1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Các bài toán về tiếp tuyến - phần 3 - ViettelStudy

24 318 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 24
Dung lượng 515,41 KB

Nội dung

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho (m 1)x m (Cm) : y xm −+ = − . Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x 0 = 4 thì song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục. y | = = | m f(x) 2 2 m (x m) − − Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác 2 ():y x Δ =− , ta phải có: 2 |2 m 2 m f1 1m(4m)m (4 m) − =− ⇔ =− ⇔ = − ⇔ = − 2 2 Cho 2 (3m 1)x m m (C): y ,m 0. xm +−+ = + ≠Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến. Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành 2 0 mm 1 x,m0, 3m 1 3 − ⎧⎫ =∉ ⎨⎬ + ⎩⎭ ,1− 2 | 2 4m y (x m) = + Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x 2 22 000 2 0 4m 14m(xm) xmx 3m (x m) =⇔ = + ⇔ = ∨ =− + 2 2 mm m1 m 3m 1 1 m mm 3m 5 3m 1 ⎡ − =− = ⎡ ⎢ + ⎢ ⎢ ⇔⇔ ⎢ =− − ⎢ −= ⎣ ⎢ ⎣+ • tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1 m=−1 • 1 m 5 =− tiếp tuyến tại 3 ,0 5 ⎛ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ có pt : 3 yx 5 = − Cho m (C): y x 1 x1 =−+ + .Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thò vuông góc nhau Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M 000 M(x,y) 0 yk(xx)y⇒= − + 0 0 (d) là t 2 00 0 2 0 m x1 k(xx)y kxkkkx y x1 1 1k (x 1) ⎧ −+ = − + = + − − + ⎪ + ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= + ⎪ ⎩ 0 00 m x1 k(x1)(1x)ky x1 1 x1 k(x1) x1 ⎧ −+ = + − + + ⎪ ⎪ + ⇔ ⎨ ⎪ +− = + ⎪ ⎩+ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 00 2 m1 x1 x1 (1x)ky x1 x1 1 1k (x 1) ⎧ −+ = +− − − + ⎪ ++ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ + ⎩ [] 0 00 0 2 2 2 2 00 m1 y2 y2(x1)k k x1 x1 m1 (1 k)(m 1) y2(x1)k (1k)(m1) x1 + ⎧ + ⎧ =+− + ⎪ ≠ + ⎪ ⎪ + ⇔⇔ ⎨⎨ + ⎛⎞ ⎪⎪ =− + +− + = − + ⎜⎟ ⎩ ⎪ + ⎝⎠ ⎩ 0 0 22 2 000000 y2 k x1 (x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*) + ⎧ ≠ ⎪ + ⇔ ⎨ ⎪ ++− −−−++−= ⎩ Từ M 0 kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau pt (*) ⇔ có 2 nghiệm thỏa k 1 k 2 = -1 và khác 0 0 y2 x1 + + 0 0 22 00 y2 k x1 m0 (x 1) (y 2) 4m + ⎧ ≠ ⎪ + ⇔⇒ ⎨ ⎪ ++ + = ⎩ > Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thò x1 y x3 + = − với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 | 2 4 y, (x 3) =− ∀ ≠ − x3 Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là K T = -1 . Gọi (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có 0 | 2 0 0 T x5 4 Ky 1 x1 (x 3) = ⎡ =⇔−=− ⇒ ⎢ = − ⎣ • 00 1 x1y 1(T):y x=⇒ =−⇒ =− • 00 2 x5y3(T):y x=⇒ =⇒ =−+8 { } { } 12 (T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩= ∩= Cho hàm số x2 yf(x) x1 + == − ; gọi đồ thò hàm số là (C) , và A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại 0 000 0 0 | (x ) M(x,y):y y f (x x )−= − 0 0 00 2 2 00 00 x2 x2 33 y(xx);A(0,a)(T):a x 1 (x 1) x 1 (x 1) ⎛⎞ ⎛⎞ ++ ⇔− =− − ∈ − =− − ⎜⎟ ⎜⎟ −− −− ⎝⎠ ⎝⎠ (x) 0 0 2 2 00 00 0 (x ) x1 x10 g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0 (a 1)x 2(a 2)x a 2 0 ≠ ⎧ −≠ ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = −−+ ++= −−+ ++= ⎩ ⎪ ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi 0 (x ) g 0= có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và |2 2 g a1 0 (a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1 g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0 ⎧ −≠ ⎪ Δ= + − + − > ⇔−< ≠ ⎨ ⎪ =− − + ++≠ ⎩ Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox 111 2 2 2 M (x ,y ),M (x ,y ) 12 1212 12 12 1212 x2x2 xx2(xx)4 yy 0 0 0(1) x1 x1 xx (xx)1 ⎛⎞⎛⎞ ++ +++ ⇔<⇔ <⇔ < ⎜⎟⎜⎟ −− −++ ⎝⎠⎝⎠ Trong đó x 1 ,x 2 là nghiệm của có 0 g(x ) 0= 12 12 2(a 2) xx a1 a2 xx a1 + ⎧ += ⎪ ⎪ − ⎨ + ⎪ = ⎪ ⎩− (1) a24(a2)4(a1) 9a6 00 a22(a2)a1 3 ++ + + − + ⇔<⇔ +− + +− − < 2 0a 2 a1 3 3 Đk 2 a 1 ⎫ ⇔⇔>− ⎪ ⇒− < ≠ ⎬ ⎪ −<≠ ⎭ Cho hàm số có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc toạ độ 32 y2x 3x 12x1=+−− Ta có |2 00 y 6x 6x 12 , M(x , y )=+− ⇒ tiếp tuyến tại M (C) ∈ |2 32 00 0 0 0 0 0 0 0 (x ) yy (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)=−+=+−−++−− (T) qua gốc toạ độ O(0,0) 32 2 00 0 00 :4x3x10 (x1)(4xx1)0++=⇔+ −+= 00 x1y12 M(1,1⇔=−⇒= ⇒−2) Cho hàm số 3 1 yxx 33 =−+ 2 có đồ thò (C) . Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C) vuông góc với đường thẳng 12 yx 33 =− + Gọi 3 000 1 Ax, x x 33 ⎛ −+ ⎜ ⎝⎠ 2 ⎞ ⎟ là điểm bất kỳ thộc (C) . Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc 2 0 0 | (x ) k y (x 1) (1)==− Do (T) vuông góc với đường thẳng 12 yx 33 =− + k3⇒= Khi đó 2 00 x13 x 2−= ⇔ =± Vậy 12 4 A2, ,A(2,0) 3 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số 2 x3x6 y x1 −+ = − , đồ thò (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số (C) , tìm toạ độ tiếp điểm Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) QuaO Hệ số góc k ⎧ ⎨ ⎩ (T) : y kx⇔= 2 2 2 x3x6 kx x1 x2x3 k (x 1) ⎧ −+ = ⎪ − ⎪ ⇔ ⎨ −− ⎪ = ⎪ − ⎩ có nghiệm 22 (x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x x1 ⎧ −−+=−− ⇔ ⎨ ≠ ⎩ 2 x6x30 x3 6 x1 ⎧ −+= ⇔⇔= ⎨ ≠ ⎩ ± Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C) 1 2 M(3 6,363) x3 6 y363 M(36,363 x3 6 y 363 ⎡ ⎡⎡ =+ − =+ = − ⇒⇒ ⎢ ⎢⎢ =− − − =− =− − ⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎣ ) Cho hàm số 32 y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)=−−−++− 1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1 2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 1.m =1 2. 3 (C): y x 3x ; A(a,2) (d): y 2 (d) : y k(x a) 2=− ∈ =⇒ = −+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 3 2 x3xk(xa)2 3x 3 k ⎧ − =−+ ⎨ −= ⎩ 2 x1 f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0 =− ⎡ ⇔ ⎢ =−+++= ⎣ Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có 2 nghiệm khác 1 f(x) 0⇔= f (1) 0 f0 − Δ> ⎧ ⇔ ⎨ ≠ ⎩ 2 (3a 2) 8(3a 2) 0 aa 3 23a23a2 0 a1 ⎧ +− +> 2 < −∨> ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ++++≠ ⎩ ⎪ ≠− ⎩ Vậy điểm cần tìm là A(a,2) ; 2 aa2a 3 <− ∨ > ∧ ≠− 1 1 Cho hàm số , đồ thò (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 42 yx2x=− + − Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng Oy∈ :y kx a = + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ : 42 42 3 x2x1kxa 3x 2x 1 a 0 (1) 4x 4x k ⎧ −+ −= + ⇔−−−= ⎨ −+= ⎩ Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1a 0 a 1⇔− − = ⇔ =− . Khi đó 42 2 3x 2x 0 x 0 x 3 −=⇔=∨=± Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1) Cho hàm số ; đồ thò (C) 32 yx 3x 2=− + 1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy 2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên 1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng yk(x1) = − là tiếp tuyến của (C) khi hệ 32 2 x3x2k(x1 3x 6x k ⎧ −+=− ⎨ −= ⎩ ) 3 b có nghiệm 3 (x 1) 0 x 1 k 3⇔− =⇒=⇒=− Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C) y3x=− + 2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng y3x = −+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ : 32 2 x3x2 3xb 3x 6 3 ⎧ −+=−+ ⎨ −=− ⎩ 32 bx 3x 2 b3 (T):y 3x3 x1 ⎧ =− + ⇔⇒=⇒=− ⎨ = ⎩ + (T) (d)≡ vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A Cho hàm số 4 2 x y3x 22 =− + 5 a , có đồ thò (C) 1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M có hoành độ M x = .CMR hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình 22 2 (x a) (x 2ax 3a 6) 0 − ++−= 2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ 1.Gọi 44 22 (a) | (a) a5 a5 Ma, 3a (C) y 3a y 2a(a 3) 22 22 ⎛⎞ −+∈⇒=−+⇒ = − ⎜⎟ ⎝⎠ 2 Tiếp tuyến tại M có phương trình 242 35 y2a(a 3)x a 3a 22 =−−++ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là : 4 224 x5 3 3x 2a(a 3)x a 3a 22 2 −+= −− ++ 2 5 2 2 22 2 (x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔− + + −= 2.Qũy tích trung điểm K Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có 2 nghiệm khác a 2 x2ax3a6++− |2 2 222 a3 a(3a6)0 a1 a2a3a60 ⎧ ⎧ < Δ= − − > ⎪ ⇔ ⎨⎨ ≠ ++−≠ ⎪ ⎩ ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Khi đó K 42 KKK xa;x3;x K 75 yx9x 22 ⎧ =− ≤ ≠ ⎪ ⎨ =− + + ⎪ ⎩ 1 Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong 42 7 yx9x 22 5 = −++ và giới hạn bởi 1x 3≠≤ Cho hàm số có đò thò là (Cm).Đònh m để các tiếp tuyến của đồ thò (Cm) tại A và B điểm cố đònh vuông góc nhau 42 yx2mx2m=− + − +1 x Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) và |3 y4x4m=− + || AB y 44m; y 44m⇒=− =−+ Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau || B A y . y 1 ⇔ =− 35 (4 4m)(4m 4) 1 m m 44 ⇔− −=−⇒=∨= Cho hàm số x1 y x1 + = − có đồ thò (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) Gọi A(0,a) qua A có phương trình Oy∈ (d)⇒ ykxa = + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 2 2 2 x1 kx a x1 2x x1 a(a1)x2(a1)xa10(1 2 x1 (x1) k (x 1) + ⎧ =+ ⎪ +− − ⎪ ⇒= +⇔−−+++= ⎨ − −− ⎪ = ⎪ − ⎩ ) Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C) (1) ⇔ có 1 nghệm  Xét (1) 1 a1 0 a 1 4x2 0 x A(0,1) 2 −= ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒  a1 0 a 1 a1A(a,1 '0 2a20 ⎧ −≠ ≠ ⎧ ⇔⇔=−⇒ ⎨⎨ Δ= + = ⎩ ⎩ )− Cho hàm số x1 y x1 − = + có đồ thò (C) Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thò và góc giữa 2 tiếp tuyến đó bằng 4 π Gọi M(x 0 ,y 0 ) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng 00 yx M(x,x)∈=⇔ ⇒ 0 yk(xx)x 0 = −+ (d) Phương trình hoành độ của (d) và (C) 00 x1 kx kx x (1) x1 − −+= + Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép 2 00 0 0 kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔+−+−+−+= có nghiệm kép 22 2 2 000 k0 (1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2) ≠ ⎧ ⇔ ⎨ Δ= + − + + − = ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc 4 π (2)⇔ có 2 nghiệm phân biệt thỏa 2 12 12 12 12 kk kk tan 1 1 1k.k 4 1k.k ⎛⎞ −− π = =⇔ = ⎜⎟ ++ ⎝⎠ 0 0 22 2 2 0 00 12 12 00 k x1 x10 8(x 1) 0 2(x 3) x 1 51 (k k ) 5k .k 1 0 (1 x ) x 1 ≠ ⎧ +≠ ⎧ ⎪ ⎪ ⇔Δ= + > ⇔ ⎡⎤⎡⎤ ⎨⎨ +− 0 − −= ⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ +− −= ++ ⎩ ⎣⎦⎣⎦ ⎩ 0 0 2 0 x1 M( 7, 7) x7 x18 M( 7, 7) ⎧ ≠− −− ⎧ ⎪ ⇔⇔=±⇒ ⎨⎨ += ⎩ ⎪ ⎩ Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45 2 (P) : y 2x x 3=+− 0 Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là ykOy∈ xm(d) = + Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là : 22 2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+−= + ⇔ + − − −= (d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép 0 ⇔ Δ= 2 k2k8m250(2⇔−+ += ) 5 Có 12 12 kk 2;k.k8m2+= = + Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 45 0 khi 0 21 12 kk tan 45 1 1k.k − == + 22 1 2 12 12 (k k) 4kk (1 kk)⇔+ − =+ (3) Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 45 0 khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3) | 2 2 k m3 18m 25 0 16m 112m 193 0 44(8m25)(8m26) <−⎧ Δ=− − = ⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ + += −+=+ ⎩ ⎩ 314 314 mm 44 +− ⇔=− ∨= Vậy 12 314 314 M0, ,M0, 44 ⎛⎞⎛ +− − ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Cho hàm số 2 x y x1 = − gọi đồ thò là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 45 0 Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4 Gọi (T) là đường thẳng Qua A(a,4) có dạng: y k(x a) 4 Có hệ số góc là k ⎧ = −+ ⎨ ⎩ Và mọi đường thẳng (T 1 ) và (T 2 ) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng : 12 yk(xa)4vàyk(xa)4=−+ =−+ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Do (T 1 ) và (T 2 ) tạo nhau 1 góc 45 0 khi 0 12 12 kk tan 45 1k.k − = + 22 22 12 1 2 12 1 2 12 (1 kk) (k k) (1 kk) (k k) 4kk 0 (1)⇔+ = − ⇔+ − + + = Do (T) là tiếp tuyến của đồ thò (C) 2 x k(x a) 4 x1 ⇔=−+ − có nghiệm kép 2 (1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔− −− − +− = có nghiệm kép khác 1 2 22 k1 1k 0 k (a 1) 4(a 2) 0 (2) (a 1) k 4(a 2)k 0 ⎧ ≠ ⎧ −≠ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎡⎤ −− − = Δ= − − − = ⎪ ⎪ ⎣⎦ ⎩ ⎩ Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 45 0 khi phương trình (2) có 2 nghiệm k 1 ,k 2 (k 1) ≠ và thỏa mãn hệ thức (1) 2 k0 4(a 2) k (a 1) = ⎧ ⎪ − ⎨ = ⎪ − ⎩ thỏa mãn (1) khi 2 2 2 2 2 4(a 2) k1 a3 (a 1) a1 4(a 2) a2a70 k0.(10) 0 4.00 (a 1) − ⎧ =≠ ≠ ⎧ ⎪ − ⎪⎪ ⇔≠ ⎨⎨ − ⎡⎤ ⎪⎪ + −= =+−+ += ⎩ ⎢⎥ ⎪ − ⎣⎦ ⎩ a12 a12 ⎡ =− − ⇔ ⎢ =− + ⎢ ⎣ 2 2 Vậy 12 A( 1 2 2,4), A( 1 2 2,4)−− −+ Cho hàm số 2 xx2 y x1 ++ = − có đồ thò (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thò tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thò Giả sử 00 0 4 Ax,x 2 x1 ⎛ ++ ⎜ − ⎝⎠ ⎞ ⎟ là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận 00 0 4 AI 1 x ,1 x x1 ⎛⎞ ⇒=− −− ⎜⎟ − ⎝⎠ uur Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI AI uur Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc | 2 00 0 (x ) 4 ky 1 a 1,1 (x 1) (x 1) ⎛⎞ ==− ⇒=− ⎜ −− ⎝⎠ r 2 4 ⎟ là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó (d) (AI) a.AI 0⊥⇔= r uur 0 4 x18⇒=± Vậy có 2 điểm 44 44 12 44 4388 4388 A1 8, ,A1 8, 88 ⎛⎞⎛ −+ ++ −+ ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số 2 x3x2 y x −+ = .Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : x1∈= yk(x1)m = −+ Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ 2 2 2 x3x2 k(x 1) m x x2 k x ⎧ −+ =−+ ⎪ ⎪ ⎨ − ⎪ = ⎪ ⎩ ( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn 11 22 (x ,k ) (x ,k ) ⎧ ⎨ ⎩ 12 k.k 1 = − Từ ( I ) 2 (m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒+ −+= ≠ Theo ycbt 22 12 22 12 m20 '42(m2)0 (x 2) (x 2) .1 xx ⎧ ⎪ +≠ ⎪ ⎪ ⇔Δ=− + > ⎨ ⎪ −− ⎪ =− ⎪ ⎩ 22 12 1 2 12 12 m2 m0 (xx ) 2 (x x ) 2xx 4 (xx) ⎧ ≠− ⎪ ⎪ ⇔< ⎨ ⎪ ⎡⎤ −+− +=− ⎪ ⎣⎦ ⎩ 22 2m0 244 24 m2 m2 m2 m2 −≠ < ⎧ ⎪ ⎡⎤ ⇔ ⎨ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ −−+=− ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ +++ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎩ 2 2 + 2 2m0 2m0 m3 m6m20 m37 −≠ < ⎧ −≠ < ⎧ ⎪ ⇔⇔⇔= ⎨⎨ ++= =− ± ⎪ ⎩ ⎩ 7−± Vậy 12 M(1, 3 7),M(1, 3 7)−− −+ Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. 3 yx 3x=+ 2 Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng : yk(xm) = − (d) là tiếp tuyến (C) khi 32 2 x3x k(xm) (I) 3x 6x k ⎧ +=− ⎨ += ⎩ Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trò k sao cho 2 trong 3 giá trò đó tích bằng -1 Khi đó ( I ) 32 2 2 x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0 ⎡⎤ ⇔+ = + − ⇔ +− − = ⎣⎦ 2 x0 2x 3(1 m)x 6m 0 (*) = ⎡ ⇔ ⎢ +− − = ⎣ Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 2 m3 3m 10m 0 1 m0 m0 3 <− ⎡ ⎧ Δ= + +> ⎢ ⇔⇔ ⎨ ⎢ − <≠ ≠ ⎩ ⎣ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và 12 12 2 xx (m1 3 xx 3m ⎧ += − ⎪ ⎨ ⎪ =− ⎩ ) Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì 22 1112 223 k3x6x,k3x6x,k0 = +=+= Theo bài toán : 22 12 1 1 2 2 k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1=− ⇔ + + =− 1 m 27 ⇒= thỏa hoặc m<−3 1 m0 3 −< ≠ Vậy 1 M,0 27 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Cho hàm số 2 2x x 1 y x1 −+ = − có đồ thò (C) . Tìm trên trục hoành 4 điểm từ đó dựng được tiếp tuyến hợp với Ox góc 45 0 . Viết phương trình tiếp tuyến đó Tiếp tuyến hợp với Ox góc 45 0 là tiếp tuyến có hệ số góc k1 = ± TH1: | 2 2 ky1 2 1 x1 2 (x 1) ==⇔− =⇒=± − 1 2 (T ): y x 2 2 2 x1 2 y332 (T ) : y x 2 2 2 x1 2 y332 ⎡ ⎡⎡ =+− =− =− ⇒⇒ ⇒ ⎢ ⎢⎢ =++ =+ =+ ⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎣ TH2: | 2 22 ky 1 2 1 x1 (x 1) 3 ==−⇔− =−⇔=± − 3 4 22 x1 y35 (T ) : y x 4 2 6 33 (T ) : y x 4 2 6 22 x1 y35 33 ⎡⎡ =− =− ⎢⎢ ⎡ =− − − ⎢⎢ ⇒⇒ ⇒ ⎢ ⎢⎢ =− + + ⎢ ⎣ =+ =+ ⎢⎢ ⎣⎣ Cho hàm số có đồ thò (C) 32 yx 3x 2=− + 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua 23 A,2 9 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thò (C) 2 tiếp tuyến vuông góc 1.Tiếp tuyến (C) qua A : 23 y kx 2 9 ⎛⎞ =−− ⎜⎟ ⎝⎠ Ta có : 32 2 23 x3x2kx 2 9 3x 6x k ⎧ ⎛⎞ −+= − − ⎪ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎨ ⎪ −= ⎩ 2 (x 2)(3x 10x 3) 0⇒− − += x2,k0 x3,k9 15 x,k 33 ⎡ ⎢ == ⎢ ⇔== ⎢ ⎢ ==− ⎢ ⎣ tiếp tuyến ⇒ (d):y 2 (d): y 9x 25 56 (d):y x 32 ⎡ ⎢ =− ⎢ =− ⎢ ⎢ =− + ⎢ ⎣ 1 7 [...]... β = 3 − b ⎪ b = −1 ⎩ ⎩ ⎧ tiếp tuyến : y = −8x − 1 (d1 ) ⎪ ⇒⎨ ⎪ hoành độ tiếp điểm : α = 1 − 3 ; β = 1 + 3 ⎩ 2 .Tiếp tuyến song song y = −8x −1 Ta có y| = −8 ⇔ 4x 3 − 12x 2 = −8 ⇔ ⎡ x = 1 ⇒ y = 0 ⎢ ⎢x = 1 − 3 ⎢x = 1 + 3 ⎣ Vậy tiếp tuyến thứ 2 có phương trình y = −8x + 8 (d 2 ) 3 x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 ⇔ x 4 − 4x 3 + 3 = 8x − m + 3 Là phưong trình hoành độ giao điểm giữa ⎧(C) : y = x 4 − 4x 3 + 3 ⎨ ⎩(d)... −2 2 ⎪ ⎪( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 = 3 ⇔⎨ 1 2 ⎨ ⎪a = −4 ⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a 2 2 ⎪b = 1 ⎪x x = 5 − b ⎩ ⎩ 1 2 ⇒ tiếp tuyến của (C) tại hai điểm phân biệt (d): y= -4 x+1 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình : x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x= -1 V x= 2 Vậy 2 tiếp điểm là ; A (-1 ,5) ; B (2 ,-7 ) 2/ Tương tự y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D ( -3 ,-1 8) 3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1 ,-1 5) , F (4 ,-5 ) (m − 1) x 2 − (5m + 2) x +... x 03 + 3 x0 − 2 2 ⎪ 3 x + 6 x = k ⎩ 2 ⇔ ( x − x0 ) ⎡ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎡ x − x0 = 0 ⇔⎢ 2 ⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0; (3) ⎡ x = x0 ⇔⎢ 2 ⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ 1 ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎢ x = x0 Vx = 3 − x0 ⎣ 2 ⎡ k = 3 x0 2 + 6 x0 ⎡ x = x0 ⎢ 2 ⇔⎢ 3 − x0 ⇒ ⎢ ⎛ 3 − x0 ⎞ ⎛ 3 − x0 ⎞ ⎢x = ⎢ k = 3 ⎜ 2 ⎟ + 6 ⎜ 2 ⎟ ⎣ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ 3 − x0 Muốn có 1 và chỉ 1 tiếp tuyến 2 3. .. cần và đủ là 2 tiếp điểm phải trùng nhau ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = 0 Khi đó hệ số 2 góc của tiếp tuyến là k = 3 Vậy qua M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có 2 tiếp tuyến với tiếp điểm x = x0 , x = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y =3( x -1 ) với tiếp điểm M 0 (1, 0) Cho đường cong y = − x3 + 3x + 2 tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với đường... 4 ⎪ g ⎪ a < −4 ∨ a > ⇔⎨ ⇒⎨ 3 ⎪g(2) ≠ 0 ⎩a ≠ 2 ⎪ ⎩ Vậy những điểm A(a, −4);a < −4 ∨ a > 4 ∧ a ≠ 2 thỏa bài toán 3 Cho hàm số y = x 4 − 4x 3 + 3 , có đồ thò là (C) 1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể Cho biết hoành độ tiếp điểm 3. Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo... (t) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm: 2 ⎧ 3 ⎪ − x + 3 x − 2 = k ( x − x0 ) ⎡ ⎤ ⇔ ( x + 1) ⎣ 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⎦ = 0;(1) ⎨ 2 ⎪ 3 x + 6 x = k ⎩ Qua M ( x0 , 0) vẽ được 3 tiếp tuyến với đường cong khi : (1) có 3 nghiệm phân biệt ⎧Δ = (3x0 + 2) 2 − 8(3x0 + 2) > 0 ⎪ ; f ( x) = 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⇔⎨ ⎪ f ( −1) = 6 x0 + 6 > 0 ⎩ 2 ⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > 2 3 Viết phương... Quỹ tích điểm N là phần đường x = -4 , ứng y< -3 0 V y > với y ≠ 10 9 Cho hàm số : y = − x3 + 3x 2 − 2 ; (C) Tìm các điểm thuộc đồ thò (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến tới đồ thò (C) 2 Gọi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x 03 + 3 x0 − 2 Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc là k có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 ⎧− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x0 ) + y0 ⎪ 2 (t) tiếp tuyến của (C) khi... trình tiếp tuyến với (Cm) tại A là y − y A = y| (0)(x − x A ) ⇔ y = x +1 Cho hàm số y = x 3 − 12x + 12 ,đồ thò là (C) Tìm trên đường thẳng y = -4 những điểm A mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Gọi A(a ,-4 ) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − 4 ⎧x 3 − 12x + 12 = k(x − a) − 4 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ ⎨ 2 ⎩3x − 12 = k ⎡x = 2 ⇔⎢ 2 ⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + 8 − 6a = 0 Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến. .. x2 + 2 x + 3 − a =0 ( x + 1) 2 ⎧ x 2 + 2 x + 3 − a = 0; Δ ' = a − 2 ⇔⎨ ⎩ x ≠ −1 y'= 0 có Δ ' = a − 2 > 0 , do đó có 2 nghiệm phân biệt , nên đổi dấu 2 lần qua nghiệm Hàm số có cực đại , cực tiểu Có thể kiểm nghiệm với a = 3 ⇒ C 2 ≥ 8 chọn C 2 = 9 ⇒ C = 3 Khi đó có 2 tiếp tuyến : ⎛ 5 4⎞ ⎛ 1 10 ⎞ y = -x – 3 ; y = -x + 3 Lần lượt tiếp xúc với (C) tại M 1 ⎜ − , − ⎟ ; M 2 ⎜ − , ⎟ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 3 3⎠ Cho hàm... − 4x 3 = k(x − a) − 9a + 8 0 có nghiệm ⎨ 3 − 12x 2 = k 0 ⎩ ⇔ (x 0 − 1) ⎡2x 2 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a ⎤ = 0 ⎣ 0 ⎦ ⎡x = 1 ; k = 9 ⇔⎢ 0 2 ⎣ f ( x 0 ) = 2x 0 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a = 0 Theo bài toán ta có f ( x 0 ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 ⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > 0 ⇔ a > ∨ a < −2 (*) 3 2 f ( x 0 ) = 0 thỏa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t1 ) (3 − 12t 2 ) = −1 2 2 ⇔ 9 − 36 ⎡(t1 + t 2 )2 − 2t1t1 ⎤ + 144t1 t 2 = . 3) x x1 ⎧ −−+=−− ⇔ ⎨ ≠ ⎩ 2 x6x30 x3 6 x1 ⎧ −+= ⇔⇔= ⎨ ≠ ⎩ ± Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C) 1 2 M (3 6 ,36 3) x3 6 y3 63 M (36 ,36 3 x3 6 y 36 3 ⎡ ⎡⎡ =+ − =+ = − ⇒⇒ ⎢ ⎢⎢ =− − − =− =− − ⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎣ ) Cho hàm số 32 y. song tiếp tuyến tại A dạng y3x = −+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ : 32 2 x3x2 3xb 3x 6 3 ⎧ −+=−+ ⎨ −=− ⎩ 32 bx 3x 2 b3 (T):y 3x3 x1 ⎧ =− + ⇔⇒=⇒=− ⎨ = ⎩ + (T) (d)≡ vậy không có tiếp tuyến. 2 20xx−−= Vậy 2 tiếp điểm là ; A (-1 ,5) ; B (2 ,-7 ) 2/ Tương tự y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D ( -3 ,-1 8) 3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1 ,-1 5) , F (4 ,-5 ) Cho (C) : 2 (1) (52)21 3 mx m xm y x −−++− = − 4

Ngày đăng: 13/08/2015, 18:37

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w