http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số y f x xác định trên . D o x x gọi là điểm cực đại của hàm số nếu , , , o a b x a b D và , o f x f x \, , o o o x a b x f x gọi là giá trị cực đại của hàm số. o x x gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu , , , o a b x a b D và , o f x f x \, , o o o x a b x f x gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. 2. Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1 + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính đạo hàm ' f x . Tìm x mà tại đó ' 0 o f x hoặc tại đó mà f x liên tục nhưng không có đạo hàm. + Lập bảng biến thiên. + Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu. Quy tắc 2 + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính đạo hàm ' f x . Tìm các giá trị , 1,2 i x i để ' 0. f x + Tính '' f x và " i f x . + Dựa vào dấu của " f x suy ra cực trị. Nếu " 0 i i f x x x là điểm cực tiểu. Nếu " 0 i i f x x x là điểm cực đại. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Cách 1: Dùng bảng biến thiên Cách 2: Dùng y’’ Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số sin 2 os2 . f x x c x Lời giải Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần ' 2cos2 2sin 2 " 4sin2 4cos2 f x x x f x x x ' 0 2cos2 2sin 2 0 , ( ) 8 2 k f x x x x k Z Vậy hàm số đạt cực đại tại 2 , 2 8 C D x k y , hàm số đạt cực tiểu tại 2 , 2. 8 CT x k y Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm 0 x Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’ Ví dụ 2: Tìm giá trị của để hàm số 3 2 2 3 1 2 f x x mx m x đạt cực đại tại 2. x Lời giải Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: 2 2 ' 3 3 1 y x mx m 2 2 2 2 3 6 3 3 ' 0 3 3 1 0 3 6 3 3 m m x y x mx m m m x Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: x 2 3 6 3 3 m m 2 3 6 3 3 m m f’(x) 0 0 f x CD CT http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Hàm số đạt cực đại tại 2 3 6 3 2 2 11 3 m m x m Vậy với 11 m thì hàm số đạt cực đại tại 2. x Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của đẳng thức cho trước. Phương pháp: Dùng định lý viet Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 3 2 3 4 1 y x m x m x m đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 . x x Lời giải Tập xác định . D 2 2 ' 3 2 3 4 1 ' 0 3 2 3 4 1 0 y x m x m y x m x m Để hàm số đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 x x thì 1 có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 2 x x . 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 4 0 x x x x x x Áp dụng định lý Viet ta có: 4 3 4 1 1 4 0 8 1 0 3 3 8 m m m m Vậy 1 8 m thì hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 x x . Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách và tam giác Ví dụ 4: Cho hàm số 4 2 2 1 y x mx . Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. Lời giải Ta có: 3 2 ' 4 4 4 y x mx x x m 2 0 ' 0 x y x m Hàm số có ba cực trị ' y đổi dấu ba lần trên ' 0 D y có ba nghiệm phân biệt 0 m 0. m Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 2 0;1 , ;1 , ;1 A B m m C m m Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác ABC cân tại . A Gọi D là trung điểm của cạnh BC thì Xét ADC vuông tại D , ta có sin AD C AC Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC , ta có: A 2 . 2 2 2 sin AB AB AC AC R C AD AD 4 2 3 2 2 1 0 m m m m m 2 1 1 1 0 1 5 2 m m m m m B D C Kết hợp điều kiện 0 m ta được 1 5 1, . 2 m m Ví dụ 5: Cho hàm số 2 1 2 . x m x m y x m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị cực trị cùng dấu. Lời giải Tập xác định \{ } D m 2 2 2 ' 2 x mx y x m 2 2 0 2 2 0' . y g x x mx m x m Hàm số có cực đại, cực tiểu ' y đổi dấu 2 lần trên D . 2 2 Δ 0 1 2 1 0 0 1 2 2 0 g m m g m m m Khi đó tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ ' ' ' 2 . . ' ' 1 0 u x u x y y u x u x v x y x mv x v x v x u x v x u x v x y Do đó 2 1; 2 1 CĐ CĐ CT CT y x m y x m C Đ y và CT y trái dấu 2 . 0 6 9 0 3 CĐ CT y y m m m Vậy m thỏa mãn yêu cầu của đề bài 1 m hoặc 1 m và 3 m . Ví dụ 6: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2 3 y x x m x m có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 2 5 0 x y . Lời giải Hàm số xác định trên . http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Ta có 2 2 ' 3 6 y x x m Để hàm số có hai điểm cực trị thì ' y phải đổi dấu hai lần ' 0 y có hai nghiệm phân biệt 2 2 ' 0 9 3 0 3 3 3 m m m . Thực hiện phép chia f x cho ' f x ta có 2 2 1 2 1 ' 3 3 3 3 m f x x f x m x m Với 3 3 m thì ' 0 f x có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x và hàm số f x đạt cực trị tại 1 2 , . x x Do 1 2 0 0 f x f x nên 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 m y f x m x m m y f x m x m Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 2 2 : 3 . 3 3 m d y m x m Gọi 1 1 2 2 , , , A x y B x y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho khi đó trung điểm I của AB có tọa độ là 2 1 2 1 2 ( ; ) (1; 2) 2 2 x x y y I m m . Các điểm cực trị 1 1 2 2 , , , A x y B x y đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5 : 2 2 y x d và trung điểm I của AB phải thuộc d 2 2 2 2 1 3 . 1; 0 3 2 0. 1 0 2 1 5 3 .1 .1 3 3 2 2 m m m m m m m m C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1.Tìm cực trị của các hàm số sau: a. 2 2 3 1 y x x Đáp số: 2 2 13 ; 5 , ; 5 5 5 CT CD b. 4 48 x y x Đáp số: 2;32 , 2; 32 CT CD c. 4 2 12 3 xy x Đáp số: 6; 33 ; 6; 33 , 0;3 CT CD d. 2 sin 3 cos , [0; ] y x x x Đáp số: 5 7 ; 6 4 CD http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a. 1 cos 2 os2 y x c x Đáp số: 2 3 2 3 2 ; ; 2 ; 3 4 3 4 CT k k 3 1 2 ; ; 2 1 ; 2 2 CD k k b. 2 3 3sinx cos 2 x y x Đáp số: 3 2 ; 3 2 2 2 2 CT k k 3 2 ; 3 2 6 2 6 CD k k Bài 3: Tìm các hệ số , , a b c sao cho hàm số 3 2 y x ax bx c đạt cực tiểu tại điểm 1, 1 3 x f và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Đáp số: 3; 9; 2 a b c Bài 4: Tìm các hệ số , , a b c sao cho hàm số 3 2 y x ax bx c đạt cực trị bằng 0 tại điểm 2 x và đồ thị hàm số đi qua điểm 1;0 A . Đáp số: 3; 0; 4 a b c Bài 5: Tìm m để hàm m x mxx y 4 2 đạt cực tiểu tại 0 x 1 . Đáp số: 1 m Bài 6: Tìm m để hàm số a. đạt cực đại tại . Đáp số: 2 m b. đạt cực tiểu tại . Đáp số: 1 m Bài 7: Tìm m để các hàm số sau có cực trị a. 3 2 2 2 3 3 1 1 y x mx m x m có cực trị. Đáp số: 22 m b. 1 mx 5mxx y 2 có cực trị. Đáp số: 2 1 2 1 m Bài 8: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước. a. 4 2 2 1 5 y x m x m có 3 cực trị. Đáp số: 1 m b. 3 1 3 y x x m có hai cực trị trái dấu. Đáp số: 3 2 3 2 m http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần c. 3 2 2 2 3 1 3 7 1 1 y x m x m m x m đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. Đáp số: 1 m Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2 3 2 3 4 y x mx m m x có hai điểm cực trị nằm về hai phía của Oy Đáp số: 13 m Bài 10: Tìm m để hàm số 3 2 2 2 2( 1) ( 4 1) 2 2 y x m x m m x m có hai điểm cực trị 1 2 , x x thoả mãn điều kiện 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 x x x x . Đáp số: 1;5 m Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2 y x 3x m x m có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x 2y 5 0 Đáp số: 0 m Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2 1 y x (m 2)x (5m 4)x m 1 3 đạt cực trị tại 1 2 x , x sao cho 1 2 x 1 x . Đáp số: 3 m Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 1 y x mx x m 1 3 có hai điểm cực trị 1 1 2 2 (x , y ), (x , y ) sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Đáp số: 0 3 132 min md Bài 14: Cho hàm số 3 2 2 3 3 3( 1) 1 y x mx m x m m . Tìm m để hàm số 1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O . Đáp số: 223;223 mm Bài 15: Cho hàm số 4 2 2 2( 2) 5 5 y x m x m m . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. Đáp số: 2 9 1 3 m Bài 16: Cho hàm số 3 2 3 y x x m . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và sao cho góc 120 o AOB . Đáp số: 4 3 2 m Bài 17: Tìm m để hàm số 3 2 2 3 1 2 3 2 1 y x m x m m x m m có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng 1 5 4 y x một góc 45 . o Đáp số: 3 15 2 m http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài 18: Cho hàm số 2 2 2 4 2 x m x m y x . Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không phụ thuộc m . Tính độ dài khoảng cách đó. Đáp số: 4 5 Bài 19: Tìm m để hàm số 3 2 2 1 1 y mx m x x đạt cực đại tại 1 x , đạt cực tiểu tại 2 x và 2 1 16 . 9 x x Đáp số: 3 . 7 m Bài 20: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3 5 y x mx x có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng 9 14 1 0. x y Đáp số: 4 m Bài 21: Cho hàm số 4 2 2 2 1 1 ( ) . y x m x m Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. Đáp số: m = 0. . DỤ MẪU Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Cách 1: Dùng bảng biến thiên Cách 2: Dùng y’’ Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số sin 2 os2 . f x x c x Lời giải Hàm số đã cho. o o x a b x f x gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. 2. Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1 + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính đạo hàm ' f x . Tìm x mà tại đó '. học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ