THÔNG TIN TÀI LIỆU
Tên báo cáo: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ STOLZ VÀ ĐỊNH LÝ CESARO TRONG GIẢI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ - Người báo cáo: Nguyễn Chiến Thắng – Giáo viên trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - Địa email: nguyenchienthang@chuyen-qb.com - Số điện thoại: 0914864224 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế thường xuất toán dãy số Để giải toán dãy số đòi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số, vấn đề quan tâm nhiều tính chất số học tính chất giải tích dãy số Trong trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phần giới hạn dãy số, đa số học sinh lung túng lựa chọn phương pháp giải đứng trước toán dãy số Tổng kết kinh nghiệm qua trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, qua trao đổi kinh nghiệm với số giáo viên dạy giỏi mơn tốn Từ đó, xây dựng hệ thống tập điển hình gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ tìm giới hạn dãy số cách vận dụng định lý Stolz định lý trung bình Cesaro NỘI DUNG ĐỀ TÀI Định lý Stolz: Định lý Stolz Cho hai dãy số thực (an )n1 ,(bn )n1 cho a) Dãy số (bn )n1 dãy tăng ngặt, không bị chặn an 1 an L n b b n 1 n b) Tồn giới hạn lim a bn an L n b n Khi đó, dãy số ( n )n1 có giới hạn hữu hạn lim Chứng minh: Xét trường hợp L giả sử (bn )n1 dãy tăng ngặt, lim bn n Với lân cận V V(L) , tồn cho (L ;L ) V Chọn an L, đó, tồn k n b n Giả sử lim * cho | cho an 1 an L | , ta bn 1 bn thấy (L )(bn1 bn ) an1 an (L )(bn1 bn ), n k Ta viết bất đẳng thức từ k tới n ta có: (L )(bk 1 bk ) ak 1 ak (L )(bk 1 bk ) (L )(bk 2 bk 1 ) ak 2 ak 1 (L )(bk 2 bk 1 ) … (L )(bn bn1 ) an an1 (L )(bn bn 1 ) Cộng tất bất đẳng thức ta có (L )(bn bk ) an ak (L )(bn bk ) Vì lim bn nên kể từ số hạng dãy ta có n (L )(1 bk a a b ) n k (L )(1 k ) bn bn bn bn (L ) ak ( L)b k an a ( L)b k (L ) k bn bn bn ak ( L)bk a ( L)bk lim k 0 n n bn bn Vì lim Nên tồn số p * cho n p ta có ak ( L)bk ak ( L)bk , ( ; ) bn bn Suy ak ( L)b k a ( L)b k k bn bn Chọn m max{k, p} , n m ta có L an L , tức bn an a V lim n L n b bn n Phần lại chứng minh định lý L , trường hợp chứng minh tương tự cách chọn V (, ) V (, ) , tương ứng t: Chọn dãy (vn )n1 với số hạng tổng quát n vn1 nên từ định lí stolz ta có Nh n Định lý trung bình Cesaro Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn L dãy số trung bình cộng u1 u2 un có giới hạn L n Chứng minh Với , lim un L nên có số tự nhiên k để n k ta có un L Với n k , xét: u1 u2 un u u uk kL (uk 1 L) (uk 2 L) (un L) L n n n u1 u2 uk kL (n k ) u1 u2 uk kL uk 1 L uk L un L n n n n u1 u2 uk kL n Tồn số tự nhiên m cho u1 u2 uk kL m Khi đó, với n m ta có u1 u2 uk kL n Suy ra, với n maxk ; m ta có Vậy lim u1 u2 un L n u1 u2 un L n Định lý phát biểu dạng tương đương sau: Nếu lim un1 un L lim n n un L n Chứng minh: Ta cần chứng minh cho trường hợp L = Vì nlim un1 un L nên với > tồn N0 cho với n N0, ta có un1 u n Khi đó, với n > N0 ta có un 1 uN u N 1 u N un un1 u N n N n n n n 0 Giữ N0 cố định, ta tìm N1>N0 cho N1 u N u un 2 Vậy nên lim n n n n Khi với n>N1 ta có Ứng dụng: 1k 2k n k n n k 1 Ví dụ 1: ho số nguyên dương ính lim Chứng minh: Xét hai dãy (un )n1 , (vn )n1 với un 1k 2k nk ,vn nk 1 ta có (vn )n1 tăng lim n Khai triển nhị thức Niu-tơn ta có k 1 (n 1) k 1 n k 1 C i0 k 1 i i k 1 n n k 1 k (k 1)n C i i k 1 n i0 k 1 o số hạng tổng hữu hạn gồm k số hạng C i i k 1 n ậc n cao i0 k 1 k-1 nên lim C i i k 1 n i0 nk n un 1 un (n 1)k lim Từ ta có lim n v n (n 1)k 1 n k 1 n 1 u 1k 2k n k lim n k n n v k 1 n n heo định lí stolz suy lim Ví dụ 2: Cho (xn )n1 dãy số thực với xn 0, n lim n n n lim n k 1 xn xn Chứng minh n Giải: heo định lý Stolz, ta có lim n n n k 1 xn lim n xn n 1 n lim n 1 n n xn lim n n 1 x n 1 n Ví dụ 3: Cho (xn )n1 dãy số thực với x n k.k! k 1 (n 1)! Tìm giới hạn dãy số (xn )n1 Giải: heo định lý Stolz, ta có lim x n lim n n (n 1)(n 1)! (n 1)(n 1)! lim n (n 2)! (n 1)! (n 1)(n 1)! x1 Tìm giới hạn x x x x n 1 n Ví dụ 4: Cho (xn )n1 dãy số thực với dãy số (un )n1 , với un xn , n n Giải: Tất số hạng dãy số (xn )n1 số dương x2n1 x2n xn , n Dãy số (x n )n1 dãy tăng ngặt o đó, dãy số (xn )n1 bị chặn dãy số (xn )n1 tồn giới hạn hữu hạn L Qua phương trình giới hạn ta có, L2 L2 L L Điều trái với giả thiết xn 1, n Do vậy, lim xn n Lại có, x2n 1 x n x , n Suy ra, lim n 1 n x xn n 1 heo định lý Stolz, ta có xn x x x2 x2 xn 1 lim n 1 n lim n 1 n lim lim n n n (n 1) n n x x n n x n 1 x n n x n 1 11 n 1 1 xn lim Ví dụ 5: Tìm lim n ln(n!) n ln(n) n Giải: heo định lý Stolz, ta có ln(n!) n ln(n) ln(n 1) (n 1) ln(n 1) n ln(n) lim n n n (n 1) n lim ln(1 ) n ) 1 lim (n ln(n 1) n ln(n)) lim ( n n n n Ví dụ 6: Cho (xn )n1 dãy số thực với lim x n n x k Chứng minh k 1 lim 3nx n n n Giải: Ta có Sn x , (x S ) tiến tới Dãy (S ) dãy tăng ngặt Nếu (S ) hội k n n n n k 1 tụ tới L x n có Sn L n o đó, ta có lim Sn lim n n x k 1 k n x k Điều mâu thuẫn k 1 lim x n n Hơn nữa, lim xn Sn lim (S3n S3n1 ) lim x2n (S2n SnSn1 S2n1 ) n n n heo định lý Stolz, ta có 3 3nx n Sn S3n S3 S3n 1 3n lim 3nx n lim 1 lim n Ta suy ra, lim n S n n n n n n (n 1) S n n lim 0 x1 Ví dụ 7: Cho (xn )n1 dãy số thực với x n 1 x n x n , n Chứng minh lim nx n n Giải: Ta có dãy (xn )n1 dãy giảm bị chặn Nên (xn )n1 tồn giới hạn hữu hạn L Khi đó, L L L2 L Xét dãy số y n , n heo định lý Stolz, ta có xn yn y y x x n 1 x 2n lim n 1 n lim n lim lim n n n (n 1) n n x x n x (x x ) n x n n 1 n n n n lim Ví dụ 8: Cho (xn )n1 x1 dãy số thực với Tìm giới hạn x2n x , n n 1 n 1 n sau lim x k 1 n n k k k 1 Giải: Sử dụng quy nạp ta có xn 2, n x n 1 22 n n 1 heo định lý Stolz, ta có n lim x k 1 n n k 1 k xn x 2n 1 lim lim n n n n n k * Ví dụ 9: ho dãy số (un )n1 xác định u1 un1 u1 u2 un , n un n n ính lim thấy un 0, n Giải: * u2n1 u1 u2 un u2n1 u2n un 0, n * iả sử tồn lim un a , từ đẳng thức Do (un )n1 dãy tăng n u2n1 u2n un chuyển qua giới hạn thu a2 a2 a a v lí, (un )n1 tăng u1 ) ậy lim un n lim (un 1 un ) lim ( u2n un un ) lim n n n un n u un un lim n 1 1 un un n n heo định lí stolz suy lim Ví dụ 10: ho dãy số (un )n1 xác định u1 2 un1 4un , n * ính lim nun n Giải: a có un1 2un 4un Mặt khác, un 1 4un 2un 1 4un 4u2n 1 4un 1 4un un1 un u2n1 un1 un , n * (2) suy (un )n1 có giới hạn iả sử lim un a , từ đẳng thức n un1 un u2n1 chuyển qua giới hạn ta a2 a a a a có 1 1 un 1 un un 1 un 1 un 1 un 1 Suy ra, lim ( n 1 ) lim ( ) 1 n un 1 un un 1 1 lim nu n 1 n nu n heo định lí stolz, ta có lim n Cho dãy số xn với n 1, 2, xác định bởi: Ví dụ 11: x1 a, a 1 x2 x x – lnx (n *) n n n n 1 Đặt Sn (n k )ln x2 k 1 k 1 S (n 2) Tìm lim n n n Giải: Nhận xét x2n 1, n 1, 2, ln1 suy nlim x2 n Tiếp theo ta chứng minh dãy x2 n1 có giới hạn 1 x Xét hàm số f x x – lnx liên tục đồng biến (1; ) f ’ x với x rước hết, ta chứng minh phương pháp quy nạp, dãy x2 n1 bị chặn Theo giả thiết x1 a , giả sử x2k 1 f x2k 1 f 1 nên hiển nhiên x2k 3 tức dãy x2 n1 bị chặn Tiếp theo ta chứng minh dãy x2 n1 dãy giảm Thật vậy, x2n1 nên lnx2 n1 x2n3 – x3n1 lnx2 n1 0, tức dãy x2 n1 dãy giảm x2 n1 Chuyển qua giới hạn dãy số Từ suy x2 n1 có giới hạn c nlim ta c c – lnc c Vậy dãy số xn có giới hạn x1 x2 x2 n 2n heo định lý Cessaro, ta có nlim 1 ( x1 x3 x2 n1 ) ( x2 x4 x n ) 1 2n hay nlim nx (n 1)ln x1 (n 2)ln x3 ln x2 n3 n lim 1 n 2n a S 1 S lim n hay lim n x x n 2 n a 1 Ví dụ 12: Cho dãy số un : u1 0;1 ; un1 un un2 n Tìm giới hạn lim n n 1 nun ln n Giải: Ta chứng minh nlim un Thật vậy, ta có u u1 u2 u1 1 u1 u2 0;1 , quy nạp ta un 0;1 n u n a Chuyển qua giới hạn biểu D thấy dãy cho giảm nên suy tồn nlim un Áp dụng định lý thức truy hồi cho ta có a a a2 a Vậy nlim trung bình Cesaro ta có un un un2 un un un 1 1 lim lim lim lim lim lim 1 n nu n n n u n n u un un un n n n 1 un n un 1un lim nun n Áp dụng định lý Stolz ta có n n 1 nun nun 1 nun nun un lim lim lim nun lim lim n n n n ln n ln n un ln n un ln n 1 1 1 n 1 n u 1 un un u un nun lim n 1 lim n lim 1 n n n n 1 1 ln e ln n 1 ln n ln 1 un ln 1 n n Ví dụ 13: Cho dãy số dương xn Chứng minh lim xn 2n x1 thỏa mãn x x , n n n x n 10 Giải Từ công thức truy hồi d thấy xn dãy số dương tăng, nên xn bị chặn suy tồn lim xn a Cho công thức truy hồi qua giới hạn ta thu a a a a v lý o dãy xn khơng bị chặn hay lim xn Ta có lim xn 2n lim xn2 , áp dụng định lý trung 2n ình esaro đưa tính x2 x2 lim n 1 n Từ công thức truy hồi suy xn21 xn2 lim xn21 xn2 1 , n xn 2 xn x Vậy lim n xn 2n 0 a1 Ví dụ 14: Cho dãy số an xác định sau an 1 an 1 an , n * Chứng minh a) lim n.an b) lim n 1 an 1 ln n Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh an 0;1 , n * Lại có an1 an an2 an , n Dẫn đến dãy an dãy giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn, lim an a Cho công thức truy hồi qua giới hạn ta có a a 1 a a lim an a) Xét a a an 1 a a n n 1 n n an1 an an1an an 1 an an Áp dụng định lý rung ình esaro ta suy lim lim n.an n.an nan n n an n 1 nan an lim b) Ta có lim , lim nan , nên ta tính lim ln n ln n ln n 11 1 n 1 n 1 1 an 1 an an an an 1 an Xét lim lim lim lim n 1 ln n 1 ln n 1 1 ln ln 1 an ln 1 n n n lim nan 1 an ln 1 n n 1 n n 1 nan an Áp dụng định lý Stolz suy lim Dẫn đến lim ln n ln n 0 a1 Ví dụ 15: Cho dãy số an xác định sau an 1 sin an , n * Chứng minh lim n an Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh an 0; , n Xét hàm số f x x sin x, x 0; , có f ' x cos x 0, x 0; Suy f x đồngi biến 0; f x f 0 0, x 0; x sin x, x 0; Ta có an1 sin an an , n , dẫn đến an dãy số tăng, mà lại bị chặn nên có giới hạn hữu hạn, lim an a Cho công thức truy hồi qua giới hạn tìm a sin a a lim an 1 1 a sin a Xét lim lim lim n 2 n an sin an an1 an sin an an Áp dụng quy tắc L’Hospital thu x sin x x sin x 2cos x lim lim lim x 0 x sin x x 0 x.sin x x sin x x 0 2.sin x x.sin x x cos x lim x 0 1 x x cos x cos x sin x sin x 1 lim an 1 an 12 Áp dụng định lý Trung bình Cesaro suy lim Ví dụ 16: Cho dãy số an Chứng minh lim lim n an n.an2 a1 xác định sau an 1 an n , n ak k 1 an ln n Giải Bằng phương pháp quy nạp chứng minh an , n Từ công thức truy hồi suy an dãy số tăng 2 n 1 Lại có, a 1 2 an an an , lặp lại trình n lần thu a1 an n.an n 1 an21 an2 a12 1 n n Do lim , nên suy lim an n 1 1 Mặt khác an1 an a 1 n1 nan an nan (1) Áp dụng định lý Stolz, ta có n an21 an2 an2 an21 an2 n lim lim lim lim an21 an2 n n 1 ln n 1 ln ln n n 2an nan n lim lim 2 a1 a2 an a1 a2 an a1 a2 an Vì lim n a1 a2 an n , Áp dụng định lý Stolz ta có : n n 1 an1 nan lim n n an nan lim a1 a2 an an 1 an 1 13 1 1 1 a n an Vì 1 n n n n , lim an an 1 1 nan Bài t p rèn luyện x n 1 x n L Chứng minh n n Bài t p 1: Cho (xn )n1 dãy số thực cho lim lim ( x n 1 n n 1 (n 1)! xn n n! ) eL Bài t p 2: ho dãy số (un )n1 u1 xác định un 1 un u2 ,n n 0 u1 Bài t p 3: ho dãy (un )n1 xác định ởi un 1 un (1 un ),n * u * n Tính nlim n ính lim nun n 0 u1 Bài t p 4: ho dãy (un )n1 xác định ởi * 2012 2012u 1,n n un 1 ính u1 u2 un n ln n lim Bài t p 5: ho dãy số (un )n1 ính lim n un ln n u1 xác định ởi un 1 un ,n n u * i i 1 u Bài t p 6: ho dãy số (un )n1 xác định ởi u un 1 e 1,n n * ính lim nun n 14 Bài t p 7: ho dãy số (un )n1 u xác định ởi u u u2 ,n n 1 n n ìm tất * số thực cho dãy số n (nun 1) có giới hạn hữu hạn khác u1 0, u2 Bài t p 8: ho dãy số (un )n1 xác định ởi e n 1 Đặt Sn un e u un ,n n * Sn n n (n k)u2k 1 ính lim k 1 n 0 n u n Bài t p 9: ho dãy số nguyên (un )n1 thỏa mãn lim hứng minh tồn số nguyên dương k cho có 2012 số phương nằm u1 u2 un u1 u2 un1 Bài t p 10: Cho k số nguyên dương dãy số (un )n1 xác định 0 u1 k un 1 un (1 un ),n * ính lim k nun Bài t p 11: ho dãy (un )n1 n u1 xác định ởi u un ,n n 1 2012 u n * un ìm tất số thực cho dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn khác n 15 PHẦN KẾT LUẬN Dãy số lĩnh vực rộng khó, tốn dãy số đa dạng rong đề tài đề cập ứng dụng định lý Stolz định lý trung bình Cesaro để giải số toán giới hạn dãy số Đề tài chọn lọc ài toán điển hình, đặc biệt có nhiều tốn đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế năm gần qua thấy vai trò quan trọng định lý Stolz định lý trung bình Cesaro Qua trình áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy, đặc biệt trình tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi tơi nhận thấy học sinh có thêm phương pháp để giải tốn giới hạn dãy số khó vận dụng cơng cụ khác, học sinh có hứng thú chủ động học tập Khi thực đề tài nhận thấy lực tư kĩ thực thao tác tư tăng lên rõ rệt từ học sinh có cách nhìn nhanh hơn, tốt giải tập Do thời gian hạn chế nên đề tài mối khai thác ứng dụng định lý Stolz định lý trung bình Cesaro vào tốn dãy số mà chưa khai thác phương pháp khác Hy vọng thời gian tới, tác giả hoàn thiện chuyên đề dãy số phục vụ cho dạy bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Tuy nhiên, viết tài liệu tham khảo tốt cho thầy cô dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT em học sinh giỏi mơn tốn 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thpt toán dãy sồ , NXB Giáo dục 2007 [2] Phan Huy Khải, 10.000 toán sơ cấp dãy số giới hạn, NXB Hà Nội 1997 [1] Nguy n ũ Lương chủ biên), Nguy n Lưu Sơn, Nguy n Ngọc Thắng, Phạm ăn Hùng, Các giảng số học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội 2006 [3] Nguy n ăn Mậu, Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2010 [4] Nguy n ăn Mậu (chủ biên), Nguy n ăn iến, Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thơng NXB Giáo dục Việt Nam 2009 [5] Nguy n Sinh Tiến, Nguy n ăn Nho, Lê Hồnh Phò, Tuyển tập dự tuyển Olympic Toán học quốc tế 1991 – 2001, NXB Giáo dục 2003 [6] Nguy n Đ , Nguy n Khánh Nguyên (dịch), Các đề thi vô địch Tốn 19 nước – có Việt Nam, NXB Giáo dục 1996 17 ... với số hạng tổng quát n vn1 nên từ định lí stolz ta có Nh n Định lý trung bình Cesaro Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn L dãy số trung bình cộng u1 u2 un có giới hạn... v k 1 n n heo định lí stolz suy lim Ví dụ 2: Cho (xn )n1 dãy số thực với xn 0, n lim n n n lim n k 1 xn xn Chứng minh n Giải: heo định lý Stolz, ta có lim n n... KẾT LUẬN Dãy số lĩnh vực rộng khó, tốn dãy số đa dạng rong đề tài đề cập ứng dụng định lý Stolz định lý trung bình Cesaro để giải số toán giới hạn dãy số Đề tài chọn lọc ài tốn điển hình, đặc biệt
Ngày đăng: 03/05/2018, 12:39
Xem thêm: