GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 181 , n=1,2 xác đònh sau: Dãy số vô{ u haïn n} u1 = u +1 = + u1 u u n Với n = 1,2 n Đặt Sn ∑u k =1 Tìm lim S n 1→ ∞ k Bài giaûi: u i +1 = + u1u u i ∀i = 1,2 hay ⇒ u i +1 − = u1u u i = u i (u1u u i −1 + − 1) u1+1 − = u i (u i − 1)∀i = 2,3, Mặt khác hiển nhiên u i > ta 1∀icó = 2,3 Từ lập luận ta suy u i +1 − 1 1 = − ∀i = 2,3, u i (u i − 1) u i − u i = 1 n n ( − − )= 1 1 ⇒ Sn = ∑ = +∑ = + ∑ u k − u k − u k +1 − u1 k = u k u1 k =2 k =1 u k n 1 + = u1 u − u n +1 − Do u1 = 1, u = + u1 = ⇒ S n = − Từ (1)⇒ lim S = − lim n 1 (1) u n +1 − (2) u n +1 − Do u1+1 − = u1u u n > u1 (1 + u1 ) n −1 = n −1 n →∞ n →∞ ⇒ lim(u n +1 − 1) = +∞, n→ Vậy từ (2) lim Ssuy n = n →∞ (Chú ý:Do { ui} = + u1 +u ; u = + u1u = + u1 (1 + u1) > + u1 u n > + u1 ⇒ u1u .u n > u1 (1 +u ) n −1) Baøi 183: Cho u1 số thực cho trước { u n } Dãy xác đònh sau: u n +1 = u n (1 − u n ), n = 1,2 Tìm giá trò u1, cho tồn giới hạn hữu { u n } hạn dãy số nói Bài giải Xét hai khả sau đây: Nếu0 ≤ u1 ≤ Ta chứng minh đồng thời dãy cho thỏa mãn hai điều sau đây: 0 ≤ u1 ≤ 1(1)∀n ∈ N u n +1 ≤ u n (2)∀nN Thaät vaäy ta dùng nguyên lý quy nạp để chứng minh Với n=1, ta có theo 0giả Giả thiết (1) ≤ u1 ≤thiết đến n = k, tức ta có ≤ uk ≤ Do ñoù ≤ − u k ≤ ⇒ ≤ u k (1 − u k ) ≤ u k ⇒ ≤ u k +1 ≤ u k Do u k ≤ ⇒ ≤ u k +1 ≤ Vậy (1) với n=k+1 Theo nguyên lý∀quy n ∈ N nạp Ngay ∀n ∈ N cách chứng minh trên, ta thấy (2) Và (1)(2) chứng minh Điều ấy{ ucó nghóa n} dãy đơn điệu giảm bò chặn adưới = lim u nTheo nguyên lý giới n → +∞ hạn tồn tại: (3) Vaøu n +1 = u n (1 − u n ) = u n − u n , ta có , từ (3) suy phương lim u n +1 = lim u n − lim (u n2 ) n → +∞ n → +∞ n → +∞ trình sau a = a − a2 ⇒ a = Như lim u n = 0, n → +∞ neáu ≤ u1 ≤ Nếu {.uKhi u1 > u1 < 2} = u (1 − u1 ) < ⇒ u n < 0∀n = 2,3 v n +1 = v n (1 + v n ), n = 1,2 nên từ suy dãy đơn điệu tăng { } Nếu bò chặn trên, theo nguyên lý tồn giới hạn β =hữu lim v nhạn, suy tồn n → +∞ Từ v n +1 = u n (1 + v n ) ⇒ β = β + β ⇒ β = Đó điều vô lý, đơn điệu tăng mà { v n } v2>0 Như không bò chặn trên, tức lim v n = +∞ ⇒ lim u n = −∞ n → +∞ n → +∞ Tóm lại dãy cho tồn giới hạn hữu 0hạn ≤ u1 ≤khi { } Bài 185 Cho dãy {số xác đònh sau: } u1 = u n2 u = + u n , n = 1,2 n +1 1996 Tìm lim u1 + u + + u n n → +∞ u u n +1 u3 Bài giải: Từ hệ thức cho ta có: u n +1 − u n = u n2 , n = 1,2 1996 Hay dạng sau: un , n = 1,2 = 1996 u n +1 u n +1 Trong đẳng thức cho n=1,2 ,k cộng k đẳng thức vế với vế ta Ta CM dễ dàng tăng {u n } Chỉ có hai khả sau xảy ra: Nếu dãy bò chặn Khi theo lý thuyết giới hạn, {u n } tồn giới hạn hữu hạn Chú ý a>1 u n2 u Từ n +1 1996 + u n u2 Hay ta có phương trình sau: ⇒ lim u n +1 = lim n + u n n → +∞ n → +∞ 1996 a2 a= +a 1996 Đó điều vô lý Điều { u ncó } nghóa dãy ⇒a=0 không bò chặn mà đơn điệu tăng, nên Từ (1) suy u u u = 1996 lim + + + k = 1996 = lim 19961 − k → +∞ u k →∞ u3 u k +1 u k +1 Bài 186 Cho dãy {số thỏa mãn điều kiện sau: un } 0 < u n < u n +1 (1 − u n ) , Tìm lim u n = a, n=1,2 n → +∞ Bài giải Từ giả thiết suy áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương u − uvà : u + (1n+1 ) ≥ 21-u u n (1 − u ) > = n +1 n +1 n n ⇒ u n +1 > u n ∀n ∈ N Như dãy đơn điệu tăng , bò chặn {u n } Theo nguyên lý giới hạn, tồn giới hạn hữu hạn lim u n = a n → +∞ Do u n +1 (1 −u n ) > ∀n ⇒ lim u n +1 (1 − u n ) ≥ n → +∞ ⇒ a − aa ≥ 4 1 ⇒ a − ≤ 2 1 ⇒ a = ⇒ lim u n = n → +∞ 2 Bài 187 Cho ba số a, b, c Lập dãy { v n } số { wn } luaät sau: u1 = a, v1 = b, w1 = c , , theo quy u n = v n −1 wn −1 ;v n = w n −1 u n −1 ; v n = u n −1 v n −1 ; n = 2,3 lim u n lim v,n Tìm giới hạn , n → +∞ n → +∞ Bài giải: Theo cách xác đònh dãy ta có: lim u n lim v n, lim wn , Tìm giới hạn n → +∞ n → +∞ n → +∞ Bài giải: Theo cách xác đònh dãy, ta có: u n = v n −1 wn −1 v n = w n −1 u n −1 v n = u n −1 v n −1 = u n −1v n −1 wn −1 p dụng liên tiếp phép biến đổi trên, ta đến u n v n wn = u n v n wn = abc (1)∀n ∈ N Ta lại có u n wn = wn −1u n −1 u n −1v n −1 = u n −1 v n −1 ; n = 2,3 Theo (1) suy v n wn = abc u n −1 ⇒ un = abc = abc ∀n = 2,3 v n wn u n −1 ⇒ u n = ( abc ) ( u n−1 ) −1 / 1/ 1/ −1 / −1 / ] = ( abc ) [( abc ) ( u n −2 ) 1 − = ( abc ) = ( abc ) 1/ [( abc ) 1 − + 1/ ( u n−3 ) −1 / ] 1/ = ( u n −3 ) −1 / = 1 1 − + − + ( −1) n n −1 = ( abc ) ⇒ ( abc ) a àn −1, u1 ( −1) n +1 n −1 pn 1 1 − + + (−1) n n −1 = n 1 1 − − n = 1 − − 1 1− − 2 n −1 ngoaøi lim ara = abc n → +∞ ⇒ lim p n = , n → +∞ pn = (1) Tương tự, cólim wn = lim = abc n → +∞ Baøi 188 Cho dãy {số un } n → +∞ thỏa mãn điều kiện u = u1 = u n +1 = u n + u n −1 , Chứng minh {dãy un } N = 1,2, có giới hạn lim u n tìm n → +∞ Bài giải: Dễ thấy u n > 0∀n = 0,1,2 đến Ta có u = u + u = ⇒ u < u 1 Ta chứng minh un < un+1 (1) Thật theo (1)đúng n = giả sửn (1)đã ≤k Ta có: u k +1 = u k + u k −1 < u k + u k +1 = u k + Vậy (1) với n = k+1 Theo nguyên lý qui ∀nạp n ∉ Nthì (1)đúng Như dãy đơn điệu tăng bò chặn 4, {u n } nênlim tồn giới hạn hữu hạn un = a > n → +∞ Bây công thức xác đònh dãy: u n +1 = ( ) u n + u n −1 , lim u n +1 = lim n → +∞ n → +∞ ( ) u n + u n −1 , hay a=2 a ⇔ a = 4a ⇔ a = lim u n = n → +∞ Bài 191 Cho a>0 Lập dãy số {un} sau: u = a , n = 0,1,2 u n +1 = u n + u Chứng minh nrằng: u n3 =3 n n → +∞ Xây ndựng dãy v=∑ k =1u4k hữu hạn lim Chứng minh tồn giới lim v n hạn n → +∞ Bài giải: Từ cách xác đònh dãy, có ∀n = 0,ta 1,2 3 u n3+1 = u n3 +33 + 33 + u1 > uu0n + 3u n Do u n > 0∀nu=23 0>,1u,213 +3 3 u n +1 > u n + u > u + k −2 k −1 u k3 > u k3−1 + (1) từ (1) ta suy ( 2) Cộng vế k bất đẳng thức∀trên, k ∈ N ta đến có: u k3 > u 03 + 3k Từ (1) (3) suy ∀k ∈N ( 3) , ta coù: 1 + < u k3 + + + k 9k u0 u 03 + 3k ( ý lầnu knữa ) > 0∀klà ∈N Như ta đến bất đẳng thức sau ∀k ∈ N 1 u k3+1 < u k3 + + + < u k3 + + + 2 k 9k u + 3k u 03 + 3k u k3+1 < u k3 + + ( ) ( ) Trong (4)lần lượt thay k = 1,2 , n-1 cộng lại ta coù ( 5) n −1 k =11 k n −1 1 n −1 ⇒ u n3 < u13 + 3n + ∑ + ∑ k =1 k k =1 k n Chú ý raèng 1 1 < 1+ + + + ∑ k 1.2 2.3 ( n − 1) n k =1 u n3 < u13 + 3( n − 1) + ∑ 1 1 1 1 = + 1 − + − + + − 2 3 n −1 n n ⇒∑ u k u k +1 u k u k +1 u k +1 ta coù (do uk < uk+1) ( 6) 1 − > u k u k +1 u k +1 Trong (9) cho k = 0, ., n –1 cộng vế bất đẳng thức ta n 1 1 − > ∑ ⇒ v n < ∀n ∈ N u u n k =1u4k a bò chặn Rõ ràng dãy đơn điệu tăng, { }, n ∈ N a giới hạn , theo nguyên lý giới hạn, tồn hữu hạn lim v n n → +∞ Đó đ.p.c.m Bài 193: Cho dãy {un} xác đònh sau: u1 = Tìmu n = + u n −1, lim u n n = 2,3 n → +∞ Bài giải: Ta chứng minh u n +1 > u n (1)∀n ∈ N Với n = 1, ta ucoù + u1 = 2 = u1 (1) n = giả = sử (1) ến n = k, tức ta có k +1 > u k Theo cách xác đònh dãy u k + > + u k = u k +1 Vaäy (1) n = k + Theo nguyên lý quy∀ nạp (1) n Ta chứng minh u n < 2(2)∀n ∈ N Rõ ràng u1 = < Giả sử (2) đến n = k, tức u k < Ta coù u k +1 + u k ⇒ u k +1 = +u k < + (Theo giả thiết quy nạp) ⇒u Từ công thức xác đònh dãy , ta có sau lấy u n +1 = + u n giới hạn hai vế Vậy a = + a ⇔ a2 − a − = (doa > ) ⇔a=2 lim u n = n → +∞ Bài 195: Choα hai số dương cho trước Hai dãy số β α > βtrong {un} {vn} , n = 0, 1, 2, , xác đònh sau: u = α , v0 = β u n + u n +1 = v = u v n n n +1 u n = lim v n Chứng minh nlim → +∞ n→+ Vớin ∈ N Bài giải: Ta có v = u v + αβ > β = v (do α>β 0 ) u + v0 α + β = < α = u0 Giaû sử2ta đã2chứng minh v0 < v1 < v2 < < vk u1 = U0 > u1 > u2 > > uk Ta coùv k +1 = u k v k (1) Chú ý rằngu k −1 + v k −1 (chú ý ta uk = > u k −1 v k −1 = v k có u0 > v0 nên u1 > 2v0 neân u1> v1, u1 > v1, u2 > v2 , uk-1 > vk-1) Vaäy từ (1)ta suy vk +1 > vk Tương tự ta coù u k +1 = u k + vK < uk Vậy ta có: v0 < v1 < v2 < < < vn+1 < u1 < u0 Điều có nghóa {un} dãy đơn điệu giảm bò chặn ,còn {v0} dãy đơn điệu tăng bò chặn u0 = a lim u n = a lim v n = b +∞ n → +∞ Như tồnn→tại Mặt khác từ u n +1 u n + Suy lim ( u n +1 ) = n → +∞ ( lim u n + lim v n n → +∞ n→+∞ ) ( a + b) ⇒ a = b nghóa tồn giới Điều có hữu lim u nhạnlim u n haïn lim u n = lim v n ⇒a= mà Bài 196 Cho α β sau: n → +∞ n → +∞ n → +∞ n →∞ hai số dương cho trước Lập dãy soá {u n} u = a, u = β u n −1 + u n −2 , u n = Tìm lim u n n→+∞ Bài giải u + u n −1 u n +1 = n n = 1,2 Từ ⇒ 2u n +1 = u n + u n −1 ⇒ 2( u n +1 − u n ) = −( u n − u n −1 ) ⇒ u n +1 − u n = − ( u n − u n −1 ) , n ∈ N v n = u2n − u n −1, n ∈ N u Đưa vào dãy n = u n − u n −1 , n ∈ N , v n,+1ta = −coù u n = ( u n − u n −1 ) + ( u n −1 − u n −2 ) + + ( u1 − u ) + u = = v n + v n −1 + + v1 + v (1) Do v1,v2 , , cấpsố nhân q = −1 / 2với ⇒ n v1 1 − − n ( 2) v1 + + v n = = v1 1 − − 1 1− − Thay v1 = u1 − u = β − α 2và từ (1) (2) ta suy u = a, ( β − α ) 1 − (− ) n + α α +β ⇔ lim un = ( β − α ) + α = 3 un =