Thông tin tài liệu
Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… ĐỊNH LÍ STOLZ VÀ ỨNG DỤNG HỒ MINH NHẬT Trường THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang Trong viết trình bày định lí Stolz, hệ ứng dụng việc tìm a giới hạn dãy số dạng x n 1 x n x n , giới hạn khác có dạng liên quan Định lí Stolz hệ 1.1 Định lí Stolz Cho hai dãy số x n yn thỏa mãn: a) yn dãy tăng thực tới x xn b) lim n 1 a yn 1 yn x xn x Khi lim n lim n 1 a yn yn 1 yn Chứng minh x n 1 x n yn 1 yn Theo định nghĩa giới hạn, với e cố định, tồn số nguyên dương N cho x xn e với n N , ta có: n 1 yn 1 yn e Và yn dãy tăng nên ta có: x n 1 x n yn 1 yn Suy e x n x N x n x n1 x n1 x n2 x N 1 x N yn yN Ta có xn x xN xN x xN x x x N yn yN x n n N n N yn yn yn yn yn y N yn yn i) Trường hợp a , lim Từ suy tồn số nguyên dương N cho với n max N , N ta có xn x x N yn y N x e e n N e yn yn yN yn yn 2 xn Điều có nghĩa lim yn x xn ii) Trường hợp a hữu hạn tùy ý, lim n 1 a yn 1 yn Đặt x n' x n ayn x x n a yn 1 yn x n' 1 x n' Suy lim lim n 1 yn 1 yn yn 1 yn …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Áp dụng trường hợp a suy lim x n' x ayn x lim n lim n a yn yn yn x n 1 x n yn 1 yn Khi tồn N đủ lớn cho với n N x n 1 x n yn 1 yn Suy dãy x n dãy tăng dần đến vô y yn y x Do lim n 1 lim n hay lim n x n 1 x n xn yn x n 1 x n Trường hợp lim , chứng minh tương tự trường hợp yn 1 yn 1.2 Hệ 1.2.1 Định lí trung bình cộng (Định lí trung bình Cesaro) Nếu dãy x n có giới hạn a (hữu hạn vơ hạn) dãy số trung bình x x x n cộng có giới hạn a n Định lý phát biểu dạng tương đương sau: x Nếu lim x n 1 x n a lim n a n Chứng minh Áp dụng định lí Stolz: u un u Đặt un x x x n lim n lim n 1 lim x n 1 a n n 1n 1.2.2 Định lí trung bình nhân Nếu dãy x n dương có giới hạn a (hữu hạn vơ hạn) dãy số trung bình nhân n x 1.x x n có giới hạn a ln x ln x ln x n Chứng minh Đặt sn n x 1.x x n , suy ln sn n Áp dụng hệ 1, ta có: ln x ln x ln x n lim ln sn lim lim ln x n ln a n Suy lim n x 1.x x n lim sn a 1.2.3 Định lí trung điều hịa Nếu dãy x n giới hạn a (hữu hạn vơ hạn) dãy số trung bình n điều hịa có giới hạn a 1 x1 x xn 1 Chứng minh Ta có lim x n a suy lim xn a 1 x x2 xn Áp dụng hệ 1, đó: lim n a n Suy lim a 1 x1 x2 xn iii) Trường hợp lim …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Ứng dụng a 2.1 Tìm giới hạn liên quan đến dãy số dạng x n 1 x n x n a Dãy số x n 1 x n x n trường hợp đặc biệt dãy số dạng x n 1 f x n , giới hạn dãy đơn giản (chỉ ) nên ta xét giới hạn dãy x 1 dạng nb , theo định lí trung bình Cesaro, ta xét giới hạn b b Khi n x n 1 x n b b x nb b xn 1 lim b lim lim x nb1 x nb lim b b n x n 1 x n n Ví dụ Cho dãy x n xác định x x n 1 x n x n2 , n 1, 2, Tìm n 1 nx n lim nx n lim ln n Giải Từ giả thiết suy x n 1 x n x n 0;1 Vậy dãy x n giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim x n L L L L2 L 1 x n1 xn Ta có nx n 1 n n Theo định lí Cesaro x n1 1 lim lim x n11 x n1 lim x n 1 x n n lim xn lim 1 x n 1 x n xn Vậy lim nx n Từ suy n n 1 nx n nx n 1 nx n xn lim lim lim ln n x n ln n ln n Theo định lí Stolz ta 1 n 1 n n x xn x lim n lim n 1 ln n ln n 1 ln 1 1 1 1 x 1 x n x n x xn lim n 1 lim n n 1 n 1 ln ln n n xn nx n xn xn lim lim n 1 n 1 n 1 ln ln n n n 1 nx n Vậy lim ln n …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Ví dụ Cho dãy x n xác định x1 x n 1 x n lim x x x n n n , n 1, 2, Tìm xn Giải Từ cách xác định dãy số suy x n dãy số dương tăng Giả sử dãy x n bị chặn theo tiêu chuẩn Weierstrass suy dãy hội tụ, tức tồn 1 số thực L hữu hạn cho lim x n L L L (vơ lí) L L Vậy x n không bị chặn trên, nên lim x n Ta có 1 2 lim x n 1 x n lim x n x n2 lim 2 x n x n Theo định lí trung bình Cesaro suy x2 x lim n lim n n n Đặt un x x x n , n n Khi vn dãy tăng thực lim , theo định lí Stolz ta u un x n 1 lim n 1 lim 1 n 1 n n n lim lim x n 1 x n 1 n 1 n n 1 n n 1 n 3n 3n n n 1 n x n 1 lim n 1 3n 3n 1 1 1 n n x 2 lim n 1 n 1 3 n n x x x n u 2 Vậy lim lim n n n Ví dụ Cho k số nguyên dương dãy x n xác định 0 x x n 1 x n 1 x nk , n 1, 2, Tính lim k n x n …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Giải Dễ dàng chứng minh x n 0;1, n * Và ta có x n 1 x n 1 x nk x n 1 x n x nk 1 Suy x n dãy giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim x n a a a 1 a k a Vậy lim x n Ta có x nk 1 k 1 x nk 1 k k k k k xn xn x n 1 x nk x nk 1 x nk k C 1 x i i k i0 k n u 1 x k k n k ki n k C kj 1 x nk j 1 j 2 k 1 x nk k 1 Suy lim k k lim x n 1 x n j k C kj 1 x nk j 1 j j 2 k 1 x nk k Vây theo định lí Cesaro ta x nk k 1 k lim k lim k k k lim n x n lim k x n 1 x n nx n k n Ví dụ (Đề thi Olympic 30-4 lần VI năm 2000) Cho dãy x n xác định x 2000 x n 1 x n x n3 , n 0,1, 2, Tìm lim x n2 n Giải Cách (theo đáp án) Nhận thấy x n 0, n , n x n2 Suy x n31 x n3 x n3 3, n xn xn Lần lượt cho n 0,1, , n (1) cộng lại ta x n3 3n u 03, n Ta có x n 1 x n (1) (2) Từ (1) (2) suy x 3n x 3n 1 x n3 , n n 9n n 1 1 n1 x n3 x13 n 1 , n k 1 k k 1 k Mặt khác ta có n 1 1 1 1.2 2.3 n 1 n k 1 k x n31 x n3 (3) …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… 1 1 1 1 1 2 n 1 n n Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có n n n 2n, n k 1 k k 1 k n Suy k 2n , n (4) (5) k 1 Từ (2), (3), (4) (5) suy x3 x3 x3 3 o n 3 n n n u13 x Vì lim 3 lim n n 2 n 9n 2 n 9n un3 Vậy lim 3 n Cách (sử dụng định lí Stolz) 1 Ta có x n 1 x n x n 1 x n , suy dãy x n dương tăng xn xn Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L L L (vô nghiệm), điều chứng tỏ L dãy không bị chặn lim x n Ta có 1 3 lim x n 1 x n lim x n x n3 lim 3 x n x n x n Theo định lí Stolz ta x3 lim n lim x n31 x n3 n x n3 Nhận xét Rõ ràng đề thi toán khó phải sử dụng cách để tìm lim n Cách giải sử dụng nhiều phép biến đổi đánh giá phức tạp để bất đẳng thức (*), từ sử dụng định lí kẹp suy giới hạn Cách giải rõ ràng ngắn gọn, có nhiều ưu điểm cách giải Ví dụ (Chọn đội tuyển Việt Nam, 1993) Cho dãy số an xác định a1 an 1 anb an Hãy tìm tất số thực b để dãy số có giới hạn hữu hạn an n khác với n , suy an dãy tăng an an với giá trị n Ta chứng minh an n Thật vậy, ta có an21 an2 an an2 an21 2n an Giải Nhận thấy an 1 an …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Suy lim an b b b b b b b an an 1 Xét a n+1 an an an an2 Đặt x n a n 1 a n anb anb , suy lim x n b b n 1 x n b 1 b 1 x n Do đó: lim a a lim lim 2 b b1 x n3 bx n b 1 anb x Suy lim lim anb1 anb lim Từ đây: b 1 n x b a Với b lim n n anb Với b lim n anb Với b lim n Vậy b giá trị thỏa yêu cầu toán b n 1 b 1 1 x n lim b 1 x n3 3 3 a2 Nhận xét Ta xét b từ đầu, lim n lim an21 an2 n ab ab lim n , b lim n , từ n n dẫn đến kết luận Cách chứng minh trình bày có gọn nhìn tự nhiên Sau b 2.2 Các giới hạn khác có liên quan Ở ví dụ ta xét dãy số khơng trực tiếp có dạng a x n 1 x n x n , yêu cầu tốn gợi cho đến định lí Stolz (hoặc định lí Cesaro) 0 x1 Ví dụ Cho dãy x n xác định bởi: x n 1 1 x n x n x n2006, n 1, 2, Tìm lim nx n Giải Dễ thấy số hạng dãy dương x x n2016 Ta có x n 1 1 x n x n x n2016 x n 1 n * xn …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Do x nên từ * dễ dàng chứng minh x n 0;1, n * Ta lại có x x n2016 x n2 x n2016 x n 1 x n n xn 0 xn xn Suy dãy x n giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử a giới hạn dãy ta có a a a 2016 a , lim x n a 1 Khi xn 1 x n2014 1 lim lim lim x x 2016 x x 2015 x n 1 x n n n n n Theo định lí Cesaro ta 1 1 lim lim nx n lim nx x x n 1 n n Ví dụ Cho dãy số x n xác định x 1, x n 1 sin x n , n 0,1, 2, Tìm lim nx n Giải Nhận xét x n 0;1, n 0,1,2, p Xét hàm số f x sin x, x 0; , ta có x n 1 f x n Dễ thấy f x hàm tăng p 0; , x x sin suy x n dãy giảm Mặt khác dãy x n bị chặn nên có giới hạn , giả sử giới hạn dãy a a 0;1 a sin a , suy a Vậy x n n Ta có lim nx n lim x 2 lim n n xn n Mà theo định lí trung bình Cesaro ta x sin2 x n sin2 x n x n2 x n21 x n2 2 2 lim lim x x 1 x n lim 2 lim n x sin x n x nx n 1 x n2 n n lim 2x n sin x n cos x n cos 2x n sin2 x n lim lim 2 4x n 12x n 12x n x n2 Vậy lim nx n lim n Ví dụ Cho dãy số x n xác định x1 2009, x n 1 2009x n x n2 1 2009x n2 x n 2009 Giải Trước hết ta xét giới hạn dãy x n , n 1, 2, Tìm lim n x i2 n i 1 x i2 …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… 2009x n x n2 1 Ta có x n 1 x n xn 2009x n2 x n 2009 Suy dãy x n dãy tăng Giả sử dãy x n có giới hạn hữu hạn a a 2009 a x n2 0 2009x n2 x n 2009 2009a a 1 a (vơ lí) 2009a a 2009 Vậy dãy x n khơng có giới hạn hữu hạn hay lim x n Cesaro x i2 n x i2 lim 1 n i 1 x i2 i 1 x i n n n x i2 n Cách khác: Ta có 1 x 1 i 1 x i 1 i 1 x n Từ suy lim i i i 1 1 Mà 2009 x i x i 1 xi n n 1 1 1 2009 Suy 2009 x i x i 1 x x n 1 i 1 x i i 1 x i2 , ta có i 1 x i n 1 n x2 x2 un 1 un i i i 1 x i i 1 x i n Đặt un n 1 n 1 i 1 n 1 n 2 xi i 1 x i 1 1 2009 x1 x n 1 x x n 2 1 2009 x x n 2 Vậy lim un 1 un lim n 1 un lim n n x i2 x i 1 i n a a a1 n ln n n Giải Xét hai dãy số un , vn sau: a a a un a1 n , ln n n Khi dãy vn dãy tăng lim Ta có an 1 un 1 un n lim lim lim an 1 a 1 ln n 1 ln n n ln n Ví dụ Giả sử lim an a Tính lim …………………………………………………………………………………………Trang Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Theo định lí Stolz suy u a a a a1 n a lim n lim ln n n Ví dụ 10 Cho a số thực lớn Tính lim n a2 a n a , a a n 1 n Giải Xét hai dãy số x n , yn sau a2 a3 an a n 1 , yn n 1 n n Khi dãy yn dãy tăng thực tới Vì xn a yn 1 a n 2 n na n 1 1, n 1 a yn n 1 a n 1 n 1 a 1 C n2 a 12 n 1a 12 an yn n n n Mặt khác ta có a n 1 x n 1 x n lim lim n n2 n 1 lim n na n a a a yn 1 yn n 1 n n 1 n Do đó, theo định lí Stolz ta n a2 a3 an x lim n 1 a lim n a n yn a 1 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Tìm giới hạn dãy an với số hạng tổng quát an xác định bởi: 1 a) ; 1 n n b) k 1 1k 2k n k , k * n cos 1 cos 2 cos n c) n2 Hướng dẫn 1 u a) Đặt un ; n lim n 2 n u b) Đặt un 1k 2k n k ; n k 1 lim n 1k u c) Đặt un cos 1 cos 2 cos n ; n ; lim n a2 a a Bài Giả sử lim an a Tìm lim n a1 n n a2 an un Hướng dẫn Đặt un a1 ; n lim 2a n …………………………………………………………………………………………Trang 10 Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Bài Tìm giới hạn 1 1 n; 2n a) lim b) lim ln n ln n Hướng dẫn 1 u a) Đặt un ; ln n lim n n 1 u b) Đặt un ; ln n lim n 2n Bài Cho dãy số x n xác định x , x n 1 x n xn , n Hãy tính e xn giới hạn lim ln n Hướng dẫn x n 1 x n x n lim n lim lim lim n n 1 xn ln n ln n 1 ln n xn e ln e lim 1 n n n Cesaro lim xn e a Bài Cho dãy an thỏa a1 1, an 1 a1 a2 an Tìm lim n n Hướng dẫn un 0, n; un 1 un un21 lim un an an lim an 1 an lim n an 1 an Bài Cho dãy số un xác định u1 2 lim un 1 un , n 1, 2, Tìm lim nun Hướng dẫn 1 un1 1 1 lim nun lim lim n un 1 un 1 Bài Cho dãy un xác định u1 0, un 1 un un un un 1 1, n * Tính lim Hướng dẫn un 1 un un un3 n2 0; lim un 2 u u n 2 lim lim lim un 1 un n n n Bài Cho dãy x n xác định x 0, x n 1 e xn 1, n 1, 2, Tính lim nx n …………………………………………………………………………………………Trang 11 Định lí Stolz ứng dụng……………………………………………………………………… Hướng dẫn x n 0, x n 1 e xn x n , n lim x n 1 1 lim nx n lim x n 1 x n 2 n Bài Cho dãy số thực x n thỏa lim x n x k2 Chứng minh k 1 lim 3n x n Hướng dẫn Đặt Sn n x k ta có lim x nSn lim Sn , lim x n k 1 Sn3 Sn31 x n2 S n2 S nS n 1 S n21 Sn3 lim Sn3 Sn31 n 3 3n 3n Suy 3nx n x nS n Sn Sn Theo định lí Stloz: lim n Bài 10 Cho dãy x n thỏa x1 1, x n 1 n x 2 , n Tìm lim n 1 x k 1 n k k k 1 Hướng dẫn Nhận xét x n 2, n , suy x n 1 2 0 n 1 n x k xn x2 lim n n1 2 1 n n k 1 k o0o Áp dụng định lí Stolz – Cesaro: lim k 1 n lim TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002 [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009 [4] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009 [5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010 [6] Tơ Văn Ban Giải tích tập nâng cao NXBGD 2005 [7] www.diendantoanhoc.net …………………………………………………………………………………………Trang 12 ... tự trường hợp yn 1 yn 1.2 Hệ 1.2.1 Định lí trung bình cộng (Định lí trung bình Cesaro) Nếu dãy x n có giới hạn a (hữu hạn vơ hạn) dãy số trung bình x x x n cộng có giới hạn... định lí Stolz: u un u Đặt un x x x n lim n lim n 1 lim x n 1 a n n 1n 1.2.2 Định lí trung bình nhân Nếu dãy x n dương có giới hạn a (hữu hạn vơ hạn) dãy số trung bình... n * Ta lại có x x n2016 x n2 x n2016 x n 1 x n n xn 0 xn xn Suy dãy x n giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử a giới hạn dãy ta có a a a 2016 a , lim x n a
Ngày đăng: 03/05/2018, 12:39
Xem thêm:
