Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ

Với mục đích, không những đi tìm hiểu kĩ hơn về các đặc điểm, tínhchất của một không gian vectơ mà còn tìm hiểu về mối liên hệ đẳng cấu giữa chúng.. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự đẳn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG

SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Hình học

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - 2011

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khoá luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán -Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã độngviên giúp đỡ em trong suốt quá trình

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn PGS.TSNguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thểhoàn thành khoá luận

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trongkhoá luận này không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầygiáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừanhững thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sựtrân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận tốt nghiệp này là kếtquả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

về đo đạc Tuy nhiên, hình học chỉ trở thành môn khoa thực sự khi con ngườinêu lên các tính chất hình học bằng con đường suy diễn Nó giúp rèn luyện tưduy, nâng cao khả năng tưởng tượng không gian của con người.

Một trong những không gian cơ bản của hình học đó là không gianvectơ Với mục đích, không những đi tìm hiểu kĩ hơn về các đặc điểm, tínhchất của một không gian vectơ mà còn tìm hiểu về mối liên hệ đẳng cấu giữa

chúng Em chọn đề tài: “Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ” làm khoá

luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự đẳng cấu của các không gian vectơ hữn hạn chiều Ứngdụng của nó trong giải toán

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Không gian vectơ, phép đẳng cấu

Phạm vi nghiên cứu: Trong không gian hữu hạn chiều

4.Nhiệm vụ

Trình bày cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về không gian vectơ

5.Phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

6.Cấu trúc

Ngoài phần mở đầu và kết luận, tài liệu tham khảo Đề tài gồm 2chương

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị

Chương II Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ

f(x2 )

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương sau đây chúng ta nhắc lại những khái niệm và tính chất

cơ bản của ánh xạ cũng như không gian vectơ

1.1.1.2 Đơn ánh

Định nghĩa 1.1.2

Ánh xạ f : X Y được gọi là đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân

biệt là hai phần tử phân biệt Nghĩa là x

Ánh xạ f : X Y được gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều là

ảnh của phần tử nào đó thuộc X Nghĩa là y Y , x X sao cho f(x) = y

Y g :Y Z

Z

là mộtV

1.1.2.3 Ánh xạ

ngƣợc Định nghĩa

1.1.7

Cho f : X Y là ánh xạ từ X vào Y là một song ánh Khi đó tồn tại

duy nhất ánh xạ g : Y X sao cho g o f = i

dX và f

u + v

k.u

u V,u´Vu,vV

k,l K,u,vV

k,l V,u VuV

Không gian Mmn(R) các ma trận số thực kích thước mn

Không gian gồm tất cả các hàm f[a,b]

1.2.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

1 , 2 }

rđộc lập tuyến tính vì

1 2

(2

1 , 0)+(0,4 2

)= ( 0,0)

(2 1 ,4

2 )= (0,0).

r r r2) Hệ vectơ

= 0

r

r r

iii) Với n > 1, hệ n vectơ

{ 1 , , n }phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn

tại một vectơ trong hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại của hệ

Chứng minh

Thật vậy, giả sử hệ { r r

1 , , n } phụ thuộc tuyến tính Lúc đó tồn tại các vô

K không đồng thời bằng 0 sao cho

Nếu i 0 , ta nhân hai vế của đẳng thức

phụ

thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ

r r biểu thị tuyến tính được qua hệ

1 = 2 = = n = 0

a Một hệ vectơ của V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều

biểu thị tuyến tính qua hệ đó

b Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V đều

biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

Định lý

1.2.1

r r r

Cho hệ hữu hạn vectơ

( 1 , , , 2 n ) của không gian vectơ V Khi đó hai mệnh đề sau đây là tương đương:

) là cơ sở của V nên là một hệ sinh của V Hơn nữa,

r r rvectơ

0 có biểu diễn duy nhất qua ( 1 , , , 2 n )

) phụ thuộc tuyến tính Khi đó, coi V

r r r

như một hệ vectơ trong V , theo định nghĩa hệ

( con độc lập tuyến tính tối đại của V

r {0}

là không gian vectơ hữu hạn sinh với hệ sinh là

a. Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh V

được gọi là số chiều của V trên trường K Và kí hiệu là dimV hay rõ hơn

K

1 = 2 = = n = 0

r

b. Một không gian vectơ có một cơ sở gồm hữu hạn vectơ được gọi là khônggian vectơ hữu hạn chiều

c. Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không

gian vectơ vô hạn chiều

Vậy hệ (e) còn là một hệ độc lập tuyến tính Do đó hệ (e) là một cơ sở của

Kn Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của Kn Từ đó suy

ra

2) Trường số phức £ là một £ - không gian vectơ với cơ sở {1} Đồng

thời £ cũng là R - không gian vectơ với cơ sở {1,i} Do đó

dim

£ £ = 1, dim

R £ = 2 Tổng quát

Giả sử V là một K - không gian vectơ và W là một tập con của V .

Ta nói tập W là ổn định (hay đóng kín) trên V đối với 2 phép toán trên V nếu:

k K, u V

dimV

u+v V k.u K

Khi đó tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với 2 phép toán của V và cùng với 2 phép toán của V hạn chế trên nó.

W cũng là một không gian vectơ trên trường K

Ví dụ

r

1) Tập {0} và V là hai không gian con của K - không gian vectơ V Và được

gọi là những không gian vectơ con tầm thường của V

2) Tập P [X] = {a + a X + + a X | a K} là một không gian vectơ con của K

Giao của một họ những không gian vectơ con của không gian vectơ V

là một không gian vectơ con của V

Định nghĩa 1.2.7

Cho X là một tâp con của không gian vectơ V Giao của tất các không

gian vectơ con của V chứa X được gọi là không gian vectơ con của

V sinh bởi X và được kí hiệu là < X > hay L((X)) Ta cũng gọi < X > là

bao tuyến tính của tập X Suy ra từ định nghĩa, ta có < X > là không gian con bé nhất của V chứa X

b Nếu mọi vectơ

r r r r W 1 r+W 2 + +W m đều viết được duy nhất dưới dạng

dim(U V)= dimU +dimV

1.2.5 Không gian vectơ

hoặc không giao nhau Tương tượng hình học ta thấy chúng song song với

nhau Tập các lớp ghép của các phần tử của V theo U được gọi là tập thương của V theo U

Điều kiện để v+U và v´+U trùng nhau là v - v´ U

có một cấu trúc

không gian vectơ

được định nghĩa như

dụ Cho A, B là các không gian vectơ con của V Chứng minh rằng

A B là không gian vectơ con của V khi và chỉ khi A B

Chứng minh

Nếu

không gian vectơ con của V

Ngược lại, giả sử A B là không gian vectơ con của V nhưng A

và

B đó tồn tại x A, x B và y B, y A Ta chứng minh rằng x+ y A B Thật vậy

Bài tập đề nghị

1. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, A là một không gian vectơ

con của V Chứng minh tồn tại không gian vectơ con B của V sao cho A+ B=V và A B=

2. Trong R 4 cho cá vectơ : u 1

a Tìm cơ sở, số chiều của E

b Tìm một điều kiện cần và đủ để vectơ

a Cơ sở của V không chứa vectơ nào của U

b Có cơ sở nào của V chứa đúng k vectơ độc lập tuyến tính của

1

2

Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về mối liên hệ giữacác không gian vectơ hữu hạn chiều.

2.1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

2.1.1 Khái niệm

Định nghĩa 1.2.1

Cho V ,W là hai không gian vectơ trên trường K Ánh xạ f :V

được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu

f ( + )= f ( )+ f ( )

f (k r )= k f ( r )

với

Ánh xạ tuyến tính f :V W được gọi là:

Đơn cấu nếu f là đơn ánh.

Toàn cấu nếu f là toàn ánh.

Đẳng cấu nếu f là song ánh.

Cho f, g :V W là hai ánh xạ tuyến tính

i) Tổng của hai ánh xạ tuyến tính

(f + g)(u) = f(u)+ g(u) ,

ii) Tích của ánh xạ tuyến tính f và một số thực , kí hiệu là

ánh xạ được xác định

( f )(u) f (u), u V iii) Giả sử U, V, W là những không gian vectơ f :V W và g :W

x3 ,x2 ,5)

3 .f(x)+ f(y) , x, y R

Ta thấy

f (y)=(y 1 , y 2 , y 3 )=(y 1 f(x + y)

1 2 3

3

3

kerf ={ x V / f(x)= 0}

Số chiều của kerf được gọi là số khuyết của f

Tất cả các phần tử của W là ảnh của ít nhất một phần tử của V gọi là ảnh của

a) kerf là không gian vectơ con của V

b) Imf là không gian vectơ con của W

một đơn cấu khi và chỉ khi

Ánh xạ tuyến tính f :V W là toàn cấu khi và chỉ khi Im f =W

.

= 0 r

= 0

r r {e } 1 , ,e n là một cơ sở của V Do rankf = dimV ta cór r

rank(f(e 1 ), , f(e n ))= n Vậy hệ {f(e 1 ), , f(e n )} phải độc lập tuyến tính Bây

i i

Suy ra {f(e )} n là hệ sinh của Imf (1).

Ta chứng minh {f(e )} n là hệ độc lập tuyến tính.

lại biểu thị tuyến tính một cách duy

nhất qua cơ sở (

)=

{

1 , 2 , , m

đều thuộc trường K Nói tóm lại, ánh xạ tuyến tính f được

xác định một cách duy nhất bởi hệ thống các vô

hướng Ta sắp xếp chúng thành ma trận

{a ij |1 i m,1 j}

A=

Và gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :V W đối với cặp cơ sở (e) và ( )

2.1.3.2 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.

qua tọa độ của

được viết dưới dạng ma trận là y = Ax Trong đó A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f

3 } là

một cơ sở chính tắc của R 3 Xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi :

a Xác đinh ma trận của ánh xạ tuyến tính f

b Xác định một cơ sở hạt nhân Ker(f) , từ đó suy ra hạng của f

(*)

-1-21

243

2 +(x+ y+ 3z + t) 3

f(x; y; z; t)=(x - y+2z - t; 2x - 2y+4z - 2t; x+ y+3z+t)

ker( f )={(x, y,z,t) / (x - y+2z - t;2x - 2y+4z - 2t; x+ y+3z+t)=(0,0,0)}

x - y+ 2z - t = 0 2x - 2y + 4z - 2t =

0 x+ y+ 3z + t = 0

Ta có

4y + 2z + 4t = 0 y= - z - t

2 ker(f)={ (x; y; z; t) / x = - 5 z ; y = - z - t; z,t R}

1.2.2 Định lý tồn tại đẳng cấu tuyến tính

Từ định lý xác định ánh xạ tuyến tính nếu V ,W là không gian vectơ n chiều, {r } n là cơ sở của V và r n

i i 1

là cơ sở của W thì tồn tại duy nhất

} của W Khi đó f là một phép đẳng cấu

khi và chỉ khi rank A= n

Vận dụng đẳng cấu vào vài toán tìm ma trận nghịch đảo

Bài toán

Cho A là một ma trận vuông cấp n Hãy tìm ma trận nghịch đảo A -1

của A (giả thiết

1

)

A

-1

tồn tại Coi A là ma trận của phép biến đổi

r r rtuyến tính

Định lý 2.2.3 (ba điều kiện tương đương)

Giả sử V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và f :V W là một tự đồng cấu của V Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

a) f là một đẳng cấu.

b) f là một đơn cấu.

c) f là một toàn cấu.

Chứng minh

r

Ta có f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0} Lại có f là tòan cấu khi

và chỉ khi dim(Imf)= dimV Mặt khác dimV = dim(Imf)+ dim(Kerf) Suy ra

f là đơn cấu dim(Kerf)= 0

dimV = dim(Imf) f là toàn cấu.

Cho V,W là không gian vectơ hữu hạn chiều Ánh xạ tuyến tính

f :V W là đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ tuyến tính

V với f -1 từ bên phải ta thu được g = f -1

2.3 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI KHÔNG GIAN VECTƠ

2.3.2 Sự đẳng cấu giữa không gian vectơ n chiều với R n

), ,

) }

( 1 f( ), 2 f( ), , n )} là cơ sở của W Vậy dimW = n= dimV r r r

Ngược lại, giả sử dimW = dimV = n Khi đó lấy

{

r r r

1 , 2 , , n

} là một

cơ sở của V và

{ 1 , , , 2 n } là một cơ sở của W thì ta có ánh xạ tuyến tính

i

và ánh xạ tuyến tính

r r

duy nhất h :

W định bởi h( i = ) i ,i = 1,2, ,n Khi đó rõ ràng là h.g = id ; g.h= id

V W nên g là một song ánh Do đó g là đẳng cấu và V

là toàn cấu tuyến tính Ta

m m

Ui Vi

U1 /(U1 U2 )

Xác định đẳng cấu tuyến tính Suy ra

2 U 1 ,U 2 là không gian vectơ con của U

(U 1 +U 2 ) /U

2

a Khi đó là toàn cấu tuyến tính và

của đồng cấu tuyến tính Ta có

x ker

BÀI TẬP

Bài 1 Cho V, W là hai không gian vectơ trên trường K với số chiều

của W hữu hạn, f :V W là một toàn cấu Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính g :W V sao cho f.g là ánh xạ đồng nhất trên W Ánh xạ

g có thể không duy nhất vì mỗi

ví dụ toàn cấu sau đây

f -1(e ) i

Ta chú ý bài toán có thể bỏ giả thiết dimW hữu hạn. r r r

Bài 2 Cho f :V V´ là một toàn cấu, hệ vectơ {e ´ ,e ´ , ,e ´

} là độc lập tuyến tính, như vậy hệ vectơ là một cơ

sở của không gian con W sinh bởi các vectơ của hệ Vậy W ; V´ bởi đẳng cấu g mà sự tồn tại được xác định bởi quan hệ fg = 1 .

x2

E2

E2 )= dimE1 dimE2 dim( E1 E2 )

Imf 2 E Kerf Imf

a) Chứng minh rằng là một ánh xạ tuyến tính và cho biết Im .

b) Chứng minh Ker đẳng cấu với E 1

c) Từ a) và b) hãy suy ra

dim( E 1 Khi dimE 1

3 Cho f và g là hai ánh xạ tuyến tính từ V đến V´ Chứng minh rằng

có tính chất phổ dụng sau Giả thiết f :V

một ánh xạ tuyến tính biến U vào 0 Khi đó f cảm sinh một ánh xạ tuyến

Im(f i ) Ker(f i 1 ) với mọi i

Một phức như trên được gọi là khớp tại

V i

Một dãy khớp dạng

nếu

Imf : kerf V,

KẾT LUẬN

Qua quá trình tìm hiểu và nghiên cứu khóa luận em đã bước đầu làmquen với cách thức làm việc khoa học, hiệu quả Qua đó em cũng củng cốkiến thức về không gian vectơ, đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú củatoán học Đặc biệt khóa luận này em nghiên cứu một cách khái quát về sựđẳng cấu giữa các không gian vectơ Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho cácbạn sinh viên quan tâm tới môn Đại số tuyến tính nói riêng và toán học nóichung

Mặc dù có nhiều cố gắng, song do nhiều hạn chế về thời gian và kiếnthức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được

sự đóng góp quý báu của bạn đọc

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản ĐHQG 2000 [2] Phan Hồng Trường, Đại số tuyến tính, ĐHSP Hà Nội 2 – 2003.

[3] Jean Marie Monier, Đại số 1-2, Nhà xuất bản Giáo dục 2006.

[4] Phùng Hồ Hải, Đại số đa tuyến tính, Nhà xuất bản Quốc gia 2010.

[5] Hoàng Xuân Sính, Bài tập đại số tuyến tính, Nhà xuất bản Giáo dục 2010 [6] S.Lang, Linear Algebra, Wesley 1972, Second edition.