GIỚI HẠN CỦA DÃYSỐ Bài 181 , n=1,2 xác đònh sau: Dãysố vô u haïn n u1 1 u 1 1 u1 u u n Với n = 1,2 n Đặt Sn u k 1 hay Tìm lim S n 1 k Bài giải: a lim u n n Mặt khác hiển nhiên u i ta 1icó 2,3 Từ lập luận ta suy u i 1 1 i 2,3, u i (u i 1) u i u i 1 n n ( ) 1 1 S n u k u k u k 1 u1 k 2 u k u1 k 2 k 1 u k n 1 u1 u u n 1 Do u1 1, u 1 u1 2 S n 2 Từ (1) lim S 2 lim n 1 (1) u n 1 (2) u n 1 Do u11 u1u u n u1 (1 u1 ) n 2 n n n lim (u n 1 1) , n Vậy từ (2) lim Ssuy n 0 n (Chú ý:Do ui 1 u1 u ; u 1 u1u 1 u1 (1 u1) u1 u n u1 u1u .u n u1 (1 u ) n 1) Bài 183: Cho u1 số thực cho trước u n Dãy xác đònh sau: u n 1 u n (1 u n ), n 1,2 Tìm giá trò u1, cho tồn giới hạn hữu u n hạn dãysố nói Bài giải Xét hai khả sau đây: Nếu0 u1 1 Ta chứng minh đồng thời dãy cho thỏa mãn hai điều sau đây: u1 1(1)n N u n 1 u n (2)nN Thaät vaäy ta dùng nguyên lý quy nạp để chứng minh Với n=1, ta có theo 0giả thiết Giả thiết (1) u1 đến n = k, tức ta có u k 1 Do ñoù 1 u k 1 u k (1 u k ) u k u k 1 u k Do u k 1 u k 1 1 Vậy (1) với n=k+1 Theo nguyên lýquy n N nạp Ngay n N cách chứng minh trên, ta thấy (2) Và (1)(2) chứng minh Điều ấy ucó nghóa n dãy đơn điệu giảm bò chặn adưới lim u nTheo nguyên lý giới n hạn tồn tại: (3) Vaøu n 1 u n (1 u n ) u n u n , ta coù , từ (3) suy phương lim u n 1 lim u n lim (u n2 ) n n n trình sau a a a a 0 Như lim u n 0, n u1 1 Nếu .uKhi u1 u1 u (1 u1 ) u n 0n 2,3 v n 1 v n (1 v n ), n 1,2 nên từ suy dãy đơn điệu tăng Nếu bò chặn trên, theo nguyên lý tồn giới hạn hữu lim v nhạn, suy tồn n Từ v n 1 u n (1 v n ) 0 Đó điều vô lý, đơn điệu tăng mà v n v2>0 Như không bò chặn trên, tức lim v n lim u n n n Tóm lại dãy cho tồn giới hạn hữu 0hạn u1 Bài 185 Cho dãy số xác đònh sau: u1 1 u n2 u u n , n 1,2 n 1 1996 Tìm lim u1 u u n n u u n 1 u3 Baøi giải: Từ hệ thức cho ta có: u2 u n 1 n , n 1,2 1996 un , n 1,2 k 1996 u n 1 u n u n 1 Hay dạng sau: