bài tập hình học lớp 11 nâng cao có lời giải

BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11 Có lời giải Trang  Bài 1. Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác  có các cặp cạnh đối không song song và điểm  α ∉ . a. Xác định giao tuyến của  và  b. Xác định giao tuyến của  và  c. Xác định giao tuyến của  và      α   ∩  • ∈  ⊂  ⇒  ∈   •  ∈  ⊂  ⇒  ∈   ⇒ !"#$#%     α &'(()   ∩  • ∈  ⊂  ⇒  ∈  • ∈  ⊂  ⇒  ∈  ⇒ !"#$#%  !"#$% 2. Cho bốn điểm %%% không cùng thuộc một mặt phẳng . Trên các đoạn thẳng %% lần lượt lấy các điểm &%'%( sao cho &' không song song với . Tìm giao tuyến của  và &'(   •( ∈  ⊂  ⇒ ( ∈   •( ∈ &'( ⇒(&'( * )&' ∩   •) ∈  ⊂  ⇒ ) ∈   •) ∈ &'&' ⊂ &'( ⇒ ) ∈ &'( ⇒)&'( !"#()$#%&'( 3. Cho tam giác  và một điểm  không thuộc mp  , một điểm  thuộc đoạn  . Một đường thẳng  không song song với  cắt các cạnh % theo thứ tự tại *%+. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau : a. mp % và mp  b. mp % và mp  c. mp % và mp    ,- %/   •  ∈   ⊂  ⇒  ∈  •  ∈ % ⇒*% &'(()   ∩   •  ∈  ⊂  ⇒  ∈  Trang + k S I D O B C A J C B E N D P M A L A B J C K O I S •  ∈ % ⇒*% !"#$#%*%  ,- %/ *  ,- %/  +*%  * 0 ∩  • 0 ∈  ⊂  ⇒ 0 ∈  • 0 ∈  ⊂ % ⇒ 0 ∈ % ⇒0*% !"#+0$#%*% 4. Cho bốn điểm %%% không cùng nằm trong một mp a. Chứng minh  và  chéo nhau b. Trên các đoạn thẳng  và  lần lượt lấy các điểm &%' sao cho đường thẳng &' cắt đường thẳng  tại  . Hỏi điểm  thuộc những mp nào . Xđ giao tuyến của hai mp &' và   1-23 (,&'- * α . ⇒%%%/$* α 0$1$#%$ !"#- 45-67 3 •  ∈ &'&' ⊂  ⇒  ∈  •  ∈ &'&' ⊂ &' ⇒  ∈ &' •  ∈  ⊂  ⇒  ∈   2$#%*&'8 5. Cho tam giác  nằm trong mp ( và  là mộtđường thẳng nằm trong mp ( và không song song với  và  .  là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( và 9 là một điểm thuộc  . Xđ giao tuyến của các cặp mp sau a. mp 9% b. mp 9% c. mp 9%   9% • 9 ∈  ⊂  ⇒ 9 ∈   • 9 ∈ 9% ⇒99%  ($&'(()  ) ∩   • ) ∈  ⊂  ⇒ ) ∈   • ) ∈ 9% ⇒)9% !"#9)$#%9%  9% • 9 ∈  ⊂  ⇒ 9 ∈  • 9 ∈ 9% ⇒99% ($&'(()  : ∩  Trang 3 M I C B D N A F a P E B C N M A A ' S • : ∈  ⊂  ⇒ : ∈  • ) ∈ 9% ⇒:9% !"#9:$#%9%  9%  & ∩ 9) • & ∈  ⊂  ⇒ & ∈  • & ∈ 9)9) ⊂ 9% ⇒ & ∈ 9% ⇒&*9%  ' ∩ 9: • ' ∈  ⊂  ⇒ ' ∈  • ' ∈ 9:9: ⊂ 9% ⇒ ' ∈ 9% ⇒'*9% !"#&'$#%9% 6. Cho tứ diện  , & là một điểm bên trong tam giác %' là một điểm bên trong tam giác  . Tìm giao tuyến của các cặp mp sau a. &' b. &'   ,-&' % )& ∩  • ) ∈ && ⊂ &' ⇒ ) ∈ &' • ) ∈  ⊂  ⇒ ) ∈  ⇒)*&'   :' ∩  • : ∈ '' ⊂ &' ⇒ : ∈ &'  • : ∈  ⊂  ⇒ : ∈    ⇒:*&' !"#):$#%*&'  ,-&'  (& ∩  • ( ∈ && ⊂ &' ⇒ ( ∈ &' • ( ∈  ⊂  ⇒ ( ∈  ⇒(*&'  ;' ∩  • ; ∈ '' ⊂ &' ⇒ ; ∈ &' • ; ∈  ⊂  ⇒ ; ∈  ⇒;*&' !"#(;$#%*&' Dạng 224567$89$*8 α   Phương pháp •:67$8/$9$*8 α  •$9$*8 α  Chú ý : ;67$8<$67$#%*α*β⊃ Trang = B C E D F N M Q P A b a A β α > *β.67$8($#% *α*β?@45$#%&'(()67$8 Bài tập : 1. Trong mp (α) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (α) . Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB . a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (α)   ,-5-!<=&'/->.=( ? ABC∩DE •A∈CC⊂C⇒A∈C •A∈DE !"#ABDE∩C @ • **F⊃DE •∩CBC • ABDE∩C A∈DE  A∈CC⊂C  !"#ABDE∩C    ,-5-!<=&'/  α  ?DE&'(()  B∩DE •∈⊂α⇒∈α   •∈DE !"#BDE∩α @ • **F⊃DE •∩αB •DE&'(()  BDE∩ ∈⊂α⇒∈α ∈DE !"#BDE∩α 2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM )  • **F⊃ •:$#%*D  −D −:$.D  GB∩   HBD∩G  H∈GG⊂⇒H∈  H∈DD⊂D⇒H∈D ⇒ HD  ⇒∩DBH  • EB∩H  E∈HH⊂D⇒E∈D E∈ Trang I A M D B P E C N S α M A D O C B S K N !"#EB∩D 3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn AB lấy một điểm M , Trên đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) .  a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)   ,-5-!<='/->.=  • **F⊃E  •:$#%   CB∩   ⇒∩ BC  •  JBE∩C   J∈E  J∈CC⊂⇒J∈   !"#JBE∩  ,-5-!<=&'/->.= • **FD⊃DE •:$#%D  KBD∩ ⇒∩BK • D LBDE∩K L∈DE L∈KK⊂⇒L∈ !"#LBDE∩ 4. Cho một mặt phẳng (α) và một đường thẳng m cắt mặt phẳng (α) tại C . Trên m ta lấy hai điểm A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (α) là điểm A’ . Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng (α)   • **FM⊃ •:$#%Mα  M∩αBM • M MB∩M M∈⊂M⇒M∈M  M∈MM⊂α⇒M∈α   !"#MB∩α  5. Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK )  • **F⊃ •:$#%JNH JH&'(()  AMB∩JH ⇒∩JNHBNAM •  AB∩NAM A∈⊂⇒A∈ A∈NAMNAM⊂JNH⇒A∈JNH  !"#AB∩JNH 6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , Trang O Q A C P D N I B M S E E' K A C B H I S A B S m C B' A' α E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB không song song ) . a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC ) b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF ) c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )   ): P9$*8AP &'(()A  DB∩A •D∈⊂⇒D∈ •D∈AA⊂AP⇒D∈AP ⇒D9$*8AP  !"#PD$#%9$*8AP  ,-5-/->.=): • **F⊃ •:$#%AP ∩APBPD ,? •  EBPD∩ E∈  E∈PDPD⊂AP⇒E∈AP !"#EB∩AP  ,-5-/->.=): • **F⊃ •:$#%AP AAP ο E∈⊂⇒E∈ ο E∈PDPD⊂AP⇒E∈AP ⇒EAP ∩APBAE •  HBAE∩ H∈ H∈AEAE⊂AP⇒H∈AP ,@ !"#HB∩AP 7. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB ,SD. a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP ) b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )   ,-5-/->.=&'( • **F⊃G •:$#%DEC  E∈DEDE⊂DEC⇒E∈DEC E∈ ⊂⇒E∈  ⇒EDEC C∈DCDE⊂DEC⇒C∈DEC  C∈ ⊂⇒C∈  ⇒CDEC ⇒DEC∩BEC •  JBG∩EC Trang Q N K A M E D F C B S I Q P N M O D C B A S N M F E K D C B A S J∈G J∈ECEC⊂DEC⇒J∈DEC !"#JBG∩DEC  ,-5-;/->.=&'( • **F⊃ •:$#%DEC  D∈DEDE⊂DEC⇒D∈DEC D∈⊂⇒D∈ ⇒DDEC J∈DJDJ⊂DEC⇒J∈DEC J∈G G⊂⇒J∈ ⇒JDEC ⇒∩BDJ •  KB∩DJ K∈ K∈DJDJ⊂DEC⇒K∈DEC !"#KB∩DEC 8. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC và BC . K là điểm trên BD và không trùng với trung điểm BD . a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )   ,-5-&'+3 • **F⊃ •:$#%DEH  E∈DEH E∈ ⊂⇒E∈  ⇒EDEH H∈DEH H∈ ⊂⇒H∈ ⇒HDEH ⇒∩DEHBEH •  JB∩EH J∈ J∈EHEH⊂DEH⇒J∈DEH !"#JB∩DEH  ,-5-&'+ • **F⊃ •:$#%DEH  D∈DEH D∈⊂⇒D∈ ⇒DDEH J∈EHEH⊂DEH⇒J∈DEH J∈ ⊂⇒J∈ ⇒JDEH ⇒∩DEHBDJ •  LB∩DJ L∈ L∈DJDJ⊂DEH⇒L∈DEH Trang R J I B D C N K M A !"#LB∩DEH 9. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD . O là điểm bên trong tamgiác BCD. Tìm giao điểm của : a. MN và (ABO ) b. AO và (BMN )   ,-5-&'3 • **F⊃DE •:$#%G  G   CBG∩ C∈GG⊂G⇒C∈G C∈ ⊂⇒C∈ ⇒CG ⇒∩GBC  •  KBC∩DE K∈DE K∈CC⊂G⇒K∈G !"#KBDE∩G  ,-5-&'3 • *C⊃G •:$#%CDE  CDE K∈DE DE⊂DE⇒K∈DE K∈C C⊂C⇒K∈C ⇒KCDE ⇒C∩DEBK • C JBK∩G J∈G J∈KK⊂DE⇒J∈DE !"#JBG∩DE 10. Trong mp (α) cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB, BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của : a. IK và (SBD) b. SD và (IJK ) c. SC và (IJK )   ,-5- + • **FH⊃JH •:$#%H H  CBH∩ C∈HH⊂H⇒C∈H C∈ ⊂⇒C∈ ⇒CH ⇒H∩BC • H KBJH∩C K∈JH K∈CC⊂⇒K∈ !"#KBJH∩ Trang S O Q P N M I C D B A N F M Q P K J I C B D A S  ,-5- *+ • **F⊃ •:$#%JLH KJLH  DBLH∩ D∈LHLH⊂JLH⇒D∈JLH D∈ ⊂⇒D∈ ⇒DJLH ⇒JLH∩BKD •  EBKD∩ E∈ E∈KDKD⊂JLH⇒E∈JLH !"#EB∩JLH  ,-5-*+3 • **F⊃ •:$#%JLH JJLH  AB∩LH A∈LHLH⊂JLH⇒A∈JLH A∈⊂⇒A∈ ⇒AJLH ⇒ JLH∩BJA •  PBJA∩ P∈ P∈JAJA⊂JLH⇒P∈JLH !"#PB∩JLH 11.Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD. a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ) b. Tìm giao điểm của BC với (OMN) c. Tìm giao điểm của BD với (OMN)   ,-&'3 GGDE DE&'((  JBDE∩ ⇒JGDE !"#GJBGDE∩  ,-5-/&'   CB∩GJ !"#CB∩GDE  ,-5-/&'   KB∩GJ !"#KB∩GDE 12.Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)  Trang T P I Q O M D N C B A [...]... minh A’B’C’D’ là hình bình hành b Gọi M là điểm bất kì trên BC Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD S Giải a Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành : 1 Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB 2 D' C' 1 Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // CD A' B' 2 Mặt khác AB // CD D C ⇒ A’B’ // C’D’ N M Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành A B b Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: Ta có : AB ∕ ∕ A’B’... sau : • Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung • Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba • Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình bình hành , định lý talet … ) • Sử dụng các định lý • Chứng minh bằng phản chứng Bài tập : 1 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là... minh C , I , J thẳng hàng : Ta có : C , I , J là điểm chung của (BCN ) và (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng D C S Q P I R C B N O Dạng 4 : Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (α ) : A Chú ý : Mặt phẳng (α ) có thể chỉ cắt một số mặt của hình chóp Cách 1 : Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến K Trang 14 J M D H Bài tập : 1 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N... thiết diện là hình thang A’B’MN 2 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD) Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC ∩ (ADN) c Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI là hình gì ? Giải a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang... Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành L Giải a Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK): A Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK) Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB b Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD : I Gọi L = Kx ∩ SA C D Thiết diện là hình thang IJKL Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD 1 ⇒ IJ = (AB... a ⊂ α  Bài tập : 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD Trang 20 t D a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P là trung điểm cạnh SA Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP) c Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC Chứng minh G1G2 // (SAB) Giải a Chứng minh MN // (SBC): MN ⊄ ( SBC )  ⇒ MN //( SBC ) Ta có : MN... MPNQ là hình bình hành ⇔  MP = NQ ⇔ MP // NQ   1 MP = NQ = 2 CD  Do đó : N là trung điểm BC Vậy : N là trung điểm BC thì MPNQ là hình bình hành 4 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang Gọi M là một điểm của CD ; (α) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC a Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện là hình gì ?... // NP // SB (4) ⇒ MNPQ là hình thang OA ⊥ SB MN ⊥ MQ  ⇒ Từ (1) và (4) , ta có : MN // OA  MN ⊥ NP MQ // NP // SB  Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN b Tính diện tích của hình thang theo a và x 1 Ta có : S MNPQ = ( MQ + NP ).MN 2 Tính MN : Xét tam giác ABC Trang 24 AB AB BC = ⇒ BC cos B ⇒ BC = 2a ⇒ BO = a ˆ  B = 60 0 ⇒ ∆ABO đều Do  BA = BO  MN BM BN = = Có MN // AO ⇒ AO AB BO ⇒... (α ), b ⊂ (α )  – a ∩ b = M a //( β ), b //( β )  ⇒ a α M (α ) //( β ) b β hình 1 a ⊂ (α ), b ⊂ (α ) a ∩ b = M   – c ⊂ ( β ), d ⊂ ( β ) c ∩ d = N  a // c, b // d  a α ⇒ M (α ) //( β ) N β hình 2 α (α ) //(γ ) –  ( β ) //(γ ) ⇒ b (α ) //( β ) β γ hình 3 Bài tập : Trang 28 c d 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA ,SD a Chứng minh rằng... của thiết diện theo a và x Tính x để diện tích = 8 Giải a Tìm thiết diện của (α) với mặt phẳng hình chóp: Trang 30 Ta có : (α ) //( SAD) • Với (α ) // SD (α ) // SD  Có SD ⊂ ( SAD) (α ) ∩ ( SAD) = PQ  • Với (α ) // SA (α ) // SA  Có SA ⊂ ( SAB) (α ) ∩ ( SAB) = MN  • Với (α ) // AD (α ) // AD  Có  AD ⊂ ( ABCD) (α ) ∩ ( ABCD) = MQ  • Vì Có  BC // MQ   BC ⊄ (α ) (α ) // BC   BC ⊂ ( . BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11 Có lời giải Trang  Bài 1. Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác  có các cặp cạnh đối không song song và điểm  α ∉ . a = R H S A O J N M D C B Q I P K O J K I M N A D C B S Bài tập  1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)  . .</*. Bài tập  1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành