day so va ham so GV đỗ kim sơn

Bài toán a n các a n  a nđiều Xét dãy số nguyên dương {an} thỏa mãn 1 n kiện N* Tính giới hạn n  n lim 1 n     an  a1 a    Giaûi Nhận xét dãy {an} dãy tăng thực Thật vậy, xãy trường hợp ak+1 ak giả thiết  ak+1>akak+2 ta thu ak+1 >ak+2 ta a được a 1 dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều Do nên theo quy nạp ta có an > n Từ suy Đặt 1 n     n a a a n2 Thì Do vaäy 1 n      u n a  a1 a  un  n n   n lim 1 1     an  a1 a   0  Bài toán Cho dãy {un} thỏa mãn điều kiện u n 1  u n  u n  , u u1 Chứng minh dãy {un} có giới hạn Tìm giới hạn Giải: Xác đònh dãy {an} {bn} sau: a n ; 2 a n  n 1, a0 = { u0, u1, 4} b0 = max {u0, u1, 4} ; bn theo 2 b n 1 sẽ Bằng phương pháp quy nạp n,n ta chứng minh bất đẳng thức sau: (2) an 4 vàa n  a n 1n (3) b n 4 vaøbn  bn 1n (4) a n min u n , u n 1  max u n , u n 1  bn Từ (2) (3) hệ thức xác đònh an, bn suy dãy {an}, {bn} có giới hạn lim an lim bn 4 n  Từ (4) suy n  an b u n  n n 2 vaø lim u n 4 n  Bài toán Giả sử a>0 Lập dãy số {xn} theo quy luật sau x0 a; x k 1  x k  x k2 Chứng minh tồn số dương a, A cho  x na lim n  n     A  Giaûi: x x    xk xk 3 Từ (8) ta suy xra k 1  x k  Ta coù k 1 k  8 Viết đẳng thức ứng với k = 1,2, , n –1 cộng lại, ta x n3  x 03  3n Từ suy x k31  x 1k    x  3k x  3k    x k3   1  k 9k Viết đẳng thức (8) ứng với k = 1,2, , n-1 cộng lại, ta n 1 n 1    k 1 k k 1 k x n3  x13   n  1    9 n Maø 1 1   x13  3n      k  k 1  k n k k 1 1 1      n  1.n 1.2 2.3 1  1  1  1  1            2   n    3 n n Theo bất đẳng thức Bunhiacovki, ta có n  n 1  n  2n   k  k 1 k  k 1  (10) Do ñoù n k k 1  2n Do (10) (11) nên từ (8) (9) ta suy x03 x3 x3 2 3  n  3  n n n n 9n (11) Chuyển qua giới hạn ta thu x n3 lim 3 n  n x3 lim n 3 n  n Suy Vậy a =3 A = Bài toán Cho {xn} xác đònh sau: 1 a  ; vớin 2, a  0, x   x n   x n   2 x n  treân hội tụ tìm giới hạn dãy Chứng minh dãy Giải: Ta có: 1 a x n   x1    a  2 x1  Do phép quy nạp bất đẳng thức ta suy x n Cauchy,  a tức {xn} bò chặn a n Mặt khác, taxcoù:   1 xn 2 xn  vaøx  a n Suy x n xn 1 a   1 2a Do x n  x n  hay {xn} dãy giảm Kết hợp với điều kiện dãy bò chặn, ta suy dãy {xn} hội tụ a Từ hệ thức quy nạp, chuyển qua giới hạn, ta thu 1 a a   a    a  a  a 0  a  a 2 a Vì a>0 nên a a Vậy lim x n  a n  Bài toán Cho dãy {yn} xác đònh sau: 1 a  ; với y n   y n    3 y n  n 2, a  0, y1  Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn dãy Giải Tương tự Bài toán 2, dùng bất đẳng thức Cauchy phép quy nạp ta suy 1 a  Mặt khác y n   y n    3 a y3  y n   n y n   1  y n  y n  3 Vậy dãy số {yn} hội tụ từ hệ thức quy naïp ta suy lim y n 3 a n  ... thức Bunhiacovki, ta coù n  n 1  n  2n   k  k 1 k  k 1  (10) Do n k k 1  2n Do (10) va (11) nên từ (8) (9) ta suy x03 x3 x3 2 3  n  3  n n n n 9n (11) Chuyển qua giới hạn ta... nạp bất đẳng thức ta suy x n Cauchy,  a tức {xn} bò chặn a n Mặt khác, taxcó:   1 xn 2 xn  va x  a n Suy x n xn 1 a   1 2a Do x n  x n  hay {xn} dãy giảm Kết hợp với điều kiện dãy