Các bài toán về tiếp tuyến - phần 3 - ViettelStudy

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho (m 1)x m (Cm) : y xm −+ = − . Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x 0 = 4 thì song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục. y | = = | m f(x) 2 2 m (x m) − − Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác 2 ():y x Δ =− , ta phải có: 2 |2 m 2 m f1 1m(4m)m (4 m) − =− ⇔ =− ⇔ = − ⇔ = − 2 2 Cho 2 (3m 1)x m m (C): y ,m 0. xm +−+ = + ≠Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến. Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành 2 0 mm 1 x,m0, 3m 1 3 − ⎧⎫ =∉ ⎨⎬ + ⎩⎭ ,1− 2 | 2 4m y (x m) = + Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x 2 22 000 2 0 4m 14m(xm) xmx 3m (x m) =⇔ = + ⇔ = ∨ =− + 2 2 mm m1 m 3m 1 1 m mm 3m 5 3m 1 ⎡ − =− = ⎡ ⎢ + ⎢ ⎢ ⇔⇔ ⎢ =− − ⎢ −= ⎣ ⎢ ⎣+ • tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1 m=−1 • 1 m 5 =− tiếp tuyến tại 3 ,0 5 ⎛ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ có pt : 3 yx 5 = − Cho m (C): y x 1 x1 =−+ + .Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thò vuông góc nhau Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M 000 M(x,y) 0 yk(xx)y⇒= − + 0 0 (d) là t 2 00 0 2 0 m x1 k(xx)y kxkkkx y x1 1 1k (x 1) ⎧ −+ = − + = + − − + ⎪ + ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= + ⎪ ⎩ 0 00 m x1 k(x1)(1x)ky x1 1 x1 k(x1) x1 ⎧ −+ = + − + + ⎪ ⎪ + ⇔ ⎨ ⎪ +− = + ⎪ ⎩+ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 00 2 m1 x1 x1 (1x)ky x1 x1 1 1k (x 1) ⎧ −+ = +− − − + ⎪ ++ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ + ⎩ [] 0 00 0 2 2 2 2 00 m1 y2 y2(x1)k k x1 x1 m1 (1 k)(m 1) y2(x1)k (1k)(m1) x1 + ⎧ + ⎧ =+− + ⎪ ≠ + ⎪ ⎪ + ⇔⇔ ⎨⎨ + ⎛⎞ ⎪⎪ =− + +− + = − + ⎜⎟ ⎩ ⎪ + ⎝⎠ ⎩ 0 0 22 2 000000 y2 k x1 (x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*) + ⎧ ≠ ⎪ + ⇔ ⎨ ⎪ ++− −−−++−= ⎩ Từ M 0 kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau pt (*) ⇔ có 2 nghiệm thỏa k 1 k 2 = -1 và khác 0 0 y2 x1 + + 0 0 22 00 y2 k x1 m0 (x 1) (y 2) 4m + ⎧ ≠ ⎪ + ⇔⇒ ⎨ ⎪ ++ + = ⎩ > Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thò x1 y x3 + = − với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 | 2 4 y, (x 3) =− ∀ ≠ − x3 Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là K T = -1 . Gọi (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có 0 | 2 0 0 T x5 4 Ky 1 x1 (x 3) = ⎡ =⇔−=− ⇒ ⎢ = − ⎣ • 00 1 x1y 1(T):y x=⇒ =−⇒ =− • 00 2 x5y3(T):y x=⇒ =⇒ =−+8 { } { } 12 (T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩= ∩= Cho hàm số x2 yf(x) x1 + == − ; gọi đồ thò hàm số là (C) , và A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại 0 000 0 0 | (x ) M(x,y):y y f (x x )−= − 0 0 00 2 2 00 00 x2 x2 33 y(xx);A(0,a)(T):a x 1 (x 1) x 1 (x 1) ⎛⎞ ⎛⎞ ++ ⇔− =− − ∈ − =− − ⎜⎟ ⎜⎟ −− −− ⎝⎠ ⎝⎠ (x) 0 0 2 2 00 00 0 (x ) x1 x10 g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0 (a 1)x 2(a 2)x a 2 0 ≠ ⎧ −≠ ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = −−+ ++= −−+ ++= ⎩ ⎪ ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi 0 (x ) g 0= có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và |2 2 g a1 0 (a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1 g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0 ⎧ −≠ ⎪ Δ= + − + − > ⇔−< ≠ ⎨ ⎪ =− − + ++≠ ⎩ Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox 111 2 2 2 M (x ,y ),M (x ,y ) 12 1212 12 12 1212 x2x2 xx2(xx)4 yy 0 0 0(1) x1 x1 xx (xx)1 ⎛⎞⎛⎞ ++ +++ ⇔<⇔ <⇔ < ⎜⎟⎜⎟ −− −++ ⎝⎠⎝⎠ Trong đó x 1 ,x 2 là nghiệm của có 0 g(x ) 0= 12 12 2(a 2) xx a1 a2 xx a1 + ⎧ += ⎪ ⎪ − ⎨ + ⎪ = ⎪ ⎩− (1) a24(a2)4(a1) 9a6 00 a22(a2)a1 3 ++ + + − + ⇔<⇔ +− + +− − < 2 0a 2 a1 3 3 Đk 2 a 1 ⎫ ⇔⇔>− ⎪ ⇒− < ≠ ⎬ ⎪ −<≠ ⎭ Cho hàm số có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc toạ độ 32 y2x 3x 12x1=+−− Ta có |2 00 y 6x 6x 12 , M(x , y )=+− ⇒ tiếp tuyến tại M (C) ∈ |2 32 00 0 0 0 0 0 0 0 (x ) yy (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)=−+=+−−++−− (T) qua gốc toạ độ O(0,0) 32 2 00 0 00 :4x3x10 (x1)(4xx1)0++=⇔+ −+= 00 x1y12 M(1,1⇔=−⇒= ⇒−2) Cho hàm số 3 1 yxx 33 =−+ 2 có đồ thò (C) . Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C) vuông góc với đường thẳng 12 yx 33 =− + Gọi 3 000 1 Ax, x x 33 ⎛ −+ ⎜ ⎝⎠ 2 ⎞ ⎟ là điểm bất kỳ thộc (C) . Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc 2 0 0 | (x ) k y (x 1) (1)==− Do (T) vuông góc với đường thẳng 12 yx 33 =− + k3⇒= Khi đó 2 00 x13 x 2−= ⇔ =± Vậy 12 4 A2, ,A(2,0) 3 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số 2 x3x6 y x1 −+ = − , đồ thò (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số (C) , tìm toạ độ tiếp điểm Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) QuaO Hệ số góc k ⎧ ⎨ ⎩ (T) : y kx⇔= 2 2 2 x3x6 kx x1 x2x3 k (x 1) ⎧ −+ = ⎪ − ⎪ ⇔ ⎨ −− ⎪ = ⎪ − ⎩ có nghiệm 22 (x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x x1 ⎧ −−+=−− ⇔ ⎨ ≠ ⎩ 2 x6x30 x3 6 x1 ⎧ −+= ⇔⇔= ⎨ ≠ ⎩ ± Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C) 1 2 M(3 6,363) x3 6 y363 M(36,363 x3 6 y 363 ⎡ ⎡⎡ =+ − =+ = − ⇒⇒ ⎢ ⎢⎢ =− − − =− =− − ⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎣ ) Cho hàm số 32 y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)=−−−++− 1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1 2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 1.m =1 2. 3 (C): y x 3x ; A(a,2) (d): y 2 (d) : y k(x a) 2=− ∈ =⇒ = −+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 3 2 x3xk(xa)2 3x 3 k ⎧ − =−+ ⎨ −= ⎩ 2 x1 f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0 =− ⎡ ⇔ ⎢ =−+++= ⎣ Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có 2 nghiệm khác 1 f(x) 0⇔= f (1) 0 f0 − Δ> ⎧ ⇔ ⎨ ≠ ⎩ 2 (3a 2) 8(3a 2) 0 aa 3 23a23a2 0 a1 ⎧ +− +> 2 < −∨> ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ++++≠ ⎩ ⎪ ≠− ⎩ Vậy điểm cần tìm là A(a,2) ; 2 aa2a 3 <− ∨ > ∧ ≠− 1 1 Cho hàm số , đồ thò (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 42 yx2x=− + − Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng Oy∈ :y kx a = + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ : 42 42 3 x2x1kxa 3x 2x 1 a 0 (1) 4x 4x k ⎧ −+ −= + ⇔−−−= ⎨ −+= ⎩ Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1a 0 a 1⇔− − = ⇔ =− . Khi đó 42 2 3x 2x 0 x 0 x 3 −=⇔=∨=± Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1) Cho hàm số ; đồ thò (C) 32 yx 3x 2=− + 1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy 2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên 1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng yk(x1) = − là tiếp tuyến của (C) khi hệ 32 2 x3x2k(x1 3x 6x k ⎧ −+=− ⎨ −= ⎩ ) 3 b có nghiệm 3 (x 1) 0 x 1 k 3⇔− =⇒=⇒=− Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C) y3x=− + 2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng y3x = −+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ : 32 2 x3x2 3xb 3x 6 3 ⎧ −+=−+ ⎨ −=− ⎩ 32 bx 3x 2 b3 (T):y 3x3 x1 ⎧ =− + ⇔⇒=⇒=− ⎨ = ⎩ + (T) (d)≡ vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A Cho hàm số 4 2 x y3x 22 =− + 5 a , có đồ thò (C) 1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M có hoành độ M x = .CMR hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình 22 2 (x a) (x 2ax 3a 6) 0 − ++−= 2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ 1.Gọi 44 22 (a) | (a) a5 a5 Ma, 3a (C) y 3a y 2a(a 3) 22 22 ⎛⎞ −+∈⇒=−+⇒ = − ⎜⎟ ⎝⎠ 2 Tiếp tuyến tại M có phương trình 242 35 y2a(a 3)x a 3a 22 =−−++ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là : 4 224 x5 3 3x 2a(a 3)x a 3a 22 2 −+= −− ++ 2 5 2 2 22 2 (x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔− + + −= 2.Qũy tích trung điểm K Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có 2 nghiệm khác a 2 x2ax3a6++− |2 2 222 a3 a(3a6)0 a1 a2a3a60 ⎧ ⎧ < Δ= − − > ⎪ ⇔ ⎨⎨ ≠ ++−≠ ⎪ ⎩ ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Khi đó K 42 KKK xa;x3;x K 75 yx9x 22 ⎧ =− ≤ ≠ ⎪ ⎨ =− + + ⎪ ⎩ 1 Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong 42 7 yx9x 22 5 = −++ và giới hạn bởi 1x 3≠≤ Cho hàm số có đò thò là (Cm).Đònh m để các tiếp tuyến của đồ thò (Cm) tại A và B điểm cố đònh vuông góc nhau 42 yx2mx2m=− + − +1 x Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) và |3 y4x4m=− + || AB y 44m; y 44m⇒=− =−+ Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau || B A y . y 1 ⇔ =− 35 (4 4m)(4m 4) 1 m m 44 ⇔− −=−⇒=∨= Cho hàm số x1 y x1 + = − có đồ thò (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) Gọi A(0,a) qua A có phương trình Oy∈ (d)⇒ ykxa = + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 2 2 2 x1 kx a x1 2x x1 a(a1)x2(a1)xa10(1 2 x1 (x1) k (x 1) + ⎧ =+ ⎪ +− − ⎪ ⇒= +⇔−−+++= ⎨ − −− ⎪ = ⎪ − ⎩ ) Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C) (1) ⇔ có 1 nghệm  Xét (1) 1 a1 0 a 1 4x2 0 x A(0,1) 2 −= ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒  a1 0 a 1 a1A(a,1 '0 2a20 ⎧ −≠ ≠ ⎧ ⇔⇔=−⇒ ⎨⎨ Δ= + = ⎩ ⎩ )− Cho hàm số x1 y x1 − = + có đồ thò (C) Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thò và góc giữa 2 tiếp tuyến đó bằng 4 π Gọi M(x 0 ,y 0 ) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng 00 yx M(x,x)∈=⇔ ⇒ 0 yk(xx)x 0 = −+ (d) Phương trình hoành độ của (d) và (C) 00 x1 kx kx x (1) x1 − −+= + Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép 2 00 0 0 kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔+−+−+−+= có nghiệm kép 22 2 2 000 k0 (1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2) ≠ ⎧ ⇔ ⎨ Δ= + − + + − = ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc 4 π (2)⇔ có 2 nghiệm phân biệt thỏa 2 12 12 12 12 kk kk tan 1 1 1k.k 4 1k.k ⎛⎞ −− π = =⇔ = ⎜⎟ ++ ⎝⎠ 0 0 22 2 2 0 00 12 12 00 k x1 x10 8(x 1) 0 2(x 3) x 1 51 (k k ) 5k .k 1 0 (1 x ) x 1 ≠ ⎧ +≠ ⎧ ⎪ ⎪ ⇔Δ= + > ⇔ ⎡⎤⎡⎤ ⎨⎨ +− 0 − −= ⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ +− −= ++ ⎩ ⎣⎦⎣⎦ ⎩ 0 0 2 0 x1 M( 7, 7) x7 x18 M( 7, 7) ⎧ ≠− −− ⎧ ⎪ ⇔⇔=±⇒ ⎨⎨ += ⎩ ⎪ ⎩ Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45 2 (P) : y 2x x 3=+− 0 Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là ykOy∈ xm(d) = + Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là : 22 2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+−= + ⇔ + − − −= (d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép 0 ⇔ Δ= 2 k2k8m250(2⇔−+ += ) 5 Có 12 12 kk 2;k.k8m2+= = + Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 45 0 khi 0 21 12 kk tan 45 1 1k.k − == + 22 1 2 12 12 (k k) 4kk (1 kk)⇔+ − =+ (3) Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 45 0 khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3) | 2 2 k m3 18m 25 0 16m 112m 193 0 44(8m25)(8m26) <−⎧ Δ=− − = ⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ + += −+=+ ⎩ ⎩ 314 314 mm 44 +− ⇔=− ∨= Vậy 12 314 314 M0, ,M0, 44 ⎛⎞⎛ +− − ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Cho hàm số 2 x y x1 = − gọi đồ thò là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 45 0 Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4 Gọi (T) là đường thẳng Qua A(a,4) có dạng: y k(x a) 4 Có hệ số góc là k ⎧ = −+ ⎨ ⎩ Và mọi đường thẳng (T 1 ) và (T 2 ) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng : 12 yk(xa)4vàyk(xa)4=−+ =−+ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Do (T 1 ) và (T 2 ) tạo nhau 1 góc 45 0 khi 0 12 12 kk tan 45 1k.k − = + 22 22 12 1 2 12 1 2 12 (1 kk) (k k) (1 kk) (k k) 4kk 0 (1)⇔+ = − ⇔+ − + + = Do (T) là tiếp tuyến của đồ thò (C) 2 x k(x a) 4 x1 ⇔=−+ − có nghiệm kép 2 (1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔− −− − +− = có nghiệm kép khác 1 2 22 k1 1k 0 k (a 1) 4(a 2) 0 (2) (a 1) k 4(a 2)k 0 ⎧ ≠ ⎧ −≠ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎡⎤ −− − = Δ= − − − = ⎪ ⎪ ⎣⎦ ⎩ ⎩ Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 45 0 khi phương trình (2) có 2 nghiệm k 1 ,k 2 (k 1) ≠ và thỏa mãn hệ thức (1) 2 k0 4(a 2) k (a 1) = ⎧ ⎪ − ⎨ = ⎪ − ⎩ thỏa mãn (1) khi 2 2 2 2 2 4(a 2) k1 a3 (a 1) a1 4(a 2) a2a70 k0.(10) 0 4.00 (a 1) − ⎧ =≠ ≠ ⎧ ⎪ − ⎪⎪ ⇔≠ ⎨⎨ − ⎡⎤ ⎪⎪ + −= =+−+ += ⎩ ⎢⎥ ⎪ − ⎣⎦ ⎩ a12 a12 ⎡ =− − ⇔ ⎢ =− + ⎢ ⎣ 2 2 Vậy 12 A( 1 2 2,4), A( 1 2 2,4)−− −+ Cho hàm số 2 xx2 y x1 ++ = − có đồ thò (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thò tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thò Giả sử 00 0 4 Ax,x 2 x1 ⎛ ++ ⎜ − ⎝⎠ ⎞ ⎟ là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận 00 0 4 AI 1 x ,1 x x1 ⎛⎞ ⇒=− −− ⎜⎟ − ⎝⎠ uur Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI AI uur Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc | 2 00 0 (x ) 4 ky 1 a 1,1 (x 1) (x 1) ⎛⎞ ==− ⇒=− ⎜ −− ⎝⎠ r 2 4 ⎟ là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó (d) (AI) a.AI 0⊥⇔= r uur 0 4 x18⇒=± Vậy có 2 điểm 44 44 12 44 4388 4388 A1 8, ,A1 8, 88 ⎛⎞⎛ −+ ++ −+ ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số 2 x3x2 y x −+ = .Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : x1∈= yk(x1)m = −+ Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ 2 2 2 x3x2 k(x 1) m x x2 k x ⎧ −+ =−+ ⎪ ⎪ ⎨ − ⎪ = ⎪ ⎩ ( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn 11 22 (x ,k ) (x ,k ) ⎧ ⎨ ⎩ 12 k.k 1 = − Từ ( I ) 2 (m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒+ −+= ≠ Theo ycbt 22 12 22 12 m20 '42(m2)0 (x 2) (x 2) .1 xx ⎧ ⎪ +≠ ⎪ ⎪ ⇔Δ=− + > ⎨ ⎪ −− ⎪ =− ⎪ ⎩ 22 12 1 2 12 12 m2 m0 (xx ) 2 (x x ) 2xx 4 (xx) ⎧ ≠− ⎪ ⎪ ⇔< ⎨ ⎪ ⎡⎤ −+− +=− ⎪ ⎣⎦ ⎩ 22 2m0 244 24 m2 m2 m2 m2 −≠ < ⎧ ⎪ ⎡⎤ ⇔ ⎨ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ −−+=− ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ +++ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎩ 2 2 + 2 2m0 2m0 m3 m6m20 m37 −≠ < ⎧ −≠ < ⎧ ⎪ ⇔⇔⇔= ⎨⎨ ++= =− ± ⎪ ⎩ ⎩ 7−± Vậy 12 M(1, 3 7),M(1, 3 7)−− −+ Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. 3 yx 3x=+ 2 Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng : yk(xm) = − (d) là tiếp tuyến (C) khi 32 2 x3x k(xm) (I) 3x 6x k ⎧ +=− ⎨ += ⎩ Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trò k sao cho 2 trong 3 giá trò đó tích bằng -1 Khi đó ( I ) 32 2 2 x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0 ⎡⎤ ⇔+ = + − ⇔ +− − = ⎣⎦ 2 x0 2x 3(1 m)x 6m 0 (*) = ⎡ ⇔ ⎢ +− − = ⎣ Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 2 m3 3m 10m 0 1 m0 m0 3 <− ⎡ ⎧ Δ= + +> ⎢ ⇔⇔ ⎨ ⎢ − <≠ ≠ ⎩ ⎣ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và 12 12 2 xx (m1 3 xx 3m ⎧ += − ⎪ ⎨ ⎪ =− ⎩ ) Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì 22 1112 223 k3x6x,k3x6x,k0 = +=+= Theo bài toán : 22 12 1 1 2 2 k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1=− ⇔ + + =− 1 m 27 ⇒= thỏa hoặc m<−3 1 m0 3 −< ≠ Vậy 1 M,0 27 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Cho hàm số 2 2x x 1 y x1 −+ = − có đồ thò (C) . Tìm trên trục hoành 4 điểm từ đó dựng được tiếp tuyến hợp với Ox góc 45 0 . Viết phương trình tiếp tuyến đó Tiếp tuyến hợp với Ox góc 45 0 là tiếp tuyến có hệ số góc k1 = ± TH1: | 2 2 ky1 2 1 x1 2 (x 1) ==⇔− =⇒=± − 1 2 (T ): y x 2 2 2 x1 2 y332 (T ) : y x 2 2 2 x1 2 y332 ⎡ ⎡⎡ =+− =− =− ⇒⇒ ⇒ ⎢ ⎢⎢ =++ =+ =+ ⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎣ TH2: | 2 22 ky 1 2 1 x1 (x 1) 3 ==−⇔− =−⇔=± − 3 4 22 x1 y35 (T ) : y x 4 2 6 33 (T ) : y x 4 2 6 22 x1 y35 33 ⎡⎡ =− =− ⎢⎢ ⎡ =− − − ⎢⎢ ⇒⇒ ⇒ ⎢ ⎢⎢ =− + + ⎢ ⎣ =+ =+ ⎢⎢ ⎣⎣ Cho hàm số có đồ thò (C) 32 yx 3x 2=− + 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua 23 A,2 9 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thò (C) 2 tiếp tuyến vuông góc 1.Tiếp tuyến (C) qua A : 23 y kx 2 9 ⎛⎞ =−− ⎜⎟ ⎝⎠ Ta có : 32 2 23 x3x2kx 2 9 3x 6x k ⎧ ⎛⎞ −+= − − ⎪ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎨ ⎪ −= ⎩ 2 (x 2)(3x 10x 3) 0⇒− − += x2,k0 x3,k9 15 x,k 33 ⎡ ⎢ == ⎢ ⇔== ⎢ ⎢ ==− ⎢ ⎣ tiếp tuyến ⇒ (d):y 2 (d): y 9x 25 56 (d):y x 32 ⎡ ⎢ =− ⎢ =− ⎢ ⎢ =− + ⎢ ⎣ 1 7 [...]... β = 3 − b ⎪ b = −1 ⎩ ⎩ ⎧ tiếp tuyến : y = −8x − 1 (d1 ) ⎪ ⇒⎨ ⎪ hoành độ tiếp điểm : α = 1 − 3 ; β = 1 + 3 ⎩ 2 .Tiếp tuyến song song y = −8x −1 Ta có y| = −8 ⇔ 4x 3 − 12x 2 = −8 ⇔ ⎡ x = 1 ⇒ y = 0 ⎢ ⎢x = 1 − 3 ⎢x = 1 + 3 ⎣ Vậy tiếp tuyến thứ 2 có phương trình y = −8x + 8 (d 2 ) 3 x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 ⇔ x 4 − 4x 3 + 3 = 8x − m + 3 Là phưong trình hoành độ giao điểm giữa ⎧(C) : y = x 4 − 4x 3 + 3 ⎨ ⎩(d)... −2 2 ⎪ ⎪( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 = 3 ⇔⎨ 1 2 ⎨ ⎪a = −4 ⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a 2 2 ⎪b = 1 ⎪x x = 5 − b ⎩ ⎩ 1 2 ⇒ tiếp tuyến của (C) tại hai điểm phân biệt (d): y= -4 x+1 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình : x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x= -1 V x= 2 Vậy 2 tiếp điểm là ; A (-1 ,5) ; B (2 ,-7 ) 2/ Tương tự y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D ( -3 ,-1 8) 3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1 ,-1 5) , F (4 ,-5 ) (m − 1) x 2 − (5m + 2) x +... x 03 + 3 x0 − 2 2 ⎪ 3 x + 6 x = k ⎩ 2 ⇔ ( x − x0 ) ⎡ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎡ x − x0 = 0 ⇔⎢ 2 ⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0; (3) ⎡ x = x0 ⇔⎢ 2 ⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ 1 ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎢ x = x0 Vx = 3 − x0 ⎣ 2 ⎡ k = 3 x0 2 + 6 x0 ⎡ x = x0 ⎢ 2 ⇔⎢ 3 − x0 ⇒ ⎢ ⎛ 3 − x0 ⎞ ⎛ 3 − x0 ⎞ ⎢x = ⎢ k = 3 ⎜ 2 ⎟ + 6 ⎜ 2 ⎟ ⎣ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ 3 − x0 Muốn có 1 và chỉ 1 tiếp tuyến 2 3. .. cần và đủ là 2 tiếp điểm phải trùng nhau ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = 0 Khi đó hệ số 2 góc của tiếp tuyến là k = 3 Vậy qua M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có 2 tiếp tuyến với tiếp điểm x = x0 , x = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y =3( x -1 ) với tiếp điểm M 0 (1, 0) Cho đường cong y = − x3 + 3x + 2 tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với đường... 4 ⎪ g ⎪ a < −4 ∨ a > ⇔⎨ ⇒⎨ 3 ⎪g(2) ≠ 0 ⎩a ≠ 2 ⎪ ⎩ Vậy những điểm A(a, −4);a < −4 ∨ a > 4 ∧ a ≠ 2 thỏa bài toán 3 Cho hàm số y = x 4 − 4x 3 + 3 , có đồ thò là (C) 1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể Cho biết hoành độ tiếp điểm 3. Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo... (t) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm: 2 ⎧ 3 ⎪ − x + 3 x − 2 = k ( x − x0 ) ⎡ ⎤ ⇔ ( x + 1) ⎣ 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⎦ = 0;(1) ⎨ 2 ⎪ 3 x + 6 x = k ⎩ Qua M ( x0 , 0) vẽ được 3 tiếp tuyến với đường cong khi : (1) có 3 nghiệm phân biệt ⎧Δ = (3x0 + 2) 2 − 8(3x0 + 2) > 0 ⎪ ; f ( x) = 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⇔⎨ ⎪ f ( −1) = 6 x0 + 6 > 0 ⎩ 2 ⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > 2 3 Viết phương... Quỹ tích điểm N là phần đường x = -4 , ứng y< -3 0 V y > với y ≠ 10 9 Cho hàm số : y = − x3 + 3x 2 − 2 ; (C) Tìm các điểm thuộc đồ thò (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến tới đồ thò (C) 2 Gọi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x 03 + 3 x0 − 2 Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc là k có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 ⎧− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x0 ) + y0 ⎪ 2 (t) tiếp tuyến của (C) khi... trình tiếp tuyến với (Cm) tại A là y − y A = y| (0)(x − x A ) ⇔ y = x +1 Cho hàm số y = x 3 − 12x + 12 ,đồ thò là (C) Tìm trên đường thẳng y = -4 những điểm A mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Gọi A(a ,-4 ) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − 4 ⎧x 3 − 12x + 12 = k(x − a) − 4 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ ⎨ 2 ⎩3x − 12 = k ⎡x = 2 ⇔⎢ 2 ⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + 8 − 6a = 0 Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến. .. x2 + 2 x + 3 − a =0 ( x + 1) 2 ⎧ x 2 + 2 x + 3 − a = 0; Δ ' = a − 2 ⇔⎨ ⎩ x ≠ −1 y'= 0 có Δ ' = a − 2 > 0 , do đó có 2 nghiệm phân biệt , nên đổi dấu 2 lần qua nghiệm Hàm số có cực đại , cực tiểu Có thể kiểm nghiệm với a = 3 ⇒ C 2 ≥ 8 chọn C 2 = 9 ⇒ C = 3 Khi đó có 2 tiếp tuyến : ⎛ 5 4⎞ ⎛ 1 10 ⎞ y = -x – 3 ; y = -x + 3 Lần lượt tiếp xúc với (C) tại M 1 ⎜ − , − ⎟ ; M 2 ⎜ − , ⎟ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 3 3⎠ Cho hàm... − 4x 3 = k(x − a) − 9a + 8 0 có nghiệm ⎨ 3 − 12x 2 = k 0 ⎩ ⇔ (x 0 − 1) ⎡2x 2 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a ⎤ = 0 ⎣ 0 ⎦ ⎡x = 1 ; k = 9 ⇔⎢ 0 2 ⎣ f ( x 0 ) = 2x 0 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a = 0 Theo bài toán ta có f ( x 0 ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 ⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > 0 ⇔ a > ∨ a < −2 (*) 3 2 f ( x 0 ) = 0 thỏa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t1 ) (3 − 12t 2 ) = −1 2 2 ⇔ 9 − 36 ⎡(t1 + t 2 )2 − 2t1t1 ⎤ + 144t1 t 2 = . 3) x x1 ⎧ −−+=−− ⇔ ⎨ ≠ ⎩ 2 x6x30 x3 6 x1 ⎧ −+= ⇔⇔= ⎨ ≠ ⎩ ± Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C) 1 2 M (3 6 ,36 3) x3 6 y3 63 M (36 ,36 3 x3 6 y 36 3 ⎡ ⎡⎡ =+ − =+ = − ⇒⇒ ⎢ ⎢⎢ =− − − =− =− − ⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎣ ) Cho hàm số 32 y. song tiếp tuyến tại A dạng y3x = −+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ : 32 2 x3x2 3xb 3x 6 3 ⎧ −+=−+ ⎨ −=− ⎩ 32 bx 3x 2 b3 (T):y 3x3 x1 ⎧ =− + ⇔⇒=⇒=− ⎨ = ⎩ + (T) (d)≡ vậy không có tiếp tuyến. 2 20xx−−= Vậy 2 tiếp điểm là ; A (-1 ,5) ; B (2 ,-7 ) 2/ Tương tự y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D ( -3 ,-1 8) 3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1 ,-1 5) , F (4 ,-5 ) Cho (C) : 2 (1) (52)21 3 mx m xm y x −−++− = − 4