30 Đề toán vào 10 có đáp án

Tổng hợp 30 đề thi hay vào 10 môn toán có đáp án chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích cho các em học sinh chuẩn bị bước vào cuộc thi vào thpt. Định dạng file ở dạng word giúp giáo viên dễ dàng chỉnh sửa. Đây là tài liệu tham khảo tốt cho học sinh, giáo viên và phụ huynh quan tâm.

Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! ĐỀ (PHÚ THỌ 2017-2018) Câu (1,5 điểm) a) Giải phương trình: x +1 −1 = b) Giải hệ phương trình: 2 x + y =  x + y = y= Câu (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ x A = −1; xB = 2 x a) Tìm tọa độ A, B b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A,B c) Tính khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến đường thẳng (d) Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: a) Giải phương trình với m=0 x − 2( m + 1) x + m + m − = (m tham số) b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện : 1 + =4 x1 x2 Câu (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi I giao điểm AC BD H ∈ AB; K ∈ AD Kẻ IH vng góc với AB; IK vng góc với AD ( ) a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh IA.IC = IB.ID c) Chứng minh tam giác HIK tam giác BCD đồng dạng d) Gọi S diện tích tam giác ABD, S’ diện tích tam giác HIK Chứng minh rằng: S ' HK ≤ S AI ( Câu (1,0 điểm) Giải phương trình : ) x3 − = ( ( x + 4) + ) Trên đường thành công, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! ĐỀ (PHÚ THỌ 2016-2017) Câu (1,5 điểm) a) Giải phương trình: x − 20 = 16 b) Giải bất phương trình: 2x − > Câu (2,5 điểm) y = (2m + 1) x + m + Cho hàm số (m tham số) có đồ thị đường thẳng (d) A(−1;2) a) Tìm m để (d) qua điểm y = 5x + b) Tìm m để (d) song song với đường thẳng (Δ) có phương trình: c) Chứng minh m thay đổi thì đường thẳng (d) qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 − 2x + m − = a) Giải phương trình với m =1 (m tham số) b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Câu (3,0 điểm) (O; R ) Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội tiếp đường tròn lượt chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B tam giác ABC ( điểm BC Kẻ HJ vng góc với AM ( J ∈ AM ) Gọi H trực tâm I, K lần I ∈ BC , K ∈ AC ) Gọi M trung Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! a) Chứng minh bốn điểm A, H, J, K thuộc đường tròn · · IHK = MJK b) Chứng minh tam giác AJK tam giác ACM đồng dạng c) Chứng minh MJ MA < R Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + b + c + 2abc + 18 ab + bc + ca ĐỀ (PHÚ THỌ 2015-2016) Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình : x + 2015 = 2016 b) Trong hình sau, hình nội tiếp đường tròn: Hình vng; hình chữ nhật; hình thang cân; hình thang vuông Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: (m − 2) x − y = −5   x + my = (I) ( với m tham số) a) Giải hệ phương trình (I) với m=1 b) Chứng minh hệ phương trình (I) có nghiệm với m Tìm nghiệm theo m Câu (2,0 điểm) y = 2(m + 1) x − 3m + y = x2 Cho Parabol (P): đường thẳng (d) có phương trình: a) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) với m=3 b) Chứng minh (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A, B với m Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! c) Gọi x1 ; x2 hoành độ giao điểm A, B Tìm m để x12 + x22 = 20 Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây DE < 2R Trên tia đối DE lấy điểm A, qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (O), (B, C tiếp điểm) Gọi H trung điểm DE, K giao điểm BC DE a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b) Gọi (I) đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC Chứng minh H thuộc đường tròn · BHC (I) HA phân giác c) Chứng minh rằng: 1 = + AK AD AE Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1 1     + + ÷= 6 + + ÷+ 2015 b c  a  ab bc ca  Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 3(2a + b ) + 3(2b + c ) + 3(2c + a ) ĐỀ (PHÚ THỌ 2014-2015) Câu 1( 1,5 điểm ) a) Trong phương trình đây, những phương trình phương trình bậc hai: x2 + 3x + = ( x ẩn số ) 3x2 + = ( x ẩn số ) -2x + = ( x ẩn số ) (m − 1) x + mx − 12 = b) Giải phương trình : 2x - ( x ẩn số; m tham số, =6 Câu ( 2,0 điểm ) a) Giải hệ phương trình : 3 x + y =  x + y = m ≠1 ) Trên đường thành công, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! B= b) Rút gọn biểu thức : a b +b a a −b + ab a+ b , với a b số dương Câu ( 2,0 điểm ) Cho phương trình : x2 – ( 2m + 1)x + m2 = 0, với m tham số ( ) a) Giải phương trình với m = b) Với giá trị m thì phương trình ( ) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Câu ( 3,0 điểm ) Cho đường tròn ( O ; R ) dây cung BC cố định ( BC < 2R ) Gọi A điểm di động » BC cung lớn cho ABC tam giác có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE CF tam giác cắt H a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn, xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh điểm A di động thì tiếp tuyến E đường tròn tâm (I) ln qua điểm cố định c) Xác định vị trí điểm A để tam giác AEF có diện tích lớn ? Câu ( 1,5 điểm ) Giải phương trình : x3 + x + x − − (2 x + 5) x + = ĐỀ (PHÚ THỌ 2013-2014) Câu1 (2,0 điểm) a) Tính : A = 16 − 49 b) Trong hình sau : Hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thang cân hình có hai đường chéo ? Câu2 (2,0 điểm) a Giải phương trình : 2x − 7x + = Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! b Giải hệ phương trình x + y =  x + y = Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức  a + a  a − a  1 −  B = 1 + a +  a −   với a ≥ 0; a ≠ b) Cho phương trình x2 +2(m+1)x +m2 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm -2 ; Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi I trung điểm OA, qua I kẻ dây MN vuông góc với OA C thuộc cung nhỏ MB (C khác B, M), AC cắt MN D a Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp b Chứng minh AD.AC=R2 c) Khi C chạy cung nhỏ MB chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD ln thuộc đường thẳng cố định Câu (1,0 điểm) Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x+ y x(2 x + y ) + y (2 y + x ) ĐỀ (PHÚ THỌ 2012-2013) Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x − = b) Giải bất phương trình: 3x − > Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! Câu (2,0 điểm) a) Giải hệ phương trình: b) Chứng minh rằng: 3x + y =  2 x − y = 1 + = 3+ 3− Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x − ( m − 3) x − = (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1; x2 mà biểu thức nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó? A = x12 − x1 x2 + x22 đạt giá trị Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA; lấy C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính CA Hai đường tròn cắt điểm thứ hai D Vẽ AM AN dây cung đường tròn (B) (C) cho AM vng góc với AN D nằm giữa M N a) Chứng minh ∆ABC = ∆DBC b) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn c) Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng d) Xác định vị trí dây cung AM AN đường tròn (B) (C) cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  x − y − y =  ( x + y − 1) x − y − = ( x − y − 3) x + y ĐỀ (HÀ NỘI 2017-2018) Trên đường thành công, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! Câu 1: (2,0 điểm) A= Cho hai biểu thức : x +2 x −5 B= 20 − x + x − 20 x +5 với x ≥ 0, x ≠ 25 Tính giá trị biểu thức A x=9 x −5 B= Chứng minh B x − Tìm tất cả giá trị x để A= Câu 2: (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Câu 3: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  x + y − =  4 x − y − = 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y= mx+5 a, Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0;5) với m b, Tìm tất cả giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): phân biệt có hoành độ x1 , x (Với x1 < x y = x2 hai điểm x1 > x2 ) cho Câu 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm giữa cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K 1) Chứng minh bốn điểm C,N,K,I thuộc đường tròn NB = NK NM 2) Chứng minh 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D,E,K thẳng hàng Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! Câu 5: (0,5 điểm) Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn: ab + bc + ca = a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: P = a + b2 + c ĐỀ (HÀ NỘI 2016-2017) Bài I (2,0 điểm) Cho biểu thức A= B= với 1) Tính giá trị biểu thức 2) Chứng minh B= 3) Tìm để biểu thức có giá trị số nguyên Bài II ( 2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 Nếu tăng chiều dài thêm 10m giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Bài III ( 2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng parabol = a) Chứng minh cắt hai điểm phân biệt với b) Gọi hoành độ giao điểm Tìm để Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn điểm nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tiếp điểm) đường kính Trên đoạn lấy điểm khác khác Đường thẳng cắt hai điểm nằm giữa Gọi trung điểm 1) 2) 3) 4) Chứng minh bốn điểm nằm đường tròn Chứng minh Đường thẳng qua song song với cắt Chứng minh Tia cắt điểm , tia cắt điểm Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài V ( 0,5 điểm) Với số thựcthỏa mãn , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! ĐỀ (HÀ NỘI 2015-2016) Bài I (2,0 điểm) P= Cho hai biểu thức x+3 x −2 Q= x −1 x − + x−4 x +2 với x>0, x≠4 1) Tính giá trị biểu thức P x = 2) Rút gọn biểu thức Q 3) Tìm giá trị x để biểu thức P Q đạt giá trị nhỏ Bài II (2,0 điểm) Giái toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau chạy xi dòng 48km dòng sơng có vận tốc dòng nước 2km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước n lặng, biết thời gian xi dòng thời gian ngược dòng Bài III (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2) Cho phương trình : 2 ( x + y ) + x + =  ( x + y ) − x + = −5 x − (m + 5) x + 3m + = (x ẩn số) a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với số thực m b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác có độ dài cạnh huyền Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường tròn K Gọi M điểm bất kì cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CA.CB=CH.CD 3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH 4) Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành c, Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến ∆AHD ⇒ G trọng tâm Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, Suy G tâm ∆AHD ⇒ GM = AM GM = AM ∆ABC Câu 5: Áp dụng BĐT Cô Si cho số thực dương a, b, c ta có: a2 a + b + ≥ a; a+b b2 b + c + ≥ b; b+c c2 c + a + ≥c c+a Suy Vậy a2 b2 c2 a +b b+c c+a a +b+c + + ≥ (a + b + c) − ( + + )= = a +b b+c c+a 4 2 a2 b2 c2 + + ≥ a +b b+c c+a ĐỀ 23: Phần I Trắc nghiệm Mỗi câu cho 0,5 điểm Câu Đáp án Phần II Tự luận Câu 5: B D C A x =   y = −3 Câu 6: a, x= b, m>1 c, giá trị nhỏ A 8059 m= đạt Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! Câu 7: Thời gian vòi thứ chảy mình đầy bể 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy mình đầy bể 15 Câu 8: a, Có: · MAO = 900 Tương tự (MA tiếp tuyến) · MBO = 900 Suy điểm A, N, B nhìn đoạn MO góc vng Vậy điểm M, A, N, O, B thuộc đường tròn bán kính MO b, Tứ giác MANB nội tiếp nên ·AMN = ·ABN (1) · OA ⊥ PS OA ⊥ MA ⇒ PS / / MA ⇒ ·AMN = RPN , Từ (1) (2) suy ra: Mặt khác có: ·ABN = RPN · · · BPN = BAQ hay (2) · · RBN = RPN ⇒ tứ giác PRNB nội tiếp (4), nên từ (3) (4) suy ra: · · ⇒ BPN = BRN · · BRN = BAQ ⇒ RN / / SQ ∆SPQ Từ (5) N trung điểm PQ nên (đpcm) Câu 9: (x − y) ≥ ∀x; y Ta có (3) (5) có RN đường trung bình, suy PR = RS ⇔ x − xy + y ≥ xy Mà x; y > =>x+y>0 Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) ⇒ x3 + y3 ≥ (x + y)xy ⇒ x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz ⇒ x3 + y3 + ≥ xy(x + y + z) > Tương tự: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > z3 + x3 + ≥ zx(x + y + z) > A≤ ⇒ 1 + + xy(x + y + z) yz(x + y + z) xz(x + y + z) Vậy giá trị lớn A ⇔ x = y = z = A≤ ⇒ x+y+z xyz(x + y + z) A≤ ⇒ =1 xyz Trên đường thành công, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! ĐỀ 24 Câu 1: a, A=8 b, (x; y)=(2; -1) Câu 2: a, HS tự vẽ b, m= -1 Câu 3: a, m=3 b, 15m 24m Câu 4: a, Xét tứ giác BCEM có: · · · BCE = 900 ( gt ) BME = BMA = 900 ; (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: · · BCE + BME = 900 + 900 = 1800 chúng hai góc đối Nên tứ giác BCEM nội tiếp đường tròn đường kính BE b, Ta có: Mà µ = µA B 1 c, x=2 x=-3 c, x=0 · ·  DEM = CBM (Y BCEMnt )  · · µ = CBD +B CBM · ¶ CBD =M ( chắn cung AD); (cựng chn cung DM) Suy ã ả +à DEM =M A1 Hay · · DEM = ·AMD + DAM c, + Xét tam giác FDA tam giác FBD có µ F chung ; Suy tam giác FDA đồng dạng tam giác FBD nên: + Ta có ¶ = FBD · D (cmt); ¶ = FBD · D (cùng phụ Suy DA tia phân giác góc CDF nên · DAB ¶ = FBD · D ) nên CA FA = CD FD ¶ =D ¶ D Mà d, + Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM có IE = Trong tam giác CID có IE = ED = EC = + Ta có · · KID = KHD cung AD) nên CD (tứ giác KIHD nội tiếp); · · KID = DBA (cùng chắn cung AD) FD FA = hayFD = FA.FB FB FD FD FA = (cmt ) FB FD CD Vậy (gt) Mà ED = EC = nên tam giác CID vng I · ¶ KHD =M CA FD = CD FB (HK//EM); CD ⇒ CI ⊥ ID ¶ = DBA · M (1) (cùng chắn (gt) Trên đường thành công, dấu chân kẻ lười biếng! + Ta lại có : · · KID + KDI = 900 · · DBA + CDB = 900 (tam giác DIK vuông K); · · KDI = CDB ≡ vuông C) Suy nên DI DB (2) ⇒ CI ⊥ DB ⇒ AD ⊥ DB ·ADB = 900 + Từ (1) (2) Mà ( ) Vậy CI // AD 2 x +y xy ≤ Câu 5:Từ giả thiết theo bất đẳng thức ta có ( a + b) = (2 ab ( a − b ) ≤ ab ( a + b) + ( a − b) P= a+b ( a − b) ) + ( a − b) 2 4ab + ( a − b ) ( a + b) ⇔ a + b ≥ = = 2 ≥ a+b ≥ (BĐT CÔ -SI) Dấu “=” xảy khi: a + b = a − b = ab ; Vậy giá trị nhỏ P 4, đạt ĐỀ 25: Câu 2: 1, A= Câu 3: 1, 2, 2 Do Câu 1: 1a, x = ab = a+b a −b  a = +  b = − 1b, x=1 x=3 x +1 x −1 (tam giác BCD 2, (x; y) = (1; 1) x ∈ { 4;9} 2, m=2 Δ = m2 + > với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m T= Câu 4: · MPQ = 900 Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); · · ⇒ EPQ + EFQ = 900 + 900 = 1800 ⇒ Tương tự EF ⊥ MQ tứ giác PEFQ nội tiếp đường tròn đường kính PQ · · ⇒ ENM + EFM = 900 + 900 = 1800 ⇒ tứ giác MNEF nội tiếp Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! P · · ⇒ PFQ = PEQ N (hai góc nộ tiếp chắn cung PQ đường tròn đường kính EQ) · · NFM = NEM (hai góc nội tiếp chắn cung MN đường tròn đường kính ME) · · NEM = PEQ · · PFQ = MFK · · ⇒ NFM = KFM E L M Q F (hai góc đối đỉnh) K (hai góc đối đỉnh) hay PM phân giác góc · NFM Ta có: · · NPM = NQM (hai góc nội tiếp chắn cung MN đường tròn đường kính MQ) · · EPF = EQF (hai góc nộ tiếp chắn cung EF đường tròn đường kính EQ) · · PE ⊥ P Q ⇒ ⇒ NPE = EPL ⇒ ΔNPL PE phân giác Lại có PE phân giác ΕΝ QN ⇒ =ΕΝ.QL ⇒ QN ΕL = ΕL QL ΔNPL (đpcm) Câu 5: Với a, b, c số dương ta có: + ≥ (1) ⇔ (a + 2b)(b + 2a) ≥ a b a + 2b (+) ⇔ 2a - 4ab + 2a ≥ ⇔ 2(a - b) ≥ ab (đúng) Dấu xảy a = b a + 2b ≤ 3( a + 2a )(2) ⇔ ( a + 2b) ≤ 3( a + 2b2 ) (+) ⇔ 2a - 4ab+ 2a ≥ ⇔ 2(a - b)2 ≥ (đúng) Dấu xảy a = b 9 + ≥ ≥ ≥ a b a + 2b 3(a + 2b2 ) c (+) Từ (1) (2) suy Suy + ≥ a b c Dấu xảy a =b = c (do a + 2b ≤ 3c ) Trên đường thành công, dấu chân kẻ lười biếng! ĐỀ 26: Bài 1: 1, A = 2, (1; 2) x > 0; x ≠ Bài 2: a, Điều kiện xác định A là: A= Rút gọn: 0< x< b, x -1 x x ≠1 , Bài 3: a, Với m = - PT có nghiệm là: -1 19 ∆ ' = m2 + m + = ( m + )2 + b, > 0, với m m= −9 c, m=0 Bài 4: a, · AH ⊥ MB ⇒ NHB = 900 ·AIN = 900 Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ·AIN + NIB · = 1800 (2 góc kề bù) · ⇒ NIB = 900 Xét tứ giác NHBI có: · · NHB + NIB = 1800 ⇒ Tứ giác NHBI nội tiếp (đpcm) Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! b, Vì tứ giác NHBI nội tiếp (theo a) Trong đường tròn tâm O: cung BN) ¶ = ¶A B 2 Trong đường tròn đường kính NA: ả = ảA = K ả Ià = K ả Ià2 = B 2 Mà (góc tạo tiếp tuyến dây cung, góc nội tiếp chắn ¶A = K ¶ ả =B H 1 ả =B =à ã ả = KIN ã H A1 = KIN ⇒H 1 Từ (1) (2) suy ra: c, Theo phần b ta có (góc nội tiếp chắn cung NI) ∆NHI µA = KIN · đồng dng àA = H ả 1 ã ã DIC + DNC = 1800 ⇒ (góc nội tiếp chắn cung KN) (2) ∆NIK (vì · · ¶ +B µ + DNC · Iµ2 + KIN + DNC =A = 180 Ià2 = ảA2 (gúc ni tiếp chắn cung NI) (góc nội tiếp, góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung AN) Trong đường tròn đường kính NA, Mà (góc nội tiếp chắn cung NH) (1) Lại có: Tứ giác NHBI ni tip = àA B 1 ả Iµ2 = B (g.g) (đpcm) µ B ), mà hai góc vị trí so le (tổng góc tam giác ANB) Tứ giác DNCI ni tip ả D1 = I (cựng chắn cung NC) (theo phần b) ¶ = ¶A ⇒D , hai góc vị trí đồng vị ⇒ EC / / AI Từ (3) (4) suy EAIC hình bình hành (4) ⇒ CI = EA (đpcm) Bài 5: Ta có: 1 x y A = (1+ x)(1+ ) + (1+ y)(1+ ) =1+ + x + +1+ + y + y x y y x x 1 x y 1 = (x + ) + (y + ) +( + )+ ( + )+2 2x 2y y x x y Theo bất đẳng thức Cauchy: ⇒ CI / / EA (3) Trên đường thành công, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! x+ 1 ≥ x = 2x 2x y+ 1 ≥ y = 2y 2y x y x y + ≥ =2 y x y x 1 ( + )≥ x y 1 = ≥ xy x y 2 = x + y2 A ≥ +3 Do đó: x = y= 2 A = + x = y = 2 Dấu đẳng thức xảy Vậy ĐỀ 27: Câu 1: −11 1,a y = x =   y = −1 2, Câu 2: b, Phương trình có hai nghiệm x1=6; x2=-3 Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! ( x + 1)2 x x > 0; x ≠ a, ĐKXĐ A= b, 12 Câu 3: a, phương trình cho có nghiệm: x1 = 1; x2 = b, m = - Câu 4: a.Ta có AM tia phân giác nên N ¼ = MC ¼ BM A ⇒ M điểm giữa cung BC (2) O ⊥ Ta có AE AM ( Tinh chất đường phân giác góc kề bù) D E · ⇒ MAN = 900 K M ⇒ MN đường kính (O) (2) Từ (1) (2) MN cắt BC trung điểm BC ∆ b AED vuông A có AK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AK=KE=KD Tac có Mà ⇒∆ ·AMN = ·ABN · ⇒ ·ABN = EAK · ⇒ EAK = ·AEK (cùng phụ với ·ANM ) (cùng chắn cung AN) · EAK = ·AEK · · OAM = OMA Mà AKE cân ·AEK = ·AMN c Ta có C B (c/m trên) (tam giác OAM cân) mà ·AEK = ·AMN ⇒ OAM · · = EAK · · EAK + KAM = 900 · · + KAM = 900 ⇒ OAM Hay KA tiếp tuyến (O) Câu 5: a+b a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) = 2(a + b) 4a ( 3a + b ) + 4b ( 3b + a ) (1) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương ta được: 4a ( 3a + b ) ≤ 4a + (3a + b) 7a + b = 2 ( 2) Dấu “=” xảy a=b Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! 4b + (3b + a) 7b + a = 2 4b ( 3b + a ) ≤ ( 3) Dấu “=” xảy a=b 4a ( 3a + b ) + 4b ( 3b + a ) ≤ 4a + 4b ( ) Từ (2) (3) suy ra: Từ (1) (4) suy ra: a+b a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) ≥ 2(a + b) = 4a + 4b Dấu xảy a = b ĐỀ 28 = Bài 1: a, ĐKXĐ: a ≥ a ≠ Bài 2: a) x =   y = −7 Bài 3: a) a = 1; b) a = Bài 4: x1 = x2 = A a a −3 b, ≤ a < b) k = M C E a, Ta có góc ·ACB = 900 K (góc nội tiếp chắn nửa · KCB = 900 đường tròn) Hay Xét tứ giác BHKC, có: · KHB = 900 · KCB = 900 (vì MH ⊥ AB A H O I B ) (cm trên) · · + KHB = 1800 ⇒ KCB , mà hai góc hai góc đối diện Vậy tứ giác BHKC nội tiếp đường tròn b, Chứng minh ∆AHK ∆ACB (g-g) Suy AK.AC = AH.AB Áp dụng hệ thức lượng tam vng AMB ta có: AH.AB = AM2 Từ (1) (2) suy AK.AC = AM2 (1) (2) Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! c, Chứng minh ∆AEI Chứng minh ∆BEI ∆ABC (g-g) ⇒AE.AC = AI.AB (3) ∆BAM (g-g)⇒BE.BM=BI.AB (4) Từ (3) (4) suy : 2 AE.AC + BE.BM = AB.AI + BI.AB = AB(AI + BI) = AB = 4R d, CM tứ giác BCEI nội tiếp đường tròn CM tứ giác AMEI nội tiếp đường tròn Mà · · ⇒ EIC = EBC · · ⇒ EIM = EAM  1·  · · EAM = EBC  = MOC ÷   · · MIC = MOC Do , mà O I hai đỉnh kề tứ giác MOIC => Tứ giác MOIC nội tiếp => Đường tròn ngoại tiếp tam giác MIC qua hai điểm O C cố định Bài 5: Ta có a+b+c=2 nên 2a+bc=(a+b+c)a+bc = (a+b)(a+c) u=a+b Áp dụng bất đẳng thức Cosi với số dương v = a + c, ta có: a + b + a + c 2a + b + c 2a + bc = (a + b)(a + c) ≤ = 2 (1) 2b + a + c 2c + a + b 2b + ac ≤ 2c + ab ≤ 2 Tương tự (2); (3) Cộng bđt (1), (2), (3) ta được: 2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab ≤ + + 2 Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab ≤ 2(a + b + c ) = Dấu "=" xảy a = b = c = 3 Vậy Max Q = a = b = c = ĐỀ 29 Câu 1.a, ĐKXĐ : x≥0 ,x ≠ = Rút gọn : P x +2 b, P= Câu Giá quả dừa 20 nghìn, giá quả long nghìn Trên đường thành công, dấu chân kẻ lười biếng! Câu a) Với m = 2, x1 = −3 + x = −3 − , b) m = Câu a) Ta có : · BFC = 90o · BEC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BCEF nội tiếp ⇒ đpcm b)BCEF nội tiếp (chứng minh trên) Suy Do · · AFE = ACB (cùng bù với góc BFE) ∆AEF : ∆ABC Suy (g.g) EF AE = ⇒ EF.AB = BC.AE BC AB ⇒ EF.AB = BC.AF ⇒ EF = BC c) Ta có Mà BC khơng đổi (gt), đổi · ⇒ cos BAC Vậy ∆ ABC nhọn đpcm AE · = BC.cos BAC AB ⇒ A chạy cung lớn BC không đổi không đổi · EF = BC.cos BAC khơng đổi ⇒ đpcm x+y≥3 Câu Ta có : Với x, y > x+y+ Ta có : 1 1  4   + =  x + y +  x − + ÷ +  y − + ÷+  2x y  x  y   · ⇒ BAC không Trên đường thành công, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! = 2  1     x + y +  x −  + y − + ≥ + = ( )  ÷ ÷ 2 x   y÷      Đẳng thức xảy  x − =0  x x =  ⇔ ⇔ y =  y − =0  y ĐỀ 30 A=− Câu I: 1, B=− 2, x +2 x +3 3, x=1 d1 ⊥ d ⇔ m ( m − ) = −1 ⇔ m = Câu II: 1, 2, HS tự vẽ đồ thị 3, cm2 Câu III: 15 km/h Câu IV: E K M D H A O B C 1, Chứng minh AE2 = EK EB + Chỉ tam giác AEB vuông A + Chi góc AKB = 900 suy AK đường cao tam giác vuông AEB Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! + Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông AEB ta có AE2 = EK EB 2, Chứng minh điểm B, O, H, K thuộc đường tròn + Chỉ tứ giác AHKE nội tiếp suy góc EHK = góc EAK + Chỉ góc EAK = góc EBA + Suy tứ giác BOHK nội tiếp suy điểm B, O, H, K thuộc đường tròn 3, Ta có AEO=30o => OE=2R; AE=; Tam giác AED đều=> AD= SAODE= 4) + Chỉ tam giác OEM cân M suy ME = MO + Chỉ OM // AE, áp dụng định lý ta – lét tam giác CEA ta có + Ta có CE AE CE − CM AE − OM EM AE AE EM = ⇒ = ⇒ = −1 ⇒ − =1 CM OM CM OM CM OM OM CM Mà ME = MO nên suy AE EM − =1 EM CM (đpcm) Câu V : Chứng minh: Thật vậy: 49 + ≥ a b 3a + 4b 49 + ≥ ⇔ ( 3b + 4a ) ( 3a + 4b ) ≥ 49ab ⇔ 12 ( a − b ) ≥ a b 3a + 4b 3a + 4b ≤ ( 3a + 4b2 ) Mặt khác, ta lại chứng minh được: 49 49 49 + ≥ ≥ ≥ = a b 3a + 4b 7.7c c ( 3a + 4b ) Do đó, CE AE = CM OM Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! Dấu xảy a = b = c ... Tháng đầu, hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai, cải tiến kỹ thuật nên Trên đường thành cơng, khơng có dấu chân kẻ lười biếng! tổ I vượt mức 10% vả tổ II vượt mức 12% so với tháng... phương trình ln có nghiệm với số thực m b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác có độ dài cạnh huyền Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính... + b2 + c ĐỀ (HÀ NỘI 2016-2017) Bài I (2,0 điểm) Cho biểu thức A= B= với 1) Tính giá trị biểu thức 2) Chứng minh B= 3) Tìm để biểu thức có giá trị số nguyên Bài II ( 2,0 điểm) Giải toán cách lập