Bài giảng số 8. Các bài toán phương trình mũ và logarit chứa tham số

Bài giảng số 8: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ A.. Khi đó điều kiện là:... Khi đó bất phương trình có dạng: Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách giải sau: Cách 1: Sử dụng ph

Bài giảng số 8: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cho phương trình mũ f x m  ( , ) 0 (1) trên miền D Ta biến đổi phương trình về dạng g x ( )  m Điều kiện

để phương trình (1) có nghiệm là: min  g x ( )   m  max  g x ( ) 

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho phương trình: 2 5 6 1 2 6 5

a) Giải phương trình với m=1

b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Giải:

Viết lại phương trình dưới dạng:

( 5 6) 1

5 6 1

 

 

    

Đặt:

5 6 1

2

2

2

2

x

u

u v v

 



 



 



Khi đó phương trình tương đương với:

1

1

2

2

2

3

2

x

x

x u

m

 













Vậy với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm x=3, x=2

a) Với m=1, phương trình (*) có dạng: 1 2 2 2

2x    1 1 x   0 x     1 x 1

Vậy với m=1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x=3, x=2, x=1

b) Để (1) có 4 nghiệm phân biệt (*)có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3

Khi đó điều kiện là:

 

2

2

2

0 0

2

0;2 \ ;

256

m m

m m

m m

m

m

m

 





Vậy với   0;2 \ 1 ; 1

8 256

m      

thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 2: Cho phương trình: 2 2 2 2 2 4 2 2

5x  mx  5 x  mx  x  2 mx  m

a) Giải phương trình với 4

5

m  

b) Giải và biện luận phương trình

Giải:

Đặt t  x2 2 mx  2 phương trình có dạng: 5t   t 52t m 2 2 t  m  2 (1)

Xác định hàm số f t    5t  t

+ Miền xác định D=R

+ Đạo hàm: f  5 ln 5t     1 0, x D hàm số tăng trên D

Vậy (1)  f t    f t  2  m  2    t 2 t  m    2 t m    2 0 x2 2 mx  m  0 (2)

a) Với 4

5

5

x

x

 





  



Vậy với 4

5

m   phương trình có 2nghiệm 2

2;

5

x  x  

b) Xét phương trình (2) ta có:   ' m2 m

+ Nếu    ' 0 m2 m    0 0 m  1 Phương trình (2) vô nghiệmphương trình (1) vô nghiệm + Nếu    ' 0 m=0 hoặc m=1

với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0

với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1

+ Nếu

1 ' 0

0

m m

 



      phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt 2

1,2

x    m m  m đó cũng là nghiệm kép của (1)

Kết luận:

Với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0

Với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1

Với 0<m<1 phương trình vô nghiệm

Với m>1 hoặc m<0 phương trình có 2 nghiệm 2

1,2

x    m m  m

Ví dụ 3: Cho phương trình:

2 2 2

2 2

 

   

a) Giải phương trình với m=8

b) Giải phương trình với m=27

c) Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải:

Viết lại phương trình dưới dạng: 2 2 2 2 2 2 2

3x  x  4x  x  x  2 x   2 m

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số:

2 2 2 2 2 2 2

y        x  x  với đường thẳng y=m

Xét hàm số 2 2 2 2 2 2 2

y        x  x  xác định trên D=R

Giới hạn: lim y  

Bảng biến thiên: vì 3>1, 4>1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên ccủa hàm số

t  x  x  ta có:

Với m=8 phương trình có nghiệm duy nhất x=1

a) Với m=27 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=0 và x=2

b) Phương trình có nghiệm khi m>8

Ví dụ 4: V ới giá trị nào của m thì phương trình:

4 3

2

1

1 5

 

 

 

 

Giải:

Vì m4 m2   1 0 với mọi m do đó phương trình tương đương với:

1 5

1

5

log m  m  1  a, khi đó: x2 4 x   3 a

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số y  x2 4 x  3 tại 4 điểm phân biệt

Xét hàm số:

2 2

2

3

1

x

x



Đạo hàm:

3

1 '

x

x y

       



Bảng biến thiên:

X  1 2 3 

y’ - + 0 + +

Y

Từ đó, đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm sốy  x2 4 x  3 tại 4 điểm phân biệt

1 5

1

5

Vậy với 0  m  1 phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Ví dụ 5: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x   3 m 4x  1

Giải:

Đặt t  2 ,x t  0phương trình được viết dưới dạng:

2

2

3

1

t

t





(1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):

2

3 1

t y

t







với đường thẳng (d):y=m

Xét hàm số:

2

3 1

t y

t







xác định trên D  0;  

+ Đạo hàm:

3

t



+ Giới hạn: lim y  1  t   

+ Bảng biến thiên:

Biện luận:

Với m  1 hoặc m  10 phương trình vô nghiệm

Với 1  m  3 hoặc m  10 phương trình có nghiệm duy nhất

Với3  m  10 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 6: Tìm m dương để bất phương trình sau có nghiệm:

  2 2 2 1   2 2 2 1

Giải:

Nhận xét rằng:  2  3 2    3   1

u       điều kiện u>1

1

u

   

  Khi đó bất phương trình có dạng:

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách giải sau:

Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt t=x-m, bất phương trình có dạng: t2 2  t  mt   2 m2 m   1 0 (2)

+ Với t  0 thì (2) f t    t2  2  m  1  t  2 m2 m   1 0 (3)

2

2

u



Vậy (2) có nghiệm (3) có ít nhất 1 nghiệm t  0

f(t)=0 có ít nhất 1 nghiệm t  0 (0  t1  t2 hoặc t1   0 t2)

2

2

' 0

2

2

2

m

m

af

m s

m

   











  













+ Với t  0 thì (2) g t ( )  t2 2  m  1  t  2 m2 m   1 0 (3)

Vậy (2) có nghiệm (3) có ít nhất 1 nghiệmt  0

phương trình g(t)=0 có ít nhất (1) nghiệm 1 2

0 0

0

t

     



       

2

2

1

0

m

m

ag

m

s

ag









Vậy bất phương trình có nghiệm khi 1

0

2

m

Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt t   x m , điều kiện t  0 Bất phương trình có dạng:h t ( )  t2  2 t  2 mx  m   1 0 (4) Vậy bất phương trình có nghiệm min ( ) h t  0( t  0) (5)

Nhận xét rằng h(t) là 1 Parabol có đỉnh t=-1<0, do đó min ( ) h t  h (0)( t  0) Do đó:

2 1

2

        Vậy bất phương trình có nghiệm khi 1

0

2

m

Ví dụ 7: Cho hệ phương trình:

1 1









a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên

Giải:

Đặt

1

3 2

x y

u

v



 



 

 điều kiện u 3 và v>0 Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:

2 1



 (II) Ta có:

1

m

D  1 2

1

m

2 1

u

m D

m





2

1

1

v

m

1

m



a) Hệ có nghiệm duy nhất khi:

2

1

1

0 1

u

v

m

v

m D



Vậy hệ có nghiệm khi   2 m   1

a) Với m nguyên ta có m=-2 khi đó hệ có nghiệm là:

1

x y





Vậy với m=-2 hệ có nghiệm nguyên (0;1)

Ví dụ 8: Cho hệ phương trình:

2 cot sin sin cot







a) Giải hệ phương trình vớim=1

b) Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả mãn 0

2

 

Giải:

Bằng phép đặt ẩn phụ u9siny;v 92 cotx

Biến đổi hệ về dạng:

2

u v

  





Khi đó u, v là nghiệm của phương trình f t ( )  t2 2 mt   3 0 (1)

a) Với m=1 ta được:

sin 0; 0

2

2 cot

y

gx



2 6

; , 2

6

2











  





Vậy với m=1 hệ có 2 họ cặp nghiệm

Ví dụ 9: Cho phương trình: log 52 x  1 log 2.5  4 x  2   m (1)

a) Giải phương trình với m=1

b) Xác định m để phương trình có nghiệm x  1

Giải:

Biến đổi phương trình về dạng:

1

2

Điều kiện: 5x    1 0 5x    1 x 0

Đặt t  log 52 x  1  Khi đó phương trình có dạng: t  1   t  2 m  f t    t2   t 2 m  0 (2)

2 2

2 2

x x

t

 



5 5

log 3

5

5

4 4

x x

x x

 





Vậy với m=1 phương trình có 2 nghiệm 5 5

5 log 3; log

4

b)Với x   1 5x      1 5 1 4 log 52 x   1  log 42    2 t 2

Vậy để phương trình (1) có nghiệm x  1  (2)có nghiệm t  2 1 2

2

  



    (loại (*)) a f 2    0 4 2 2m 0 m3

Vậy với m  3thoả mãn điều kiện đầu bài

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a 9x + 3x + m = 0 b 9x + m.3x – 1 = 0

c 4x – 2x + 1 = m d 2x + (m + 1)2-x + m = 0

e 16x – (m – 1)22x + m – 1 = 0 f 81sin x2 + 81cos x2 = m

g 34-2x2 - 2.32-x2 + 2m - 3 = 0 h 4 x +1+ 3-x-14.2 x+1+ 3-x + 8 = m

Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

a m.2x + 2-x – 5 = 0 b m.16x + 2.81x = 5.36x

c

x

5+1 +m 5-1 = 2

d

7+3 5 +m 7-3 5 =8

e 4x - 2x + 3 + 3 = m f 9x + m.3x + 1 = 0

Bài 3 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

a (m1 4) x(3m2 2) x 13m 1 0

b 49x(m1 7) xm2m2 0

c 9x3(m1 3) x5m20

d (m + 3).16x + (2m - 1).4x + m + 1 = 0

e 4x – 2(m + 1).2x + 3m – 8 = 0

f 4x – 2x + 6 = m