KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài toán 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp. Cho hàm số y fx = ( ), gọi đồ thị của hàm số là (C). Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C y fx ) : = ( ) tại Mx y ( o o ; . ) Phương pháp o Bước 1. Tính y fx ′ ′ = ( ) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k yx = ′( 0 ) . o Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm Mxy ( 0 0 ; ) có dạng ( )( ) 0 00 yy f x xx −= − . Chú ý: o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp
TÁN ĐỔ TOÁN PLUS VIP CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ A KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài toán 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp Cho hàm số y = f ( x ) , gọi đồ thị hàm số ( C ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) M ( xo ; yo ) Phương pháp o Bước Tính y′ = f ′ ( x ) suy hệ số góc phương trình tiếp tuyến k = y′ ( x0 ) o Bước Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng − y0 f / ( x0 )( x − x0 ) y= Chú ý: o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 ta tìm y0 cách vào hàm số ban đầu, tức y0 = f ( x0 ) Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị ( C ) : y = f ( x ) đường thẳng d : = y ax + b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : = y ax + b d ( f ( x ) ) x = x0 dx o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k = y′ ( x0 ) Nhập SHIFT ∫ cách nhấn sau nhấn = ta a o Bước 2: Sau nhân với − X tiếp tục nhấn phím + f ( x) CALC X = xo nhấn phím = ta b Ví dụ minh họa y x3 + x Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm Ví dụ Cho hàm số ( C ) : = M (1; ) A y = −9 x + B = y x + C y = −9 x − D = y x − Hướng dẫn giải Ta có = y ' 3x + x ⇒ = k y′ (1= ) Phương trình tiếp tuyến M (1; ) d : y = y′ ( x0 )( x − x0 ) + y0 = ( x − 1) + = x − Chọn đáp án D Sử dụng máy tính: Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Toán Plus o Nhập Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số d X + 3X ) ( x =1 dx o Sau nhân với nhấn dấu = ta ( − X ) nhấn dấu + X + X CALC X = = ta −5 Vậy phương trình tiếp tuyến M = y 9x − Ví dụ Cho hàm số y = −2 x + x − Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M thuộc ( C ) có hồnh độ A y = −18 x + 49 B y = −18 x − 49 C.= y 18 x + 49 D.= y 18 x − 49 Hướng dẫn giải Ta có y′ = −6 x + 12 x Với x0 =3 ⇒ y0 =−5 ⇒ M ( 3; −5 ) hệ số góc k = y′ ( 3) = −18 Vậy phương trình tiếp tuyến M y =−18 ( x − 3) − =−18 x + 49 Chọn đáp án A Sử dụng máy tính: o Nhập d −2 X + X − ) ( x =3 dx o Sau nhân với ( −X ) nhấn dấu = ta −18 nhấn dấu + −2 X + X − CALC X = nhấn dấu = ta 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M y = −18 x + 49 Ví dụ Cho hàm số ( C )= : y x − x Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M có hồnh độ x0 > 0, biết y′′ ( x0 ) = −1 A y = −3 x − C y = −3 x + B y = −3 x + 1 D y = −3 x + Hướng dẫn giải Ta có y=′ x3 − x , = y′′ x − Mà y′′ ( x0 ) = −1 ⇒ x0 − =−1 ⇔ x0 = ⇔ x0 = (vì x0 > ) Vậy y0 = − , suy k = y′ (1) = −3 Vậy phương trình tiếp tuyến M d:y= −3 ( x − 1) − ⇒ y = −3 x + ⋅ Chọn đáp án C 4 Sử dụng máy tính: o Nhập d 1 2 X − 2X dx x ( o Sau nhân với − X nhấn dấu = ta −3 =1 ) nhấn dấu + X − 2X CALC X = = ta Vậy phương trình tiếp tuyến d : y =−3 x + ⋅ Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) có hệ số góc k cho trước Phương pháp o Bước Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính y′ = f ′ ( x ) o Bước Hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( x0 ) Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0 o Bước Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng d : y= − y0 f ′ ( x0 )( x − x0 ) Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: • Tiếp tuyến d // ∆ : y = ax + b ⇒ hệ số góc tiếp tuyến k = a • Tiếp tuyến d ⊥ ∆ : y= ax + b, ( a ≠ ) ⇔ hệ số góc tiếp tuyến k =− ⋅ a • Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc α hệ số góc tiếp tuyến d k = ± tan α Sử dụng máy tính: Nhập k ( − X ) + f ( x ) CALC X = x0 nhấn dấu = ta b Phương trình tiếp tuyến d:= y kx + b Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x − x + Phương trình tiếp tuyến ( C ) biết hệ số góc tiếp tuyến là: y x − 14 = A y x + 18 = y x + 15 = B y x − 11 = y 9x −1 = C y 9x + = y 9x + = D y 9x + = Hướng dẫn giải ′ ( x0 ) ⇔ x0 − = Ta có = = k y= ⇔ x0 =⇔ x0 =∨ x0 = −2 y′ x − Vậy + Với x0 =2 ⇒ y0 =4 ta có tiếp điểm M ( 2; ) Phương trình tiếp tuyến M y = ( x − ) + ⇒ y = x − 14 + Với x0 =−2 ⇒ y0 =0 ta có tiếp điểm N ( −2;0 ) Phương trình tiếp tuyến N y = ( x + ) + ⇒ y = x + 18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm = y x − 14 = y x + 18 Chọn đáp án A Sử dụng máy tính: + Với x0 = ta nhập ( − X ) + X − X + CALC X= nhấn dấu = ta CALC X= −2 nhấn dấu = ta −14 ⇒ y = x − 14 + Với x0 = −2 ta nhập ( − X ) + X − X + 18 ⇒ y = x + 18 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Tốn Plus Ví dụ Cho hàm số ( C= ): y Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số 2x +1 ⋅ Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến x+2 song song với đường thẳng có phương trình ∆ : x − y + = B = y x + 14 A = y x − C = y x + D = y x − Hướng dẫn giải Ta có y ' = ( x + )2 , ∆ : 3x − y + = ⇒ y = x + Do tiếp tuyến song song với đường thẳng x0 + = x0 =−1 ∆ nên k = =⇔ ⇔ ( x0 + ) =⇔ ( x0 + ) x0 + =−1 x0 =−3 + Với x0 = −1 nhập ( − X ) + 2X +1 X +2 CALC X= −1 nhấn dấu = ta 2, suy d := y x + (loại trùng với ∆ ) + Với x0 = −3 CALC x + 14 X = −3 nhấn dấu = ta 14 ⇒ d : y = Vậy phương trình tiếp tuyến d : = y x + 14 Chọn đáp án B Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( x A ; y A ) Phương pháp Cách o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A ( x A ; y A ) hệ số góc k có dạng d : y = k ( x − x A ) + y A (∗) o Bước 2: d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm: f ( x ) = k ( x − x A ) + y A f ′ ( x ) = k o Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình (∗) , ta tiếp tuyến cần tìm Cách ′ ( x0 ) f ′ ( x0 ) o Bước Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tuyến = k y= theo x0 o Bước Phương trình tiếp tuyến có dạng: = d : y y′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 (∗∗) Do điểm A ( x A ; y A ) ∈ d nên = y A y′ ( x0 ) ( x A − x0 ) + y0 giải phương trình ta tìm x0 o Bước Thế x0 vào (∗∗) ta tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f ( x ) kết đáp án Vào MODE → → nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = −4 x + x + Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( −1; ) −9 x − y = A y = y 4x + = B y= x + y= x − C y 3x − = y =− x − D y 2x − = Hướng dẫn giải Ta có y ' = −12 x + + Tiếp tuyến ( C ) qua A ( −1; ) với hệ số góc k có phương trình d : y= k ( x + 1) + + d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm: −4 x + x + = k ( x + 1) + (1) = k ( ) −12 x + 3 Thay k từ ( ) vào (1) ta −4 x3 + x + = ( −12 x + 3) ( x + 1) + x = −1 1 ⇔ x + 12 x − = ⇔ x − ( x + 1) = ⇔ x = 2 + Với x =−1 ⇒ k =−9 Phương trình tiếp tuyến y = −9 x − + Với x = ⇒ k = Phương trình tiếp tuyến y = Chọn đáp án A Dạng Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) Phương pháp o Bước Gọi d tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) x0 hoành độ tiếp điểm d ( C1 ) = y f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) (***) phương trình d có dạng o Bước Dùng điều kiện tiếp xúc d ( C2 ) , tìm x0 o Bước Thế x0 vào (***) ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai hàm số: ( C1= ): y f= y g ( x= ( x ) x , ( x > ) ( C2 ) : = ) ( −2 − x2 , ) 2 −1 điểm thuộc ( x + 1) ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y = Hỏi giá trị x0 + y0 bao nhiêu? A − B C D − Câu 48 Cho hàm số y = x − 2mx + m (1) , m tham số thực Kí hiệu ( Cm ) đồ thị hàm số (1); d tiếp tuyến ( Cm ) điểm có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm 3 B ; 1 đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất? 4 A m = −1 Câu 49 Cho hàm số y = B m = C m = D m = −2 2x + có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến đồ thị ( C ) x +1 điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1 : 3x + y − = A Câu 50 Cho hàm số y = B C D 2x −1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận ( C ) Tìm x −1 điểm M thuộc ( C ) có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến ( C ) M vuông góc với đường thẳng MI ? 7 A M 4; 3 14 5 B M 3; 2 C M ( 2; 3) D M ( 5; 3) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Câu 51 Cho hàm số y = Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số −x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : y= x + m Với m ta ln có 2x − d cắt ( C ) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A, B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn A m = −1 Câu 52 Cho hàm số y = B m = −2 C m = D m = −5 x+2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) , biết tiếp 2x + tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O B y = − x A y =− x − C y =− x + D y =− x + 2x −1 có đồ thị ( C ) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) cho x −1 tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB Câu 53 Cho hàm số y = − x+ y = 4 A 13 y = − x+ 4 − x+ y = 4 B 13 y = − x+ − x+ y = C 13 y = − x+ − x+ y = D 13 y = − x+ 4 Câu 54 Cho hàm số y = x có đồ thị ( C ) Gọi ∆ tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (với x0 > ) x −1 thuộc đồ thị ( C ) Để khoảng cách từ tâm đối xứng I đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến ∆ lớn tung độ điểm M gần giá trị nhất? A 7π B 3π C 5π D π 2x −1 có đồ thị ( C ) Biết khoảng cách từ I ( −1; ) đến tiếp tuyến ( C ) x +1 M lớn tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai, gần giá trị nhất? A 3e B 2e C e D 4e Câu 55 Cho hàm số y = 2x − có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến M ( C ) cắt hai tiệm cận x−2 ( C ) A , B cho AB ngắn Khi đó, độ dài lớn vectơ OM gần giá trị Câu 56 Cho hàm số y = ? A B Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C D 15 Tán đổ Toán Plus Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số ( C ) tạo x +1 với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Khi đó, Câu 57 Cho hàm số y = khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị ( C ) đến ∆ bằng? A B Câu 58 Cho hàm số y = C D 2x +1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến ∆ x −1 ( C ) cắt tiệm cận A B cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến ∆ gần giá trị nhất? A B C D Câu 59 Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp x−2 tuyến ∆ ( C ) M cắt đường tiệm cận A B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi tiếp tuyến ∆ ( C ) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng nào? A ( 27; 28 ) B ( 28; 29 ) D ( 29; 30 ) C ( 26; 27 ) ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D C A A A A B C D B D B A C C C D D B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D D C C A B D B B D B A B A D C B A C C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A Contact us: Hotline: 099.75.76.756 Admin: fb.com/tritranbk Email: tailieukys@gmail.com Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser 16 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: • Tiếp tuyến d // ∆ : y = ax + b ⇒ hệ số góc tiếp tuyến k = a • Tiếp tuyến d ⊥ ∆ : y= ax + b, ( a ≠ ) ⇔ hệ số góc tiếp tuyến k =− ⋅ a • Tiếp tuyến. .. đổ Toán Plus Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số ( C ) tạo x +1 với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Khi... cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Tốn Plus Câu 18 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số 2x − biết tiếp tuyến vng góc với đường x+2 thẳng y = −6 x + A.= y 1 x+ B.=