TOAN SO CAP (tt) GV đỗ kim sơn

Bài 197 Xét dãy số với số hạng tổng quát nhö sau: u n 1  1    n, n  N n 1 2.u n     , n  N 1! 2! n!  1    3.u n 1  1     1  , n  N rằng  số có   các dãy limgiới un Chứng minh hạn hữu hạn  Bài giải Ta coù n     1 u n 1  u n  1      n  1  n n 1     1  1     n    n 1  n  n n 1   1   n 1  n    n 1 n 1 n 1  n   n 1  n  n 1 0 n  1 n   n  dãy đơn điệu giảm   Dễ thấy  u  u n  N   u  n 1 n n 1 1 k 1  k    n 1 k 1  k k  Trong (1) thay k = 1,2,…,n ta có   2 2   2 3 2       n  n 1  n  Cộng vế bất đẳng thức trên, ta có 1  u n 1    n 1   n   2n 0,1,2 Như dãy {un} bò chặn –2 Theo nguyên lý giới hạn,lim tồn u n giới hạn hữu hạn n  Đó đ.p.c.m Rõ ràng un+1 > un, {un} dãy đơn điệu tăng Ta chứng minh raèng u n  2(2)n  N 1 u1 n = 12 ; u (do  ) Thật (2) n =   1! 1! 2! Chú ý 3! = 2.3>22 4! = 2.3.4>22 n! = 2.3.4 5> 2n-2 Vaäy u 1           (*) n 1! 2! n! 2 2 1 n 1 1  Do      n   21  n    u n  2n  N 2   1 Dãy {un} đơn điệu tăng bò chặn 2lim u ntồn  n  giới hạn đ.p.c.m Dễ dàng chứng minh nhận xét phụ sau đây: Nếu r1  r  3 (1) số hữu tỷ dương, Xét dãy      u n 1  1   1    1!  2!   n!  Deã thấy un dãy đơn điệu tăng Theo nhận xét ta coù  1!     1!  1   2!  2!    n! 1    vế bất đẳng thức (do thừa1 số   Nhân 1! 2! n!  n!  un  dương) Theo phần ta suy un