SKKN: Quan hệ giữa Parabol và đường thẳng

I/ Đặt vấn đề Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng rất phổ biến trong chơng trình Đại số 9 và thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi cuối cấp đặc biệt là trong các đề thi

Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam

§éc lËp – Tù do – H¹nh phóc

===***===

Hä vµ tªn gi¸o viªn: §Æng Ngäc D¬ng

Tæ: Khoa häc Tù nhiªn

§¬n vÞ: Trêng THCS Giao Hµ

N¨m häc:2007 - 2008

I/ Đặt vấn đề

Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng rất phổ biến trong chơng trình Đại số 9 và thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi cuối cấp đặc biệt là trong các đề thi tuyển sinh vào các trờng THPT Bởi sự đa dạng và thú vị, sự tổng hợp của các kiến thức trong cả chơng

trình đại số lớp 9 liên quan tới nó, từ các kiến thức và kĩ năng tính toán

đến việc lập luận chặt chẽ về mối quan hệ giữa hàm số và đồ thị cho tới

sự vận dụng linh hoạt các kiến thức của hệ thức Vi-ét hay sự lồng ghép vào việc vận dụng các phơng pháp giải phơng trình, hệ phơng trình v.v…

Chính vì những ứng dụng thực tế trên về quan hệ giữa Parabol và

đờng thẳng, trong quá trình dạy học tôi đã đúc rút đợc một vài dạng

toán cơ bản và điển hình về mối quan hệ này Sau đây xin giới thiệu cùng các đồng nghiệp để chúng ta cùng tham khảo và trao đổi

II/ Giải quyết vấn đề

Trớc hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ bản th-ờng xuyên sử dụng sau:

Cho Parabol y=a'x2 (P) và đờng thẳng y = ax + b (d)

Khi đó:

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x2 (P) và đờng thẳng y=ax + b (d) là nghiệm của phơng trình:

a'x2 = ax + b

<=> a'x2 – ax – b = 0 (*)

- Parabol (P) và đờng thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*) vô nghiệm.

- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp xúc nhau) khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm kép và hoành

độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phơng trình đó

- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của mối quan hệ này:

 Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.

Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d) y = x + 6

Giải

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (d)

y = x + 6 là nghiệm của phơng trình:

x2 = x + 6

⇔ x2 –x – 6 = 0

∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4.1.( –6) = 1 + 24

= 25

D = 5

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1

b

x

a

2

1 5

2

b

x

a

-Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và – 2

Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x 2 với đờng thẳng (d) y = – 5x + 4

Giải

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đờng thẳng (d)

y = –5x + 4 là nghiệm của phơng trình:

–x2 = –5x + 4

⇔ x2 –5x + 4 = 0 Vì a + b + c = 1 + (–5) + 4 = 0 nên x1 = 1; x2 = 4

Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4

 Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.

Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) =1 2

2

y x và đờng thẳng (d): y = 3x – 4

Giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) =1 2

2

y x và đờng thẳng (d):

y = 3x – 4 là nghiệm của phơng trình:

2 2

1

3 4 2

6 8 0

x x

=

∆' = b'2 – ac = (–3)2 – 1.8 = 9 – 8 = 1 '

D = 1

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1

4 1

b x

a

2

' ' 3 1

2 1

b

x

a

Thay x1 = 4 vào ta đợc y1 = 8

Thay x2 = 2 vào ta đợc y2 = 2

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2)

Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) =1 2

3

y x và đờng thẳng (a): y = 2x – 3

Giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) =1 2

3

y x và đờng thẳng (a):

y = 2x – 3 là nghiệm của phơng trình:

2 2

1

3

x x

∆' = b'2 – ac = (–3)2 – 1.9 = 9 – 9 = 0 Phơng trình có nghiệm kép:

1 2

3 1

b

x x

a

Thay x = 3 vào ta đợc y = 3

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)

 Dạng 3: Chứng minh về vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng

thẳng.

Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y= - 4x2 luôn tiếp xúc với đờng thẳng (d): y = 4mx + m 2 khi m thay đổi.

Giải

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –4x2 với đờng thẳng (d) y = 4mx + m2 là nghiệm của phơng trình:

–4x2 = 4mx + m2

⇔ 4x2 + 4mx + m2 = 0

∆ = b2 – 4ac = (4m)2 – 4.4.m2 = 16m2 – 16m2 = 0 ∀ m

Phơng trình có nghiệm kép Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đ-ờng thẳng (d) y = 4mx + m2 khi m thay đổi

Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y=x2 luôn có điểm chung với

đờng thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.

Giải

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (d)

y = 2(m – 1)x – 2m + 3 là nghiệm của phơng trình:

x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3

⇔ x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0

∆' = b'2 – ac = [(m – 1)]2 – (2m – 3) = m2 – 2m +1 – 2m + 3 = m2 – 4m +4

= (m – 2)2≥ 0 ∀ m Phơng trình luôn có nghiệm Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm chung với đờng thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi

 Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt

phẳng toạ độ giữa Parabol và đờng thẳng.

Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y=3x2 cắt đờng thẳng (d): y = 5x – 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.

Giải

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 3x2 với đờng thẳng (d)

y = 5x – 2 là nghiệm của phơng trình:

3x2 = 5x – 2

⇔ 3x2 – 5x + 2 = 0

Ta có a + b + c= 3 + (–5) + 2 = 0

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1 1

x = ; 2 2

3

c x a

= =

Ta thấy hai nghiệm này cùng dơng Suy ra hoành độ giao điểm đều

d-ơng Do đó giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục tung

Ví dụ 8: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y= - x2 cắt đờng thẳng (d): y

= 2x – 2007 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.

Giải

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = -x2 với đờng thẳng (d)

y = 2x – 2007 là nghiệm của phơng trình:

–x2 = 2x – 2007

⇔ x2 + 2x – 2007 = 0 Vì có a.c = 1.( –2007) < 0 nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Do đó giao điểm thuộc hai phía đối với trục tung

 Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.

Ví dụ 9: Cho Parabol (P) y=x2 cắt đờng thẳng (D): y = 2(m +1)x –

m 2 – 9 Tìm m để:

a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) (D) tiếp xúc với (P).

c) (D) không cắt (P).

Giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (D)

y = 2(m +1)x – m2 – 9 là nghiệm của phơng trình:

x2 = 2(m +1)x – m2 – 9

⇔ x2 – 2(m +1)x + m2 +9= 0 (1)

∆' = b'2 – ac = [(m + 1)]2 – (m2 + 9)

= m2 + 2m +1 – m2 – 9 = 2m – 8

a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

<=> ∆' > 0

<=> 2m – 8 > 0

<=> 2m > 8

<=> m > 4 Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (1) có nghiệm kép

<=> ∆' = 0

<=> 2m – 8 = 0

<=> 2m = 8

<=> m = 4 Vậy với m = 4 thì (D) tiếp xúc với (P)

c) (D) không cắt (P) <=> Phơng trình (1) vô nghiệm

<=> ∆' < 0

<=> 2m – 8 < 0

<=> 2m < 8

<=> m < 4 Vậy với m < 4 thì (D) không cắt (P)

Ví dụ 10: Cho Parabol (P) y=x2 cắt đờng thẳng (D): y = 4x + 2m a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với (P).

b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và

B Tìm toạ độ giao điểm khi 3

2

m =

Giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (D)

y = 4x + 2m là nghiệm của phơng trình:

x2 = 4x + 2m

⇔ x2 – 4x – 2m = 0 (*)

∆' = b'2 – ac = (–2)2 – (–2m) = 4 + 2m

a) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (*) có nghiệm kép

<=> ∆' = 0

<=> 4 + 2m = 0

<=> m = –2 Vậy với m = –2 thì (D) tiếp xúc với (P)

b) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt

<=> ∆' > 0

<=> 4 + 2m > 0

<=> m > –2 Vậy với m > –2 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Khi m = 32 thì hoành độ giao điểm của A, B là nghiệm của phơng trình:

x2 – 4x – 3 =0

∆' = b'2 – ac = (–2)2 – 1(–3) = 4 + 3

= 7

D =

1

b x

a

- + D

2

b x

a

-Thay x1 =2 + 7 vào ta đợc y1 = 11 +4 7

Thay x1 =2 – 7 vào ta đợc y1 = 11 –4 7

Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) là:

A(2 + 7; 11 +4 7); B(2 – 7; 11 – 4 7)

 Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến giữa Parabol và đờng thẳng.

Ví dụ 11: Cho Parabol (P) = - 1 2

2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại điểm M có hoành độ – 2.

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) viết tiếp tuyến này song song với đờng thẳng 1 1

2

y= x

-c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1; 3

2) và tiếp xúc với (P).

Giải

Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b

a) Thay x = –2 vào phơng trình Parabol ta đợc y = – 2

Vậy M(–2; –2)

vì đờng thẳng đi qua M(–2; –2) nên ta có:

–2 = –2a + b => b = 2a – 2 (1) Mặt khác, đờng thẳng này là tiếp tuyến của (P) nên phơng trình:

2 2

1 2

x ax b

x ax b

⇔∆' = 0

⇔ a2 – 2b =0 (2) Thay (1) vào (2) ta đợc: a2 – 2(2a – 2) = 0

a2 – 4a +4 =0

⇔ (a – 2)2 = 0

⇔ a = 2 Với a = 2 thay vào (1) ta đợc b = 2.2 – 2 = 2

Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là:

y = 2x + 2 b)

Vì tiếp tuyên song song với 1 1

2

y= x- nên ta có a = 1

2

Có nghiệm kép

Có nghiệm kép

Suy ra phơng trình đờng thẳng có dạng 1

2

y= x b+ Vì đờng thẳng này tiếp xúc với (P) nên phơng trình:

- 1 2 =1 +

2x 2x b có nghiệm kép

⇔ x2 + x+ 2b = 0 (I) có nghiệm kép

∆ = b2 – 4ac = 12 – 4.1.2b = 1 – 8b

Để phơng trình (I) có nghiệm kép thì ∆ = 0

⇔ 1 – 8b = 0

⇔ b = 1

8

Vậy phơng trình tiếp tuyên cần tìm là: 1 1

y= x+

c)

Đờng thẳng (d) đi qua A(1; 3

2) nên ta có:

3

2= +a b=> b = 3

2 – a (3) Vì đờng thẳng tiếp xúc với Parabol nên phơng trình:

2 2

1 2

2 2 0( )

x ax b

x ax b II

Ta có: ∆' = a2 – 2b

Để phơng trình (II) có nghiệm kép thì a2 – 2b = 0 (4)

Thay (3) vào (4) ta đợc: a2 – 2(3

2–a) = 0

⇔ a2 + 2a – 3 = 0 Suy ra a = 1 và a = – 3

* Với a = 1 thay vào (3) ta đợc b = 1

2

* Với a = 3 thay vào (3) ta đợc b = 3

2

-Có nghiệm kép

Có nghiệm kép

Vậy qua A(1; 3

2) có hai tiếp tuyến với Parabol (P) là:

1 2

y= +x ; 3 3

2

y= x

- Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tơng giao thoả mãn điều

kiện cho trớc.

Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) y= - x2 và

đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx – 1

a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x 1 ; x 2 Chứng minh

1 2 2

x - x ³

Giải

a) Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đờng thẳng (d)

y = mx – 1 là nghiệm của phơng trình:

–x2 = mx – 1

⇔ x2 + mx – 1= 0 (*)

∆ = b2 – 4ac = m2 – 4.1.( –1) = m2 + 4 > 0 ∀ m Vì ∆ > 0 ∀ m, nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt

=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

b) Ta có x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (*) nên theo định lí Vi-ét có: x1.x2 = –1

=> 1 2 1

2

1

x x x

x

- = +

Vì x1 và

1

1

x cùng dấu nên:

Vậy x1- x2 ³ 2

Ví dụ 13: Cho Parabol (P) có phơng trình: =

2 2

x

y và đờng thẳng (D) có phơng trình: y = mx – m + 2

a) Tìm m để (P) và (D) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

c) Giảc sử (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) Chứng minh rằng: y 1 +y 2 ≥ (2 2–1)(x 1 +x 2 )

Giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) =

2 2

x

y với đờng thẳng (D) y =

mx – m + 2 là nghiệm của phơng trình:

2

2

2 2

2 2 4 0(**)

x

mx m

a) Để (D) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 thì x = 4 phải

là nghiệm của phơng trình (**)

Từ đó suy ra:

42 – 2m.4 +2m – 4 = 0

=> m = 2 Vậy với m = 2 thì đờng thẳng (D) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4

b)

(D) và (P) tại hai điểm phân biệt <=> phơng trình (**) có hai nghiệm phân biệt <=> ∆' > 0

<=> (–m)2 – (2m – 4) > 0 <=> m2 – 2m +4 > 0 <=> (m – 1)2 +3 > 0 luôn đúng ∀ m Vậy (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

c)

Ta có (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) nên x1

và x2 là nghiệm của phơng trình (**)

Theo định lí Vi-ét x1 + x2 = b 2m

a

Ta lại có: y1= mx1 – m + 2; y2 = mx2 – m + 2

Suy ra:

y1 + y2 = (mx1 – m + 2) + (mx2 – m + 2)

= m(x1 + x2) – 2m + 4

= 2m2 – 2m + 4

= [( 2m)2 – 4 2m + 4] + (2 2–1).2m

= ( 2m – 2)2 +(2 2 – 1).2m

= ( 2m – 2)2 +(2 2 – 1).(x1 + x2) (v× x1 + x2 = 2m)

III) Kết thúc vấn đề

Trên đây tôi đã giới thiệu cùng các đồng nghiệp về bảy dạng toán quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng trong chơng trình Đại số 9 mà tôi

đã nghiệm đợc trong quá trình giảng dạy Các bài toán về dạng này rất

phong phú và đa dạng Song do thời gian nghiên cứu cha nhiều, bài

viết có thể còn thiếu sót, tôi rất mong đợc sự trao đổi, góp ý của các

đồng nghiệp về vấn này để việc dạy Toán nói chung và toán 9 nói riêng

đạt đợc hiệu quả cao hơn, góp phần giúp các em học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, hứng thú… trong giải toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi cuối cấp và kì thi tuyển sinh vào các trờng THPT đạt hiệu quả cao

Xin trân trọng cảm ơn!

Giao Hà, ngày 20 tháng 03 năm 2008

Ngời viết

Đặng Ngọc Dơng