Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học ( Luận văn thạc sĩ)

Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học ( Luận văn thạc sĩ)Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học ( Luận văn thạc sĩ)Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học ( Luận văn thạc sĩ)Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học ( Luận văn thạc sĩ)Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học ( Luận văn thạc sĩ)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2014

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014

Tác giả luận văn

Nguyễn Mạnh Hùng

Xác nhận

của trưởng khoa chuyên môn

Xác nhận của Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Cao Thị Hà

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Phương pháp giảng dạy môn Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trường Đại học

Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn

Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014

Tác giả luận văn

Nguyễn Mạnh Hùng

iii MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các từ viết tắt iv

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Chứng minh Toán học 5

1.1.1 Khái niệm 5

1.1.2 Cấu trúc của một phép chứng minh 6

1.1.3 Các phép chứng minh toán học 7

1.1.4 Các bước giải một bài toán hình học 15

1.2 Vai trò của chứng minh hình học trong việc phát triển năng lực tư duy của học sinh 26

1.2.1 Khái niệm tư duy 26

1.2.2 Những điều kiện ảnh hưởng đến năng lực tư duy 27

1.2.3 Rèn luyện các thao tác của tư duy cho HS trong DH hình học 28

1.2.4 Bồi dưỡng năng lực phán đoán cho HS trong học tập môn Toán: 38

1.2.5 Bồi dưỡng năng lực quan sát toán học cho HS trong DH Hình học ở trường phổ thông 42

1.3 Thực trạng việc dạy và học hình học ở trường phổ thông 44

1.4 Kết luận chương 1 46

CHƯƠNG II MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC 47

2.1 Cơ sở xây dựng biện pháp : 47

iv 2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực chứng minh cho HS trong DH Hình học 47

2.2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho HS nắm được cấu trúc của một phép chứng minh một cách tàng ẩn 47

2.2.2 Biện pháp 2 : Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh 54

2.2.3 Biện pháp 3 : Chú trọng phân bậc hoạt động chứng minh hình học 62

2.3 Kết luận chương 2 70

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 71

3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 71

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 71

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 71

3.2 Nội dung thực nghiệm 71

3.3 Tổ chức thực nghiệm: 71

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 71

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 72

3.3.3 Nội dung các đề kiểm tra 94

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm 96

3.4.1 Phân tích định tính 96

3.4.2 Phân tích định lượng 97

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm 99

KẾT LUẬN 101

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 103

iv

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

DH Toán đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Những nghiên cứu về các biểu hiện của năng lực tư duy của HS cho thấy, năng lực chứng minh toán học của HS là một trong các năng lực tư duy quan trọng của HS Trong khi thực hiện hoạt động chứng minh toán học người học không chỉ được phát triển kĩ năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa mà họ còn được rèn luyện một cách thường xuyên năng lực tư duy lôgic Thông qua hoạt động chứng minh toán học còn hình thành cho người học khả năng nhìn nhận vấn đề một cách sâu sắc với những dẫn chứng xác thực chứ không nhìn nhận vấn đề một cách phiến diện, hời hợt và thiếu căn cứ

Hình học là một ngành của toán học, nó nghiên cứu hình dạng, kích thước và vị trí của các hình trong không gian Bộ môn hình học ở trường phổ thông có hai đặc trưng cơ bản : thứ nhất nó có tính lôgíc chặt chẽ kết hợp với biểu tượng trực quan sinh động, thứ hai là mối liên hệ giữa hình học thuần túy với hình học thực tế, trong đó hình học thuần túy lấy hình học thực tế làm điểm xuất phát để trừu tượng hóa đồng thời kiểm nghiệm tính đúng đắn của

nó Đó là con đường lôgíc đến thực tiễn

Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, nội dung hình học chiếm một phần rất quan trọng Việc DH hình học ở trường THPT không chỉ cung cấp cho người học những kiến thức về các đối tượng hình học và các mối quan hệ giữa chúng mà nó còn là những cơ hội để rèn luyện năng lực tư duy, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và khả năng vận dụng các kiến thức hình học vào thực tiễn cuộc sống cho

HS Muốn vậy, việc dạy học hình học ở trường phổ thông phải thể hiện được hai đặc trưng trên

2

Trong DH hình học thì các bài tập hình học ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng vào thực tiễn Việc giải các bài tập hình học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích của dạy học toán ở trường phổ thông, được thể hiện thông qua các chức năng của bài tập toán học là : chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra Đặc biệt, các bài toán chứng minh trong hình học có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic cho học sinh, nó vừa giúp học sinh nắm vững kiến thức vừa giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh… Hơn nữa, việc chứng minh bài tập hình học còn là một phương tiện quan trọng trog việc phát triển năng lực tư duy logic cho HS

Tuy vậy, thực tiễn DH hình học ở trường phổ thông cho thấy năng lực chứng minh các bài tập hình học của học sinh còn nhiều bất cập Nhiều học sinh không hiểu được các lời chứng minh, không nắm được các phương pháp chứng minh hình học cũng như không nhận ra được các quy tắc logic được sử dụng trong các chứng minh Trong khi đó những nghiên cứu về việc phát triển năng lực chứng minh hình học cho HS trường THPT cũng chưa được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Từ những thực trạng trên và từ vai trò của bài tập hình học trong việc phát triển năng lực tư duy cho HS Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đề xuất một số biện pháp sư phạm trong việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học hình học ở trường phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lí luận về chứng minh toán học và phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh trường THPT

3

 Tìm hiểu thực trạng dạy học hình học ở trường THPT theo hướng phát triển

năng lực chứng minh cho học sinh

 Đề xuất một số BPSP nhằm phát triển năng lực chứng minh toán học cho

HS trường THPT thông qua dạy học hình học

 Tổ chức dạy thực nghiệm để minh chứng cho tính hiệu quả và tính khả thi của các BPSP đã đề xuất

4 Khách thể và đối tượng nhiên cứu

 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học Hình học ở trường phổ

thông

 Đối tượng nghiên cứu: Năng lực chứng minh toán học của HS trong

dạy học Hình học ở trường phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, liên quan đến dạy học chứng minh định lí toán học

+ Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách giáo viên và các tài liệu có liên quan đến vấn đề này

 Phương pháp điều tra: Nhằm tìm hiểu thực trạng về khả năng chứng minh toán học của học sinh

 Phương pháp quan sát: Nhằm tìm hiểu thực trạng việc tổ chức dạy học chứng minh hình học cho học sinh trường THPT

 Phương pháp thực nghiệm :Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết ở Trung học Phổ thông Thu thập kết quả khảo sát bài kiểm tra của học sinh sau mỗi tiết dạy thực nghiệm, thống kê kết quả đạt được, phân tích để bước đầu đánh giá hiệu quả của các BPSP nhằm phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh

4

6 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số BPSP có tính khả thi trong việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh qua dạy học hình học thì sẽ góp phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao được

hứng thú trong học tập môn hình học đối với học sinh phổ thông

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gòm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm phát triển năng lực chứng minh

hình cho học sinh thông qua dạy học hình học

Chương 3 Thử nghiệm sư phạm

lệ Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán

Một mệnh đề đã được chứng minh thường được gọi là định lý, một khi định

lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12] thì “Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1,A2, ,A n thỏa mãn các điều kiện sau :

+ Mỗi A i (i=1, 2, , )n của dãy đó là một tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc

suy ra từ một số trong các A1, A2, , Ai1 nhờ những quy tắc kết luận lôgic

+ An chính là mệnh đề T

Như vậy có thể hiểu : Chứng minh toán học là quá trình suy luận hợp lôgic xuất phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là các tiên đề, các định nghĩa, các định lí đã được chứng minh và các giả thiết của mệnh đề dang cần chứng minh) và nhờ các quy tắc kết luận lôgic để dẫn đến một kết luận

6

đúng Do vậy, cấu trúc của một phép chứng minh toán học bao gồm : Luận đề

- luận cứ - luận chứng

1.1.2 Cấu trúc của một phép chứng minh

Mọi phép chứng minh logic đều gồm có 3 bộ phận :

a) Luận đề : Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh cái gì?” Như vậy ta

có thể hiểu “luận đề” chính là kết luận của mệnh đề

b) Luận cứ: Là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết, giả thiết (của

mệnh đề cần chứng minh) được đưa ra làm tiền đề cho mỗi suy luận Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh dựa vào cái gì ?”

c) Luận chứng : Là những quy tắc suy luận lôgíc được sử dụng trong

chứng minh Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh bằng cách nào, theo những qui tắc suy luận nào?”

Ví dụ 1 : Chứng minh mệnh đề : “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi

qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)’’

Ta sẽ đi chứng minh mệnh đề này, muốn vậy ta chuyển mệnh đề trên sang ngôn ngữ toán học như sau: Cho hai đường thẳngd1// d2,nếu

7

Chứng minh : Nếu d không trùng với d1 hoặc d2 thì ba mặt phẳng (),()

và (d1,d2) phân biệt,khi đó theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có

2 1 2

2

1

1 2

(vì d1 // d2 nên ba đường thẳng đó không

đồng quy).Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Như vậy qua chứng minh mệnh đề trên ta thấy:

- Luận đề : d//d1//d2hoặc hd  d1oặc d  d2

- Luận cứ : + Các giả thiết của mệnh đề

+ Khái niệm hai đường thẳng song song, giao tuyến của hai mặt phẳng và các tính chất kèm theo

+ Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng : Giả sử ()và ()lần lượt

đi qua hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau, gọi d là giao tuyến của )

( và () khi đó áp dụng định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng (), () và (d1,d2) thì rõ ràng d//d1//d2 hoặc d d1 hoặc d d2 Đó chính là điều phải chứng minh

- Luận chứng : Trong phép chứng minh trên ta sử dụng quy tắc lôgic

A B A,

B

Þ

1.1.3 Các phép chứng minh toán học

Trong Toán học người ta có các phép chứng minh như sau:

a) Phép chứng minh diễn dịch : Phép chứng minh diễn dịch là phép

chứng minh mà dựa trên các tiền đề đã biết (được gọi là các luận cứ) và những quy tắc suy luận (được gọi là các luận chứng) để suy ra điều phải

8

chứng minh (được gọi là các luận đề) Trong phép chứng minh diễn dịch người ta chia thành hai loại : phép chứng minh trực tiếp và phép chứng minh gián tiếp (hay còn gọi là chứng minh phản chứng)

*) Phép chứng minh trực tiếp: Phép chứng minh trực tiếp là dựa

trên các luận cứ, những qui tắc suy luận để rút ra luận đề Cơ sở của chứng

minh trực tiếp là các quy tắc suy luận (Modus ponens)

Ta có thể hiểu phép chứng minh này như sau: Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A  B là đúng (A là giả thiết, B là kết luận), ta lập các mệnh đề mới

A1, A2, …, An gọi là các mệnh đề trung gian và chứng minh các mệnh đề sau đây đúng:

Kẻ đường chéo AC, chia hình bình

hành ABCD ra làm hai tam giác ABC và

ADC

(i) Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng tao thành một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau

AD // BC (theo giả thiết)

Vậy CAD  ACB (so le trong)

9

(ii) chứng minh tương tự, ta được: BAC ACD

(iii) Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau kề với hai góc bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác đó bằng nhau

Hai tam giác ABC và ADC có

cạnh AC chung

CADACB

và BAC ACD theo chứng minh trên

Vậy hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp g – c – g

(iv) Nếu hai tam giác bằng nhau thì đối diện với các cặp góc bằng nhau

là những cặp cạnh bằng nhau

Hai tam giác ABC và ADC bằng nhau, mặt khác hai cạnh AD và BC đối diện với hai góc bằng nhau BAC ACD, hai cạnh AB và CD đối diện với hai góc bằng nhau CAD  ACB

(1) Giáo viên cần nhấn mạnh sơ đồ (1) thông qua những ví dụ

cụ thể như trên để học sinh lĩnh hội quy tắc đó một cách ẩn tàng

Thông thường khi vận dụng quy tắc 1, nếu ABlà một định nghĩa hay định lí thì người ta thường trình bày vắn tắt không nhắc lại định nghĩa hay định lý đó Vì vậy, đoạn chứng minh trên có thể được viết ngắn gọn như sau:

Kẻ đường chéo AC chia hình bình hành ABCD thành hai tam giác ABC và ADC

AD // BC (giả thiết)

Nên CAD ACB (hai góc so le trong)

Chứng minh tương tự ta được:BACACD

Hai tam giác ABC và ADC có: AC cạnh chung; BAC ACD (chứng minh trên)

10

CADACB (chứng minh trên)

Vậy ABC CDA (g – c – g)

AB CD

Ví dụ 3: Chứng minh định lý sau:

Với mọi tam giác ABC ta có:

sin sin sin

Tức là: AH AC. .cosHACAH AB. .cosHAB  AC.cosHAC  AB.cosHAB

Vì cos HAC  sin Cvà cos HAB  sin B nên AC.sinCAB.sinB

hay b.sinCc.sinB

Vì sin ,sinC Bđều khác 0 nên

11

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O Chứng

minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và COD tiếp xúc ngoài

với nhau

Giải :

Phân tích:

Gọi M, N lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại

tiếp hai tam giác AOB và COD

Suy ra: MOD NOB, dẫn tới ba điểm M, O, N thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) Suy ra: MN = MO + ON, tức là đoạn nối tâm bằng tổng hai bán kính nên các đường tròn (M) và (N) tiếp xúc ngoài với nhau

Như vậy qua việc chứng minh trên ta đã nhấn mạnh và làm nổi bật cho học sinh quy tắc kết luận lôgíc rất thông dụng là A B A,

B

 Giáo viên cần quan tâm dùng những ví dụ cụ thể bác bỏ những sai lầm do học sinh thường ngộ nhận đó là:

phép chứng minh này thường được sử dụng để trình

bày phép chứng minh hầu hết các định lý trong sách

giáo khoa hoặc trình bày bài giải một bài toán nói chung và lời giải một bài toán chứng minh hình học nói riêng Tuy nhiên về phương diện sư phạm phép chứng minh này thường thiếu tự nhiên, vì học sinh không hiểu lí do vì sao (tìm

N

M

O

C B

O

B A

M

12

đâu ra, làm sao phải tìm) lại bắt đầu từ A Để khắc phục nhược điểm này đòi hỏi

trong quá trình chứng minh giáo viên phải thường xuyên sử dụng pháp phân tích đi lên để giúp người học tìm ra lời giải

+ Phép chứng minh gián tiếp:

Trong thực tế, để chứng minh mệnh đề ABlà đúng, nếu ta chứng minh trực tiếp thì việc chứng minh có thể rất khó khăn Do vậy để chứng minh

AB là đúng ta có thể chứng minh mệnh đề BA là đúng và do vậy theo lí thuyết mệnh đề thì ta có ngay AB là đúng Tức là: Giả sử, ta cần chứng minh mệnh đề AB là đúng, với A là giả thiết Để chứng minh mệnh đề này

là mệnh đề đã cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng Muốn vậy ta giả thiết

phản chứng B là sai, tức là B là đúng ta suy ra điều này mâu thuẩn với giả

thiết A hoặc mâu thuẫn với mệnh đề đúng đã biết Điều đó chứng tỏ mệnh đề

BA là sai Vậy kết luận B đúng (theo luật mâu thuẫn) Cơ sở của phép

chứng minh này là ta sử dụng mệnh đề phủ định và sử dụng các phép suy

luận diễn dịch ở trên

Ví dụ 5: Chứng minh định lí đảo của định lí “góc tạo bởi tia tiếp tuyến và

dây cung” cụ thể là ta cần chứng minh: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng một nữa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một

tia tiếp tuyến của đường tròn

Bài này ta có thể chứng minh trực tiếp hoặc gián tiếp, tuy nhiên ta có thể trình bày cách chứng minh theo phương pháp chứng minh gián tiếp (chứng minh phản chứng) như sau:

Giả sử tia Ax không phải là tiếp tuyến của (O)

Gọi M là giao điểm thứ hai của Ax với (O) Theo giả thiết ta có:

Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến của (O)

Vẽ tia tiếp tuyến Ax’ với (O) nên  ' 1

2

BAx  sđAB

Ta có  1

2

BAx sđAB (gt) Vậy BAx BAx '

Suy ra: Ax trùng với tia Ax’ hay Ax là tiếp tuyến của (O)

b) Chứng minh quy nạp: Phép chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán

học, gọi tắc là chứng minh quy nạp cũng là một phương pháp chứng minh

thường gặp trong Toán học Nội dung của phương pháp này như sau:

Giả sử phải chứng minh mệnh đề P(n) nào đó đúng với mọi số tự nhiên n (P(n) là hàm mệnh đề với số tự nhiên), với na, trong đó a là số tự nhiên cho trước

Ta tiến hành theo các bước như sau:

Bước 1: chứng minh mệnh đề đúng với n = a

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (ka) nào đó Ta chứng minh mệnh

Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n  a

Cơ sở lí luận của phương pháp này là:

Theo bước 1: mệnh đề P(n) đúng với n = a

Theo bước 2: ta có P(a) đúng P(a+1) đúng

P(a+1) đúng P(a+2) đúng

… Phép suy luận không thể dừng lại, nên P(n) đúng n  a

Ví dụ 6: Ta xét bài toán sau:

Cho hai đường thẳng song song Trên mỗi đường thẳng lấy n điểm và

kẻ những đoạn thẳng nối các điểm không cùng trên một đường thẳng Số đoạn

Luận án đầy đủ ở file: Luận án Full