Bài giảng Phương pháp nội suy và bình phương bé nhất

NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÀI BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 3.1 Giới thiệu Trong toán học ta thường gặp tốn liên quan đến khảo sát tính giá trị hàm y = f(x) Tuy nhiên thực tế có trường hợp ta khơng xác định biểu thức hàm f(x) mà nhận giá trị rời rạc: y0, y1, , yn điểm tương ứng x0, x1, , xn Vấn đề đặt để xác định giá trị hàm điểm lại Ta phải xây dựng hàm ϕ (x) cho: ϕ (xi) = yi = f (xi) với i = 0, n ϕ (x) ≈ f (x) ∀x thuộc [a, b] x ≠ xi - Bài toán xây dựng hàm ϕ (x) gọi toán nội suy - Hàm ϕ (x) gọi hàm nội suy f(x) [a, b] - Các điểm xi ( i = 0, n ) gọi mốc nội suy Hàm nội suy áp dụng trường hợp xác định biểu thức f(x) phức tạp việc khảo sát, tính tốn Khi ta tìm hàm nội suy xấp xỉ với để đơn giản phân tích khảo sát Trong trường hợp ta chọn n+1 điểm làm mốc nội suy tính giá trị điểm đó, từ xây dựng hàm nội suy (bằng công thức Lagrange, công thức Newton,…) Trường hợp tổng quát: hàm nội suy ϕ(x) không thoả mãn giá trị hàm mốc nội suy mà thoả mãn giá trị đạo hàm cấp mốc ϕ’(x0) = f’(x0); ϕ’(x1) = f’(x1); ϕ’’(x0) = f’’(x0); ϕ’’(x1) = f’’(x1); … … …… Nghĩa ta tìm hàm nội suy f(x) thỏa mãn bảng giá trị sau: 41 xi x0 x1 xn yi =f(xi) y0 y1 yn y'i=f’(xi) y'0 y'1 y'n y'’i=f’’(xi) y'’0 y'’1 y'’n … … … … … 3.2 Đa thức nội suy Lagrange Giả sử f(x) nhận giá trị yi điểm tương ứng xi ( i = 0, n ), đa thức nội suy Lagrange f(x) đa thức bậc n xác định theo công thức sau: L n (x) = p in ( x ) = n ∑ y i p in ( x ) i=0 ( x − x )( x − x1 ) ( x − x i−1 )( x − x i+1 ) ( x − x n ) TS( x ) = ( x i − x )( x i − x1 ) ( x i − x i−1 )( x i − x i+1 ) ( x i − x n ) MS Đặt W(x) = (x - x0)(x - x1) (x - xn) Suy ra: TS(x) = Ln(x) = W(x) n W(x) x - xi ∑ (x - x i =0 MS = W' (x i ) ; yi i ) W' (x i ) Ví dụ Cho hàm f(x) thoả mãn: xi f(xi) -1 Tìm hàm nội suy f(x), tính f(5) Giải: Cách 1: W(x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 4) W’(0) = (-1) (-2)(-4) = -8 W’(1) = (-1) (-3) = W’(2) = (1) (-2) = -4 W’(4) = (3) (2) = 24 L3(x) = x (x − 1)(x − 2)(x − 4)( + + ) x (−8) 3(x − 1) 4(x − ) 42 = (−(x − 1)(x − )(x − ) + 4x (x − )(x − ) + x (x − 1)(x − )) ( x − 4)(−( x − 1)( x − 2) + 4x ( x − 2) + x ( x − 1)) = ( x − 4)(4 x − x − 2) = Cách 2: L3(x) = = ( x − 1)( x − 2)( x − 4) x ( x − 2)( x − 4) x ( x − 1)( x − 4) +3 −1 (−1)(−2)(−4) 1(−1)(−3) 2(1)(−2) ( x − 4)(4 x − x − 2) 3.3 Đa thức nội suy Lagrange với mối cách Giả sử hàm f(x) nhận giá trị yi điểm tương ứng xi ( i = 0, n ) cách khoảng h x − x0 , đó: h x - x0 = h*t xi - x0 = h *i x- x1 = h(t - 1) xi = x1 = h(i-1) x - xi-1 = h(t- (i-1)) xi - xi-1 = h x - xi+1 = h(t -(i+1)) xi - xi+1 = -h x - xn = h(t - n) xi - xn = -h(n - i) Đặt t = p 'n ( x + ht ) = = t ( t − 1) * * ( t − (i − 1)( t − (i + 1)) * * ( t − n ) i(i − 1) * * 1(−1) n −i * * * * (n − i) t ( t − 1) * * ( t − n ) ( t − i) * i!(n − i)!*(−1) n −i yi (−1)n −i Ln(x0 + ht) = t(t -1) (t - n) ∑ i =0 (t − i)i!(n − i)! n t(t − 1) (t − n) n (−1)n−i yi cin ∑ t −i Ln(x0 + ht) = n! i=0 Ví dụ Tìm hàm nội suy f(x) thoả mãn: 43 xi f(x0) -2 Giải: Cách 1: W(x) = x (x - 2) (x - 4) W’(0) = (0 - 2) (0 - 4) = -8 W’(2) = (2 - 0) (2 - 4) = -4 W’(4) = (4 - 0) (4 - 2) = L2(x) = x ( x − 2)( x − 4)( − + ) 8( x − 0) ( x − 2)(−4) ( x − 4).8 = x ( x − 2)( x − 4) + ( − + ) x ( x − 2) 4( x − 4) = (5( x − 2)( x − 4) + 4x ( x − 4) + x ( x − 2)) = 1 (10x − 48x + 40) = (5x − 24 x + 20) Cách 2: t(t −1)(t − 2) 5C02 − 2C12 1.C22 + ) L2 (2t) = ( − t − t −1 t − 2! t ( t − 1)(t − 2) ( + + ) = t t −1 t − 2 = (5(t −1)(t − 2) + 4t(t − 2) + t(t −1) 2 = (10 t − 24 t + 10 ) = 5t − 12 t + 5 Vậy L2 (x) = x − 6x + 3.4 Bảng nội suy Ayken 44 Khi tính giá trị hàm điểm x=c mà khơng cần phải xác định biểu thức f(x) Khi ta áp dụng bảng nội suy Ayken sau 3.4.1 Xây dựng bảng nội suy Ayken c-x0 x0-x1 x0-x2 … x0-xn x1-x0 c-x1 x1-x2 … x1-xn d1 d2 x2-x0 x2-x1 c-x2 … x2-xn d3 … … xn-x0 xn-x1 xn-x2 … c-xn dn W(c) = (c- x0)( c- x1)…( c- xn) : Tích phần tử đường chéo W’(xi) = (xi - x0)( xi – x1)… (xi - xi-1) (xi - xi+1) (xi - xn) (c - xi) W’(xi) = (xi - x0)( xi – x1)… (xi - xi-1) (c- xi)(xi - xi+1) (xi - xn) di = (c-xi) W’(xi) : Tích phần tử dòng i (i=0,1, …,n) yi i =0 (c − x i ) W' (x i ) n f(c) ≈ Ln(c) = W(c) ∑ n f(c) ≈ W(c) ∑ i=0 yi di Ví dụ Tính f (3 5) biết f(x) thoả mãn Giải xi yi -1 Xây dựng bảng nội suy Ayken 2.5 -1 -2 -3 -4 60 1.5 -1 -2 -3 -9 0.5 -1 -2 -0.5 -1 -1.5 -36 W(3.5) = 1.40625 45 f(3.5) ≈ L4 (3.5) = − + − 20 3.4.2 Thuật toán - Nhập: n, xi, yi (i = 0, n), c - w = 1; s = 0; - Lặp i = → n { w = w*(c - xi) d = c - xi Lặp j = → n Nếu j != i d = d * (xi - xj) s = s + yi/d } - Xuất kết quả: w * s 3.5 Bảng Nội suy Ayken (dạng 2) Xét hàm nội suy điểm: x0, x1 L01 = y x − x + y x − x 0 x − x1 x − x0 y0 (x1 − x) − y1 (x0 − x) = x1 − x = y0 x0-x y1 x1-x x1-x0 Hàm nội suy hai điểm x0, xi L0i(x) y0 x0-x = yi xi-x xi-x0 Xét hàm p(x) có dạng: L01(x) x1-x p(x) = L0i(x) xi-x xi - x 46 p(x0) = L01(x0) (xi – x0) - L0i(x0) (x1 – x0) xi - x1 y1 (xi - x1) P(x1) = xi - x1 -y1 (x1 - xi) P(xi) = xi - x1 = y1 = yi y0(xi - x1) = xi - x1 = y0 Vậy p(x) hàm nội suy điểm x0, x1, xi Tổng quát: Hàm nội suy n+1 điểm x0, x1, xn L012 n-2 n-1(x) xn-1-x L012 n-2 n(x) xn-x L012 n(x) = xn - xn-1 Bảng Nội suy Ayken (dạng 2) xi yi Loi(x) Lo1i(x) Lo12i(x) Lo12 n(x) xi - x x0 y0 x1 y1 Lo1(x) x1 - x x2 y2 Lo2(x) Lo12(x) x2 - x x3 y3 Lo3(x) Lo13(x) Lo123(x) xn yn x0 - x Lon(x) Lo1n(x) Lo12n(x) Lo12 n(x) xn - x Ví dụ Cho f(x) thoả mãn: xi yi Tính f (2.5) 47 Giải: Áp dụng bảng Ayken (dạng 2) xi yi Loi(x) Lo1i(x) Lo12ix 2 5 4.25 4.625 4.5 4.875 4.5 4.25 4.875 4.562 Lo123ix xi - x -1.5 -0.5 0.5 1.5 4.407 2.5 Vậy f(2.5) ≈ 4.407 Chú thích : L01(-2.5) = (2(-0.5) - 4(-1.5)) / (2-1) = 3.6 Nội suy Newton 3.6.1 Sai phân Cho hàm f(x) h số, đó: ∆f(x) = f (x + h) - f(x) gọI sai phân cấp đốI vớI bước h ∆2f(x) = ∆[∆f(x)] : sai phân cấp Tổng quát: ∆kf(x) = ∆[∆k-1 f(x)] : sai phân cấp k Cách lập bảng sai phân: ∆f(xi) ∆2f(xi) ∆3f(xi) xi f(xi) … x0 y0 x1 y1 ∆f(x0) x2 y2 ∆f(x1) ∆2f(x0) x3 y3 ∆f(x2) ∆2f(x1) ∆f3(x0) … … … xn yn ∆f(xn-1) … … … ∆nf(xi) ∆nf(x0) 48 3.6.2 Công thức nội suy Newton Giả sử hàm f(x) nhận giá trị yi mốc xi cách khoảng h Khi hàm nội suy Newton đa thức bậc n xác định sau: Ln(x) = Coϕ0(x) + C1ϕ1(x) + + Cnϕn(x) (*) Trong đó: ϕ0(x) = 1; x − x0 h ϕ1 ( x ) = ; ϕ2 (x) = ( x − x )( x − x ) ; h 2! … ϕn (x) = (x − x )(x − x1 ) (x − x n −1 ) h n n! Lớp hàm ϕi(x) có tính chất sau: - ϕi(x0) = ∀i = 1, n - ∆ϕk(x) = ϕk-1(x) * Xác định hệ số Ci (i = 0, n ) Sai phân cấp Ln(x) : (1) ∆Ln(x) = C0∆ϕ0(x) + C1∆ϕ1(x) + C2∆ϕ2(x) + + Cn∆ϕn(x) = C1ϕ0(x) + C2ϕ1(x) + + Cnϕn-1(x) Sai phân cấp Ln(x) : (2) ∆2Ln(x) = C1∆ϕ0(x) + C2∆ϕ1(x) + + Cn∆ϕn-1(x) = C2ϕ0(x) + C3ϕ1(x) + + Cnϕn-2(x) … … Sai phân cấp n Ln(x) : (n) ∆nLn(x) = Cnϕ0(x) = Cn Thay x = x0 vào (*), (1), (2), , (n) ta được: C0 = Ln(x0) ; C1 = ∆Ln(x0) ; C2 = ∆2Ln(x0) ; ; Cn= ∆nLn(x0) 49 Vì Ln(x) ≈ f(x) nên: Ln(x0) ≈ f(x0) ; ∆Ln(x0) ≈ ∆f(x0) ; ∆2Ln(x0) ≈ ∆2f(x0) ; …; ∆nLn(x0) ≈ ∆nf(x0) Vậy : x − x0 ( x − x )( x − x ) + ∆2 f ( x ) h h 2! ( x − x )( x − x ) ( x − x n −1 ) + + ∆n f ( x ) h n n! L n ( x ) ≈ f ( x ) + ∆f ( x ) Ví dụ Xây dựng hàm nội suy Newton thoả mãn: xi yi Giải Lập bảng sai phân: ∆f(xi) ∆2f(xi) ∆3f(xi) xi f(xi) 2 -1 2 -1 -2 ∆4f(xi) -4 Hàm nội suy Newton: x − x ( x − x )( x − x ) ( x − x )( x − x )( x − x ) L n (x ) ≈ + − +2 2! 3! ( x − x )( x − x )( x − x )( x − x ) −4 4! 50 3.7 Nội suy tổng quát (Nội suy Hecmit) Xây dựng hàm nội suy f(x) thoả mãn giá trị hàm giá trị đạo hàm cấp theo bảng giá trị sau: xi x0 x1 xn yi =f(xi) y0 y1 yn y'i=f’(xi) y'0 y'1 y'n yi'’= f’’(xi) y''0 y’’1 y’’n … … … yi(k) =f(k)(xi) y1(k) y2(k) yn(k) Giả sử hàm nội suy cần tìm đa thức bậc m: Hm(x) k m=n+ ∑ si i =1 (Si : số giả thiết cho đạo hàm cấp i ) Hm(x) = Ln(x) + W(x) Hp(x) ( Vì Hm(xi) = Ln(xi) + W(xi) Hp(xi) = yi ) Với: W(x) = (x-x0) * (x-x1)* *(x-xn) p= m - (n + 1) Đạo hàm cấp 1: H’m(x) = Ln’(x) + W(x) H’p(x) + W’(x)Hp(x) Xét điểm xi: Hm(xi) = Ln’(xi) + 2W(xi) H’p(xi) + W’(xi)Hp(xi) = yi => Hp(xi) Đạo hàm cấp 2: H”m(x) = Ln’’(x) + 2W’(x) H’p(x) + W’’(x) Hp(x) + W(x)Hp”(x) 51 Xét điểm xi: H”m(xi) = Ln’’(xi) + 2W’(xi) H’p(xi) + W’’(xi) Hp(xi) + W(xi)Hp”(xi) =yi’’ => Hp’(xi) Tương tự: Đạo hàm đến cấp k suy Hp(k-1)(xi) Ta xác định hàm Hp(x) thoả mãn: xi x0 x1 xn Hp(xi) h0 h1 hn Hp’(xi) h'0 h'1 h'n h0(k-1) h1(k-1) hn(k-1) Hp(k-1)(xi) Về chất, tốn tìm hàm Hp(x) hồn tồn giống tốn tìm hàm Hm(x) Tuy nhiên bậc giảm (n+1) giả thiết đạo hàm giảm cấp Tiếp tục giải tương tự trên, cuối đưa tốn tìm hàm nộI suy Lagrange (khơng đạo hàm) Sau thay ngược kết ta hàm nội suy Hecmit cần tìm Hm(x) Ví dụ Tìm hàm nội suy hàm f(x) thoả mãn: xi f(xi) f’(xi) -3 Giải: Hàm nội suy cần tìm đa thức H4(x) H4(x) = L2(x) + W(x) H1(x) 52 W(x) = x(x-1)(x-3) =x3 – 4x2 +3x L (x ) = ( x − 1)( x − 3) x ( x − 3) +2 −2 = ( x − 7x + 12) H '4 ( x ) = x − + ( x − x + ) H ( x ) + W(x)H' 3 H '4 ( ) = − H ' (1 ) = − (x ) 22 x + H ( ) = => H ( ) = x − H (1 ) = - => H (1 ) = 3 Tìm hàm H1(x) thoả mãn: H1(x) = xi H1(xi) 22/9 2/3 22 ( x − 1) ( x − 1) − 16 x + 22 + = (0 − 1) (1 − 0) Vậy H4(x) =(x2 –7x +12)/3 + x(x-1)(x-3)(-16x +22)/9 3.8 Phương pháp bình phương bé Giả sử có đại lượng (vật lý, hoá học, …) x y có liên hệ phụ thuộc theo dạng biết sau: - y = fax + b - y = a + bx + cx2 Tuyến tính - y = a + bcosx + csinx - y = aebx Phi tuyến tính - y = axb 53 chưa xác định giá trị tham số a, b, c Để xác định tham số này, ta tìm cách tính số cặp giá trị tương ứng (xi, yi), i=1, 2, …,n thực nghiệm, sau áp dụng phương pháp bình phương bé * Trường hợp: y = ax + b Gọi εi sai số điểm xi εi = yi - a - bxi Khi tổng bình phương sai số: S = n ∑ i =1 ε i2 Mục đích phương pháp xác định a, b cho S bé Như a, b nghiệm hệ phương trình: ∂S =0 ∂a ∂S =0 ∂b Ta có: S = Σ(yi2 + a2 + b2xi2 - 2ayi - 2bxiyi + 2abxi) ∂S n = ∑ (2a − y i + 2bx i ) ∂a i=1 ∂S n = ∑ (2bx i − x i y i + 2ax i ) ∂b i=1 n ⇔ na + b ∑ x i = i =1 n n i =1 i =1 n ∑ yi i =1 n a∑ xi + b∑ xi =∑ xi yi i =1 Giải hệ phương trình ta được: a, b * Trường hợp y = a + bx + cx2 Gọi εi sai số điểm xi εi = yi - a - bxi - cxi2 54 Khi tổng bình phương sai số: S = n ∑ i =1 ε i2 Các hệ số a, b xác định cho S bé Như a, b, c nghiệm hệ phương trình: n ∂S =0 ∂a ∂S =0 ∂a n na + b ∑ x i + c ∑ x i =1 ⇔ i i =1 n n i =1 i =1 n = n ∑ i =1 a ∑ x i + b∑ x i + c∑ x i = n ∂S =0 ∂c 2 i =1 n i =1 n i =1 i =1 n ∑ xiyi a ∑ x i + b∑ x i + c∑ x i = yi i =1 n ∑ xi i =1 yi Giải hệ phương trình ta a, b, c * Trường hợp: y = aebx Lấy Logarit số e hai vế: Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa dạng: Y = A + BX Giải hệ phương trình ta A, B => a = eA, b=B * Trường hợp y = axb Lấy Logarit số 10 hai vế: Lgy = lga + blgx Đặt Y = lgy; A = lga; B = b; X = lgx Ta đưa dạng: Y = A + BX Giải hệ phương trình ta A, B => a = 10A, b=B Ví dụ Cho biết cặp giá trị x y theo bảng sau: xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15 yi 0.96 1.06 1.17 1.29 1.58 Lập công thức thực nghiệm y dạng aebx 55 Giải Ta có: y = aebx Lấy Logarit số e hai vế: Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa dạng: Y = A + BX X i = xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15 Yi = lnyi -0.04 0.06 0.18 0.25 0.46 ΣXi ΣXi2 ΣXiYi ΣYi 4.35 3.93 0.92 0.89 Phương pháp bình phương bé nhất: A, B nghiệm hệ phương trình n nA + B ∑ X i =1 n n i =1 i =1 i = n ∑ i=1 Yi n A ∑ X i + B ∑ X i = ∑ X i Yi i =1 5A + 4.35B =0.89 4.35A + 3.93B = 0.92 Giải hệ phương trình ta được: A = -.069, B = Suy ra: a = eA = ½, b = B =1 Vậy f(x) = e x 56 BÀI TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 4.1 Giới thiệu Xét hàm số f(x) liên tục [a,b], xác định ngun hàm F(x) ta có cơng thức tính tích phân: b ∫ f (x )dx = F(b) − F(a ) a Nhưng đa số trường hợp ta không xác định nguyên hàm của, không xác định biểu thức f(x) mà nhận giá trị tạI điểm rời rạc Trong trường hợp ta sử dụng cơng thức gần sau để tính tích phân: - Cơng thức hình thang - Cơng thức Parabol - Cơng thức Newton _Cotet 4.2 Cơng thức hình thang Chia [a, b] thành n đoạn với khoảng cách h = (b - a)/n theo điểm chia: x0=a, x1=a+h, , xn = b b ∫ f ( x ) dx a = x1 ∫ f ( x ) dx x0 =a x2 xn x1 x n −1 + ∫ f ( x ) dx + + ∫ f ( x ) dx =S S diện tích giới hạn đường cong f(x), x=a, x=b, trục x S1 f(x) S x0 =a x1 Sn xn-1 xn = b Xét [x0, x1], ta xem đường cong f(x) đường thẳng 57 S1 ≈ S hthang = h ( y + y1 ) Tương tự: S2 ≈ h ( y1 + y ) … … Sn ≈ h(y n −1 + y n ) b Vậy: ∫ f ( x ) dx ≈ a h ( y + y + y + + y n − + y n ) 4.3 Công thức Parabol Chia [a, b] thành 2n đoạn với khoảng cách h = (b - a)/2n theo điểm chia: x0=a, x1=a+h, , x2n = b b x2 x4 x 2n a x0 x2 x 2n −2 ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + + ∫ f ( x )dx Xét [x0, x2] xem đường cong f(x) Parabol (nội suy bậc điểm x0, x1, x2) f (x) ≈ L (x) = y ( x − x )( x − x ) ( x − x1 )( x − x ) + y1 + ( x1 − x )( x1 − x ) ( x − x1 )( x − x ) + y2 x2 x2 x0 x0 ( x − x )( x − x1 ) ( x − x )( x − x1 ) ∫ f ( x )dx ≈ ∫ L (x )dx Thay x0 = a, x1 = a + h , x2 = a+2h vào, ta có: x2 h ∫ f ( x )dx ≈ ( y + y1 + y ) x0 Tương tự: 58 x4 h ∫ f (x )dx ≈ ( y + y + y ) x2 x2n h f ( x )dx ≈ ( y n −2 + y n −1 + y ) x n −2 ∫ b h ∫ f ( x )dx ≈ ( y + y1 + y + + y 2n −2 + y 2n −1 + y 2n ) Vậy: a dx theo cách 1+ x2 Ví dụ Tính J = ∫ Giải Cách 1: J = arctgx 15 = arctg5 − Π / ≈ 0.588 Cách 2: chia [1, 5] thành đoạn (h=1) với điểm chia xi yi 1/2 1/5 1/10 1/17 1/26 Cơng thức hình thang: J ≈ (1/2 + 2/5 +2/10 +2/17 + 1/26) /2 ≈ 0.628 Cách 3: Công thức Parabol: J ≈ (1/2 + 4/5 +2/10 +4/17 + 1/26) /3 ≈ 0.591 4.4 Công thức Newton-Cotet Chia [a, b] thành n đoạn với khoảng cách h = (b - a)/n với x0=a; x1 = a + h , , xn = b Đặt x = a + (b - a)t => dx = (b - a) dt xi a a+h a + 2h b ti 1/n 2/n Khi đó: b 1 a 0 ∫ f ( x )dx = (b − a ) ∫ f (a + (b − a ) t )dt = (b − a ) ∫ Φ( t )dt Với φ(t)= f(a + (b - a)t Xem φ(t) hàm nội suy Lagrange n + điểm: t0, t1, , tn 59 2 ( t − )( t − ) ( t − 1) ( t − 0)( t − ) ( t − 1) n n n Φ( t ) ≈ L n ( t ) = y + y1 + 1 (− )(− ) (−1) ( − 0)( − ) ( − 1) n n n n n n n −1 ( t − 0)( t − ) ( t − ) n n + yn n −1 (1 − 0)(1 − ) (1 − ) n n Khi đó: 1 0 ∫ Φ( t )dt ≈ ∫ L n ( t )dt i −1 i +1 ( t − 0)( t − ) ( t − )( t − ) ( t − 1) i n n n Đặt Pn = ∫ dt i i i i −1 i i +1 i ( − 0)( − ) ( − )( − ) ( − 1) n n n n n n n n b n a i =0 i ∫ f ( x )dx ≈ (b − a )∑ y i p n Vậy: Xét n = ( h = b-a ) P10 t −1 dt = − =∫ 0 −1 b ∫ f ( x )dx = (b − a )( a ; P11 t−0 dt = 01− =∫ y y1 h + ) = ( y + y1 ) → Cơng thức hình thang 2 Lưu ý: Giá trị Pni tra bảng sau: n Pni 1/2 1/2 1/6 4/6 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 9/71 16/45 2/15 16/45 9/70 19/288 25/95 25/144 25/144 25/95 19/288 … … … … … … … 60 ... dụng phương pháp bình phương bé * Trường hợp: y = ax + b Gọi εi sai số điểm xi εi = yi - a - bxi Khi tổng bình phương sai số: S = n ∑ i =1 ε i2 Mục đích phương pháp xác định a, b cho S bé Như... đưa tốn tìm hàm nộI suy Lagrange (khơng đạo hàm) Sau thay ngược kết ta hàm nội suy Hecmit cần tìm Hm(x) Ví dụ Tìm hàm nội suy hàm f(x) thoả mãn: xi f(xi) f’(xi) -3 Giải: Hàm nội suy cần tìm đa... Phương pháp bình phương bé nhất: A, B nghiệm hệ phương trình n nA + B ∑ X i =1 n n i =1 i =1 i = n ∑ i=1 Yi n A ∑ X i + B ∑ X i = ∑ X i Yi i =1 5A + 4.35B =0.89 4.35A + 3.93B = 0.92 Giải hệ phương