Quan hệ giữa parabol và đường thẳng

Sáng kiến A. Đặt vấn đề Nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng THCS là nhiệm vụ số một và cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên. Đặc biệt là vấn đề chất lợng giáo dục học sinh giỏi lớp 9 và chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Trong dạy học, muốn nâng cao chất lợng bộ môn và giờ dạy đạt kết quả tốt đòi hỏi mỗi giáo viên không những phải nắm chắc kiến thức, nghiên cứu kĩ bài giảng mà còn phải biết sáng tạo, không ngừng đổi mới phơng pháp dạy học. Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng nh quá trình bồi dỡng học sinh giỏi Toán 9 hay hớng dẫn học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT nói riêng, tôi nhận thấy việc giáo viên thờng xuyên ôn tập, hệ thống kiến thức, phân loại bài tập, hình thành phơng pháp và kĩ năng giải toán cho học sinh là rất cần thiết. Nếu nh giáo viên làm tốt, đa ra đợc những dạng toán điển hình thì học sinh sẽ đợc khắc sâu kiến thức, tiếp thu bài học tốt, rèn luyện kĩ năng tốt, do đó mà học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn. Việc giải các bài toán nâng cao sẽ không còn là một trở ngại lớn đối với các em. Hơn thế nữa, việc làm đó còn phát triển t duy, sáng tạo cho học sinh, không những học sinh làm tốt các bài toán ở dạng quen thuộc, đã đợc luyện tập nhiều mà trớc một bài toán lạ học sinh cũng sẽ không bị lúng túng, các em biết cách chuyển các bài toán lạ đó về những dạng quen thuộc, đã đợc rèn luyện nhiều để giải. Nhờ đó mà chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi, chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT đợc nâng lên. Với suy nghĩ nêu trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, với mong muốn nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi Toán 9, nâng cao chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề Quan hệ giữa parabol y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n với nội dung hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng. Mỗi dạng hình thành phơng pháp giải và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. Nội dung chuyên đề thể hiện sự hoàn thiện thêm một bớc các dạng toán về hàm số sau chuyên đề Hàm số bậc nhất, cùng với hệ thống bài tập đợc sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh. Một số bài tập đợc viết theo hớng mở, giáo viên có thể khai thác tuỳ theo đối tợng học sinh. Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 1 Sáng kiến B. Nội dung Chuyeõn ủe: Quan hệ giữa parabol y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n I) Tóm tắt lí thuyết Hoành độ giao điểm của parabol (P): y = ax 2 ( a 0 ) và đờng thẳng (d): y = mx + n ( m 0 ) là nghiệm của phơng trình: ax 2 = mx + n ax 2 mx + n = 0 ( ) Phơng trình ( ) đợc gọi là phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). g (P) và (d) không giao nhau ( ) vô nghiệm. g (P) và (d) tiếp xúc nhau ( ) có nghiệm kép. g (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ( ) có hai nghiệm phân biệt. II) Các dạng toán điển hình Dạng 1. Vẽ parabol (P): y = ax 2 ( a 0 ) và đờng thẳng (d): y = mx + n ( m 0 ) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy. Phơng pháp giải: Vẽ hệ trục toạ độ Oxy. Xác định hai điểm phân biệt của (d) rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó. Xác định năm điểm phân biệt của (P) rồi vẽ parabol đi qua năm điểm ấy. Dạng 2. Tìm toạ độ các giao điểm của parabol (P): y = ax 2 ( a 0 ) và đờng thẳng (d): y = mx + n ( m 0 ). Phơng pháp giải: Viết phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Giải phơng trình để tìm hoành độ các giao điểm. Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 2 Sáng kiến + Nếu phơng trình vô nghiệm thì kết luận (P) và (d) không giao nhau. + Nếu phơng trình có nghiệm: Thay giá trị tìm đợc của hoành độ các giao điểm vào công thức y = ax 2 hoặc y = mx + n để tính tung độ các giao điểm. Trả lời bài toán. Ví dụ. Cho hai hàm số y = x 2 và y = x + 2. a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số đó. Bài giải: a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x 2 và y = x + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ. x 0 2 x 2 1 0 1 2 y = x + 2 2 0 y = x 2 4 1 0 1 4 b) Tìm toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số. Xét phơng trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 2 và y = x + 2: x 2 = x + 2 x 2 x 2 = 0 có: a b + c = 1 + 1 2 = 0 x 1 = 1 y 1 = 1, ta có A( 1; 1) x 2 = 2 y 2 = 4, ta có B(2; 4) Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 2 và y = x + 2 là A( 1; 1) và B(2; 4). Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để parabol (P): y = ax 2 ( a 0 ) và đờng thẳng (d): y = mx + n ( m 0 ) thoả mãn một trong các vị trí tơng đối. Phơng pháp giải: Viết phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Tìm giá trị của tham số để phơng trình vô nghiệm; có nghiệm kép hay có hai nghiệm phân biệt tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối của (P) và (d). Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 3 x O y -1-2 2 1 1 2 3 4 5 -1 A B 6 Sáng kiến Trả lời bài toán. Ví dụ. Cho hai hàm số y = x 2 và y = 2x + m. Tìm giá trị của m để đồ thị các hàm số này tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm ứng với giá trị tìm đợc của m. Bài giải: Xét phơng trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 2 và y = 2x + m: x 2 = 2x + m x 2 2x m = 0 ( ) = 1 + m Đồ thị các hàm số đã cho tiếp xúc với nhau Phơng trình ( ) có nghiệm kép = 0 1 + m = 0 m = 1. Khi đó phơng trình ( ) có nghiệm kép: x 1 = x 2 = 1 y = 1 Tiếp điểm (1; 1). Vậy với m = 1 thì đồ thị các hàm số đã cho tiếp xúc với nhau, tiếp điểm là (1; 1). Dạng 4. Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với parabol (P): y = ax 2 ( a 0 ). Phơng pháp giải: Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng y = kx + b (1) Do (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ax 2 = kx + b có nghiệm kép. Giải điều kiện này, tìm đợc b. Thay giá trị tìm đợc của b vào (1) ta đợc phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm. Ví dụ. Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng ( ): y = 4x + 1 và tiếp xúc với parabol (P): y = 2x 2 . Bài giải: Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng ( ): y = 4x + 1 nên phơng trình đ- ờng thẳng (d) có dạng: y = 4x + b ( b 1 ) Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x 2 = 4x + b 2x 2 4x b = 0 ( ) ' = 4 + 2b (d) và (P) tiếp xúc với nhau phơng trình ( ) có nghiệm kép. ' = 0 Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 4 Sáng kiến 4 + 2b = 0 b = 2 (TMĐK) Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có dạng: y = 4x 2. Dạng 5. Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(x A ; y A ) và tiếp xúc với parabol (P): y = ax 2 ( a 0 ). Phơng pháp giải: Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng: y = mx + n. ( ) (d) đi qua A(x A ; y A ) y A = mx A + n (1) Do (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ax 2 = mx + n có nghiệm kép. Giải điều kiện này tìm đợc một hệ thức liên hệ giữa m và n. (2) Kết hợp (1) và (2) để tìm m, n. Thay giá trị tìm đợc của m, n vào ( ) và trả lời bài toán. Ví dụ. Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với parabol (P): y = x 2 . Bài giải: Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng: y = mx + n (d) đi qua điểm A(2; 3) nên: 2m + n = 3 n = 3 2m (1) Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x 2 = mx + n x 2 mx n = 0 = m 2 + 4n Do (d) và (P) tiếp xúc nhau = 0 m 2 + 4n = 0 (2) Thế (1) vào (2) ta có: m 2 + 4(3 2m) = 0 m 2 8m + 12 = 0 ' = 16 12 = 4 ' = 2 m 1 = 4 2 = 2 m 2 = 4 + 2 = 6 Với m = 2, thay vào (1) n = 1. Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có dạng: y = 2x 1. Với m = 6, thay vào (1) n = 9. Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có dạng: y = 6x 9. Vậy có hai đờng thẳng đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với parabol (P): y = x 2 là: y = 2x 1 và y = 6x 9. Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 5 Sáng kiến III) Bài tập Bài 1. Cho hai hàm số y = 1 2 x 2 và y = 3x 4. a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số đó. Hớng dẫn giải: a) Đồ thị. b) Giao điểm. (2; 2) và (4; 8) Bài 2. Cho các hàm số: y = x 2 (P) y = 3x 2 (d) a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d). Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 6 x O y 2 2 -2 4 6 8 10 -4 4 Sáng kiến Hớng dẫn giải: a) Đồ thị. b) Giao điểm. (1; 1) và (2; 4). Bài 3. Cho parabol (P) có phơng trình: y = x 2 2x 1 và đờng thẳng (d) có ph- ơng trình: y = mx + m 2 . a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi giao điểm của (P) và (d) là A và B có hoành độ lần lợt là x A , x B . Xác định giá trị của tham số m sao cho 2 2 A B x x 10+ = . Hớng dẫn giải: a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x 2 2x 1 = mx + m 2 x 2 2x 1 + mx m 2 = 0 x 2 + (m 2)x (m 2 + 1) = 0 ( ) = (m 2) 2 + 4(m 2 + 1) = m 2 4m + 4 + 4m 2 + 4 = 5m 2 4m + 8 Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 7 xO y -1-2 21 1 2 3 4 5 3-3 Sáng kiến = 2 4 8 5 m m 5 5 + ữ = 2 2 4 4 8 5 m 2. m 5 25 25 5 + + ữ = 2 2 36 5 m 5 25 + ữ = 2 2 36 5 m 5 5 + ữ > 0 m Phơng trình ( ) có nghiệm m . Vậy (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Chú ý. Có thể nhận định ngay = 2 2 0 0 (m 2) 4(m 1) > + + 14 2 43 14 2 43 > 0 m hoặc phơng trình ( ) có hệ số a, c trái dấu để kết luận ( ) có nghiệm m b) Xác định giá trị của tham số m sao cho 2 2 A B x x 10 + = . Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x 2 + (m 2)x (m 2 + 1) = 0 ( ) áp dụng định lí Vi-ét, ta có: A B 2 A B x x m 2 x .x (m 1) + = = + Theo bài ra ta có: 2 2 A B x x 10+ = 2 A B A B (x x ) 2x x 10+ = (m 2) 2 + 2(m 2 + 1) = 10 m 2 4m + 4 + 2m 2 + 2 = 10 3m 2 4m 4 = 0 ' = 4 + 12 = 16 ' = 4 m 1 = 2 4 2 3 3 = ; m 2 = 2 4 2 3 + = . Vậy với m = 2 3 hoặc m = 2 thì 2 2 A B x x 10+ = . Bài 4. Cho parabol (P): y = x 2 . Trên (P) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1; 3. Hãy viết phơng trình đờng thẳng AB. Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 8 Sáng kiến Hớng dẫn giải: Ta có: A(1; y A ) (P): y = x 2 y A = 1 2 = 1 A(1; 1) B(3; y B ) (P): y = x 2 y B = 3 2 = 9 B(3; 9) Phơng trình đờng thẳng AB: y = 4x 3. Chú ý. Dạng toán viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A, B đã đ- ợc trình bày trong Chuyên đề Hàm số bậc nhất. Bài 5. Cho parabol (P): y = 2 1 x 2 và đờng thẳng (d): y = px + q. Xác định p, q để đ- ờng thẳng (d) đi qua điểm A( 1; 0) và tiếp xúc với parabol (P). Tìm toạ độ tiếp điểm. Hớng dẫn giải: (d) có phơng trình: y = 0, tiếp điểm O(0; 0) hoặc: y = 2x 2, tiếp điểm M( 2; 2). Bài 6. Cho parabol (P): y = x 2 . a) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là 1 và 2. Viết ph- ơng trình của đờng thẳng AB. b) Viết phơng trình của đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng AB và tiếp xúc với parabol (P). Hớng dẫn giải: a) AB: x + 2. b) (d): y = x 1 4 . Bài 7. Cho parabol y = x 2 . Tìm điểm A thuộc parabol sao cho tiếp tuyến với parabol tại A song song với đờng thẳng y = 4x + 5. Hớng dẫn giải: Tìm n để phơng trình x 2 = 4x + n ( n 5 ) có nghiệm kép, đợc n = 4. Tiếp điểm A có toạ độ là (2; 4). Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 9 Sáng kiến Bài 8. Cho parabol (P): y = x 2 và hai điểm A, B thuộc parabol với hoành độ tơng ứng là 1 và 2. Tìm điểm M trên cung AB của parabol sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất. Hớng dẫn giải: Ta có A( 1; y A ) (P): y = x 2 y A = ( 1) 2 = 1 A( 1; 1) B(2; y B ) (P): y = x 2 y B = 2 2 = 4 B(2; 4) Phơng trình đờng thẳng AB: y = x + 2. Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng AB và tiếp xúc với parabol (P): y = x 2 có phơng trình: y = x 1 4 Tiếp điểm của (d) và (P) có toạ độ là 1 1 ; 2 4 ữ Trả lời: M 1 1 ; 2 4 ữ . Bài 9. Cho parabol y = 1 2 x 2 và đờng thẳng y = 1 2 x + 3. Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà 10 x y 4 O 3 2 1 1 2 -2 -1 A B (d) 1 2 1 4 M -1 [...]... Vẽ parabol và đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của parabol và đờng thẳng đã cho c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol đó sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Hớng dẫn giải: a) Vẽ parabol và đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ y 6 5 B 4,5 4 3 A (d) 2 1 Cg -3 -2 -1 O 1 2 3 x -1 b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của parabol. .. minh rằng parabol (P) và đờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và một trong các giao điểm của parabol (P) và đờng thẳng (d) là O(0; 0) b) Gọi I là giao điểm thứ hai của (P) và (d); K là trung điểm của OI Khi đờng thẳng (d) quay xung quanh gốc toạ độ O(0; 0) thì điểm K di chuyển trên đờng nào? Hớng dẫn giải: a) Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và một trong... phát hiện kiến thức và tìm đợc mối liên hệ giữa chúng Do vậy bài tập không trở nên quá nặng nề đối với sức học của các em Do đợc rèn kĩ năng giải từng dạng toán điển hình ngay từ đầu nên sau này khi gặp các bài toán về quan hệ giữa parabol y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n trong bài tổng hợp hay bài ôn tập, học sinh đều biết cách làm Giờ học thu hút học sinh, các em tạo đợc lòng tin vào khả năng của mình,... x -1 b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của parabol và đờng thẳng đã cho Hoành độ giao điểm của parabol y = nghiệm của phơng trình: 1 2 1 x và đờng thẳng y = x + 3 là 2 2 1 2 1 x = x + 3 (1) 2 2 Phơng trình (1) có hai nghiệm x = 2 và x = 3 g Với x = 2 thì y = 2 1 g Với x = 3 thì y = 4 2 1 Giao điểm của parabol với đờng thẳng là A( 2; 2) và B 3; 4 ữ 2 Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng... (P) có phơng trình y = (d) là đờng thẳng đi qua điểm I(0; 2) và có hệ số góc k x2 Gọi 2 a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm... Do đó quỹ tích của M là parabol y = 1 2 x 4a y M(x; y) A ga O y = -a x -a H (d) Hình vẽ ứng với a > 0 Chú ý Tổng quát, cho một điểm A và đờng thẳng (d) không đi qua A, quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách MA bằng khoảng cách từ M đến (d) là một parabol Khi đó điểm A gọi là tiêu điểm, đờng thẳng (d) gọi là đờng chuẩn của parabol Bài 14 1 Cho parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = ax ( a 0... có tích m1m2 = 1 (theo hệ thức Vi-ét) chứng tỏ rằng hai tiếp tuyến với parabol kẻ từ M vuông góc với nhau (d2) y 2 (d1) 1 -2 -1 g 1 gO - 1 2 g M x y=- 4 1 4 -1 Bài 11 Cho parabol y = x2 Gọi A, B là các giao điểm của đờng thẳng y = mx + 2 với parabol (m là tham số) Tìm giá trị của m để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất Cho biết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (x1; y1) và (x2; y2) là: (x 2 x1... parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = 2x + m (m là tham số) Với giá trị nào của m thì (P) và (d) chỉ có một điểm chung? Khi đó (d) gọi là tiếp tuyến của (P), vẽ parabol (P) và đờng thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ Tìm những giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dơng Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà Sáng kiến 21 C Kết luận Khi áp dụng các bài tập vào... kiến 19 Trích một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và đề thi học sinh giỏi Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thành phố Hà Nội năm học 2006 2007) Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và y = x2 Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành Tính diện tích tứ giác ABCD Bài 2 (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm học... 12 c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol y = tam giác ABC có diện tích lớn nhất 1 2 x sao cho 2 Ta cần tìm điểm C thuộc cung AB và cách xa AB nhất Ta xác định đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với parabol, tiếp điểm là điểm C cần tìm 1 x + n ( n 3 ) 2 Điều kiện để (d) tiếp xúc với parabol là phơng trình sau có nghiệm kép: Đờng thẳng (d) song song với AB có dạng y = 1 2 1 x . lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề Quan hệ giữa parabol y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n với nội dung hệ thống, phân. Chuyeõn ủe: Quan hệ giữa parabol y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n I) Tóm tắt lí thuyết Hoành độ giao điểm của parabol (P): y = ax 2 ( a 0 ) và đờng thẳng (d):