tổng hợp dạng toán về phần cực trị của hàm số và cách giải các phương trình chứa sin cos (có bài giải chi tiết)

TỔNG HỢP DẠNG TOÁN VỀ PHẦN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHỨA SIN COS Dạng 1: Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu Phương pháp: ta sử dụng điều kiện sau:  Nếu 0\end{array} \right." /> hàm số đạt cực tiểu  Nếu hàm số đạt cực đại Ví dụ 1: Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = -2 Giải Để hàm số đạt cực tiểu x = -2 điều kiện cần Với 0" /> nên hàm số đạt cực tiểu : Vậy thỏa yêu cầu Với trị nên Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số khơng có cực khơng thỏa u cầu Vậy với m = hàm số đạt cực tiểu x = -2 Lưu ý: Với thiên Dạng 2: Tìm m để hàm số nên ta kết luận mà phải sử dụng đến bảng biến có cực trị khơng có cực trị Đối với dạng toán này, ta thường ý đến dạng hàm số chính: Hàm số bậc 3:   Hàm số khơng có cực trị phương trình Hàm số có hai cực trị phương trình vơ nghiệm nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt Hàm số bậc trùng phương:  Hàm số có cực trị phương trình có nghiệm  Hàm số có cực trị phương trình có ba nghiệm Ví dụ 2: Cho hàm số hàm số cho có hai cực trị a.b>0 a.b ∀t ∈ ⎡⎣1, ⎤⎦ ( t + 1) ⇔m= Vaä y y tă n g trê n ⎡⎣1, ⎤⎦ ⎡ π⎤ Vậ y (*) có nghiệ m trê n ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ ⇔ ≤ m ≤ 2 −1 ( ) ( 2) Bà i 115 : Cho phương trình cos3 x + sin x = m sin x cos x ( *) a/ Giả i phương trình m = b/ Tìm m để (*) có nghiệ m Ta coù : (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = m sin x cos x π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ ( ) Thì t = + sin x cos x ⎛ t2 − ⎞ ⎛ t2 − ⎞ = m Vậ y (*) n h t ⎜ − ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⇔ t ( − t ) = m ( t − 1) a/ Khi m = ta có phương trình t ( − t ) = ( t − 1) ( ) ⇔ t + 2t − 3t − = ( )( ) ⇔ t − t + 2t + = ⇔ t = hay t = − + hay t = − − 1( loaïi ) π⎞ π π ⎛ Vậ y • cos x ⎜ x − ⎟ = ⇔ x − = k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = + k2 π, k ∈ ¢ 4⎠ 4 ⎝ π ⎞ 1− ⎛ • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ±α + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ¢ 4 2 b/ Xé t phương trình t ( − t ) = k ( t − 1) ( **) Do t = ±1 khô n g nghiệ m củ a (**) neâ n 3t − t * * ⇔ m = ( ) t2 − 3t − t Xé t y = ( C ) ⎡⎣− 2, ⎤⎦ \ {±1} t −1 −t − < 0∀t = ±1 Ta coù y ' = 2 t − ( ) suy y giảm ( −1,1 ) lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ Do ( − 1,1 ) ⊂ ⎡⎣ − 2, ⎤⎦ \ {±1} ta có 3t − t với ∀m ∈ R (d) y = m caét (C) y = t −1 Vậ y (*) có nghiệ m ∀m ∈ R Bà i 116 : Cho phương trình 1⎛ 1 ⎞ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ tgx + cot gx + + = ( *) 2⎝ sin x cos x ⎟⎠ a/ Giả i phương trình m = ⎛ π⎞ b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Với đ iều kiện sin 2x ≠ ta coù ⎛ sin x cos x 1 ⎞ (*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ + + + =0 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + + cos x + sin x = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = ⎡sin x + cos x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣ m sin 2x + sin x + cos x + = ( ) π⎞ ⎛ Xeù t (2) đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x Do sin 2x ≠ nên t ≤ t = ±1 ⎡t = Vậ y (*) n h : ⎢ ⎢⎣ m ( t − 1) + t + = ⎡ t = ( nhận so điều kiện ) ⇔⎢ ( t ≠ −1) ⎢⎣ m ( t − 1) + = a/ Khi m = ta đượ c : ⎡t = ⎢ ⎢⎣ t = − ( loại điều kiện ) Vậ y sinx + cosx = ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ¢ π π π π b/ Ta coù : < x < ⇔ − < x − < 4 Lú c π⎞ ⎛ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ ⇒ < t ≤ 2 4⎠ ⎝ Do t = ∉ 1, ⎤⎦ ( Nê n ta xé t phươn g trình : m ( t − 1) + = ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 (do m = (**) vô nghiệ m ) m Do : yê u cầ u bà i toán ⇔ < − ≤ m ⎧ ⎧m < ⎪⎪− m > ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪1 − ≤ ⎪m ≤ − = − − ⎩ ⎪⎩ m ⇔ t = 1− ⇔ m ≤ − −1 Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + ( sin x + cos x ) − 3sin 2x + m a/ Giả i phương trình f(x) = m = -3 b/ Tính theo m giá trị lớ n nhấ t giá trị nhỏ f(x) Tìm m cho ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ≤ 36 ∀x ∈ R ( π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ điều kiện t ≤ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x Và cos2 2x = − sin 2x = − ( t − 1) = −t + 2t 2 Vậ y f ( x ) thành g ( t ) = − t + 2t + 2t − ( t − 1) + m a/ Khi m = -3 g(t) = ⇔ −t t − 2t + = ( ) ⇔ t = 0∨ t =1 m = -3 f( x) = π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = hay cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ¢ 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2 π ∨ x = k2 π, k ∈ ¢ b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t − 3t + 1) ⎧g ' ( t ) = ⎪ Vaä y ⎨ ⇔ t = ∨ t = 1∨ t = ⎪⎩t ∈ ⎡⎣ − 2, ⎤⎦ ⎛ ⎞ 47 Ta coù : g ( ) = + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ ⎠ 16 g ( 2) = − + m, g ( 2) = m −3−4 ) Vaä y : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + t∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ x∈ ¡ Minf ( x ) = x∈ R Min g ( t ) = m − − t ∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ Do : ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎧Max f ( x ) ≤ ⎪ ⇔⎨ R f (x) ≥ − ⎪⎩Min R ⎧⎪m + ≤ ⇔⎨ ⎪⎩m − − ≥ −6 ⇔ −3 ≤ m ≤ ( ) Caù c h khaù c : Ta coù g ( t ) = −t t − 2t + + + m = − ⎡⎣ t ( t − 1) ⎤⎦ + + m Đặ t u = t − t ⎡ ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, ⎤ u ∈ ⎢ − ,2 + ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Vaä y g ( t ) = h ( u ) = − u + + m Max f ( x ) = R Min f ( x ) = R Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + u∈D t ∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ Min t ∈ ⎣⎡ − , ⎦⎤ g ( t ) = Min h ( u ) = m − − u∈D Chú ý : Phương trình giả đố i xứ n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = đặ t t = sinx – cosx π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ t = sin ⎜ x − ⎟ = − cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ vớ i điề u kiệ n t ≤ t = − sin x cos x Bà i 118 : Giả i phương trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + ( *) Điề u kiệ n : sin x ≠ ⇔ cos x = ±1 cos x Luù c (*) ⇔ sin x + = sin x cos x + sin x ⇔ sin2 x + cos x = sin2 x cos x + sin x ( ) ⇔ sin2 x − sin x − cos x sin2 x − = ⇔ sin x ( sin x − 1) − cos x ( sin x − 1) ( sin x + 1) = ⇔ sin x − = hay sin x − cos x ( sin x + 1) = ⎡2 sin x − = ⇔⎢ ⎢⎣sin x − cos x − sin 2x = (1 ) ( 2) • Ta có (1) ⇔ sin x = ⇔x= ( nhaän sin x ≠ 0) π 5π + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 • Xét ( ) Ñaët t = sin x − cos x = π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ t ≠ ± Thì t2 = − sin 2x Vậ y (2) n h : t − − t = ( ) ⇔ t2 + t − = −1 + −1 − ⇔t= ∨t= ( loaïi ) 2 π ⎞ −1 + ⎛ Do : sin ⎜ x − ⎟ = nhận t ≤ t ≠ ±1 4⎠ ⎝ π⎞ −1 ⎛ ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ 4⎠ 2 ⎝ π ⎡ ⎢ x − = ϕ + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢⎣ π ⎡ ⎢ x = ϕ + + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢⎣ ( ) Bà i 119 : Giả i phương trình cos 2x + = ( − cos x )( sin x − cos x )( *) ( ) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + = ( − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡⎣ ( − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤⎦ − = ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − = π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ (*) thàn h : t ( t + ) − = ⇔ t + 4t − = ⇔ t = ∨ t = −5 ( loaïi ) π⎞ π ⎛ Vaä y ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin 4⎠ ⎝ π π π 3π = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ ⇔ x− Baø i 120 : Giả i phương trình cos3 x + sin x = cos 2x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = hay − sin x cos x = cosx − sin x ⎡sin x + cos x = ⇔⎢ ⎢⎣sin x − cos x − sin x cos x + = Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1 ⇔x=− (1 ) ( 2) π + kπ, k ∈ π⎞ ⎛ Xé t (2) đặ t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x − t2 (2) thaøn h t − + = ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 π⎞ ⎛ ⎛ π⎞ vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ π π ⎡ x − = − + k2π, k ∈ ⎡ x = k2π, k ∈ ⎢ 4 ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ π π ⎢x − = + k2π, k ∈ ⎣ ⎢⎣ 4 Bà i 121 : Cho phương trình cos3 x − sin x = m (1 ) a/ Giả i phương trình (1) m = bằ n g cá c h đặ t ẩ n phuï t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m cho (1) có đú n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m π⎞ ⎛ Đặ t t = cos x − sin x = cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x ⎛ − t2 ⎞ Vậ y (1) n h : t ⎜⎜ + ⎟=m ⎟⎠ ⎝ ( ) ⇔ t − t = 2m ( 2) a/ Khi m = (2) thaø nh t3 − 3t + = ⇔ ( t − 1) t + t − = ( ) ⇔ t = ∨ t = −2 ( loaïi ) π⎞ π π ⎛ Vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ 4⎠ 4 ⎝ π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ π π π π ⎡ ⎤ b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ ≤ x + ≤ ⎣ 4⎦ π⎞ ⎛ neâ n ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ ≤ t = cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ nhậ n xé t rằ n g vớ i t tìm đượ c trê n ⎡⎣0, ⎤⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm nhấ t mộ t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ xeù t f ( t ) = −t + 3t treân ⎡⎣0, ⎤⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + ⎡ π π⎤ vậ y (1) có đú n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caét ( C ) y = −t + 3t treân ⎡⎣0, ⎤⎦ tạ i điể m phâ n bieä t ⇔ ≤ 2m < 2 ⇔ ≤ m