MỘT SỐ BÀITẬP VỀ HÌNHLỒIDÙNGĐỊNHLÝHELLY Nguyễn văn Hóa Trường THPT Chuyên Quộc Học Huế Mục đích viết chọn lựa số tậphìnhlồi mặt phẳng dùngđịnhlý Helly.Đây phần chuyên đề hìnhhọc tổ hợp dùng bồi dưỡng học sinh giỏi I/Hình lồi: 1/Định nghĩa: (H) hình phẳng( khơng gian) (H) gọi hìnhlồi M , N (M , N ( H ) [MN ] ( H ) ([MN] đoạn thẳng MN (H) bị chặn tồn hình tròn (hình cầu) chứa (H) Nói cách khác (H) bị chặn tồn O r>0 cho M thuộc (H) d(O,M)0 X gọi điểm tụ (H) r lân cận X chứa vô hạn điểm (H) X gọi điểm biên (H) r lân cận X chứa điểm (H) chứa điểm không thuộc (H) (H) gọi tập mở điểm X thuộc (H) tồn r lân cận X: S(X,r)⊂(H) (H) gọi tập đóng chứa tất điểm tụ 2/ Tính chất: a/ Giao họ hìnhlồihìnhlồi b/Giao họ tập đóng tập đóng,hợp hữu hạn tập đóng tập đóng Nhận xét: hợp hìnhlồi khơng hẵn hìnhlồi Ví dụ : đoạn thẳng hìnhlồi đóng bị chặn Hình tròn,hình cầu ,miền đa giác, khối đa diện lồihìnhlồi đóng ,bị chặn Đường thẳng , mặt phẳng hìnhlồi đóng khơng bị chặn 3/ Bao lồi: Cho hình (H) có hìnhlồi chứa (H) (ví dụ tồn mặt phẳng ( Khơng gian)) Ký hiệu ( H ) T với T hìnhlồi chứa (H) ( H ) T hìnhlồi nhỏ chứa (H), ta gọi ( H ) T bao lồi H Chú ý: Tập đóng bị chặn mặt phẳng (không gian) thõa mãn : Địnhlý Heine-Borel: A đóng bị chặn họ tập mở Gi i I , Gi A J I , Gi A với J tập hữu hạn I i i J Nói cách khác: phủ mở A tồn phủ hữu hạn II/ Địnhlý HELLY: Định lý1: Họ đoạn thẳng đường thẳng đơi có điểm chung họ đoạn thẳng có điểm chung Chứng minh: Đặt Ti=[ai;bi] Ti∩Tj≠∅⟺min(bi,bj)≥max(ai,aj) Thật , bi a j,bj c , c bi aj c bj min(bi , b j ) m ax(ai , a j ) Cố định T0=[a0;b0] Với i ta có: min(bi , b0 ) m ax(ai , a0 ) thì: m ax(ai , a0 ) min(bi , b0 ) b0 , bi min(bi , b0 ) m ax(ai , a0 ) a0 Vậy tâp {ai} bị chặn tập {bi} bị chặn Gọi a= sup {ai} b=inf{bi}thì: a≤b0 b≥a0 Nếu tồn k để ak >b theo định nghĩa inf có l cho ak>bl≥b Tk Tl khơng có điềm chung( vơ lý) Do ak ≤b với k suy a≤b ≤a≤b≤bi với i thuộc I Kết luận: Ti i I Chú ý:Khi I hữu hạn thì: a= max {ai} b=min{bi} Chú ý địnhlý sai ví dụ sau: n , Fn (; n ] ta có giao hai tâp khác rổng giao chúng rỗng Định ly2: Họ hữu hạn hìnhlồi mặt phẳng cho hình có điểm chung tất hìnhlồi có điểm chung Chứng minh:Qui nạp theo n số hìnhlồi +n=4 Xét hìnhlồi A,B,C,D lấy x A B x, y , z C, y A A, x, y, t B D, z B , x, z , t A D C , y, z, t C,t D B C D Xét bao lồi x,y,z,t: +Nếu bao lồi tứ giác hai chéo xz yt giao u u thuộc A,C x,z thuộc A,C,tương tự u thuộc B,D Vậy u thuộc A,B,C.D x + Bao lồi tam giác:xyz t thuộc miền tam giác xyz xy,z thuộc A nên t thuộc A (do A lồi) lúc t thuộc A,B.C.D z t y z t y +Nếu bao lồi đoạn thẳng xy z,t đoạn xy t thuộc A (d0 x,y thuộc A) t thuộc A,B,C,D x Vậy mệnh đề với n=4 +Giả sử mệnh đề với n ≥4 Xét n+1 hìnhlồi Ai, i=1,2,3 ,n+1 Đặt A1∩A2=B1 hìnhlồi Xét n hìnhlồi B1,A3,A4, , An+1 Giao hìnhlồi Ai (i≥3) khác rỗng theo giả thiết quy nạp Giao hìnhlồi có B1 khác rỗng theo trường hợp n=4 Vậy theo giả thiết quy nạp suy ra: giao B1∩A3∩ ∩An+1 khác rỗng, suy n A i i Chú ý: 1/Nếu địnhlý thay khơng Ví dụ: A (x ; y ) / x (y 1)2 , B (x ; y ) / x (y 1)2 , C (x ; y ) / (x 1)2 y Giao hai khác rổng giao A B C 2/ Nếu giả thiết lồi khơng thỏa mãn địnhlý khơng Xét điểm X i , i 1, 2, 3, Đặt A {X1 , X , X , X },A i =A\{X i } giao tập khác rỗng giao tất rỗng Định lý3: Họ hìnhlồi đóng bị chặn mặt phẳng cho hìnhlồi có điểm chung chúng có điểm chung Chứng minh: Nếu giao hìnhlồi rỗng Xét hìnhlồi A, x thuộc A tồn hìnhlồi Bx cho khơng chứa x Do Bx đóng nên tồn hình tròn mở Sx tâm x bán kinh rx giao với Bx rỗng Xét họ{ Sx ,x∈A }phủ A nên theo địnhlý Heine-Borel: tồn họ hữu hạn sxi phủ Bx A,i=1,2 ,n Xét hìnhlồi Bxi A Địnhlý cho ta tồn u thuộc A u thuộc Bxi ,i=1,2 ,n u thuộc A x nên thuộc hợp sxi suy u thuộc sxj suy Sx thuộc sxj Bxj vô lý A u Địnhlý :Họ hữu hạn hìnhlồi khơng gian cho hình có điểm chung tất hìnhlồi có điểm chung Định lý5: Họ hìnhlồi đóng bị chặn khơng gian cho hìnhlồi có điểm chung chúng có điểm chung Bài toan1: Cho họ miền hình bình hành cho hai cạnh song song với hai đường thẳng cho trước Nếu hai miền bình hành có điểm chung chúng có điểm chung Chứng minh: Chiếu song song theo phương Ox ta họ đoạn thẳng đơi có điểm chung nên chúng có điểm chung N Tương tự chiếu song song theo phương Oy ta họ đoạn thẳng đôi có điểm chung nên chúng có điểm chung M Gọi K điểm giao hai đường thẳng qua M,N phương với Ox,Oy K thuộc tất miền N chữ nhật O y K x N Bài tốn Trên đường tròn cho họ cung có độ dài nhỏ độ dài đường tròn Nếu cung có điểm chung tất có điểm chung Chứng minh: Xét đường tròn tâm O Xét miền viên phân dựng dây cung cung cho.Ta hìnhlồi đóng bị chặn Theo giả thiết hìnhlồi có điểm chung Vậy họ miền có điểm chung O* Tia OO* cắt đường tròn T thuộc tất cung T O* B O Chú ý: Lấy cung đường tròn sai.Ví dụ cung ABC,ADC,BAD,BCD A C O D Bài toán 3: Trên đường tròn cho họ cung có số đo nhỏ Nếu hai cung có điểm chung chúng có điểm chung AB với trung điểm M Chứng minh: Lấy cung Gọi N đối xứng M qua tâm đường tròn AB số đo Xét cung có điểm chung với Nhỏ nên khơng chứa điểm N M A Nghịch đảo cực N biến họ cung thành đoạn thẳng Đơi có điểm chung nên chúng có điểm chung T Gọi T* tạo ảnh T qua phép nghịch đảo T* điểm chung cung Bài Tốn N Trên đường tròn cho n cung đơi có điểm chung Chứng minh tồn đường thẳng qua tâm đường tròn cắt tất cung Chứng minh: B Xét cung có độ dài nhỏ Nếu cung có số đo≥1800 cung có số đo≥1800 Lúc đường kính căt cung AB 3) bất phương trình: x bi y ci (i ), i 1,2, , n.(ai2 bi2 0) Biết ( x; y) 2 nghiệm n bất phương trình Chứng minh tồn ba bất phương trình (i),( j ),(k ) cho ( x; y) nghiệm bất phương trình Bài tốn 12 Cho họ hìnhlồi đóng bị chặn đơi có điểm chung a/ Chứng minh tồn đường thẳng cắt tất hìnhlồi b/ Chứng minh tồn đường thẳng có phương cho trước cắt tất hìnhlồi Chứng minh: Chiếu vng góc lên đường thẳng dungđịnhlỳHELLY đường thẳng Bài Toán 13(Khái quát bài6,7,8,9) Trong mặt phẳng cho hìnhlơi F n hìnhlồi Bi Với hình Fi a/ Nếu tồn phép tình tiến biến F thành F’ ,F’ phủ hình Bi tồn phép tình tiến biến F thành F* ,F* phủ n hình Fi b/ Nếu tồn phép tình tiến biến F thành F’ ,F’ chứa hình Fi tồn phép tình tiến biến F thành F* ,F* chứa n hình Fi c/ Nếu tồn phép tình tiến biến F thành F’ ,F’ có điểm chung với hình Fi tồn phép tình tiến biến F thành F* ,F* có điềm chung với n hình Fi Chứng minh: a/Chọn P thuộc F Phép tịnh tiến biến F thành F’ xác định ảnh P’ P Mỗi i xét Fi* {X / T :F FX Fi } Ta có Fi * lồi PX Thật vậy: Nếu X1,X2 hai điểm thuộc Fi * ,ta có tịnh tiến PX , PX biến F thành FX1 FX2 chứa Fi Lấy I thuộc đoạn X1X2 Tịnh tiến vecto X I : FX1→ F’X1 Xét B thuộc Fi Ta có B thuộc FX1 FX2 Lấy B’ cho BB ' X I B’thuộc F’X1 X I B’’thuộc F’X1 Do F’X1 lồi nên B thuộc F’X1 Do PX X I nên tịnh tiến vecto PI biến F thành F’X1 chứa Fi ,kết luận I Lấy B’’ cho BB '' Fi.⊂ F’X1 mà PI thuộc Fi * hay Fi * lồi Với tập Fi * Tồn tịnh tiến biến F thành F’ chứa FX1 theo PP * biến F thành F* chứa tất Fi Fi định Tịnh tiến biến P thành X* thuộc Fi * Áp dụngHELLY tồn P* điểm chung cho Fi * Do tịnh tậplý tiến X1 B'' I B X2 B' P F FX2 b,c Chứng minh tương tự Sau hai tập vận dụngđịnhlýHellyBài toán 14 Cho họ đoạn thẳng đôi song song,Bất kỳ đoạn có đường thẳng cắt chúng Chứng minh tồn đường thẳng cắt tất họ đoạn thẳng nói Bài tốn 15 Cho họ miền chữ nhật có cạnh song song với hai trục tọa độ.Bất kỳ miền chữ nhật có đường thẳng hệ số góc dương cắt hình.Chứng minh tồn đường thẳng hệ số góc dương cắt tất miền chữ nhật Tài liệu Tham khảo: [1] Nguyễn Hữu Điển:Một số chuyên đề Hìnhhọc tổ hợp.NXBGD, 2005 [1] Vũ Đình Hòa :Một số kiến thức sở Hìnhhọc tổ hợp.NXBGD ,2000 ... thành X* thuộc Fi * Áp dụng HELLY tồn P* điểm chung cho Fi * Do tịnh tập lý tiến X1 B'' I B X2 B' P F FX2 b,c Chứng minh tương tự Sau hai tập vận dụng định lý Helly Bài toán 14 Cho họ đoạn thẳng... đường thẳng có phương cho trước cắt tất hình lồi Chứng minh: Chiếu vng góc lên đường thẳng dung định lỳ HELLY đường thẳng Bài Toán 13(Khái quát bài6,7,8,9) Trong mặt phẳng cho hình lơi F n hình lồi... hình tròn có điểm chung với đường thẳng O thuộc giải tương ứng với đường thẳng Áp dụng định lý HELLY tồn O* thuộc giao giải.Hình ròn tâm O* bán kính r cắt tất đường thẳng d Bài tốn 11 Cho n mặt