Quan hệ giữa parabol và đường thẳng

Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng nh quá trình bồi dỡng học sinh giỏi Toán 9 hay hớng dẫn học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT nói riêng, tôi nhận thấy việc giáo viên thờng xuyên ôn

A Đặt vấn đề Nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng THCS là nhiệm vụ số một và cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên Đặc biệt là vấn đề chất lợng giáo dục học sinh giỏi lớp 9 và chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Trong dạy học, muốn nâng cao chất lợng bộ môn và giờ dạy đạt kết quả tốt

đòi hỏi mỗi giáo viên không những phải nắm chắc kiến thức, nghiên cứu kĩ bài giảng mà còn phải biết sáng tạo, không ngừng đổi mới phơng pháp dạy học Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng nh quá trình bồi dỡng học sinh giỏi Toán 9 hay hớng dẫn học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT nói riêng, tôi nhận thấy việc giáo viên thờng xuyên ôn tập, hệ thống kiến thức, phân loại bài tập, hình thành phơng pháp và kĩ năng giải toán cho học sinh là rất cần thiết Nếu

nh giáo viên làm tốt, đa ra đợc những dạng toán điển hình thì học sinh sẽ đợc khắc sâu kiến thức, tiếp thu bài học tốt, rèn luyện kĩ năng tốt, do đó mà học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn Việc giải các bài toán nâng cao sẽ không còn là một trở ngại lớn đối với các em Hơn thế nữa, việc làm đó còn phát triển t duy, sáng tạo cho học sinh, không những học sinh làm tốt các bài toán ở dạng quen thuộc, đã đợc luyện tập nhiều mà trớc một bài toán lạ học sinh cũng sẽ không bị lúng túng, các em biết cách chuyển các bài toán lạ đó về những dạng quen thuộc, đã đợc rèn luyện nhiều để giải Nhờ đó mà chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi, chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT đợc nâng lên

Với suy nghĩ nêu trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, với mong muốn nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi Toán 9, nâng cao chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề “Quan hệ giữa parabol y =

ax2 và đờng thẳng y = mx + n” với nội dung hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng Mỗi dạng hình thành phơng pháp giải và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Nội dung chuyên đề thể hiện sự hoàn thiện thêm một bớc các dạng toán về hàm số sau chuyên đề “Hàm số bậc nhất”, cùng với hệ thống bài tập đợc sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh Một số bài tập đợc viết theo hớng mở, giáo viên có thể khai thác tuỳ theo đối tợng học sinh

g (P) và (d) không giao nhau ⇔ (∗) vô nghiệm.

g (P) và (d) tiếp xúc nhau ⇔ (∗) có nghiệm kép

g (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ (∗) có hai nghiệm phân biệt

II) Các dạng toán điển hình

Dạng 1

Vẽ parabol (P): y = ax2 (a 0 ≠ ) và đờng thẳng (d):

y = mx + n (m 0 ≠ ) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.

∗ Phơng pháp giải :

– Vẽ hệ trục toạ độ Oxy

– Xác định hai điểm phân biệt của (d) rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.– Xác định năm điểm phân biệt của (P) rồi vẽ parabol đi qua năm điểm ấy

Dạng 2

Tìm toạ độ các giao điểm của parabol (P): y = ax2 (

a 0 ≠ ) và đờng thẳng (d): y = mx + n (m 0 ≠ ).

∗ Phơng pháp giải :

– Viết phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)

– Giải phơng trình để tìm hoành độ các giao điểm

+ Nếu phơng trình vô nghiệm thì kết luận (P) và (d) không giao nhau

+ Nếu phơng trình có nghiệm: Thay giá trị tìm đợc của hoành độ các giao điểm vào công thức y = ax2 hoặc y = mx + n để tính tung độ các giao điểm

– Trả lời bài toán

 Ví dụ Cho hai hàm số y = x2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ

b) Tìm toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số đó

∗ Phơng pháp giải :

– Viết phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)

– Tìm giá trị của tham số để phơng trình vô nghiệm; có nghiệm kép hay có hai nghiệm phân biệt tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối của (P) và (d)

x O

y

-1

1 2 3 4 5

-1 A

B 6

– Trả lời bài toán

 Ví dụ Cho hai hàm số y = x2 và y = 2x + m

Tìm giá trị của m để đồ thị các hàm số này tiếp xúc nhau Tìm toạ độ tiếp

điểm ứng với giá trị tìm đợc của m

là (1; 1)

Dạng 4.

Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với parabol (P): y = ax2 (a 0 ≠ ).

∗ Phơng pháp giải :

– Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng y = kx + b (1)

– Do (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ax2 = kx + b có nghiệm kép Giải điều kiện này, tìm đợc b

– Thay giá trị tìm đợc của b vào (1) ta đợc phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm

 Ví dụ Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (∆):

y = 4x + 1 và tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2

⇔ ∆' = 0

– (d) đi qua A(xA; yA) ⇔ yA = mxA + n (1)

– Do (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ax2 = mx + n có nghiệm kép Giải điều kiện này tìm đợc một hệ thức liên

hệ giữa m và n (2)

– Kết hợp (1) và (2) để tìm m, n

– Thay giá trị tìm đợc của m, n vào (∗) và trả lời bài toán

 Ví dụ Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với

parabol (P): y = x2

Bài giải:

Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng: y = mx + n

(d) đi qua điểm A(2; 3) nên: 2m + n = 3 ⇔ n = 3 – 2m (1)

Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Tìm toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số đó

y

2

2 -2

4 6 8 10

a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi giao điểm của (P) và (d) là A và B có hoành độ lần lợt là xA, xB Xác

định giá trị của tham số m sao cho 2 2

x +x =10

Hớng dẫn giải:

a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

y

-1

1 2 3 4 5

3 -3

b) Xác định giá trị của tham số m sao cho 2 2

A B

x + x = 10 Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

(x +x ) −2x x =10 ⇔ (m – 2)2 + 2(m2 + 1) = 10

Cho parabol (P): y = x2 Trên (P) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1;

3 Hãy viết phơng trình đờng thẳng AB

Hớng dẫn giải:

Ta có: A(1; yA) ∈ (P): y = x2 ⇒ yA = 12 = 1 ⇒ A(1; 1)

B(3; yB) ∈ (P): y = x2 ⇒ yB = 32 = 9 ⇒ B(3; 9)

Phơng trình đờng thẳng AB: y = 4x – 3

 Chú ý Dạng toán viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A, B đã

đ-ợc trình bày trong Chuyên đề Hàm số bậc nhất.

Bài 5.

Cho parabol (P): y = 1 2

x

2 và đờng thẳng (d): y = px + q Xác định p, q để ờng thẳng (d) đi qua điểm A(– 1; 0) và tiếp xúc với parabol (P) Tìm toạ độ tiếp điểm

đ-Hớng dẫn giải:

(d) có phơng trình: y = 0, tiếp điểm O(0; 0)

hoặc: y = – 2x – 2, tiếp điểm M(– 2; 2)

Bài 6.

Cho parabol (P): y = x2

a) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là – 1 và 2 Viết

ph-ơng trình của đờng thẳng AB

b) Viết phơng trình của đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng AB và tiếp xúc với parabol (P)

3 2 1

1

-1

a) Vẽ parabol và đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của parabol và đờng thẳng đã cho c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol đó sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Hớng dẫn giải:

a) Vẽ parabol và đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của parabol và đờng thẳng đã cho.

Hoành độ giao điểm của parabol y = 1

2x

2 và đờng thẳng y = 1

2x + 3 là nghiệm của phơng trình:

2x

2 = 1

2x + 3 (1) Phơng trình (1) có hai nghiệm x = – 2 và x = 3

g Với x = – 2 thì y = 2

g Với x = 3 thì y = 41

2. Giao điểm của parabol với đờng thẳng là A(– 2; 2) và B 3; 41

y 6

5 4,5 4 3 2 1

-1

(d) A

B

C g

c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol y = 1

2 x

2 sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Ta cần tìm điểm C thuộc cung AB và cách xa AB nhất Ta xác định đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với parabol, tiếp điểm là điểm C cần tìm

Đờng thẳng (d) song song với AB có dạng y = 1

2x + n ( n 3≠ ) Điều kiện để (d) tiếp xúc với parabol là phơng trình sau có nghiệm kép:

1

2x

2 = 1

2x + n (2) ⇔ x2 – x – 2n = 0

Gi¶i ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh x2 = mx – mx0 1

-1

M 1 - 4

1

y 4

-=

(d1)

(d2)

Khi đó x2 – x1 = m2 +8,

x2 + x1 = m, y2 – y1 = 2 2

2 1

x −x = m m2 +8 Suy ra

2, điểm A(0; 1) và đờng thẳng (d) có phơng trình

y = – 1 Gọi M là một điểm bất kì thuộc parabol Chứng minh rằng MA bằng khoảng cách MH từ điểm M đến đờng thẳng (d)

B

2

⇔ x2 = 4ay ⇔ y = 1 2

x4a .

M(x; y) I

Do đó quỹ tích của M là parabol y = 1 2

x4a .

 Chú ý Tổng quát, cho một điểm A và đờng thẳng (d) không đi qua A, quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách MA bằng khoảng cách từ M đến (d)

là một parabol Khi đó điểm A gọi là tiêu điểm, đờng thẳng (d) gọi là đờng chuẩn của parabol.

b) Gọi I là giao điểm thứ hai của (P) và (d); K là trung điểm của OI Khi ờng thẳng (d) quay xung quanh gốc toạ độ O(0; 0) thì điểm K di chuyển trên đ-ờng nào?

Toạ độ điểm O(0; 0) thoả mãn hai công thức y = 1

2

− x2 và y = ax nên O(0; 0) là một trong các giao điểm của (P) và (d)

b) Khi đờng thẳng (d) quay xung quanh gốc toạ độ O(0; 0) thì điểm K di chuyển trên đờng nào?

Gọi toạ độ điểm I là (m; n) Điểm I thuộc parabol y = 1

K là trung điểm của OI nên x = m

Cho parabol (P): y = – x2 Đờng thẳng (d): y = m cắt (P) tại hai điểm A và

B Tìm giá trị của m để tam giác AOB là tam giác đều Tính diện tích của tam giác đều đó

y

I

K

y = m

m -3

Trích một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và đề thi

Bài 2 (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm học

2006 2007)–

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = x + 2 và parabol (P): y

= x2

a) Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) với (P)

b) Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với − 1 ≤ m ≤ 2) Chứng minh rằng:

SMAB

8

27

≤ (SMAB là diện tích của tam giác MAB)

Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Ngoại ngữ Trờng

ĐH Ngoại ngữ, ĐH Quốc gia Hà Nội năm học 2006 2007)–

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) có phơng trình y = x2

2

− Gọi

(d) là đờng thẳng đi qua điểm I(0; – 2) và có hệ số góc k

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi

b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I

Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm học

2007 2008)–

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = 2(m – 1)x – (m2 – 2m)

a) Tìm m để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ O

b) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 3

c) Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm có tung độ y1 và y2 thoả mãn:

y −y = 8

Bài 5 (Trích đề thi chọn Học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 9 THCS tỉnh Thái

Bình năm học 2007 2008)–

Cho parabol (P): y = – x2 và đờng thẳng (d): y = – 2x + m (m là tham số) Với giá trị nào của m thì (P) và (d) chỉ có một điểm chung? Khi đó (d) gọi là tiếp tuyến của (P), vẽ parabol (P) và đờng thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ

Tìm những giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

d-ơng

C Kết luận Khi áp dụng các bài tập vào quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất có hứng thú học tập Các em biết phát hiện kiến thức và tìm đợc mối liên hệ giữa chúng Do vậy bài tập không trở nên quá nặng nề đối với sức học của các em

Do đợc rèn kĩ năng giải từng dạng toán điển hình ngay từ đầu nên sau này khi gặp các bài toán về quan hệ giữa parabol y = ax2 và đờng thẳng

y = mx + n trong bài tổng hợp hay bài ôn tập, học sinh đều biết cách làm Giờ học thu hút học sinh, các em tạo đợc lòng tin vào khả năng của mình, nhiệt tình ham mê học và chất lợng bộ môn tiến bộ rõ rệt

Trong quá trình xây dựng chuyên đề khó tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong

đợc sự góp ý chân thành của các đồng chí lãnh đạo và các bạn đồng nghiệp

Thị trấn Hng Hà, ngày 7 tháng 5 năm 2008

Ngời viết:

Nguyeón Theỏ Thaứnh