tiểu luận chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý từ quý Thầy, Cô bạn đọc Cuối chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy, PSG TS Thái Thuần Quang tận tìn dạy cho chúng em 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland Math Studies, 120 12 [...]... khi tích phân qua vòng tròn ⑤ζ ⑤ ✏ r và áp dụng công thức tích phân Cauchy (2.0.13) và (2.0.15) f a ta kết luận ♣ q✏ f x ✽ ➳ m✏ 0 ♣ q♣ ✁ aq P mf a x và chuỗi này là hội tụ tuyệt đối và đều với x 10 €V Kết Luận Như vậy chúng tôi đã trình bày xong công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó trong không gian Banach Tuy nhiên do thời gian có hạn và lượng kiến thức còn tương đối hẹp nên tiểu luận. .. và đều với ζj rj và λj sj rj Bằng cách lấy tích phân từng số hạng của chuỗi này, ta có được kết luận sau từ định lí (2.0.19) € ♣     q q € Định lí 2.0.21 Cho U là một tập con mở của E, F H U; F , a U, t1 , , tn E và r1 , , rn 0 sao cho a ζ1 t1 ζn tn U với mọi ζ ¯ n 0; r Khi đó với mỗi m No và mỗi đa chỉ số α Nno với α m chúng ta có công thức tích phân Cauchy ➺ α! f a ζ1 t1 ζn tn α1 m... € F ✶ thì hàm số g ♣ζ1 , , ζn q ✏ ψ ✆ f ♣a   ζ1 t1     ζn tn q với ζ € n ♣0; Rq n o là chỉnh hình theo từng biến ζ1 , , ζn khi cố định các biến còn lại Áp dụng liên tiếp công thức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình của một biến phức ta được công thức 7 ψ ✆ f ♣a   λ1t1     λntnq ✏ ✏ ♣ qn 1 2πi ➺ ➺ ➺ dζ2 dζ1 ψ ⑤ζ1 ⑤✏r1 ζ1 λ1 ⑤ζ2 ⑤✏r2 ζ2 λ2 ⑤ζn ⑤✏rn ✆ f ♣a   ζ1t1     ζntnq dζ n ζn ✁ λn... 0 đủ nhỏ Bằng cách so sánh khai triển chuỗi này với khai triển chuỗi có được từ hệ quả (2.0.14) và áp dụng bổ đề (1.0.6) có bất đẳng thức Cauchy € ♣ q € € Hệ quả 2.0.16 Cho L là tập con mở của E, f H U ; F , a U, t E và r 0 sao cho a ζt U với mọi ζ ¯ 0; r Khi đó với mỗi m N0 ta có bất đẳng thức Cauchy: →   € € ♣ q € ⑥P mf ♣aq♣tq⑥ ↕ r✁m sup ⑥f ♣a   ζtq⑥ ⑤ζ ⑤✏r Hệ quả 2.0.17 Nếu P tích phân € P ♣mE;... thể tích phân từng số hạng Chứng minh Với λ để nhận được: ➺ ➺ ✽ ♣   ζtq dζ ✏ ➳ f ♣a   ζtq λm dζ m  1 ✁λ ζ ⑤ ζ ⑤✏ r m✏ 0 f a ⑤ζ ⑤✏r ζ ⑤ ⑤ ↕ s Áp dụng định lí Chuỗi cuối cùng hội tụ tuyệt đối và đều đối với λ (2.0.13) ta có điều phải chứng minh € ♣ q € € Hệ quả 2.0.15 Cho U là tập con mở của E, f H U ; F , a U, t E và r 0 sao cho a ζt U với mọi ζ ¯ 0; r Khi đó với mỗi m N0 ta có công thức tích phân Cauchy: ... Cho U là một tập con mở của E, và cho f € H ♣U ; F q cho a € U, t1 , , tn € E và r1 , , rn → 0 sao cho a   ζ1 t1     ζn tn € U với mọi ζ € ¯ n ♣0; rq Khi đó với mỗi λ € n ♣0; rq ta có công thức tích phân Cauchy ➺ 1 f ♣a   ζ1 t1     ζn tn q f ♣a   λ1 t1     λn tn q ✏ ♣2πiqn ❇ ♣0;rq ♣ζ1 ✁ λ1q ♣ζn ✁ λnq dζ1 ζn Chứng minh Vì đa đĩa ¯ n ♣0; rq là compact, nếu tồn tại R1 → r1 , , Rn... ✁ λn ✁ ✁ vơi mổi λ € n ♣0; rq Vì hàm số ♣ζ1, , ζnq Ñ ψ ✆♣ζf ♣a✁ λ ζq1t 1 . ♣ζ ✁  λζnqtnq 1 1 n n là liên tục trên tập compact ❇o n ♣a; rq, định lí Fubini cho phép chúng ta thay thế tích phân lặp bằng một đa tích phân Và vì F ✶ tách điểm, ta có kết quả sau € ♣ q € Hệ quả 2.0.20 Cho U là một tập con mở của E, f H U; F , a U, t1 , , tn E và r1 , , rn 0 sao cho a ζ1 t1 ζn tn U với n 0; r tồn... chuỗi mở rộng này với chuỗi mở rộng được cho bằng hệ quả (2.0.20), áp dụng của bổ đề (1.0.8) ta có điều cần chứng minh € ♣mE; F q và cho P ✏ A¯ € P ♣mE; F q.khi đó với € Nn0 với ⑤α⑤ ✏ m chúng ta có công thức phân Hệ quả 2.0.22 Cho A LS mọi a, t1 , , tn E và mọi α cực € Atα1 1 tαnn ✏ ♣ qn α! m! 2πi ➺ ♣   ζ1t1     ζntnq dζ P a ⑤ζj ⑤✏1 ζ1α1  1 ζnαn  1 Chứng minh Áp dụng hệ quả (2.0.21) với f... ♣mE; F q thì với a, t € E chúng ta có công thức ♣q✏ P t ➺ ♣   q 1 P a ζt dζ 2πi ⑤ζ ⑤✏1 ζ m 1 6 ♣ q♣ q ✏ P ♣tq Áp dụng hệ quả (2.0.15) Chứng minh Từ mệnh đề (1.0.9), P m P a t ta có điều cần chứng minh € ♣ q Hệ quả 2.0.18 Cho P P m E; F Nếu P bị chặn bởi c trên một hình cầu mở B a; r thì P đồng thời bị chặn bởi c trên hình cầu B 0; r ♣ q ♣ q Bây giờ ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào việc nghiên cứu... 0; r ♣ q ♣ q Bây giờ ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào việc nghiên cứu hạn chế của ánh xạ chỉnh hình trên không gian con n- chiều Trước hết ta đưa vào một số khái niệm sau: Một đa đĩa trong Cn là tích các đĩa trong C Một đa đĩa mở với tâm a a1 , , an và đa bán kính r r1 , , rn sẽ được kí hiệu là n a; r Đa đĩa đóng sẽ được kí hiệu là ¯ n a; r và được xác định ✏♣ q ✏♣ q ♣ q ♣ q n ♣a; rq ✏ tz ... iii Mở đầu Trong tiểu luận biết cách xây dựng công thức tích phân Cauchy số hệ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết cần thiết, liên quan đến nội dung tiểu luận € Định nghĩa... dµ A Chương Các công thức tích phân Cauchy € ♣ q € € € ♣ q Định lí 2.0.13 Cho U tập mở E, f H U, F , a U, t E r cho a ζt U với ζ ¯ 0, r đó, với mổi λ 0; r ta có công thức tích phân Cauchy →  ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK,

Ngày đăng: 25/11/2015, 10:13

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

  • Mở đầu

  • Kiến thức chuẩn bị

  • Các công thức tích phân Cauchy

  • Kết Luận

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan