TOÀN CẢNH MINH HỌA ĐỀ THI MÔN TOÁN CHÍNH THỨC 2017 2018 2019 BGD

GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập PHÂN DẠNG ĐỀ MINH HỌA – ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI THPTQG 2017 + 2018 + 2019 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN oOo -A – ĐỀ BÀI Câu Câu Câu [2D3-1-MH2] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x 1 A ∫ f ( x ) dx = sin x + C B ∫ f ( x ) dx = − sin x + C 2 C ∫ f ( x ) dx = 2sin x + C D ∫ f ( x ) dx = −2sin x + C [2D3-1-MH3] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A ∫ C ∫ x3 − +C x x3 f ( x ) dx = + + C x f ( x ) dx = C ∫ cos xdx = − Câu sin x +C ∫ sin 3x +C D ∫ cos xdx = sin x + C 5x − dx = − ln ( x − ) + C B ∫ 5x − 2 dx = ln x − + C D ∫ 5x − [2D3-1-102] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = dx A ∫ x − = ln 5x − + C C ∫ x − = 5ln x − + C dx x x +1 [2D3-1-103] Tìm nguyên hàm hàm số ∫ dx = + C B ∫ 2sin xdx = sin x + C C ∫ 2sin xdx = sin x + C D ∫ 2sin xdx = −2 cos x + C x [2D3-1-104] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x x A ∫ dx = ln + C B ∫ x dx = Câu D B ∫ cos xdx = A ∫ 2sin xdx = cos x + C Câu ∫ x3 − +C x x3 f ( x ) dx = + + C x f ( x ) dx = [2D3-1-101] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x A ∫ cos xdx = 3sin x + C Câu B ? x2 7x + C ln x x +1 C ∫ dx = + C D ∫ x dx = x +1 + C x +1 [2D3-1-MH1] Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b ) , xung quanh trục Ox b A V = π ∫ f ( x ) dx a b B V = ∫ f ( x ) dx a TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập b C V = π ∫ f ( x ) dx a b D V = ∫ f ( x ) dx a Trang 1/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu [2D3-1-MH2] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đoạn [ 1; 2] , f ( 1) = f ( ) = Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx A I = Câu [2D3-1-102] Cho ∫ f ( x ) dx = 2 −1 A I = Câu 10 [2D3-1-104] Cho D I = C I = B I = −1 2 ∫ g ( x ) dx = −1 Tính I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x )  dx −1 −1 B I = 17 C I = π π 0 D I = 11 ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx B I = + A I = π C I = D I = + π Câu 11 [2D3-2-MH1] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − A ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) x − + C B ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) x − + C 3 1 2x −1 + C 2x −1 + C C ∫ f ( x ) dx = − D ∫ f ( x ) dx = 3 x Câu 12 [2D3-2-103] Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e + x thỏa mãn F ( ) = Tìm F ( x ) x A F ( x ) = e + x + x C F ( x ) = e + x + x B F ( x ) = 2e + x − x D F ( x ) = e + x + π  Câu 13 [2D3-2-104] Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x + cos x thoả mãn F  ÷ = 2 A F ( x ) = cos x − sin x + B F ( x ) = − cos x + sin x + C F ( x ) = − cos x + sin x − Câu 14 [2D3-2-104] Cho F ( x ) = hàm số f ′ ( x ) ln x f ( x) Tìm nguyên hàm nguyên hàm hàm số 2x x  ln x + 2 x 2x A ∫ f ′ ( x ) ln xdx = −  C ∫ f ′ ( x ) ln xdx = −  D F ( x ) = − cos x + sin x +  ÷+ C   ln x  + ÷+ C x2 x2  B ∫ f ′ ( x ) ln xdx = ln x + +C x2 x2 D ∫ f ′ ( x ) ln xdx = ln x + +C x 2x e2 + D I = e Câu 15 [2D3-2-MH1] Tính tích phân I = ∫ x ln xdx : A I = B I = e −2 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I = e2 − Trang 2/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu 16 [2D3-2-MH1] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x đồ thị hàm số y = x − x A 37 12 B I = C 81 12 D 13 x Câu 17 [2D3-2-MH1] Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ( x − 1) e , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox : B V = ( − 2e ) π A V = − 2e C V = e − D V = ( e − ) π y Câu 18 [2D3-2-MH3] Gọi S diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = (như hình vẽ bên dưới) Đặt a = đúng? A S = b − a −1 ∫ f ( x ) dx , b = ∫ f ( x ) dx , mệnh đề sau B S = b + a C S = −b + a −1 2x O D S = −b − a 2 Câu 19 [2D3-2-MH3] Tính tích phân I = ∫ x x − 1dx cách đặt u = x − , mệnh đề đúng? A I = ∫ u du C I = ∫ u du B I = ∫ u du 0 1 Câu 20 [2D3-2-MH3] Cho ∫e A S = D I = ∫ u du 21 dx 1+ e = a + b ln , với a , b số hữu tỉ Tính S = a + b3 +1 x B S = −2 C S = D S = Câu 21 [2D3-2-MH3] Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( ≤ x ≤ 3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x A V = 32 + 15 B V = 124π C V = 124 3x − ( ) D V = 32 + 15 π Câu 22 [2D3-2-101] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + cos x , trục hoành π đường thẳng x = , x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = π − B V = ( π − 1) π C V = ( π + 1) π D V = π + Câu 23 [2D3-2-101] Cho A I = 0 ∫ f ( x ) dx = 12 Tính I = ∫ f ( 3x ) dx B I = 36 C I = Câu 24 [2D3-2-102] Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = A I = e B I = e TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I = D I = ln x Tính F ( e ) − F ( 1) x D I = Trang 3/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 25 [2D3-2-101] Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ y thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường I parabol có đỉnh I ( 2;9 ) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 (km) B s = 21,58 (km) C s = 15,50 (km) D s = 13,83 (km) Câu 26 O 123 t [2D3-2-102] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + sin x , trục hoành đường thẳng x = , x = π Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = ( π + 1) B V = 2π ( π + 1) C V = 2π D V = 2π Câu 27 [2D3-2-103] Cho  1  ∫  x + − x + ÷ dx = a ln + b ln với a , b số nguyên Mệnh đề đúng? A a + b = B a − 2b = C a + b = −2 D a + 2b = Câu 28 [2D3-2-103] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = e x , trục hoành đường thẳng x = , x = Khối tròn xoay tạo quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? π ( e + 1) π ( e − 1) π e2 e2 − A V = B V = C V = D V = 2 2 Câu 29 [2D3-2-104] Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x + , trục hoành đường thẳng x = , x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? 4π A V = B V = 2π C V = D V = 3 Câu 30 [2D3-3-MH1] Một ô tô chạy với tốc độ 10 m/s người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với v ( t ) = −5t + 10 ( m/s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0, m B m C 10 m D 20 m π Câu 31 [2D3-3-MH1] Tính tích phân I = ∫ cos x.sin xdx A I = − π B I = −π C I = D I = − F ( ) = Tính F ( 3) x −1 C F ( 3) = D F ( 3) = Câu 32 [2D3-3-MH2] Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = A F ( 3) = ln − Câu 33 [2D3-3-MH2] Cho A I = 32 B F ( 3) = ln + 0 ∫ f ( x ) dx = 16 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx B I = TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I = 16 D I = Trang 4/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu 34 [2D3-3-MH2] Biết I = ∫ S = a + b + c A S = dx = a ln + b ln + c ln , với a , b , c số nguyên Tính x +x B S = C S = −2 D S = y Câu 35 [2D3-3-MH2] Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = ln Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = S A k = ln B k = ln C k = ln D k = ln Câu 36 [2D3-3-MH2] Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng Câu 37 [2D3-3-MH3] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 S2 S1 O k x ln 8m D 7.826.000 đồng f ( 1) − f ( ) = Tính ∫ f ( x ) dx B I = A I = −12 D I = −8 C I = Câu 38 [2D3-3-101] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = − 5sin x f ( ) = 10 Mệnh đề đúng? v A f ( x ) = 3x + 5cos x + B f ( x ) = x + 5cos x + I C f ( x ) = 3x − 5cos x + D f ( x ) = x − 5cos x + 15 Câu 39 [2D3-3-102] Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển A s = 24, 25 (km) B s = 26, 75 (km) C s = 24, 75 (km) D s = 25, 25 (km) O t x 2x Câu 40 [2D3-3-102] Cho F ( x ) = ( x − 1) e nguyên hàm hàm số f ( x ) e Tìm nguyên hàm 2x hàm số f ′ ( x ) e ∫ f ′( x) e C ∫ f ′ ( x ) e A 2x dx = (4 − x)e x + C 2x dx = ( − x ) e x + C Câu 41 [2D3-3-103] Cho F ( x ) = − hàm số f ′ ( x ) ln x ∫ f ′( x) e D ∫ f ′ ( x ) e B 2− x x e +C 2x dx = ( x − ) e x + C 2x dx = f ( x) Tìm nguyên hàm nguyên hàm hàm số 3x x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG ln x ln x A ∫ f ′ ( x ) ln xdx = + + C B ∫ f ′ ( x ) ln xdx = − + C x 5x x 5x ln x ln x C ∫ f ′ ( x ) ln xdx = + + C D ∫ f ′ ( x ) ln xdx = − + + C x 3x x 3x Câu 42 [2D3-4-MH3] Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = + cos x , ∀x ∈ ¡ Tính I = 3π − ∫ f ( x) d x 3π A I = −6 B I = D I = C I = −2 Câu 43 [2D3-4-104] Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên y Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề đúng? A g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) B g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) −3 C g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) x O D g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) −2 Câu 44 [2D3-4-104] Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Đặt y g ( x ) = f ( x ) + x Mệnh đề đúng? A g ( 3) < g ( −3) < g ( 1) B g ( 1) < g ( 3) < g ( −3) −3 C g ( 1) < g ( −3) < g ( 3) O −1 x −3 D g ( −3) < g ( 3) < g ( 1) Câu 45 [2D3-1-MH18] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a ; b ] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b ) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b A V = π ∫ f ( x ) dx a b B V = 2π ∫ f ( x ) dx C V = π a b ∫ f ( x ) dx D V = π a b ∫ f ( x ) dx a Câu 46 [2D3-1-MH18] Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + A x3 + C x3 + x+C B Câu 47 [2D3-1-MH18] Tích phân dx ∫ x+3 C 6x + C D x + x + C C ln D A 16 225 Câu 48 [2D3-3-MH18] Cho B log ( H) hình phẳng giới hạn parabol y 15 y = 3x , cung tròn có phương trình y = − x (với ≤ x ≤ ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( H ) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập O x Trang 6/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập A 4π + 12 B 4π − C 4π + − D − 2π Câu 49 [2D3-3-MH18] Biết I = ∫ dx = a − b − c với a , b , c số nguyên x + x x +1 ( x + 1) dương Tính P = a + b + c A P = 24 B P = 12 C P = 18 D P = 46 1  Câu 50 [2D3-3-MH18] Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \   thỏa mãn f ′ ( x ) = , f ( 0) = 2x −1 2 f ( 1) = Giá trị biểu thức f ( −1) + f ( 3) A + ln15 C + ln15 B + ln15 D ln15 Câu 51 [2D3-4-MH18] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫  f ′ ( x )  dx = A ∫ x f ( x ) dx = Tích phân B ∫ f ( x ) dx C D Câu 52 [2D3-1-MĐ101] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x + + C C x + x + C D x + x +C D x + x +C Câu 53 [2D3-1-MĐ102] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x3 + + C C x + x + C Câu 54 [2D3-1-MĐ103] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x + x +C C x + x + C D x + x + C Câu 55 [2D3-1-MĐ104] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x + x +C C x + x + C D x + x + C Câu 56 [2D3-1-MĐ101] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? A S = π ∫ e dx 2x B S = ∫ e dx x C S = π ∫ e dx x 2x D S = ∫ e dx Câu 57 [2D3-1-MĐ102] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? A S = ∫ dx x B S = π ∫ dx 2x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C S = ∫ dx 2x x D S = π ∫ dx Trang 7/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 58 [2D3-1-MĐ103] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 A V = π ∫ ( x + 3) dx 2 2 B V = ∫ ( x + 3) dx C V = π ∫ ( x + 3) dx D V = ∫ ( x + 3) dx 2 0 Câu 59 [2D3-1-MĐ104] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 A V = ∫ ( x + ) dx 2 B V = ∫ ( x + ) dx C V = π ∫ ( x + ) dx D V = π ∫ ( x + ) dx 2 2 1 x −1 Câu 60 [2D3-2-MĐ101] ∫ e dx 1 A ( e − e ) B e −e C e5 − e D (e +e ) 3 x +1 Câu 61 [2D3-2-MĐ102] ∫ e dx A ( e − e) B e − e Câu 62 [2D3-2-MĐ103] dx ∫ 3x − C ( e + e) D e3 − e A ln B Câu 63 [2D3-2-MĐ104] dx ∫ 2x + ln C ln D ln A ln B ln C ln 35 D ln Câu 64 [2D3-3-MĐ101] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 11 t + t ( m s ) , t (giây) khoảng thời gian tính theo thời gian quy luật v ( t ) = 180 18 từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a ( m s ) ( a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22 ( m s ) B 15 ( m s ) C 10 ( m s ) D ( m s ) Câu 65 [2D3-3-MĐ102] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 59 t + t ( m/s ) , t (giây) khoảng thời gian tính theo thời gian quy luật v ( t ) = 150 75 a từ lúc bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập a ( m/s ) ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20 ( m/s ) B 16 ( m/s ) C 13 ( m/s ) D 15 ( m/s ) Câu 66 [2D3-2-MĐ103] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 13 t + t ( m/s ) , t (giây) khoảng thời gian theo thời gian quy luật v ( t ) = 100 30 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a ( m/s ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25( m/s ) B 15( m/s ) C ( m/s ) D 42( m/s ) Câu 67 [2D3-3-MĐ104] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 58 t + t ( m s ) , t (giây) khoảng thời gian theo thời gian quy luật v ( t ) = 120 45 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a ( m s ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 21 ( m s ) B 36 ( m s ) C 30 ( m s ) D 25 ( m s ) 55 Câu 68 [2D3-2-MĐ101] Cho ∫x 16 đúng? A a − b = −c 21 Câu 69 [2D3-2-MĐ102] Cho ∫ sau đúng? A a + b = −2c dx = a ln + b ln + c ln11 với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x+9 B a + b = c C a + b = 3c D a − b = −3c dx = a ln + b ln + c ln , với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x x+4 B a + b = c C a − b = −c D a − b = −2c Câu 70 [2D3-2-MĐ103] Cho x = với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a − b = −c B a + b = c C a + b = −c D a − b = c e Câu 71 [2D3-2-MĐ104] Cho ∫ ( + x ln x ) dx = a.e + b.e + c với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a + b = −c B a − b = −c C a − b = c D a + b = c g ( x ) = dx + ex + ( a , b , c , d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị y Câu 72 [2D3-3-MĐ101] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C −3 −1 O hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −2 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập x D y 2 Câu 73 [2D3-3-MĐ102] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − g ( x ) = dx + ex + ( a , b , c , d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị −2 −1 O x Trang 9/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 37 13 37 A B C D 2 12 y Câu 74 [2D3-4-MĐ103] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − g ( x ) = dx + ex = ( a , b , c , d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm −3 −1 O số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho 125 253 253 125 A B C D 12 12 48 48 Câu 75 [2D3-4-MĐ104] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + g ( x ) = dx + ex − 10 x y ( a , b , c , d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị ∫7dx=7 +C x x +1 hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh −2 O x độ −2 ; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 125 253 125 253 A B C D 48 24 24 48 Câu 76 [2D3-3-MĐ101] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) 35 A − B − 36 C − 2 f ′ ( x ) = x  f ( x )  với 19 36 D − Câu 77 [2D3-3-MĐ102] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) 11 A − B − x ∈ R Giá trị f ( 1) 41 A − B − 10 400 C − D − f ′ ( x ) = x  f ( x )  với 25 40 Câu 79 [2D3-3-MĐ104] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) 79 A − B − 35 20 Câu 80 [2D3.2-1-MH2019] Cho A −3 f ′ ( x ) = x  f ( x )  với C − Câu 78 [2D3-3-MĐ103] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − 15 D − 391 400 f ′ ( x ) = x  f ( x )  với C − D − 1 0 71 20 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx B 12 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C −8 D Trang 10/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 49 [2D3-3-MH18] Biết I = ∫ ( x + 1) 34 dx = a − b − c với a , b , c số nguyên x + x x +1 dương Tính P = a + b + c A P = 24 B P = 12 C P = 18 Lời giải D P = 46 Chọn D Ta có: x + − x ≠ , ∀x ∈ [ 1;2] nên: 2 I =∫ ( x + 1) dx dx =∫ x + x x + 1 x ( x + 1) x + + x =∫ x ( x + 1) ( ( ( ) x) ( x + − x dx x +1 + 2 x +1 − x   = ∫ − ÷dx = x − x + x x +   ( ) ) =∫ ( ) ) x + − x dx x ( x + 1) = − − = 32 − 12 − a = 32  Mà I = a − b − c nên b = 12 Suy ra: P = a + b + c = 32 + 12 + = 46 c =  1  Câu 50 [2D3-3-MH18] Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \   thỏa mãn f ′ ( x ) = , f ( 0) = 2x −1 2 f ( 1) = Giá trị biểu thức f ( −1) + f ( 3) A + ln15 B + ln15 C + ln15 Lời giải D ln15 Chọn C Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 1  dx = ln x − + C , với x ∈ ¡ \   2x −1 2 1  + Xét  −∞; ÷ Ta có f ( ) = , suy C = 2  1  Do đó, f ( x ) = ln x − + , với x ∈  −∞; ÷ Suy f ( −1) = + ln 2  1  + Xét  ; +∞ ÷ Ta có f ( 1) = , suy C = 2  1  Do đó, f ( x ) = ln x − + , với  ; +∞ ÷ Suy f ( 3) = + ln 2  Vậy f ( −1) + f ( 3) = + ln + ln = + ln15 Câu 51 [2D3-4-MH18] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫  f ′ ( x )  dx = A ∫ x f ( x ) dx = Tích phân B ∫ f ( x ) dx C D Lời giải Chọn A TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 34/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 35 du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Cách 1: Tính: ∫ x f ( x ) dx Đặt  x3 dv = x dx v =  x3 f ( x ) − x f ′ ( x ) dx Ta có: ∫ x f ( x ) dx = 3 ∫0 1 = 1 f ( 1) − f ( ) 1 − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx 30 30 1 1 3 Mà ∫ x f ( x ) dx = ⇒ − ∫ x f ′ ( x ) dx = ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 3 0 Ta có ∫  f ′ ( x )  dx = (1) 1 1 x7 x d x = = ⇒ ∫ 49 x dx = 49 = (2) ∫0 7 1 ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ ∫ 14 x f ′ ( x ) dx = −14 (3) 0 Cộng hai vế (1) (2) (3) suy { 1 0 ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ 49 x dx + ∫ 14 x f ′ ( x ) dx = + − 14 = } ⇒ ∫  f ′ ( x )  + 14 x f ′ ( x ) + 49 x dx = ⇒ ∫  f ′ ( x ) + x  dx = 2 1 3 Do  f ′ ( x ) + x  ≥ ⇒ ∫  f ′ ( x ) + x  dx ≥ Mà ∫  f ′ ( x ) + x  dx = ⇒ f ′ ( x ) = −7 x 2 7 7x + C Mà f ( 1) = ⇒ − + C = ⇒ C = 4 4 7x Do f ( x ) = − + 4 f ( x) = − Vậy ∫  x4   x5  f ( x ) dx = ∫  − + ÷dx =  − + x÷ = 4  20  0 1 Cách 2: Tương tự ta có: ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1  1  1  2 2 =  ∫ x3 f ′ ( x ) dx ÷ ≤  ( x3 ) dx ữì f ( x ) dx ữ = ì ì  f ′ ( x )  dx = ∫  f ′ ( x )  dx 0 0  0  0  Dấu xảy f ′ ( x ) = ax , với a ∈ ¡ 1 ax Ta có ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ ∫ x ax dx = −1 ⇒ 0 3 Suy f ′ ( x ) = −7 x3 ⇒ f ( x ) = − Do f ( x ) = = −1 ⇒ a = −7 7 x4 + C , mà f ( 1) = nên C = 4 − x ) ∀x ∈ ¡ ( TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 35/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 36  x4   x5  f x d x = − + d x = + x÷ = ( ) Vậy ∫  ÷ − ∫ 4 20 0    0 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn [ a; b] b  b  b  Khi đó, ta có  ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ ≤  ∫ f ( x ) dx ữì g ( x ) dx ữ a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h ( x ) liên tục không âm đoạn [ a; b ] ∫ h ( x ) dx ≥ a Xét tam thức bậc hai λ f ( x ) + g ( x )  = λ f ( x ) + 2λ f ( x ) g ( x ) + g ( x ) ≥ , với λ ∈ ¡ Lấy tích phân hai vế đoạn [ a; b] ta λ b b b ∫ f ( x ) dx + 2λ ∫ f ( x ) g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ≥ , với λ ∈ ¡ 2 a a ( *) a Coi ( *) tam thức bậc hai theo biến λ nên ta có ∆′ ≤ b  b  b  ⇔  ∫ f ( x ) dx ÷ −  ∫ f ( x ) dx ÷ ∫ g ( x ) dx ÷ ≤ a  a  a  b  b  b  ⇔  ∫ f ( x ) dx ÷ ≤  ∫ f ( x ) dx ÷ ∫ g ( x ) dx ÷ (đpcm) a  a  a  Câu 52 [2D3-1-MĐ101] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x + + C C x + x + C D x + x +C D x + x +C Lời giải Chọn D Ta có ∫( x + x ) dx = x + x +C 4 Câu 53 [2D3-1-MĐ102] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x3 + + C C x + x + C Lời giải Chọn D Ta có ∫( x + x ) dx = x + x +C Câu 54 [2D3-1-MĐ103] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x + x +C C x + x + C D x + x + C Lời giải Chọn B Theo công thức nguyên hàm Câu 55 [2D3-1-MĐ104] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 36/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập A x + x + C B x + x + C C x + x + C Lời giải Chọn B 3 Ta có F ( x ) = ∫ ( x + x ) dx = x + x + C 37 D x + x + C Câu 56 [2D3-1-MĐ101] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? 2 2x A S = π ∫ e dx x B S = ∫ e dx x C S = π ∫ e dx 2x D S = ∫ e dx 0 Lời giải Chọn B Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = tính theo cơng 2 0 x x thức S = ∫ e dx = ∫ e dx Câu 57 [2D3-1-MĐ102] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? A S = ∫ dx x 2 B S = π ∫ dx C S = ∫ dx 2x x D S = π ∫ dx 2x 0 Lời giải Chọn A 2 0 S = ∫ x dx = ∫ x dx (do x > 0, ∀x ∈ [ 0; 2] ) Câu 58 [2D3-1-MĐ103] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? A V = π ∫ ( x + 3) dx 2 2 B V = ∫ ( x + 3) dx C V = π ∫ ( x + 3) dx D V = ∫ ( x + 3) dx 2 2 0 Lời giải Chọn C Ta tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox b V = π ∫  f ( x )  dx = π ∫ ( x + 3) dx a Câu 59 [2D3-1-MĐ104] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 A V = ∫ ( x + ) dx 2 2 2 B V = ∫ ( x + ) dx C V = π ∫ ( x + ) dx D V = π ∫ ( x + ) dx 1 Lời giải Chọn C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 37/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 38 Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) giới hạn đường 2 y = x + , y = , x = , x = xung quanh trục Ox V = π ∫ ( x + ) dx 2 x −1 Câu 60 [2D3-2-MĐ101] ∫ e dx 1 A ( e − e ) B e −e C e5 − e D (e +e ) Lời giải Chọn A x−1 x −1 Ta có: ∫ e dx = e = ( e − e ) 3 1 x +1 Câu 61 [2D3-2-MĐ102] ∫ e dx A ( e − e) B e − e C ( e + e) D e3 − e Lời giải Chọn A x +1 ∫ e dx = 1 x +1 1 x+1 e d x + ( ) = ( e4 − e ) = e ∫ 30 3 Câu 62 [2D3-2-MĐ103] dx ∫ 3x − A ln B ln C ln D ln Lời giải Chọn D Ta có: dx 1 2 = ln x −  ÷1 = ( ln − ln1) = ln = ln ∫1 3x −  3 3  Câu 63 [2D3-2-MĐ104] dx ∫ 2x + A ln B ln C ln 35 D ln Lời giải Chọn B 2 dx 1 ∫1 x + = ln ( x + 3) = ln Câu 64 [2D3-3-MĐ101] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 11 t + t ( m s ) , t (giây) khoảng thời gian tính 180 18 từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc theo thời gian quy luật v ( t ) = a ( m s ) ( a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 38/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập A 22 ( m s ) B 15 ( m s ) 39 C 10 ( m s ) Lời giải D ( m s ) Chọn B +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB ( t ) = ∫ adt = at + C , lại có vB ( ) = nên vB ( t ) = at +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 15 10  11  ∫0  180 t + 18 t ÷ dt = ∫0 atdt ⇔ 75 = 50a ⇔ a = Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB ( 10 ) = 10 = 15 ( m s ) Câu 65 [2D3-3-MĐ102] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 59 t + t ( m/s ) , t (giây) khoảng thời gian tính 150 75 từ lúc a bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc theo thời gian quy luật v ( t ) = a ( m/s ) ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20 ( m/s ) B 16 ( m/s ) C 13 ( m/s ) Lời giải D 15 ( m/s ) Chọn B 15  59  t + t ÷dt = 96 ( m ) Quãng đường chất điểm A từ đầu đến B đuổi kịp S = ∫  150 75  0 Vận tốc chất điểm B vB ( t ) = ∫ adt = at + C Tại thời điểm t = vật B trạng thái nghỉ nên vB ( 3) = ⇔ C = −3a Lại có quãng đường chất điểm B đến gặp A 15  at  S = ∫ ( at − 3a ) dt =  − 3at ÷ = 72a ( m )  3 Vậy 72a = 96 ⇔ a = ( m/s ) Tại thời điểm đuổi kịp A vận tốc B vB ( 15 ) = 16 ( m/s ) 15 Câu 66 [2D3-2-MĐ103] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 13 t + t ( m/s ) , t (giây) khoảng thời gian 100 30 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc theo thời gian quy luật v ( t ) = a ( m/s ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25( m/s ) B 15( m/s ) C ( m/s ) Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập D 42( m/s ) Trang 39/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 40 Chọn A Khi B đuổi kịp A tức A chuyển động 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu xuất phát A chuyển động quãng đường  25 13  375 S =∫ t + t ÷= (m) 100 30 0  Vì B chuyển động với gia tốc a ( m/s ) nên vận tốc B v ( t ) = at + C Tại thời điểm bắt đầu xuất phát t = 10; v = ⇒ c = −10a Vận tốc chất điểm B thời điểm t v ( t ) = at − 10a (m/s) Quãng đường chất điểm B 15 ( s ) kể từ bắt đầu xuất phát 25 S= ∫ ( at − 10a ) dt = 10 225 a Vì sau chuyển động 15 giây chất điểm B đuổi kịp chất điểm A , ta có: 225a 375 = ( m) ⇒ a = 2 50 ⇒ v( t) = t − 3 50 = 25 ( m/s ) Vậy vận tốc B đuổi kịp A ứng với t = 25( s) ⇒ v ( 25 ) = 25 − 3 Câu 67 [2D3-3-MĐ104] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 58 t + t ( m s ) , t (giây) khoảng thời gian 120 45 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc theo thời gian quy luật v ( t ) = a ( m s ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 21 ( m s ) B 36 ( m s ) C 30 ( m s ) Lời giải D 25 ( m s ) Chọn C +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 18 giây, B 15 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB ( t ) = ∫ adt = at + C , lại có vB ( ) = nên vB ( t ) = at +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 18 15  58  225 ∫0  120 t + 45 t ÷ dt = ∫0 atdt ⇔ 225 = a ⇔ a = Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB ( 15 ) = 2.15 = 30 ( m/s ) 55 Câu 68 [2D3-2-MĐ101] Cho ∫x 16 đúng? A a − b = −c dx = a ln + b ln + c ln11 với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x+9 B a + b = c C a + b = 3c D a − b = −3c Lời giải Chọn A TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 40/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 41 Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx Đổi cận: x = 16 ⇒ t = ; x = 55 ⇒ t = 8 8 55 2tdt dt  dt dt  dx =∫ = 2∫ = ∫ −∫ ÷ Khi ∫ t −9 3 t −3 t +3 ( t − 9) t 16 x x + 1 = ( ln x − − ln x + ) = ln + ln − ln11 3 3 1 Vậy a = , b = , c = − Mệnh đề a − b = −c 3 21 Câu 69 [2D3-2-MĐ102] Cho ∫x sau đúng? A a + b = −2c dx = a ln + b ln + c ln , với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x+4 B a + b = c C a − b = −c Lời giải D a − b = −2c Chọn A Đặt t = x + ⇒ 2tdt = dx Với x = ⇒ t = ; x = 21 ⇒ t = 21 5 dx dt 1 1 = = ln t − − ln t + = ln + ln − ln Ta có ∫ ( ) ∫ t −4 2 2 x x+4 Câu 70 [2D3-2-MĐ103] Cho x = với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a − b = −c B a + b = c C a + b = −c D a − b = c Lời giải Chọn D e e e e Ta có ∫ ( + x ln x ) dx = ∫ dx + ∫ x ln xdx = e − + ∫ ln xd ( x ) 21 1 e   e e 1 1  x2 = e − +  x ln x − ∫ x d ( ln x )  = e − +  e − ∫ xdx  = e − +  e − 1 2 2 2   e  1 1 e2  = e − + e − +  = e2 + e − 2 2 4 Suy a = ; b = 1; c = − ⇒ a − b = c 4 e Câu 71 [2D3-2-MĐ104] Cho ∫ ( + x ln x ) dx = a.e + b.e + c với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a + b = −c B a − b = −c C a − b = c Lời giải D a + b = c Chọn C e e e ∫ ( + x ln x ) dx = x + ∫ x ln xdx = 2e − + ∫ x ln xdx e 1 dx  u = ln x ⇒ du = x Đặt  dv = xdx ⇒ v = x  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 41/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG e e 42 e e e2 x ln x x e2 x2 e2 ⇒ + x ln x d x = + 2e − ( ) x ln x d x = − d x = − = + ∫ ∫1 ∫ 4 12 4 e Vậy a − b = c Câu 72 [2D3-3-MĐ101] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − g ( x ) = dx + ex + ( a , b , c , d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích y −3 A −1 O B C x D Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng cần tìm −1 −3 −1 S = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx −1 3 3   = ∫  ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x −  dx − ∫  ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x −  dx 2 2 −3  −1  3 Trong phương trình ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = ( *) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) Phương trình ( *) có nghiệm −3 ; −1 ; nên 3     −27 a + ( b − d ) − ( c − e ) − = −27 a + ( b − d ) − ( c − e ) = a =    3    ⇔ − a + ( b − d ) − ( c − e ) = ⇔ ( b − d ) = −a + ( b − d ) − ( c − e ) − = 2    3    a + ( b − d ) + ( c − e ) − = a + ( b − d ) + ( c − e ) = ( c − e ) = −    −1 3 3 1 3 1 3 Vậy S = ∫  x + x − x −  dx − ∫  x + x − x −  dx = − ( −2 ) = 2 2 2 2 −3  −1  2 Câu 73 [2D3-3-MĐ102] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − g ( x ) = dx + ex + ( a , b , c , d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −2 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 42/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập y −2 43 −1 O x Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 37 13 A B C 2 Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f ( x ) g ( x ) D 37 12 ax + bx + cx − = dx + x + ⇔ a + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = ( *) Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình ( *) có ba nghiệm x = −2 ; x = −1 ; x = Ta ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = k ( x + ) ( x + 1) ( x − 1) Khi −4 = −2k ⇒ k = Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ∫ ( x + ) ( x + 1) ( x − 1) dx = −2 37 2 Câu 74 [2D3-4-MĐ103] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − g ( x ) = dx + ex = (a , b , c, d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) y x −3 −1 O Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho 125 253 253 125 A B C D 12 12 48 48 Lời giải Chọn C Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) ⇔ ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = ( 1) 2 3 Đặt m = b − d , n = c − e , phương trình ( 1) có dạng ⇔ ax + mx + nx − = ( ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; ax + bx + cx − = dx + ex + nên phương trình ( ) có ba nghiệm x = −3 ; x = −1 ; x = Do đó, ta có hệ phương trình TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 43/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 44    −27 a + 9m − 3n = a =     ⇔ m = −a + m − n = 2     8a + 4m + 2n = n = −   Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) −2 1 3 3 1 1 253 S = ∫  x + x − x − ÷dx − ∫  x + x − x − ÷dx = 4 2 4 2 48 −3  −2  Cách 2: Từ giả thiết ta có: f ( x ) − g ( x ) = k ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) ⇒ f ( ) − g ( ) = k ( + 3) ( + 1) ( − ) ⇒ k = Vậy f ( x ) − g ( x ) = Khi đó: S = −2 ∫ −3 ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) 1 ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) dx + ∫ ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) dx Bấm máy đáp án C 4 −2 Câu 75 [2D3-4-MĐ104] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + 3 g ( x ) = dx + ex − ( a , b , c , 4 d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −2 ; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích y ∫7dx=7 +C x x+1 −2 A 125 48 B 253 24 O x 125 24 Lời giải C D 253 48 Chọn D Ta có: f ( x ) − g ( x ) = ⇒S= 1 ( x + ) ( x − 1) ( x − 3) = ( x3 − x − x + ) 4 −2 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx Câu 76 [2D3-3-MĐ101] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − 2 f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) A − 35 36 B − C − 19 36 D − 15 Lời giải Chọn B TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 44/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 45  ′ Ta có f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇔ = 2x ⇔  = − x2 + C  = −2 x ⇔ f ( x)  f ( x )   f ( x)  Từ f ( ) = − suy C = − 2 f ( 1) = =−  1 Do −12 +  − ÷  2 f ( x) ≠0 f ′( x) Câu 77 [2D3-3-MĐ102] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) A − 11 B − C − Lời giải D − Chọn B Từ hệ thức đề cho: f ′ ( x ) = x  f ( x )  (1), suy f ′ ( x ) ≥ với x ∈ [ 1; 2] Do f ( x ) hàm không giảm đoạn [ 1; 2] , ta có f ( x ) ≤ f ( ) < với x ∈ [ 1; 2] Chia vế hệ thức (1) cho  f ( x )  ⇒ f ′( x)  f ( x )  = x, ∀x ∈ [ 1; 2] Lấy tích phân vế đoạn [ 1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: f ′( x) 2 −1 1 ∫1  f ( x )  dx = ∫1 xdx ⇒ ∫1  f ( x )  df ( x ) = ⇒ f ( x ) = ⇒ f ( 1) − f ( ) =     Do f ( ) = − nên suy f ( 1) = − 3 Chú ý: tự kiểm tra phép biến đổi tích phân có nghĩa Câu 78 [2D3-3-MĐ103] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f ′ ( x ) = x  f ( x )  với 25 x ∈ R Giá trị f ( 1) A − 10 B − 41 400 C − 40 D − 391 400 Lời giải Chọn A f ′( x) f ′( x) = 4x ⇒ ∫ dx = ∫ x dx ⇔ − f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇒ 2  f ( x )  f ( x)   f ( x )  ⇔− 3 = x4 1 1 + = 15 ⇔ 25 + = 15 ⇔ f ( 1) = − f ( ) f ( 1) f ( 1) 10 Câu 79 [2D3-3-MĐ104] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) A − 35 B − 79 20 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C − D − 71 20 Trang 45/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Lời giải Chọn C f ′( x) 1  ′ 3 ⇒ = − x4 + C ⇔ = x Ta có f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇔ = − x  f ( x) f ( x)  f ( x)  Mà f ( ) = − nên C = −1 −4 Khi f ( x ) = x +4 Vậy f ( 1) = − ∫ Câu 80 [2D3.2-1-MH2019] Cho f ( x ) dx = A −3 ∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx C −8 Lời giải B 12 46 D Chọn C 1 0 Ta có ∫ g ( x ) dx = ⇔ 2∫ g ( x ) dx = 10 ⇔ ∫ g ( x ) dx = 10 1 0 Xét ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = − 10 = −8 x Câu 81 [2D3.1-1-MH2019] Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e + x x B e + A e x + x + C x +C x e + x + C D e x + + C x +1 C Lời giải Chọn B Ta có ∫( e x + x ) dx = e x + x +C Câu 82 [2D3.3-2-MH2019] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo công thức đây? y y = x2 − 2x −1 −1 O x y = − x2 + A ∫ ( 2x −1 C 2 − x − ) dx B ∫ ( −2 x + ) dx −1 ∫ ( x − ) dx D −1 ∫ ( −2 x −1 + x + ) dx Lời giải Chọn D Ta thấy: ∀x ∈ [ −1; 2] : − x + ≥ x − x − nên S = ∫ ( − x + 3) − ( x − x − 1)  dx = −1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập ∫ ( −2 x −1 + x + ) dx Trang 46/48 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 47 Câu 83 [2D3.1-2-MH2019] Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) A x ln x + x B x ln x + x C x ln x + 3x + C D x ln x + x + C Lời giải Chọn D Cách Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ x ( + ln x ) dx = ∫ xdx + ∫ x ln xdx + Tính ∫ xdx = x + C1 + Tính ∫ x ln xdx  u = ln x  du = dx ⇒ x Đặt  dv = xdx v = x  2 Suy ∫ x ln xdx = x ln x − ∫ xdx = x ln x − x + C2 Do I = x ln x + x + C Cách Ta có ( x ln x + x ) ′ = ( x ) ′ ln x + x ( ln x ) ′ + ( x ) ′ = x.ln x + x + x x = x ( + ln x ) Do x ln x + x nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) Hay x ln x + x + C họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) Câu 84 [2D3.2-2-MH2019] Cho xdx ∫ ( x + 2) = a + b ln + c ln với a , b , c số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c A −2 Chọn B xdx B −1 C Lời giải D 1 x + 2) − ( dx 2dx ∫0 ( x + ) = ∫0 ( x + 2) dx = ∫0 x + − ∫0 ( x + ) = ln ( x + ) 1 ( x + 2) − −1 −1 = ln − ln + − = − − ln + ln 3 Vậy a = − ; b = −1; c = ⇒ 3a + b + c = −1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 47/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 48 Trang 48/48 ... Lời giải Chọn A Cách 1: Áp dụng công thức SGK Cách 2: Trắc nghiệm Vì tốn tính thể tích nên đáp án phải có π cơng thức ⇒ Loại B, D Vì cơng thức có f ( x ) cơng thức ⇒ Loại C Phân tích phương án... hàm số f ( x ) = A I = e B I = e TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I = D I = ln x Tính F ( e ) − F ( 1) x D I = Trang 3/48 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG... = Mệnh đề đúng? A S = π ∫ e dx 2x B S = ∫ e dx x C S = π ∫ e dx x 2x D S = ∫ e dx Câu 57 [2D3-1-MĐ102] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng?