Một số vấn đề toán học trong lý thuyết mật mã ( Luận văn thạc sĩ)

Một số vấn đề toán học trong lý thuyết mật mã ( Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề toán học trong lý thuyết mật mã ( Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề toán học trong lý thuyết mật mã ( Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề toán học trong lý thuyết mật mã ( Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề toán học trong lý thuyết mật mã ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ NGA MỘT SỐ VẤN ĐỀ TOÁN HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ NGA Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2014 Mục lục Lời nói đầu KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 Kiến thức sở 1.1.1 Định lý Euler 1.1.2 Thuật toán Euclide 1.1.3 Đa thức nội suy Lagrange Tổng quan mật mã - Hệ mã công khai RSA 1.2.1 Tổng quan mật mã 1.2.2 Hệ mã mũ Pohlig Hellman 11 1.2.3 Hệ mã công khai RSA 13 CHỮ KÍ SỐ - CHỮ KÍ NGƯỠNG 17 2.1 Hàm băm mật mã 18 2.2 Chữ kí số 19 2.3 Chữ kí ngưỡng 25 2.3.1 25 Q trình kí văn LỜI NĨI ĐẦU Hiện nay, mạng máy tính ngày thể rõ vai trò thiết yếu lĩnh vực xã hội Nó trở thành phương tiện điều hành hệ thống, nhu cầu bảo mật thông tin đặt lên hàng đầu Nét bật phát triển công nghệ bảo mật thông tin ngày thâm nhập ngày sâu phương pháp Toán học vào lĩnh vực (đặc biệt phương pháp Số học Hình hoc Đại số) Với tăng truởng nhanh tốc độ vi xử lí, phương pháp mã hoá truyền thống (kể nhiều máy mã tiếng Đại chiến Thế giới) chống cự khả phá khố siêu máy tính ngày Vì người ta buộc phải tìm phương pháp mới, dựa kết nghiên cứu sâu sắc Toán học Một điều trở thành phổ biến chuyên gia hàng đầu giới mã hóa nhà tốn học đào tạo tốn học cách Chính Tốn học làm cho cơng nghệ mã có bước nhảy vọt đáp ứng cách suất xắc yêu cầu thực tiễn Mục đích luận văn nhằm trình bày sở việc ứng dụng số học lý thuyết mật mã đặc biệt chữ kí số - chữ kí ngưỡng Luận văn gồm chương: Chương I : Kiến thức sở.Chương nhằm giới thiệu chung lý thuyết mật mã, nhắc lại số khái niệm sở, số cơng cụ tốn học sử dụng tong lý thuyết mật mã liên quan đến luận văn, giới thiệu tổng quan mật mã hệ mã công khai RSA Chương II: Chữ kí số - Chữ kí ngưỡng Chương trình trình bày hàm băm mã, chữ kí số chữ kí ngưỡng Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Giáo sư - Tiến sĩ khoa học Hà Huy Khoái Qua cho tơi bày tỏ lònh kính trọng biết ơn chân thành thầy hướng dẫn, người tận tình bảo, quan tâm động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy cô, cán khoa Tốn cán phòng quản lí Khoa học - Trường Đại học Khoa học Thái Ngun hết lòng giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Cuối tơi xin cảm ơn anh,các chị,các bạn lớp cao học toán K6b trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên động viên tinh thần ,chia sẻ khó khăn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2013 Người viết Ngô Thị Nga Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Kiến thức sở Định lý Euler Định nghĩa l.1 Cho n số tự nhiên, số lượng số tự nhiên bé n nguyên tố với n gọi phi hàm Euler n Kí hiệu: ϕ (n) Ví dụ 1.1.ϕ(5) = 4; ϕ(6) = 2; ϕ (7) = Lưu ý: Nếu p số nguyên tố ϕ(p) = p − Định nghĩa 1.2 Một hệ thặng dư đầy đủ modulo n tập hợp số nguyên cho số nguyên tùy ý đồng dư modnlo n với số tập hợp Định nghĩa 1.3 Một hệ thặng dư thu gọn modulo n tập gồm ϕ(n) số nguyên cho phần tử tập hợp nguyên tố với n, khơng có hai phần tử khác đồng dư với theo modulo n Ví dụ 1.2 Tập hơp 1, 3, 5, hệ thặng dư thu gọn modulo Định lý 1.1 Giả sử r1 ; r2 ; rϕ(n) hệ thặng dư thu gọn modulo n, a số nguyên dương (a,n)= Khi đó, tập hợp ar1 , ar2 , arϕ(n) hệ thặng dư thu gọn modulo n Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ rằng, số arj nguyên tố với n Giả sử ngược lại (arj ; n) > với j Khi đó, tồn ước nguyên tố p (arj ;n) Do p ước số a p ước rj ; tức p ước số a p ước n; p ước rj p ước số n Tuy nhiên, khơng thể có p ước số rj p ước số n, rj n nguyên tố Tương tự, khơng thể có p ước số a p ước số n Vậy arj n nguyên tố với j=1,2, ,ϕ(n) Còn phải chứng tỏ khơng có hai số arj ; ark đồng dư modulo n Giả sử arj ≡ ark modn, j = k ≤ j ≤ ϕ(n); j = k; ≤ k ≤ ϕ(n) Vì (a,n) = nên ta suy rj ≡ rk mod n Điều mâu thuẫn rj ; rk hệ thặng dư thu gọn ban đầu modulo n Mệnh đề 1.1 Nếu m, n hai số tự nhiên ngun tố ta có ϕ(m.n) = ϕ(m).ϕ(n) Chứng minh Ta viết tất số nguyên dương không vượt m.n thành bảng sau: m+1 m+ m 2m + (n - 1) m + 2m + 2m 3m (n - l) m + nm Bây giờ, ta giả sử r số nguyên không vượt m (m,r)=d với d>l Khi đó, khơng có số dòng r nguyên tố với m.n, phần tử có dạng k.m+r với ≤ k ≤ n − Ta thấy d ước số k.m+r d ước số m r Vậy để tìm số hạng nguyên tố với m.n ta xét dòng thứ r với m r ngun tố Trên dòng r ta có số: r; m+r; 2m+r; ;(n-1)m+r Vì m r nguyên tố nên dòng r số nguyên tố với n Như vậy, n số nguyên dòng r lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo n Do đó, có ϕ(n) số hạng dòng ngun tố với n Do số nguyên tố với m nên chúng nguyên tố với m.n Vì có ϕ(m) dòng, dòng có chứa ϕ(n) số nguyên tố với m.n nên suy ta ϕ(m.n) = ϕ(m).ϕ(n) Hệ Giả sử n = p1 α1 pk αk phân tích n thành thừa số nguyên tố Khi ta có: ϕ (n) = n − VD 1.3 ϕ (8) = ϕ 23 = 23 − p1 1− p2 − pk = 22 Định lý 1.2 (Định lý Euler): Giả sử m số nguyên dương với (a,m)=l Khi đó, aϕ(m) ≡ 1modm Chứng minh Giả sử r1 ; r2 ; ;rϕ(m) hệ thặng dư thu gọn gồm số nguỵên dương không vượt qua m nguyên tố với m Theo định lí (a,m) = 1, tập hợp ar1 ; ar2 , ,arϕ(m) hệ thặng dư thu gọn modulo m Như vậy, thặng dư bé ar1 ; ar2 ; ; arϕ(m) phải số nguyên r1 ; r2 ; ; rϕ(m) xếp theo thứ tự Dễ thấy : ar1 ar2 arϕ(m) ≡ r1 , r2 , ,rϕ(m) (mod m) Do ta có: aϕ(m) r1 r2 rϕ(m) ≡ r1 r2 rϕ(m) modm Vì (r1 r2 rϕ(m) , m) = nên ta có: aϕ(m) ≡ 1modm Hệ 1.1 Nếu (c, m) = a ≡ bmodϕ(m) ca = cb modm Chứng minh a ≡ bmodϕ(m) suy a = k.ϕ(m) + b với k số nguyên suy ca = ck.ϕ(m)+b = ck.ϕ(m) cb Theo định lý Euler cϕ(m) ≡ 1modm từ suy ca ≡ cb modm Hệ 1.2 Nếu d số nguyên thỏa ed ≡ 1modϕ(m) (c,m)= l ced ≡ cmodm Chứng minh: Thật vậy, ed ≡ 1modϕ(m) suy ed = + k.ϕ(m) với k số nguyên Vì (c,m)= l nên cϕ(m) ≡ 1modm Như vậy, ced ≡ c1+k.ϕ(m) ≡ cmodm 1.1.2 Thuật toán Euclide Giả sử r0 = a; r1 = b số nguyên không âm b = Ta áp dụng liên tiếp thuật toán chia rj = rj+1 qj+1 + rj+2 với < rj +2 < rj+1 ; j= 0,l,2, ,n - rn = (a,b)=rn−1 Ta chứng minh rn−1 nói ước số chung lớn Thật vậy, giả sử: a = b.q + r ta chứng minh (a,b)=(b,r) Giả sử m ước chung a b m ước r Ngược lại m’ ước b r m’ ước a Như ước chung a b trùng ước chung b r, nên (a,b)=(b,r) Từ thuật toán giả sử r0 = a; r1 = b số nguyên dương a>b Bằng cách áp dụng liên tục thuật toán chia, ta được: r0 = r1 q1 + r2 ; ≤ r2 < r1 r1 = r2 q2 + r3 ; ≤ r3 < r2 rn−2 = rn−1 qn−1 + rn ; ≤ rn < rn−1 rn−1 = rn qn Ta thấy đến phép chia với phần dư thực sau hữu hạn bước Vì a = r0 > r1 > ≥ Ngược lại, (a,b)=d từ kết ta tìm cặp số nguyên x,y cho ax+by=d Nếu (a,b)=l ta tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn ax+by=l VD1.4 Tính ước chung lớn d = (18; 84) thuật toán Euclid Ta có d = (18; 84) = (12; 18) = (6; 12) = (6; 6) = 1.1.3 Đa thức nội suy Lagrange Bài toán: Cho f(x) g(x) hai đa thức có bậc khơng q n Chứng minh hai đa thức trùng n+1 điểm hai đa thức trùng Chứng minh: Thật vậy, giả sử f(x) g(x) hai đa thức có bậc khơng q n trùng n+1 điểm (xi ; yi ); i = 1,2 ,n+1 Vì f(x) g(x) hai đa thức có bậc khơng q n nên suy phương trình f(x) - g(x) = phương trình có bậc khơng q n Nên số nghiệm phương trình khơng vượt q n Theo giả thiết, f(x) g(x) trùng n+1 điểm (xi ; yi ); i= 1,2, n + nên suy phương trình f(x) - g(x) = có n+1 nghiệm xi , i = 1, 2, n + Vậy ta có phương trình f(x) - g(x) = phương trình có bậc khơng vượt n lại có đến n+1 nghiệm Điều xảy phương trình f(x) - g(x) = có hệ số khơng Điều dẫn đến f(x) - g(x) ≡ hay f(x)≡g(x) Đa thức nội suy Lagrange: Cho n+1 điểm (xi ; yi ) Từ n+1 điểm ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange f(x) n+1 n+1 = yi i=1 j=1,i=j x−xj xi −xj Ta thấy đa thức xây dựng thỏa mãn f (xi ) = yi ;i= 1,2, ,n + Nhận xét: Từ toán Đa thức nội suy Lagrange ta có kết luận sau: Cho đa thức bậc k: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + ak xk (ak = 0) Ta lấy k+1 điểm (xi ; f (xi )); i = 1,2, , k + Từ k+1 điểm ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange F(x) Khi đó, ta thấy F (x) ≡ f (x) Thậm chí ta tăng số điểm lên nhiều k+1 điểm (k+2 điểm trở lên) kết cho ta không thay đổi tức F (x) ≡ f (x) 1.2 1.2.1 Tổng quan mật mã - Hệ mã công khai RSA Tổng quan mật mã Ta hiểu nơm na, mật mã học cách ngụy trang văn đối tác có quan hệ trao đổi thơng tin mật với có họ hiểu đọc nội dung văn bản, mà người khác dù có vơ tình hay cố ý có khơng thể đọc nội dung xác văn Mầm mống mật mã học có từ thời Hy ... học lý thuyết mật mã đặc biệt chữ kí số - chữ kí ngưỡng Luận văn gồm chương: Chương I : Kiến thức sở.Chương nhằm giới thiệu chung lý thuyết mật mã, nhắc lại số khái niệm sở, số cơng cụ tốn học. .. lý thuyết mật mã liên quan đến luận văn, giới thiệu tổng quan mật mã hệ mã cơng khai RSA Chương II: Chữ kí số - Chữ kí ngưỡng Chương trình trình bày hàm băm mã, chữ kí số chữ kí ngưỡng Luận văn. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ NGA Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH: HÀ HUY