các bài toán về tiếp tuyến

1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x

TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ 20 CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M - Tính đạo hàm f ' ( x ) Tìm hệ số góc tiếp tuyến f ' ( x0 ) y f ' ( x )( x − x0 ) + y0 - phương trình tiếp tuyến điểm M là:= Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi ( ∆ ) tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k - Giả sử M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Khi x0 thỏa mãn: f ' ( x0 ) = k (*) - Giải (*) tìm x0 Suy y0 = f ( x0 ) - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x0 ) + y0 Tiếp tuyến qua điểm Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) điểm A ( a; b ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A - Gọi ( ∆ ) đường thẳng qua A có hệ số góc k Khi ( ∆ ) : y = k ( x − a ) + b (*)  f ( x ) = k ( x − a ) + b (1) - Để ( ∆ ) tiếp tuyến (C) ⇔  có nghiệm ' f x = k ) ( ) (  - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Hệ số góc tiếp tuyến với (C) điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (C) là: k = f ' ( x0 ) y kd x + b Cho đường thẳng ( d ) := +) ( ∆ ) / / ( d ) ⇒ k∆ = kd +) ( ∆ ) ⊥ ( d ) ⇒ k∆ kd =−1 ⇔ k∆ =− k −k +) ( ∆, d ) =α ⇒ tan α = ∆ d + k∆ kd α k∆ = ± tan α +) ( ∆, Ox ) =⇒ kd Cho hàm số bậc 3: y = ax3 + bx + cx + d , ( a ≠ ) +) Khi a > : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc nhỏ +) Khi a < : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc lớn Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến B – BÀI TẬP DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Câu Cho hàm số y = f ( x) , có đồ thị ( C ) điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ (C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) M là: y f ′( x) ( x − x0 ) + y0 A.= = B y f ′( x0 ) ( x − x0 ) − y0 f ′( x0 ) ( x − x0 ) C y = D y − y0 = f ′( x0 ) x Hướng dẫn giải: Chọn C Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số = y A.= B = y –8 x + y x + 18 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm ( x + 1) ( x – ) điểm có hồnh độ x = C.= y –4 x + D = y x − 18 Ta có x0 =2 ⇒ y0 =0 y = ( x + 1) ( x – ) = x − x + ⇒ y′ = x − ⇒ y′ ( ) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = ( x − ) + ⇔ y = x − 18 Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x ( – x ) điểm có hồnh độ x = A.= B.= y –3 x + y –3 x + Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm C y = x – D y = x – Ta có x0 =2 ⇒ y0 =2 −3 y = x ( − x= ) x3 − x + x ⇒ y′ = 3x − 12 x + ⇒ y′ ( ) = −3 ( x − ) + ⇔ y = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3 x + Câu Cho đường cong ( C ) : y = x Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M ( –1;1) A.= y –2 x + Hướng dẫn giải: Chọn C y = x ⇒ y′ = x y′ ( −1) = −2 B = y x + C y = –2 x –1 D y = x –1 −2 ( x + 1) + ⇔ y = Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = −2 x − x2 + x Phương trình tiếp tuyến A (1; –2 ) x−2 A y = –4 ( x –1) – = B y –5 ( x –1) + C y = –5 ( x –1) – Hướng dẫn giải: Chọn C x2 + x x2 − 4x − ′ = y ⇒= y , y′ (1) = −5 x−2 x − ( ) Câu Cho hàm số y = D y = –3 ( x –1) – Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 −5 ( x − 1) − ⇔ y = Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = −5 x + Câu Cho hàm= số y A = y 7x + Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có : y′ = x − x + Chủ đề 20 Tiếp tuyến x – x + x + Phương trình tiếp tuyến A ( 0; ) là: B = C y = D y = y 7x − −7 x + −7 x − Hệ số góc tiếp tuyến y′ ( ) = Phương trình tiếp tuyến A ( 0; ) : y = ( x − 0) + = x + Câu Gọi ( P ) đồ thị hàm số y = x − x + Phương trình tiếp tuyến với ( P ) điểm mà ( P ) cắt trục tung là: A y =− x + B y =− x − C = D.= y 4x −1 y 11x + Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có : ( P ) cắt trục tung điểm M ( 0;3) y=′ x − Hệ số góc tiếp tuyến : y′ ( ) = −1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( P ) M ( 0;3) y =−1( x − ) + =− x + Câu Đồ thị ( C ) hàm số y = phương trình là: A y = −4 x − Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có : điểm A ( 0; −1) y′ = −4 ( x − 1) 3x + cắt trục tung điểm A Tiếp tuyến ( C ) điểm A có x −1 B = y 4x −1 C = y 5x −1 D y = −5 x − ⇒ hệ số góc tiếp tuyến y′ ( ) = −4 Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm A ( 0; −1) : y =−4 ( x − ) − =−4 x − Câu Cho hàm số y = hoành là: A = y 2x − Hướng dẫn giải: Chọn C 2x − có đồ thị (H) Phương trình tiếp tuyến giao điểm (H) với trục x −3 B = y 3x + C y = −2 x + D y = x −2 −2 Giao điểm (H) với trục hoành A(2;0) Ta có: y ' = ⇒ y '(2) = ( x − 3) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −2( x − 2) hay y = −2 x + Câu 10 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x ) =x − x + x điểm có hồnh độ x0 = −1 là: A.= y 10 x + Hướng dẫn giải: B.= y 10 x − Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C = y x − D = y x − Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến Chọn A Tập xác định: D =  Đạo hàm: y′ = x − x + y′ ( −1) = 10; y ( −1) = −6 Phương trình tiếp tuyến cần tìm ( d ) : y= 10 ( x + 1) − 6= 10 x + Câu 11 Gọi ( H ) đồ thị hàm số y = ( H ) với hai trục toạ độ là: A y= x − Hướng dẫn giải: Chọn A Tập xác định: D =  \ {0} x −1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( H ) giao điểm x  y= x − B   y= x + C y =− x + D y= x + 1 x2 ( H ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = không cắt trục tung Đạo hàm: y′ = y′ (1) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm d : y= x − Câu 12 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị ( H ) : y = B y = x ( x − 1) Hướng dẫn giải: Chọn A D  \ {−2} Tập xác định:= A.= y Đạo hàm: y′ = ( x + 2) x −1 giao điểm ( H ) trục hoành: x+2 C y= x − D = y 3( x − 1) ( H ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ xo = ⇒ y′ (1)= ; y (1)= ( x − 1) Câu 13 Gọi ( P ) đồ thị hàm số y = x − x + Phương trình tiếp tuyến với ( P ) giao điểm ( P ) trục tung A y =− x + B y =− x − C y= x − D y = −3 x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Tập xác định: D =  Giao điểm ( P ) trục tung M ( 0;3) Đạo hàm: y′= x − ⇒ hệ số góc tiếp tuyến x = −1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm d= :y Phương trình tiếp tuyến M ( 0;3) y =− x + Câu 14 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 4 điểm có hồnh độ x0 = −1 có phương trình là: x −1 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 A y =− x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Tập xác định: D =  \ {1} Đạo hàm: y′ = − Tiếp tuyến C y= x − D y =− x − ( x − 1) M ( −1; −2 ) B y= x + Chủ đề 20 Tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 Phương trình tiếp tuyến y =− x − Câu 15 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =x + x − điểm có tung độ tiếp điểm là: A y = B y = x − 6, y = −8 x + x − 6, y = −8 x − D.= C y = y 40 x − 57 x − 8, y = −8 x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Tập xác định: D =  Đạo hàm: = y′ x3 + x x = Tung độ tiếp điểm nên = x + x − ⇔   x = −1 Tại M (1; ) Phương trình tiếp tuyến = y 8x − Tại N ( −1; ) Phương trình tiếp tuyến y = −8 x − Câu 16 Cho đồ thị ( H ) : y = ( H ) điểm A A y= x − Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Tập xác định: D =  \ {1} Đạo hàm: y′ = − ( x − 1) x+2 điểm A ∈ ( H ) có tung độ y = Hãy lập phương trình tiếp tuyến x −1 B y = −3 x − 11 C = y x + 11 D y = −3 x + 10 Tung độ tiếp tuyến y = nên = Tại M ( 2; ) x+2 x ⇔= x −1 Phương trình tiếp tuyến y = −3 x + 10 Câu 17 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = phương trình là: A y= x − Hướng dẫn giải: Chọn A 2x2 − x + Ta có: y ' = ( x − 1) B y= x + Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học x − 3x + giao điểm đồ thị hàm số với trục tung có 2x −1 C y = x D y = − x Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến Giao điểm M đồ thị với trục tung : x0 = ⇒ y0 = −1 ' ( ) : k y= Hệ số góc tiếp tuyến M là= Phương trình tiếp tuyến điểm M : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y = x − Câu 18 Cho đường cong (C ) : y = x2 − x + điểm A ∈ (C ) có hồnh độ x = Lập phương trình tiếp x −1 tuyến (C ) điểm A 5 A = B = C = y x− y x+ y 3x + 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A x2 − x Ta có: y ' = Tại điểm A ∈ (C ) có hồnh độ: x0 =3 ⇒ y0 = 2 ( x − 1) Hệ số góc tiếp tuyến A là= : k y= ' ( 3) D = y x+ 4 Phương trình tiếp tuyến điểm A : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y = x+ 4 1  điểm A  ;1 có phương trình là: 2x 2  B x − y = C x + y = D x − y = −1 Câu 19 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A x + y = −3 Hướng dẫn giải: Chọn C 1 Ta có: y ' = − Hệ số góc tiếp tuyến A : k = y '   = −1 2x 2x 2 Phương trình tiếp tuyến điểm A : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ x + y = Câu 20 Tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x ) =x − x − điểm có hồnh độ x0 = −2 có phương trình là: B.= C.= D.= A = y 20 x + 22 y 4x − y 20 x − 22 y 20 x − 16 Hướng dẫn giải: Chọn B x ) x − x Tại điểm A có hồnh độ x0 =−2 ⇒ y0 =f ( x0 ) =−18 Ta có: f ' (= Hệ số góc tiếp tuyến A : k = f ' ( −2 ) = 20 Phương trình tiếp tuyến điểm A : y= k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y= 20 x + 22 Câu 21 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : = y x − x3 điểm có hồnh độ x0 = là: A y = x B y = C = D y = −12 x y 3x − Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: y '= − 12 x Tại điểm A ∈ (C ) có hồnh độ: x0 =0 ⇒ y0 =0 ' ( 0) Hệ số góc tiếp tuyến A là= : k y= Phương trình tiếp tuyến điểm A : y= k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y= x Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến x + x − có đồ thị hàm số ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y " = Câu 22 Cho hàm số y = Hướng dẫn giải: Chọn A A y =− x − B y =− x + C y= x − D y = x ′′ x + Ta có y=′ x + x y= Theo giả thiết x0 nghiệm phương trình y′′( x0 ) = ⇔ x + =0 ⇔ x0 =−1 4  Phương trình tiếp tuyến điểm A  −1; −  là: y =− x − 3  2x −1 Câu 23 Gọi M giao điểm đồ thị hàm số y = với trục tung Phương trình tiếp tuyến với đồ thị x−2 hàm số điểm M là: x− 2 Hướng dẫn giải: Chọn B A = y B y = − x+ C = y x+ D y = − x− 2  1 Vì M giao điểm đồ thị với trục Oy ⇒ M  0;   2 y′ = −3 ⇒ k =y′(0) = − ( x − 2) Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M là: y = − x+ Câu 24 Cho hàm số y = x + x + x + có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với trục tung là: A = B y = C = y 3x + −8 x + y 8x + Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Giao điểm ( C ) với trục tung A(0;1) ⇒ y′(0) = Câu 25 Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = A – Hướng dẫn giải: Ta có f ′(−1) = −2 Chọn đáp án A B D = y 3x − x4 x2 + − điểm có hồnh độ x0 = −1 là: C D x − x + x + Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ nghiệm ′′ phương trình y = có phương trình: Câu 26 Cho hàm số y = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 11 Hướng dẫn giải: Chọn D y′ = x − x + y′′ = x − = ⇔ x = A y= x + B y =− x − C y= x + Chủ đề 20 Tiếp tuyến D y =− x + 11  5 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm ⇒ M  2;   3 11 ⇔ y =− x + 3 Câu 27 Phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = x điểm M (−1; − 1) là: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:= y y′(2) ( x − ) + A = B = C = y 3x + y 3x − y 3x + Hướng dẫn giải: Chọn B + y′= x ⇒ y′(−1)= + PTTT (C ) điểm M (−1; − 1) y = 3( x + 1) − ⇔ y = x + D y = −3 x + Câu 28 Phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = x điểm có hồnh độ là: A = B = C y = x D = y 3x − y 3x + y 3x − Hướng dẫn giải: Chọn B + y′ =3 x ⇒ y′(1) =3 + x0 =⇒ y0 =y (1) = +PTTT đồ thị (C ) điểm có hồnh độ là: y = 3( x − 1) + ⇔ y = x − ) y f ( x= Câu 29 Cho hàm số = x 11 + , có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) M có hồnh độ x0 = −2 là: 1 1 B y = C y = D y = A y= ( x + 2) + − ( x − 2) + − ( x + 2) + − ( x + 2) − 2 2 Hướng dẫn giải: Đáp án C − y0 f ′ ( x0 )( x − x0 ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y= x f ′( x) = ⇒ f ′(−2) = − ; y0 = Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y = − ( x + 2) + x2 + x −1 điểm có hoành độ x0 = −1 là: x −1 5 C = D = y x− y x+ 4 Câu 30 Phương trình tiếp tuyến đường cong f ( x) = 5 B = x− y x+ 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B − y0 f ′ ( x0 )( x − x0 ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y= A = y Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến  x + x − ′ x − x = f ′( x) = , f ′ ( −1= ) ; y ( −1=)   x −  ( x − 1) x+ 4 C Câu 31 Cho hàm số y = f ( x) = x + x + , có đồ thị ( ) Tại giao điểm ( C ) với trục Ox , tiếp Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x0 = −1 có dạng = y tuyến ( C ) có phương trình: A = −3 x − 12 y x + y = C y = y x − 12 −3 x + = Hướng dẫn giải: Đáp án A Xét phương trình hồnh độ giao điểm  x = −1 x2 + 5x + = ⇔   x = −4 B = −3 x + 12 y x − y = D = −2 x − 12 y x + y = f ′ ( x= ) 2x + −1; y0 = 0;f ′ ( −1) = PTTT có dạng : = TH1: x0 = y 3x + −4; y0 = −3 PTTT có dạng : y = 0;f ′ ( −4 ) = TH2: x0 = −3 x − 12 π π Câu 32 Phương trình tiếp tuyến đường cong = y f= ( x ) tan  − 3x  điểm có hồnh độ x0 = là: 4  A y =− x + π +6 Hướng dẫn giải: Chọn C −3 ; f ′( x) =  π cos  − x  4  B y =− x − π −6 C y = −6 x + π − D y =− x − π + π ; y0 = −1 ; f ′ ( x0 ) = −6 Phương trình tiếp tuyến: y = −6 x + π − x0 = 3  Câu 33 Cho hàm số y = 2x − 3x + có đồ thị ( C ) , tiếp tuyến với ( C ) nhận điểm M  ; y0  làm tiếp 2  điểm có phương trình là: 27 9 23 x 31 A y = x B = C = D = y x− y − y x− 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Tập xác định: D =  Ta có x0 = ⇒ y0 =1 Đạo hàm hàm số = y′ x − x 3  Suy hệ số góc tiếp tuyến M  ; y0  k = 2  Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến 23 x− Câu 34 Cho hàm số y = x + x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm A = B = C = D = y 3x − y 3x − y 3x − y 3x − Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến = y Ta có: y ' = x + x − Ta có: x0 = ⇒ y0 = −1, y '(1) = Phương trình tiếp tuyến là: y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 = 3( x − 1) − = x − Câu 35 Cho hàm số y = x + x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tung độ tiếp điểm = =  y 18 x + 81  y= x + 81  y 18 x +  y= x + 81    A  y = −9 x B  y = x C  y = −9 x D  y = −9 x  y 18 x − 27 = = = y 9x − = y 9x − y 9x − Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có: y ' = x + x − Ta có: y0 = ⇔ x03 + x02 − x0 − = ⇔ x0 = −1, x0 = 2, x0 = −4 • x0 =−4 ⇒ y '( x0 ) =18 Phương trình tiếp tuyến là: y= 18( x + 4) + 9= 18 x + 81 • x0 =−1 ⇒ y '( x0 ) =−9 Phương trình tiếp tuyến là: y =−9( x + 1) + =−9 x ⇒ y '( x0 ) = 18 Phương trình tiếp tuyến là: y= 18( x − 2) + 9= 18 x − 27 • x0 = Câu 36 Cho hàm số y = x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm B y = C y = D y = A y = −3 x + 11 −3 x + −3 x + 12 −3 x + Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: = y ' x − Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có: x0 = ⇒ y0 = 1, y '( x0 ) = −3 Phương trình tiếp tuyến: y = −3 x + Câu 37 Cho hàm số y = x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm A = B = y x − hay y = y x − hay y = C = D = y x − hay y = y x − 13 hay y = Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: = y ' x − Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có: y0 =3 ⇔ x03 − x0 − =0 ⇔ x0 =2, x0 =−1 • x0 =−1 ⇒ y '( x0 ) =0 Phương trình tiếp tuyến: y = ⇒ y '( x0 ) = Phương trình tiếp tuyến: • x0 = 10 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến 2x +1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần x −1 lượt A, B cho tam giác OAB có diện tích A y = −3 x + 1, y = −3 x + 1, y = −12 x + 2, y = − x− 3 B y = −3 x + 1, y = −3 x − 11, y = −12 x − 2, y = − x+ 3 C y = −3 x + 11, y = −3 x − 11, y = −12 x, y = − x− 4 D y = −3 x + 1, y = −3 x + 11, y = −12 x + 2, y = − x− 3 Hướng dẫn giải: Chọn D −3 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng: Ta có y ' = ( x − 1) 2x +1 −3 = y x − x0 ) + ( x0 − ( x0 − 1) Câu 65 Cho hàm số y = y =  • ∆ ∩ Ox = A :  −3 x0 +  ( x − 1) ( x − x0 ) + x − =   x + x0 −  ;0  Suy A    x =  • ∆ ∩ Oy = B :  x0 x0 + =  y ( x − 1) + x − 0   x + x0 −  Suy ra: B  0;  ( x0 − 1)   1  x02 + x0 −  Diện tích tam giác OAB : S = = OA.OB   6 x0 −  2 Suy SOAB  x + x0 −  1 = ⇔  = x0 −    x = 0, x = − 0   x + x0 − = x0 −  x + x0 = ⇔ ⇔ ⇔  x0 + x0 − =− x0 +  x0 + x0 − =0  x = , x = −2  Từ ta tìm tiếp tuyến là: y= −3 x + 1, y = −3 x + 11, y = −12 x + 2, y = − x− 3 x − 2mx + m Câu 66 Cho hàm số y = Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox hai điểm tiếp tuyến x+m đồ thị hai điểm vng góc 38 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 A Hướng dẫn giải: Chọn C Chủ đề 20 Tiếp tuyến C B Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số ( C ) : y =  x − 2mx + m = ( *) x − 2mx + m = 0⇔ x+m  x ≠ −m D x − 2mx + m trục hoành: x+m x − 2mx + m cắt trục Ox hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm x+m m < ∨ m > ∆=′ m − m >  phân biệt khác −m ⇔  ⇔ m ≠ − 3m + m ≠  Gọi M ( x0 ; y0 ) giao điểm đồ thị ( C ) với trục hoành y0 = x02 − 2mx0 + m = hệ số góc tiếp Đồ thị hàm số y = tuyến với ( C ) M là: = k ( x0 − 2m )( x0 − 1) − ( x02 − 2mx0 + m ) x0 − 2m ′ ( x0 ) y= = x0 + m ( x0 + m ) Vậy hệ số góc hai tiếp tuyến với ( C ) hai giao điểm với trục hoành k1 = x1 − 2m x − 2m , k2 = x1 + m x2 + m  x − 2m   x2 − 2m  −1 Hai tiếp tuyến vng góc ⇔ k1.k2 = −1 ⇔   =  x1 + m   x2 + m  ⇔  x1 x2 − m ( x1 + x2 ) + m  = −  x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m  (**)  x1 x2 = m m = Ta lại có  , (**) ⇔ m − 5m =0 ⇔  Nhận m = 2m m =  x1 + x2 = x +1 Câu 67 Cho hàm số y = (C) Có cặp điểm A, B thuộc ( C ) mà tiếp tuyến song x −1 song với nhau: A B C D Vô số Hướng dẫn giải: Chọn D −2 Ta có: y ' = ( x − 1) x +1 có tâm đối xứng I (1;1) x −1 Lấy điểm tùy ý A ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) Đồ thị hàm số y = Gọi B điểm đối xứng với A qua I suy B ( − x0 ; − y0 ) ∈ ( C ) Ta có: Hệ số góc tiếp tuyến điểm A là: = k A y= ' ( x0 ) −2 ( x0 − 1) Hệ số góc tiếp tuyến điểm B là: k B = y ' ( − x0 ) = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học −2 (1 − x0 ) 39 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến Ta thấy k A = k B nên có vơ số cặp điểm A, B thuộc ( C ) mà tiếp tuyến song song với Câu 68 Cho hàm số y =x − x + x có đồ thị (C) Gọi x1 , x2 hồnh độ điểm M , N ( C ) , mà tiếp tuyến ( C ) vng góc với đường thẳng y =− x + 2017 Khi x1 + x2 bằng: Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: y ' = x − x + A B −4 C D −1 Tiếp tuyến M , N ( C ) vng góc với đường thẳng y =− x + 2017 Hoành độ x1 , x2 điểm M , N nghiệm phương trình x − x + = Suy x1 + x2 = Câu 69 Số cặp điểm A, B đồ thị hàm số y = x3 + x + x + , mà tiếp tuyến A, B vng góc với A Hướng dẫn giải: B D Vơ số C Chọn B Ta có y′ = x + x + Gọi A( x A ; y A ) B( xB ; yB ) Tiếp tuyến A, B với đồ thị hàm số là: d1 : y = (3 x A2 + x A + 3)( x − x A ) + y A d : y = (3 xB2 + xB + 3)( x − xB ) + yB Theo giả thiết d1 ⊥ d ⇔ k1.k2 = −1 −1 ⇔ (3 x A2 + x A + 3).(3 xB2 + xB + 3) = −1 ⇔ 9( x A2 + x A + 1).( xB2 + xB + 1) = ⇔ 9( x A + 1) ( xB + 1) = −1 ( vô lý) Suy không tồn hai điểm A, B Câu 70 Cho hàm số y =x − x + có đồ thị ( C ) Đường thẳng sau tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất: A y = −3 x + Hướng dẫn giải: B y = C y = −5 x + 10 D y = −3 x − Chọn A Gọi M ( x0 ; x03 − x02 + 2) tiếp điểm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) = y ' x02 − x0 Phương trình tiếp tuyến M có dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 Mà k = y '( x0 )= x02 − x0 = 3( x02 − x0 + 1) − 40 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến ⇔ 3( x0 − 1) − ≥ −3 Hệ số góc nhỏ x0 = ⇒ y0 = y (1) = ; k = −3 Vậy phương trình tiếp tuyến điểm (1;0 ) có hệ số góc nhỏ : y = −3 x + Câu 71 Cho hai hàm f ( x) = giao điểm chúng là: A 90° Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A x f ( x) = B 30° Phương trình hồnh độ giao điểm x x2 Góc hai tiếp tuyến đồ thị hàm số cho C 45° = D 60° x2 1   ⇔ =x ⇔ x =1 ⇒ y = ⇒ M 1;  x 2 2  − ⇒ f ′(1) g ′(1) = −1 Ta có f ′(1) = , g ′(1) = 2 Câu 72 Cho hàm số y = x − 3mx + (m + 1) x − m Gọi A giao điểm đồ thị hàm số với Oy Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số A vng góc với đường thẳng = y 2x − −3 1 A B C D − 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Ta có A(0; − m) ⇒ f ′(0) =m + Vì tiếp tuyến đồ thị hàm số A vng góc với đường thẳng = y x − nên 2.(m + 1) =−1 ⇔ m =− 3m + 1) x − m + m ( Câu 73 Cho hàm số y = có đồ thị ( Cm ) , m ∈  m ≠ Với giá trị m x+m giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến đồ thị song song với đường thẳng x − y − 10 = 1 1 A m = −1 ; m = − B m = ; m = − C m = −1 ; m = D m = ; m = 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành nghiệm phương trình: ( 3m + 1) x − m2 + m= 0, m ≠ ⇔  x ≠ −m, m ≠  x+m ( 3m + 1) x − m + m = 1    x ≠ −m, m ≠ 0, m ≠ − m ≠ 0, m ≠ −  m2 − m  4m 4m y ⇒ ' = y ' = Mà ⇔ ⇔    2 3m +   m − m m2 − m m2 − m x + m) (     = x = x ≠ −m + m    3m + 3m +  3m +   m2 − m  Tiếp tuyến song song với đường thẳng x − y − 10 = −1 m = − nên y '   =1 ⇔ m =  3m +  ∗ m= −1 giao điểm A ( −1;0 ) , tiếp tuyến y= x + 3  ∗ m= − giao điểm B  ;0  , tiếp tuyến y= x − 5 5  Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 41 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến Câu 74 Tìm m ∈  để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( Cm ) : y = x − x + ( m − 1) x + 2m vng góc với đường thẳng y = − x 10 B m = A m = 3 Hướng dẫn giải: Chọn A C m = 10 13 D m = 2 7 2 7  y ' = x − x + m − 1=  x −  + m − ≥ m − ⇒ y ' ≥ m − ⇒ y ' = m − x = Theo toán ta 3 3 3  7 10  có: y ' ( −1) =−1 ⇔  m −  ( −1) =−1 ⇔ m = 3  Câu 75 Xác định m để hai tiếp tuyến đồ thị y = − x + 2mx − 2m + A (1;0 ) B ( −1;0 ) hợp với 15 17 m= m= 16 góc µ cho cos µ = , 16 15 C m = 0, m = 2, m = , 16 Hướng dẫn giải: Dễ thấy, A, B điểm thuộc đồ thị với ∀m ∈  A m = 0, m = 2, m = 17 15 , m= 16 16 D m = 0, m = 2, m = , m = 6 B m = 0, m = 2, m = Tiếp tuyến d1 A : ( 4m − ) x − y − 4m + = Tiếp tuyến d B : ( −4m + ) x − y − 4m + = 15 17 , m= 16 16 Câu 76 Tìm m để đồ thị = y mx + ( m − 1) x + ( − 3m ) x + tồn điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x + y − =  1 1 2  1 1 7 B m ∈  0;  ∪  ;  A m ∈  0;  ∪  ;   4 2 3  4 2 3  1 1 2  1 1 8 C m ∈  0;  ∪  ;  D m ∈  0;  ∪  ;   2 2 3  2  3 Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số cho xác định  Ta có: y=' mx + ( m − 1) x + − 3m Đáp số: m = 0, m = 2, m = 42 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến  1 Từ yêu cầu bái tốn dẫn đến phương trình y  −  = −1 có nghiệm dương phân biệt, tức  2 m ≠  m ≠  m ≠ ∆ ' >   mx + ( m − 1) x + − 3m = có dương phân biệt ⇔  hay ⇔ <    P >  0 < m <   1 1 2 m ∈  0;  ∪  ;   2 2 3 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 43 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM x+2 , tiếp tuyến đồ thị hàm số kẻ từ điểm ( –6;5 ) x−2 7 A y = – x –1 ; y = x + B y = – x –1 ; y = − x + 4 7 D = C = y – x +1 ; y = − x − y – x +1 ; y = − x + 4 Hướng dẫn giải: Chọn B −4 x+2 ⇒ y=′ y= x−2 ( x − 2) Câu Cho hàm số y = x+2 điểm M ( x0 ;y0 ) ∈ ( C ) với x0 ≠ là: x−2 x +2 −4 = y y′ ( x0 )( x − x0 ) += y0 ⇔ y x − x0 ) + ( x0 − ( x0 − ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = Vì tiếp tuyến qua điểm ( –6;5 ) nên = ta có −4 ( x0 − ) ( −6 − x0 ) +  x0 = x0 + ⇔ x02 − 24 x0 =⇔ x = x0 −  x+ 3x + Câu Tiếp tuyến kẻ từ điểm ( 2;3) tới đồ thị hàm số y = x −1 A y = B −28 x + 59 ; y= x + = y –24 x + 51 ; y= x + C y = D y = −28 x + 59 −28 x + 59 ; y = −24 x + 51 Hướng dẫn giải: Chọn C 3x + −7 = ⇒= y y′ x −1 ( x − 1) Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề là: y = – x –1 y = – 3x + điểm M ( x0 ;y0 ) ∈ ( C ) với x0 ≠ là: x −1 3x + −7 = y y′ ( x0 )( x − x0 ) + = y0 ⇔ y x − x0 ) + ( x0 − ( x0 − 1) Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = có Vì tiếp tuyến qua điểm ( 2;3) nên ta= −7 ( x0 − 1) ( − x0 ) + x0 + ⇔ x0 = x0 − Vậy có tiếp tuyến thỏa đề là: = y –28 x + 59 x2 + x + Câu Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm A ( −1;0 ) x +1 là: x Hướng dẫn giải: Chọn B A y = 44 B.= y ( x + 1) y ( x + 1) C.= D = y 3x + Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến Gọi d phương trình tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc k , y k ( x + 1) Vì A ( −1;0 ) ∈ d suy d : =  x2 + x +  x + 1= k ( x + 1) (1)  d tiếp xúc với ( C ) hệ  có nghiệm x x +  =k (2)  ( x + 1) ′(1) Thay ( ) vào  1 k y= ( ) ta x = ⇒= ( x + 1) Câu Qua điểm A ( 0; ) kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =x − x + Vậy phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm A ( −1;0 ) là:= y A Hướng dẫn giải: Chọn B B C D Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số cho Vì A(0; 2) ∈ d nên phương trình d có dạng: = y kx +  x − x + = kx + Vì d tiếp xúc với đồ thị (C ) nên hệ  k 4 x − x = (1) có nghiệm (2) x = Thay ( ) (1) ta suy  x = ±  Chứng tỏ từ A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Câu Cho hàm số y = − x + x có đồ thị ( C ) Xét hai mệnh đề: (I) Đường thẳng ∆ : y = tiếp tuyến với ( C ) M (−1;1) N (1;1) (II) Trục hoành tiếp tuyến với ( C ) gốc toạ độ Mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Ta có y′(−1) = y′(−1) = ⇒ (I) Ta có y′(0)= ⇒ (II) C Cả hai sai D Cả hai Câu Cho hàm số y = x − x + x − có đồ thị ( C ) Từ điểm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến ( C ) : A B C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Xét đường thẳng kẻ từ điểm đường thẳng x = có dạng ∆ : y = k ( x − 2) = kx-2k Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 45 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến  x − x + 9x-1=kx − 2k 2 x − 12 x + 24x-17=0 có nghiệm ⇔  ∆ tiếp tuyến ( C ) ⇔  k k 3x − 12x + = 3x − 12x + = Phương trình bậc ba có nghiệm tương ứng cho ta giá trị k Vậy có tiếp tuyến Dễ thấy kẻ từ điểm đường thẳng x = có dạng y = a song song với trục Ox kẻ tiếp tuyến Câu Đường thẳng = y x + m y x + m tiếp tuyến đồ thị hàm số = B C −2 D −3 A −1 Hướng dẫn giải: Chọn B Đường thẳng = y x + tiếp xúc y x + m đồ thị hàm số = m = x3 − 3x + m =  x + = x + m ⇔ ⇔ ⇔ m = x = ± 3 x =   Câu Định m để đồ thị hàm số y =x3 − mx + tiếp xúc với đường thẳng d : y = ? A m = −3 B m = C m = −1 D m = Hướng dẫn giải: Chọn A Đường thẳng y =x3 − mx + đồ thị hàm số y = tiếp xúc  x − mx + = (1) có nghiệm ⇔ (2) 3 x − 2mx = x =  (2) ⇔ x(3 x − 2m) =⇔  x = 2m  + Với x = thay vào (1) không thỏa mãn 2m + Với x = thay vào (1) ta có: m3 = −27 ⇔ m = −3 Câu Phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = x biết qua điểm M (2;0) là: A.= B y= 27 x − ∨ y= 27 x − y 27 x ± 54 C.= D y = ∨ y = 27 x − 54 y 27 x ± 27 Hướng dẫn giải: Vậy chọn D + y ' = 3x + Gọi A( x0 ; y0 ) tiếp điểm PTTT (C ) A( x0 ; y0 ) là: y= x02 ( x − x0 ) + x03 (d ) + Vì tiếp tuyến (d ) đí qua M (2;0) nên ta có phương trình:  x0 = x02 ( − x0 ) + x03 =0 ⇔  = x  + Với x0 = thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y = + Với x0 = thay vào (d ) ta có tiếp tuyến= y 27 x − 54 Câu 10 Cho hàm số y = x − x − có đồ thị ( C ) Khi đường thẳng = y x + m tiếp xúc với ( C ) tiếp điểm có tọa độ là: A M ( 4;12 ) B M ( −4;12 ) C M ( −4; − 12 ) D M ( 4; − 12 ) 46 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến Hướng dẫn giải: Đáp án D Đường thẳng d : = y x + m tiếp xúc với ( C ) ⇒ d tiếp tuyến với ( C ) M ( x0 ; y0 ) y=′ x − ⇒ y′ ( x0 ) = ⇔ x0 − = ⇔ x0 = ; y0 = −12 x2 − x + , có đồ thị ( C ) Từ điểm M ( 2; − 1) kẻ đến ( C ) hai tiếp tuyến phân biệt Hai tiếp tuyến có phương trình: A y =− x + y= x − B = y x − y = −2 x + C y =− x − y =− x + D y= x + y =− x − Hướng dẫn giải: Chọn A x2 x Gọi N ( x0 ; y0 ) tiếp điểm; y0 = − x0 + ; f ′ ( x0= ) −1 x0  x0  Phương trình tiếp tuyến N là: y =  − 1 ( x − x0 ) + − x0 +   x2 x2 x  Mà tiếp tuyến qua M ( 2; − 1) ⇒ −=  − 1 ( − x0 ) + − x0 + ⇔ − + = x0 4    x0 = 0; y0 = 1; f ′ ( ) = −1 ⇔ = y0 1; f ′= ( 4)  x0 4;= Phương trình tiếp tuyến : y =− x + y= x − Câu 12 Cho hàm số y = x3 + x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm N (0;1) 33 33 33 33 A y = B y = C y = D y = − x+2 − x + 12 − x +1 − x + 11 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Câu 11 Cho hàm số f ( x ) = Ta có: y ' = x + x − Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= (3 x02 + x0 − 6)( x − x0 ) + x03 + x02 − x0 + Vì tiếp tuyến qua N (0;1) nên ta có: 1= (3 x02 + x0 − 6)(− x0 ) + x03 + x02 − x0 + ⇔ x03 + x02 =⇔ x0 = 0, x0 = − ⇒ y '( x0 ) = −6 Phương trình tiếp tuyến: y = • x0 = −6 x + 107 33 − ⇒ y0 = , y '( x0 ) = − Phương trình tiếp tuyến • x0 = 33   107 33 y' = − x+ + = − x +1 4 2 4 Câu 13 Cho hàm số y = x + x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua điểm M ( −1;3) A y = −6 x − Hướng dẫn giải: B y = −6 x − Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C y = −6 x − D y = −6 x − 47 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến Chọn C Ta có: = y ' x3 + x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= ( x03 + x0 ) ( x − x0 ) + x04 + x02 + Vì tiếp tuyến qua M ( −1;3) nên ta có: 3= ( 4x 0 + x0 ) ( −1 − x0 ) + x04 + x02 + ⇔ x04 + x03 + x02 + x0 + = ⇔ ( x0 + 1) (3 x02 − x0 + 2) =0 ⇔ x0 =−1 ⇒ y0 =3, y '( x0 ) =−6 Phương trình tiếp tuyến: y = −6 x − 2x + Câu 14 Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm x −1 A(4;3) 1 31 1 31     − x+ y= − x+ − x+ − x+ y= y=   y =  9 9 9 9 A  B  C  D  31 1 31 1 y = y = y = y = − x+ − x+ − x+ − x+     4  4  4 4  Hướng dẫn giải: Chọn D −4 Hàm số xác định với x ≠ Ta có: y ' = ( x − 1) Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến (C): 2x + −4 có: Vì tiếp tuyến qua A(4;3) nên ta= − x0 ) + ( x0 − ( x0 − 1) ⇔ 3( x0 − 1) 2= 4( x0 − 4) + 2( x02 − 1) ⇔ x02 − 10 x0 − 21 =⇔ x0 = −3, x0 = ⇒ y0 =, y '( x0 ) = − Phương trình tiếp tuyến • x0 = 31 − ( x − 7) + = − x+ y= 9 • x0 =−3 ⇒ y0 =1, y '( x0 ) =− Phương trình tiếp tuyến 1 y =− ( x + 3) + =− x + 4 2x +1 Câu 15 Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A ( −7;5 ) x −1 3 29 3 A y = B y = − x + , y =x + − x − , y =x + 4 16 16 16 16 3 29 3 C y = D y = − x − , y =x + − x − , y =x + 4 16 16 4 16 16 Hướng dẫn giải: Chọn D −3 Ta có y ' = Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Do tiếp tuyến qua A ( −7;5 ) nên ta có: ( x − 1) 48 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến  x0 = −1 x0 + −3 − − + ⇔ − − = ⇔ x x x ( ) 0 x = ( x0 − 1) x0 −  3 29 Từ ta tìm tiếp tuyến là: y = − x − , y =x + 4 16 16 2x +1 Câu 16 Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị ( C ) : y = biết d cách điểm A ( 2; ) x +1 B ( −4; −2 ) 5= 1 B = x + , y= x + , y= x + y 4 C = D = y x + , y= x + , y= x + y 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi M ( x0 ; y ( x0 ) ) , x0 ≠ −1 tọa độ tiếp điểm d ( C ) A = y Khi d có hệ số góc y ' ( x0 ) = = y ( x0 + 1) ( x − x0 ) + − ( x0 + 1) x + , y= x + , y= x + 4 x + , y= x + , y= x + 4 có phương trình : x0 + Vì d cách A, B nên d qua trung điểm I ( −1;1) AB phương với AB TH1: d qua trung điểm I ( −1;1) , ta ln có: = 1 ( x0 + 1) ( −1 − x0 ) + − , phương trình có nghiệm x0 = x0 + Với x0 = ta có phương trình tiếp tuyến d : = y x+ 4 TH2: d phương với AB , tức d AB có hệ số góc, y ' ( x= k= 0) AB ( x0 + 1) yB − y A = hay xB − x A = ⇔ x0 = −2 x0 = Với x0 = −2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y= x + Với x0 = ta có phương trình tiếp tuyến d : y= x + Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: = y x + , y= x + , y= x + 4 Câu 17 Tìm m ∈  để từ điểm M (1; ) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( Cm ) : y = x3 − x + ( m − 1) x + 2m 10 100 10 B m = C = ,m , m = −3 = m = ,m 81 81 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi N ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( d ) A N là: A m = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học D m = 100 , m = −3 81 49 Tổng ơn Tốn 11 y= ( 3x Chủ đề 20 Tiếp tuyến − x0 + m − 1) ( x − x0 ) + x03 − x02 + ( m − 1) x0 + 2m M ∈ ( d ) ⇔ x03 + x02 − x0 =− 3m ( ∗) Dễ thấy ( ∗) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y= − 3m f ( x0 ) = x03 + x02 − x0 Xét hàm số f ( x0 ) = x03 + x02 − x0 có f ' ( x0 ) =6 x02 + 10 x0 − −2 x0 = f ' ( x0 ) =⇔ x0 = 100 Lập bảng biến thiên, suy m = , m = −3 81 Câu 18 Cho hàm số y = x − x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(1; −3) 64 64 A ∆ : y = B ∆ : y = − x− − x− −3 hay ∆ : y = −3 hay ∆ : y = 27 27 81 64 51 64 51 C ∆ : y = D ∆ : y = − x− − x− −3 hay ∆ : y = −3 hay ∆ : y = 27 27 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có = y ' x3 − x Gọi M ( x0 ; y0 ) Tiếp tuyến ∆ M có phương trình: y = (8 x03 − x0 )( x − x0 ) + x04 − x02 − Vì tiếp tuyến ∆ qua A(1; −3) nên ta có −= (8 x03 − x0 )(1 − x0 ) + x04 − x02 − ⇔ x04 − x03 − x02 + x0 − =0 ⇔ ( x0 − 1) ( x0 + 1)(3 x0 − 1) = • x0 = ±1 ⇒ ∆ : y = −3 64 51 x− • x0 = ⇒ ∆ : y = − 27 81 Câu 19 Cho hàm số y = x − x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) hai điểm phân biệt A ∆ : y = B ∆ : y = C ∆ : y = D ∆ : y = −4 −3 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có = y ' x3 − x Gọi M ( x0 ; y0 ) Tiếp tuyến ∆ M có phương trình: y = (8 x03 − x0 )( x − x0 ) + x04 − x02 − Giả sử ∆ tiếp xúc với (C) điểm thứ hai N (n; 2n − 4n − 1) Suy ra: ∆ : y= (8n3 − 8n)( x − n) + 2n − 4n −  x02 + nx0 + n − =0 8 x − x = 8n3 − 8n Nên ta có:  ⇔  2 −6n + 4n − −6 x0 + x0 − = ( x0 + n)(3 x0 + 3n − 2) =  x + x n + n − =0  x + x0 n + n − =0 (I) ⇔  2 (II) ⇔ 0  x0 + n = 3 x0 + 3n − = 50 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến  x0 + n =   x0 = −n  Ta có (I) ⇔  ; (II) ⇔  vô nghiệm Vậy ∆ : y = −3 = ± n  x n =  x3 − x + x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp Câu 20 Cho (C) đồ thị hàm số y = tuyến cắt trục hồnh, trục tung A, B cho tam giác OAB vuông cân (O gốc tọa độ ) 4 A y = x + B y = x + C y = x + D y = x - 3 13 Hướng dẫn giải: Chọn B Vì tam giác OAB tam giác vng O nên vng cân O, góc tiếp tuyến (D) trục Ox 450 ,suy hệ số góc (D) k D = ±1 Trường hợp k D = ,khi phương trình (D) : y = x + a (a ≠ 0)  x3  − x + x + = x + a (3) (D) tiếp xúc (C) ⇔  có nghiệm  x2 − x + = (4)  (4) ⇔ x − x + = ⇔ x = Thay x = v phương trình (3) ta a = Trường hợp k D = −1 , phương trình (D): y = - x + a Vậy trường hợp này,phương trình (D): y = x +  x3  − x + x + =− x + a (5) (D) tiếp xúc với (C) ⇔  có nghiệm  x − x + =−1 (6)  (6) ⇔ x − x + = P/t vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm,suy (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = x + 3 Câu 21 Cho hàm số y = x − x + (m − 1) x + 2m có đồ thị (Cm ) Tìm m để từ điểm M (1; 2) vẽ đến (Cm ) hai tiếp tuyến m =  m = −3 m = A  B  C   m = 10  m = 10  m = 100 81 81 81    Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y ' = x − x + m − Gọi A( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ A: y= ( x02 − x0 + m − 1) ( x − x0 ) + x03 − x02 + (m − 1) x0 + 2m M ∈∆ ⇔ = ( 3x  m = −3 D   m = 100 81  (*) − x0 + m − 1) (1 − x0 ) + x03 − x02 + (m − 1) x0 + 2m ⇔ x03 + x02 − x0 + 3m − = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 51 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 20 Tiếp tuyến Yêu cầu tốn ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm số: h(t ) = 2t + 5t − 4t , t ∈  Ta có: h '(t ) =6t + 10t − ⇒ h '(t ) =0 ⇔ t = , t =−2 Bảng biến thiên x −2 −∞ + y' 12 − +∞ + +∞ y 19 27 12  m = −3 3 − 3m =  Dựa vào bảng biến thiên, suy (1) ⇔ 19 ⇔  100 giá trị cần tìm 3 − 3m = m= − 81 27   2x +1 Câu 22 Tìm điểm M đồ thị ( C ) : y = cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ : x −1 x + 3y − = đạt giá trị nhỏ 1   7 B M ( 2;5 ) C M  −1;  D M  3;  A M ( −2;1) 2   2 Hướng dẫn giải: Chọn A  2m +  Gọi M  m;  tọa độ điểm cần tìm ( m ≠ 1) m −1    2m +  m + 3 −3 m + 2m +  m −1  Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là: d = hay d = m −1 10 12 + 32 −∞ −  m + 2m + m <  m + 2m +  − ( m − 1) Xét hàm= số: f ( m ) =  m −1  m + 2m + m >  m − m= −2 thỏa m < m = thỏa m > Ta có: f ' ( m ) =⇔ Lập bảng biến thiên suy d = m = −2 tức M ( −2;1) 10 1 Tiếp tuyến M y = − x + , tiếp tuyến song song với ∆ 3 52 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... M ( 0;3) Đạo hàm: y′= x − ⇒ hệ số góc tiếp tuyến x = −1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm d= :y Phương trình tiếp tuyến M ( 0;3) y =− x + Câu 14 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 4 điểm có hồnh độ... hàm: y′ = − Tiếp tuyến C y= x − D y =− x − ( x − 1) M ( −1; −2 ) B y= x + Chủ đề 20 Tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 Phương trình tiếp tuyến y =− x − Câu 15 Phương trình tiếp tuyến đồ thị... phương trình tiếp tuyến x −1 B y = −3 x − 11 C = y x + 11 D y = −3 x + 10 Tung độ tiếp tuyến y = nên = Tại M ( 2; ) x+2 x ⇔= x −1 Phương trình tiếp tuyến y = −3 x + 10 Câu 17 Tiếp tuyến đồ