GT thang NC ung dung dinh ly stolz

Tên báo cáo: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ STOLZ VÀ ĐỊNH LÝ CESARO TRONG GIẢI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ - Người báo cáo: Nguyễn Chiến Thắng – Giáo viên trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình.. -

Tên báo cáo: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ STOLZ VÀ ĐỊNH LÝ CESARO TRONG GIẢI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ

- Người báo cáo: Nguyễn Chiến Thắng – Giáo viên trường THPT

Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình

- Địa chỉ email: nguyenchienthang@chuyen-qb.com

- Số điện thoại: 0914864224

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại

số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấn

đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số học và tính chất giải tích của dãy số

Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phần giới hạn dãy số, đa số học sinh vẫn hết sức lung túng khi lựa chọn phương pháp giải khi đứng trước một bài toán về dãy số Tổng kết kinh nghiệm qua quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, qua trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên dạy giỏi bộ môn toán Từ đó, xây dựng được hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ năng tìm giới hạn dãy số bằng cách vận dụng định lý Stolz và định lý trung bình Cesaro

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Định lý Stolz:

 Định lý Stolz

Cho hai dãy số thực (a ) ,(b )n n 1 n n 1 sao cho

a) Dãy số (b )n n 1 là dãy tăng ngặt, không bị chặn trên

b) Tồn tại giới hạn 











n 1 n n

n 1 n

Khi đó, dãy số n n 1

n

a ( )

b có giới hạn hữu hạn và  n 

n n

a lim L.

Chứng minh:

Xét trường hợp L  và giả sử (b )n n 1 là dãy tăng ngặt, do đó

 n  

n lim b Với lân cận V V(L)  , tồn tại   0 sao cho (L      ;L ) V. Chọn  sao cho

   

0 Giả sử

 n  n

n

a lim L,

b do đó, tồn tại 

*

k sao cho 





  



n 1 n

n 1 n

thấy rằng (L  )(bn 1  b ) an  n 1  an  (L  )(bn 1  b ), n kn  

Ta viết các bất đẳng thức này từ k tới n 1  ta có:

(L )(b b ) a a (L )(b b )

…

(L )(b b ) a a (L )(b b )

Cộng tất cả các bất đẳng thức trên ta có

(L )(b b ) a a (L )(b b )

Vì

 n 

n lim b nên kể từ một số hạng nào đó của dãy ta có

(L )(1 ) (L )(1 )

a ( L)b a a ( L)b

Vì

Nên tồn tại chỉ số p  * sao cho   n p ta có

     

a ( L)b a ( L)b

Suy ra   

   

n

a ( L)b

  

  

n

a ( L)b b

Chọn m max{k,p}, thì    n m ta có    n   

n

a

b , tức là



n

Phần còn lại là chứng minh định lý khi L  , nhưng các trường hợp này

có thể chứng minh tương tự bằng cách chọn V ( ,    ) và V (    , ), tương ứng

Nh n t: Chọn dãy (v )n n 1 với số hạng tổng quát vn  n thì vn 1  vn 1 nên

từ định lí stolz ta có

 Định lý trung bình Cesaro

Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là L thì dãy số các trung bình cộng

n

  

  cũng có giới hạn là L

Chứng minh

Với mọi   0, vì limu n L nên có số tự nhiên k để nkta có

2

n

u  L 

Với mỗi nk, xét:

1 2 n 1 2 k ( k 1 ) ( k 2 ) ( n )

L

       

( ) k n k 2





1 2

2

k

n

Tồn tại số tự nhiên m sao cho 1 2

2

k

m

Khi đó, với mọi nm ta đều có 1 2

2

k

u u u kL

n



Suy ra, với mọi n max k;m ta đều có u1 u2 u n

L n

  

Vậy 1 2

limu u u n

L n

  



 Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:

Nếu lim 1 

 n  n 

n u u L thì lim

 n 

n

u L n

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp L = 0

Vì lim 1 

 n  n 

n u u L nên với mọi > 0 luôn tồn tại N0 sao cho với mọi nN0, ta

có u n1u n 

Khi đó, với mọi n > N0 ta có

 0 0 1 0 1  0  0

n

u



Giữ N0 cố định, ta có thể tìm được N1>N0 sao cho

0

1

1

N

N u 

Khi đó với mọi n>N1 ta sẽ có u n 2

n   Vậy nên lim n 0

n

u n

 

2 Ứng dụng:



  

k 1 n

1 2 n lim

n

Chứng minh: Xét hai dãy (u )n n 1 , (v )n n 1 với   k k   k  k 1 

u 1 2 n ,v n ta có



n n 1

(v ) tăng và

 n  

n lim v Khai triển nhị thức Niu-tơn ta có

o các số hạng của tổng hữu hạn gồm k số hạng







k 1 i i

k 1

i 0

C n ậc của n cao nhất

là k-1 nên







k 1 i i 

k 1

i 0 k n

C n

n Từ đây ta có



 



k

n 1 n

k 1 k 1

n 1 n

v v (n 1) n

heo định lí stolz suy ra 



n

k 1

n

u

v k 1 n

Ví dụ 2: Cho (x )n n 1 là dãy số thực với xn   0, n 1 và

 n  

n

x lim

n Chứng minh

rằng







n

k 1 n

Giải: heo định lý Stolz, ta có

 

1 x

Ví dụ 3: Cho (x )n n 1 là dãy số thực với  

 

k 1 n

k.k!

x (n 1)! 1 Tìm giới hạn của dãy

số(x )n n 1

Giải: heo định lý Stolz, ta có

n

(n 1)(n 1)! (n 1)(n 1)!

(n 2)! (n 1)! (n 1)(n 1)!

Ví dụ 4: Cho (x )n n 1 là dãy số thực với



 







1

x 1

x x x x Tìm giới hạn của

dãy số(u )n n 1 , với  n  

n

x

u , n 1.

n

Giải: Tất cả các số hạng của dãy số (x )n n 1 đều là số dương và

    

x x x , n 1. Dãy số (x )n n 1 là dãy tăng ngặt o đó, nếu dãy số (x )n n 1 là

bị chặn thì dãy số (x )n n 1 tồn tại giới hạn hữu hạn L. Qua phương trình giới hạn

ta có, L 2  L L 2    L 0. Điều này trái với giả thiết xn    1, n 1.Do vậy,

 n  

n lim x

Lại có, 2n 1    

2

n n

x 1 1 , n 1.

x



 n 1  n

n

x

x

heo định lý Stolz, ta có





n 1

n

x

x

Ví dụ 5: Tìm





n

ln(n!) n ln(n) lim

n

Giải: heo định lý Stolz, ta có

ln(n!) n ln(n) ln(n 1) (n 1)ln(n 1) n ln(n)

 

1 ln(1 ) n lim ( n ln(n 1) n ln(n)) lim ( ) 1.

1 n



Ví dụ 6: Cho (x )n n 1 là dãy số thực với







n 2

n

k 1

lim x x 1 Chứng minh rằng

 3 

n

n lim 3nx 1.

Giải: Ta có



k 1

S x , (x S )n n tiến tới 1 Dãy (S )n là dãy tăng ngặt Nếu (S )n hội

tụ tới L thì xn  1 0

L và chúng ta có n 2  

k 1

S x Điều này mâu thuẫn

o đó, ta có

 



k 1

lim S lim x và

 n 

n lim x 0.

Hơn nữa,

 n n 

n lim x S 1 và   

 3  3   2 2   2 

n lim (S S ) lim x (S n S S S ) 3

heo định lý Stolz, ta có



 



 

n n (n 1) Ta suy ra, 3    3  3 n n 

n

3nx S 3n

Ví dụ 7: Cho (x )n n 1 là dãy số thực với



  







1

2

0 x 1

x x x , n 1 Chứng minh rằng

 n 

n lim nx 1.

Giải: Ta có dãy (x )n n 1 là dãy giảm và bị chặn Nên (x )n n 1 tồn tại giới hạn hữu hạn L Khi đó, L L L   2   L 0.

Xét dãy số n  

n

1

x heo định lý Stolz, ta có



2

2

Ví dụ 8: Cho (x )n n 1 là dãy số thực với



 





1 2 n

n 1

x 1

x 2

n 1

Tìm giới hạn









n

k

k 1

n

n

k 1

x

lim

1

k

Giải: Sử dụng quy nạp ta có 0 x  n   2, n 2 và







2

n 1

2 2

n 1 heo định lý Stolz, ta có









n

n

k 1

x

lim lim lim n 2

1

n k

Ví dụ 9: ho dãy số (u )n n 1 xác định bởi u 1và 1        *

ính



n

n

u

lim

n

n

u 0, n và 2      2  2     *

u u u u u u u 0, n

Do đó (u )n n 1 là dãy tăng iả sử tồn tại

 n

n lim u a, khi đó từ đẳng thức

  

u u u chuyển qua giới hạn thu được a a2 2    a a 0 v lí, vì (u )n n 1 tăng vàu 1) 1

ậy

 n  

n lim u ừ đó



n

lim (u u ) lim ( u u u ) lim lim

2 1

u

heo định lí stolz suy ra

 n 

n

u 1 lim

n 2

Ví dụ 10: ho dãy số (u )n n 1 xác định bởi u1  2và   

n 1

1 1 4u

2 ính

 n

n lim nu

Giải: a có  

n

n 1

n

2u

1 1 4u

Mặt khác,

1 1 4u

2

u  u u  0 u  u , n

ừ 2 và (2) suy ra (u )n n 1 có giới hạn iả sử

 n 

n lim u a, từ đẳng thức

   2 

n 1 n n 1

u u u chuyển qua giới hạn ta được 2

0.

a có



 2

u u u u u 1 u

Suy ra,



heo định lí stolz, ta có





   n 

n

n n

1 lim 1 lim nu 1.

Ví dụ 11: Cho dãy số  x n với n 1, 2,  được xác định bởi:

1 2

x a, a 1

x 1.

x  x – lnx (n *)





1

n

k







n

S n



 

 

 

Giải: Nhận xét rằng x2n  1,n 1, 2,  do ln1  0 suy ra lim 2n 1

n x

  Tiếp theo ta chứng minh dãy x2n1 cũng có giới hạn là 1

Xét hàm số f x x lnx– liên tục và đồng biến trong (1;  )vì   1

’ 1 0

x

mọi x 1

rước hết, ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, dãy x2n1 bị chặn dưới bởi 1 Theo giả thiết thìx1  a 1 , giả sử x2k1 1 thì f x 2k1 f  1  1 nên hiển nhiên x2k3  1 tức dãy x2n1 bị chặn dưới bởi 1

Tiếp theo ta chứng minh dãy x2n1 là dãy giảm Thật vậy, do x2n1 1 nên

2n 1 0

lnx   vì thế x2n3– x3n1  lnx2n1 0, tức dãy x2n1 là dãy giảm

Từ đó suy ra x2n1 có giới hạn lim 2n 1

n



 Chuyển qua giới hạn dãy số

ta được c –  c lnc c 1. Vậy dãy số  x n có giới hạn là 1

heo định lý Cessaro, ta có 1 2 2

2

n n

n



  

hay ( 1 3 2 1 ) ( 2 4 2 )

2

n

n





 1 ( 1) ln 1 ( 2) ln 3 ln 2 3

2

n n

n





 lim 1 1

n x

S a n



   

1 lim

2

n x

n





  

 

 

u u  u  u u  n

Tìm giới hạn 1 

lim

ln

n n

n nu n





n u

  Thật vậy, ta có

  , bằng quy nạp ta được u n 0;1 n

D thấy dãy đã cho giảm nên suy ra tồn tại lim n

n u a

  Chuyển qua giới hạn biểu thức truy hồi đã cho ta có 2

0

a a a  a Vậy lim n 0

n u

  Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có

2 1

2

1

1 lim 1

n n n

n

n

u u u

nu









Áp dụng định lý Stolz ta có

n

n

nu



 

1

1 1

1 ln 1

n

n

u



 



Ví dụ 13: Cho dãy số dương  x n thỏa mãn

1

1

0 1

n n

n

x

x











Chứng minh rằng lim 1

2

n x

n 

Giải Từ công thức truy hồi d thấy  x n là dãy số dương tăng, nên nếu  x n bị chặn trên thì suy ra tồn tại limx n a Cho công thức truy hồi qua giới hạn ta thu được a a 1 1 0

a a

    v lý o đó dãy  x n không bị chặn hay limx n  

Ta có

2

lim 1 lim 1

2 2

n

n    , áp dụng định lý trung ình esaro đưa về tính

1

lim

2

n n

x  x

Từ công thức truy hồi suy ra

n n

n n

x x

x x







vì lim 1 0

n

x  Vậy lim 1

2

n x

n 

Ví dụ 14: Cho dãy số  a n xác định như sau

 

1

* 1

a





Chứng minh rằng

a) limn a. n 1

b) 1 

ln

n

n a n





0;1 ,

n

a   n Lại có

2

a  a a a  n Dẫn đến dãy  a n là dãy giảm và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn, lima n a Cho công thức truy hồi qua giới hạn ta có

1  0

aa a  a  lima n  0

a) Xét

 

2 1

2

1



Áp dụng định lý rung ình esaro ta suy ra được lim 1 1 lim 1

. n n a n

n a   

n n n

a

n na



 , vì limna n  1, nên ta tính

1 lim ln

n

n a n



Xét

 

1

n

n

1 1 1

lim lim

ln 1 1 ln 1

n

a





 

1

1 ln 1

n

n

n

na

a

n

Áp dụng định lý Stolz suy ra

1 lim 1 ln

n

n a n



 Dẫn đến 1 

ln

n

n na n





1

0 sin ,

a









Chứng minh rằng lim n a. n  3

Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được a n0; ,  n 1

Xét hàm số f x  x sin ,x  x  0;  , có f ' x   1 cosx   0, x  0;  Suy ra

 

f x đồngi biến trên  0;   f x  f  0    0, x 0;  x sin ,x  x 0; 

Ta có a n1  sina n a n,  n 1, dẫn đến  a n là dãy số tăng, mà lại bị chặn nên có giới hạn hữu hạn, lima n a Cho công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

a a a  lima n  0

Xét

1

sin

Áp dụng quy tắc L’Hospital thu được

sin 2 sin 2 2 2 cos 2

.sin 2 sin sin 2 2.sin 4 sin 2 2 cos 2

2 0

lim

3

1 4 cos cos 2 sin sin



1

1 1 1

lim

3

n n

a  a

Áp dụng định lý Trung bình Cesaro suy ra lim 12 3 lim 3

Ví dụ 16: Cho dãy số  a n xác định như sau

1

1

1

1

1

n n n

k k

a

a













Chứng minh rằng lim 1

2 ln

n a

n 

Giải Bằng phương pháp quy nạp chứng minh được a n  0,  n 1 Từ công thức truy hồi suy ra được  a n là dãy số tăng

Lại có,

1

1



 

1 2

n n

Do lim 1 1 1

  , nên suy ra lima n  

1

n n

a



Áp dụng định lý Stolz, ta có

1

1

1

2 ln 2 ln 1

n n

n n n

n a a

a a n

n













n

Vì

1

n

n

n

   khi n , Áp dụng định lý Stolz ta có :

  1

1

n a na



Vì  

1

1 1

1 1

1 1

n

n

a

na



  

n , do lima n  

3 Bài t p rèn luyện

Bài t p 1: Cho (x )n n 1 là dãy số thực sao cho 





 

n 1 n n

x x



n

n n 1

2 (n 1)! n!

Bài t p 2: ho dãy số (u )n n 1 xác định bởi



 







1

*

n

u 0

1

u Tính 

n 3 n

u lim n

Bài t p 3: ho dãy (u )n n 1 xác định ởi 1

*

0 u 1

u  u (1 u ),n







Bài t p 4: ho dãy (u )n n 1 xác định ởi 1

* 2012

0 u

u  2012u 1 1,n

 





n

u u u

lim

ln n



  

Bài t p 5: ho dãy số (u )n n 1 xác định ởi

1

*

i

i 1

u 1

1

u





 









n

u

lim

ln n



Bài t p 6: ho dãy số (u )n n 1 xác định ởi

n

1

n 1

u 0

u  e 1,n

 





 ính nlim nu n

Bài t p 7: ho dãy số (u )n n 1 xác định ởi 1

1 u 2

u  u u ,n







ìm tất cả các

số thực  sao cho dãy số vn n (nu 1)  n có giới hạn hữu hạn và khác 0

Bài t p 8: ho dãy số (u )n n 1 xác định ởi







 n 2 n

u 0,u 0

e e u ,n

Đặt

n 1

k 1







n

S lim n



Bài t p 9: ho dãy số nguyên (u )n n 1 thỏa mãn

n n

n lim 0 u

  hứng minh tồn tại

số nguyên dương k sao cho có ít nhất 2012 số chính phương nằm giữa

u u u    và u u u1 2  n 1

Bài t p 10: Cho k là một số nguyên dương và dãy số (u )n n 1 xác định bởi

1

0 u 1

u  u (1 u ),n





k n

n lim nu



Bài t p 11: ho dãy (u )n n 1 xác định ởi

1

*

n 1 n 2012

n

u 1

1

u



 







ìm tất cả các số thực  sao cho dãy số ( )un

n



có giới hạn hữu hạn và khác 0

PHẦN KẾT LUẬN

Dãy số là một lĩnh vực khá rộng và khó, các bài toán dãy số rất đa dạng rong đề tài này chỉ đề cập ứng dụng định lý Stolz và định lý trung bình Cesaro

để giải quyết một số bài toán về giới hạn của dãy số

Đề tài đã chọn lọc được các ài toán điển hình, đặc biệt có nhiều bài toán

là đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế những năm gần đây qua đó thấy vai trò quan trọng của định lý Stolz và định lý trung bình Cesaro

Qua quá trình áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy, đặc biệt là trong quá trình tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh có thêm một phương pháp nữa để giải quyết các bài toán về giới hạn dãy số khó khi vận dụng các công cụ khác, học sinh có hứng thú và chủ động trong học tập

Khi thực hiện đề tài này tôi nhận thấy năng lực tư duy và kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy cũng tăng lên rõ rệt từ đó học sinh có cách nhìn nhanh hơn, tốt hơn khi giải bài tập

Do thời gian còn hạn chế nên đề tài chỉ mối khai thác ứng dụng định lý Stolz và định lý trung bình Cesaro vào các bài toán dãy số mà chưa khai thác các phương pháp khác Hy vọng thời gian tới, tác giả sẽ hoàn thiện chuyên đề dãy số phục vụ cho dạy bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Tuy nhiên, bài viết này là một tài liệu tham khảo tốt cho các thầy cô dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT và các em học sinh giỏi môn toán

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thpt các bài toán

về dãy sồ , NXB Giáo dục 2007

[2] Phan Huy Khải, 10.000 bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn, NXB Hà Nội

1997

[1] Nguy n ũ Lương chủ biên), Nguy n Lưu Sơn, Nguy n Ngọc Thắng,

Phạm ăn Hùng, Các bài giảng về số học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội 2006

[3] Nguy n ăn Mậu, Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2010

[4] Nguy n ăn Mậu (chủ biên), Nguy n ăn iến, Một số chuyên đề giải tích

bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam 2009

[5] Nguy n Sinh Tiến, Nguy n ăn Nho, Lê Hoành Phò, Tuyển tập các bài dự

tuyển Olympic Toán học quốc tế 1991 – 2001, NXB Giáo dục 2003

[6] Nguy n Đ , Nguy n Khánh Nguyên (dịch), Các đề thi vô địch Toán 19

nước – trong đó có Việt Nam, NXB Giáo dục 1996