GT sang HV tinh lien tuc va kha vi de giai phuong trinh ham 2016 07 31

Tóm tắt nội dung Báo cáo gồm phần chính: Phần 1: Sử dụng tính liên tục hàm số để giải phương trình hàm Phần trình bày phương trình hàm có nghiệm hàm tuyến tính, hàm mũ, hàm logarit, hàm lũy thừa số phương trình hàm giải dựa vào kết Ngồi cịn trình bày số phương trình hàm giải cách sử dụng định nghĩa hàm số liên tục Cuối phương pháp NQR để giải phương trình hàm Phần 2: Sử dụng tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Phần 3: Chuyển đổi giả thiết liên tục số phương trình hàm Phần trình bày kĩ thuật chuyển đổi giả thiết liên tục số phương trình hàm giả thiết khả vi Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Sử dụng tính liên tục hàm số để giải phương trình hàm 1.1 Hàm số 1.1.1 Định nghĩa Cho X , Y tập khác rỗng  Một hàm số f : X  Y hai tập X Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với phần tử y Y Với x  X , phần tử y Y tương ứng với x kí f hiệu f  x  gọi ảnh x , ta thường viết y  f  x  hay x  y x gọi tạo ảnh y Tập hợp  f   x; f  x   , x  X   X  Y gọi đồ thị f 1.1.2 Tính chất hàm số Hai hàm số f : X  Y g : Z  T gọi X  Z , Y  T f  x   g  x  , x  X Cho f : X  Y hàm số Hàm số f gọi toàn ánh với y  Y tồn x  X cho y  f  x  Một hàm số f : X  Y gọi đơn ánh x1, x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Một cách tương đương, f đơn ánh Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm x1 , x2  X , f  x1   f  x2   x1  x2 Hàm số f gọi song ánh tồn ánh đơn ánh Cho hàm số y  f ( x ) xác định X Hàm số f gọi tăng (giảm) x1 , x2  X cho x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 ) ) Trong bất đẳng thức dấu ta nói f hàm số tăng, giảm ngặt Cho hàm số y  f ( x ) xác định X Hàm số y  f ( x ) gọi bị chặn (bị chặn dưới) tồn số thực M ( m ) cho f ( x)  M ( f ( x)  m ) với x  X Nếu phương trình f ( x )  m f ( x)  M có nghiệm X M , m gọi giá trị lớn giá trị nhỏ hàm f Hàm f gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn 1.1.3 Phép toán tập hợp hàm số Cho hai hàm số f : X  Y g : X  T Tổng f  g , hiệu f  g , tích f g , hàm số có ảnh phần tử x tổng, hiệu, tích, ảnh f ( x) g ( x) Đặt f : X  Y g : Y  Z hai hàm số Hàm số h : X  Z biến phần tử x  X thành h( x)  g ( f ( x)) gọi hàm hợp f g , kí hiệu g  f Cho hàm số f : X  Y song ánh Khi với phần tử y  Y , tồn phần tử x  X cho y  f ( x) Khi hàm số từ Y vào X biến phần tử y thành phần tử x gọi hàm ngược hàm f , kí hiệu f 1 1.2 Giới hạn hàm số Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Cho hàm số y  f ( x ) xác định X Hàm f gọi có giới hạn số thực A x tiến tới x0 ,   0,   thỏa  x  x0   f ( x)  A   với x  X , kí hiệu lim f ( x)  A hay f ( x)  A x  x0 x  x0 Cho hàm số y  f ( x ) xác định X x0  X Hàm f gọi có giới hạn bên trái A x0   0,   thỏa  x  x0   f ( x)  A   với x  X , x  x0 , kí hiệu lim f ( x )  A Hàm f gọi có giới hạn bên phải A x  x0 x0   0,   thỏa  x  x0   f ( x)  A   với x  X , x  x0 , kí hiệu lim f ( x)  A x  x0 Định lí 1.1 Hàm số y  f ( x ) xác định X có giới hạn A x  x0 với dãy  xn   X thỏa xn  x0 f ( xn )  A Chứng minh (  ) Có lim f ( x)  A Khi x  x0   0,   cho x  X thỏa  x  x0   f ( x)  A   Vì xn  x0 nên tồn n0 cho n  n0 xn  x0   Suy f ( xn )  A   Do f ( xn )  A ()   Giả sử lim f ( x)  A x  x0 tức   , cho 1 , xn  X ,  xn  x0  f ( xn )  A   n n Khi ta có dãy  xn   X , xn  x0 khơng có f ( xn )  A , mẫu thuẫn Chú ý Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chun Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Từ định lí ta có định nghĩa tương đương với định nghĩa giới hạn hàm số trên: “Cho hàm số y  f ( x ) xác định X Hàm f gọi có giới hạn A x tiến tới x0 ,  xn   X cho xn  x0 f ( xn )  A n   ” Định lí 1.2 Nếu tồn giới hạn lim f ( x)  l1 , lim g ( x)  l2 tồn x  x0 x  x0 giới hạn sau: i) lim  af ( x )   al1 , a   ; x  x0 ii) lim  f ( x)  g ( x)   l1  l2 ; x  x0 iii) lim f ( x).g ( x)  l1.l2 ; x  x0 iv) lim x  x0 f ( x ) l1  với l2  ; g ( x ) l2 v) lim f ( x) g ( x )  l1l với l1  0, l1  x  x0 1.3 Tính liên tục hàm số Cho hàm số y  f ( x ) xác định X Hàm f gọi liên tục x0 lim f ( x)  f ( x0 ) , tức là: x  x0   0,   0, x  X thỏa  x  x0   f ( x)  f ( x0 )   Định lí 1.2 Hàm số f xác định X liên tục x0 với dãy  xn   X : xn  x0 f ( xn )  f ( x0 ) Nhận xét Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Đặt x  x  x0 , gọi số gia biến số x0 , y  f ( x)  f ( x0 ) , gọi số gia hàm ứng với số gia đối số x0 Khi f liên tục x0 lim y  x 0 Hàm y  f ( x ) gọi liên tục tập X liên tục điểm x  X Định lí 1.3 Các hàm số sơ cấp liên tục điểm thuộc tập xác định chúng Hàm f xác định tập X không liên tục x0 trường hợp sau xảy ra: i) Điểm x0 không thuộc X ; ii) Không tồn giới hạn lim f ( x ) lim f ( x ) ; x  x0 x  x0 iii) Tồn lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)  lim f ( x) chúng khác x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 f ( x0 ) ; iv) Tồn lim f ( x ) lim f ( x ) chúng khác x  x0 x  x0 Định lí 1.4 Nếu hàm f : X  Y liên tục x0 , hàm g : Y  Z liên tục y0  f ( x0 ) hàm g f liên tục x0 Định lí 1.5 Nếu hàm f g xác định X liên tục x0  X f g f  g , f g , f với ( g ( x0 )  0) liên tục x0 g Định lí 1.6 Nếu hàm f liên tục đoạn  a; b f ( a) f (b)  tồn c   a; b  cho f (c )  Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chun Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Định lí 1.5 (Định lí Bolzano- Cauchy) Nếu hàm f liên tục đoạn  a; b f ( x ) nhận giá trị trung gian f ( a ) f (b ) , tức tồn c   a; b  cho f ( a )  f (c )  f (b) 1.4 Phương trình Cauchy 1.4.1 Phương trình Cauchy Khi giải phương trình hàm ta phép sử dụng kết toán sau Bài tốn 1.1 (Phương trình Cauchy) Cho f :    hàm số liên tục thỏa mãn f ( x  y )  f ( x)  f ( y) , x, y  (1.1) Tìm tất hàm số thỏa mãn điều kiện Lời giải Trong (1.1) thay x  y  ta f  0  f  0  f  0  Trong (1.1) thay x  y ta f  x   f  x  , x   Ta dự đoán f  nx   nf  x  , x   , n  (1.2) Giả sử (1.2) với n  n0 , n0  , tức f  n0 x   n0 f  x  , x   Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Ta có f  n  1 x   f  n0 x  x   f  n0 x   f  x   n0 f  x   f  x    n0  1 f  x  Suy (1.2) n  n0  Theo nguyên lí quy nạp (1.2) với n   Trong (1.1) thay x   y , ta f  0  f  x   f   x   f   x    f  x  (1.3) Áp dụng (1.2) (1.3) ta suy với n  , n  ta có f  nx   f     nx     f   nx     n  f  x   nf  x  , x   Do ta chứng minh f  nx   nf  x  , n   , x   Suy  x  x  x f  x   f  n   n f    f    f  x  , n   , n  , x    n n n n Với r   ta có r  m , m, n  , n  , ta có n m  f  rx   f  x   mf n   x m    f  x   rf  x  , x   n n Với x   , tồn dãy số rn    thỏa rn  x , f liên tục nên ta có Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm f  x   f  limrn   lim f  rn   lim rn f 1  xf 1 Đặt a  f (1) ta f  x   ax , x   , a số Thử lại thấy f  x   ax , x   thỏa đề Bài toán 1.2 Cho f :    hàm số liên tục thỏa mãn f ( x  y )  f ( x) f ( y) , x, y   (1.4) Tìm tất hàm số thỏa mãn điều kiện không đồng không Lời giải Từ đề suy   x  f  x    f     , x     Nếu tồn x0 cho f  x0   f  x   f ( x  x0  x0 )  f  x  x0  f  x0   , x   , mâu thuẫn với yêu cầu Như f  x   , x   Đặt g  x   ln f  x  , x   , ta có g liên tục thỏa g  x  y   g  x   g  y  , x, y   Theo toán 1.1 g  x   ax , với a  g 1  ln f 1 Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Từ f  x   b x , x   , b  ea Thử lại thấy f  x   b x , x   thỏa đề Lời giải Đầu tiên ta chứng minh f  x   , x   lời giải Trong (1.4) thay x  y  ta f (0)   f (0)   f (0)  Trong (1.4) thay y   x ta 1  f (0)  f ( x  x )  f ( x ) f ( x)  f (  x )   f ( x )  , x  (1.5) Ta dự đoán n f  nx    f  x   , x  , n   (1.6) Dễ thấy f (2 x)   f ( x )  , x   Giả sử (1.6) n  n0 , n0  , tức n f ( n0 x )   f ( x )  , x   Ta có f  ( n0  1) x   f  n0 x  x   f ( n0 x) f ( x )   f ( x )  Huỳnh Vĩnh Sang n0 1 Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Mẫu thuẫn chứng tỏ f ( x)  0, x    Từ (2.6) ta    x  y  f    f ( x) f ( y)   (2.7) Đạo hàm hai vế (2.7) theo x y ta  x y  x y f  f '   f '( x) f ( y )      x y f   f   x y '   f ( x ) f '( y ) , x, y     Từ suy f '( x) f ( y)  f ( x) f '( y) , x, y  Hay f '( x) f '( y ) , x, y   f ( x) f ( y) Suy f '( x)  a, x    ln f ( x)  ax  b  f ( x)  eax b f ( x) Thử lại thấy f ( x)  eax b thỏa đề Vậy phương trình (2.6) có hai nghiệm f ( x)  0, x   f ( x)  eaxb , x   Bài toán 2.6 Xác định tất hàm số khả vi f :     thỏa phương trình hàm f   xy  f ( x ) f ( y ) , x, y    Huỳnh Vĩnh Sang (2.8) Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 55 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Lời giải Dễ thấy f ( x)  , x  thỏa phương trình Từ (2.8) suy f ( x )  0, x   Ta tìm nghiệm khơng đồng phương trình Giả sử tồn x0    cho f ( x0 )  Khi với x    ta có  x2   x2  f ( x)  f  x  f   f ( x0 )  , mâu thuẫn  x0   x0      Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x)  0, x   Từ (2.8) ta suy    f xy  f  x  f  y  , x, y    (2.9) Đạo hàm hai vế (2.9) theo biến x y ta f ( xy ) f '( xy ) f ( xy ) f '( xy ) y  f '( x) f ( y ) xy x  f '( y ) f ( x ) , x, y    xy Từ suy f '( x) f ( y) f '( y ) f ( x) , x, y     y x Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chun Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 56 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm xf '( x) yf '( y ) , x, y     f ( x) f ( y) Hay xf '( x) f '( x ) a a  , x    f ( x) f ( x) x Vì  ln f ( x)  a ln x  b  ln x aeb Suy f ( x)  cx a , x   c  eb Thử lại thấy f ( x)  cx a , x   thỏa đề Vậy phương hàm (2.8) có hai nghiệm f ( x)  0, x   f ( x)  cx a Bài tốn 2.7 Tìm tất hàm số khả vi f :    thỏa  x2  y2 f    f ( x)  f ( y ) , x, y     (2.10) Lời giải Đạo hàm hai vế (2.10) theo biến x biến y ta  x2  y f ' x  y  x  f '( x )     x2  y f ' x  y  y Huỳnh Vĩnh Sang  f '( y ) , x, y     Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 57 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Suy với x, y  , ta có f '( x) f '( y )  x y Do f '( x)  2a , x    f '( x)  2ax  f ( x)  ax  b x Thử lại thấy f ( x)  ax  b , x   thỏa đề Bài toán 2.8 Xác định tất hàm số khả vi f :  \ 0   thỏa phương trình hàm     f ( x)  f ( y ) , x, y   \ 0 f  11 x y   (2.11) Giải Lấy đạo hàm hai vế phương trình (2.11) theo biến x y , ta    2  f '( x ) , x, y   \ 0 f '   x  1 2    x y x y        2  f '( y ) , x, y   \ 0 f '   y  1 2    x y x y     Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 58 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Suy x f '( x)  y f '( y ) , x, y   \ 0 Do x f '( x)  a, x   \ 0 với a số Vì f '( x)  a a , x   \ 0  f ( x)    b , x   \ 0 x x Thử lại thấy f ( x )   a  b , x   \ 0 thỏa đề x Chuyển đổi giả thiết liên tục số phương trình hàm Định lí 3.1 Nếu hàm số f liên tục đoạn  a; b  khả tích (có thể lấy tích phân) đoạn  a; b  Định lí 3.2 Nếu hàm số f (t ) liên tục đoạn  a; b với x   a; b , x hàm số F ( x)   f (t )dt khả vi đoạn a; b F '( x)  f ( x) a Đối với phương trình hàm, hàm số khả vi ta chuyển phương trình hàm phương trình vi phân Khi việc giải phương trình trở nên dễ Ta xét tốn sau: Bài tốn 3.1 Tìm tất nghiệm khả vi f :    phương trình Cauchy (1.1) Lời giải Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 59 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Lấy đạo hàm hai vế (1.1) theo biến x , ta f '( x  y)  f '( x) , x, y  (3.1) Bây (3.1), thay y  ta f '( x)  f '(0) , x   Suy f '( x)  a , x   với a số Do f ( x)  ax  b Dễ thấy f (0)  b  Vậy f ( x)  ax , x   Thử lại thấy f ( x)  ax, x   thỏa đề Bài toán 3.2 Giải toán 1.2 với giả thiết f hàm số khả vi  Lời giải Từ đề suy   x  f  x    f     , x     Nếu tồn x0 cho f  x0   f  x   f ( x  x0  x0 )  f  x  x0  f  x0   , x   , mâu thuẫn với giả thiết Như f  x   , x   Trong (1.4) cho x  y  ta f (0)   f (0)  Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 60 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Suy f (0)  Đạo hàm hai vế phương trình theo biến x biến y , ta f '( x  y)  f '( x) f ( y) f '( x  y)  f ( x) f '( y) , x, y  Suy f '( x) f ( y)  f ( x) f '( y) x, y  Do f '( x) f '( y ) x, y   f ( x) f ( y) Tức f '( x)  a , x    ln f ( x)  ax  b  f ( x)  eaxb f ( x) Vì f (0)  nên b  Do f ( x)  eax Đặt c  ea , ta f ( x)  c x Thử lại thấy f ( x)  c x , x   thỏa đề Nhận xét Với toán ta thấy giả thiết liên tục khả vi nghiệm cho kết Tuy nhiên với giả thiết khả vi lời giải ngắn gọn đơn giản Câu hỏi đặt chuyển đổi giả thiết liên tục giả thiết khả vi khơng ? Xét tốn 3.1, f ( x ) liên tục  nên liên tục  0;1 Do f ( x) khả tích đoạn  0;1 Lấy tích phân hai vế phương trình (1.1) theo biến y từ tới , ta Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 61 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm 1  f ( x  y )dy  f ( x)   f ( y)dy Hay f ( x)  1 x  f (t )dt   f ( y) dy x Suy f khả vi f '( x)  f ( x  1)  f ( x )  f (1) Và đến ta dễ dàng suy cơng thức f Tương tự với toán 3.2, lấy tích phân hai vế phương trình (1.4) theo biến y từ tới ta 1  f ( x  y)dy  f ( x) f ( y )dy 1 x Hay  x f (t ) dt  f ( x )  f ( y )dy Vì vế trái hàm khả vi  f ( y)dy  nên vế phải khả vi f ( x) khả vi đạo hàm hai vế đẳng thức theo biến x ta f ( x  1)  f ( x)  af '( x) a   f ( y ) dy Tức f ( x)  f (1)  1  af '( x) Suy f '( x)  b với b số f ( x) Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 62 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Đến ta giải tiếp Như ta vừa chuyển đổi giả thiết liên tục toán 3.1 3.2 qua giả thiết khả vi Tiếp theo sử dụng phương pháp để giải số tốn Bài tốn 3.3 Tìm tất hàm số liên tục f : *   thỏa mãn f ( x)  f ( y )  f ( xy) , x, y  * (3.2) Lời giải Dễ thấy f  x   0, x   thỏa phương trình Vì f liên tục * nên liên tục tục đoạn 1;2 Do f khả tích đoạn 1;2 Lấy tích phân theo biến y từ đến ta 2 f ( x )   f ( y )dy   f ( xy )dy , x  * 1 Hay f ( x )  x 2x  f (t )dt   f ( y)dy , x   x *  Suy f ( x) khả vi * Lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.2) theo biến x biến y ta f '( x)  yf '( xy ) f '( y )  xf '( xy ) x, y  * Suy Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 63 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm f '( x) f '( y ) x, y  * hay xf '( x)  yf '( y ) x, y  *  y x Do xf '( x)  a, x  * với a số Suy f '( x)  a  f ( x)  a ln x  b x Trong (3.2) cho x  y  suy f (1)  f (1)  f (1)   b  Vì f  x   a ln x, x  * Thử lại thấy f  x   a ln x, x  * thỏa đề Bài toán 3.4 Cho f :  \ 0   hàm số liên tục thỏa mãn f ( xy )  f ( x) f ( y ) , x, y  (1.12) Tìm tất hàm số thỏa mãn điều kiện không đồng không Lời giải Theo lời giải toán 1.4 ta chứng minh f ( x)  0, x   \ 0 f (1)  Vì f liên tục  \ 0 nên liên tục tục đoạn 1;2 Do f khả tích đoạn 1;2 Lấy tích phân theo biến y từ đến ta  f ( xy) dy  f ( x)  f ( y) dy (3.3) Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 64 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm f ( x)  Hay x 2x  f (t )dt x  f ( y)dy Suy f ( x) khả vi  \ 0 Lần lượt lấy đạo hàm hai vế phương trình (1.12) theo biến x biến y ta yf '( xy )  f '( x) f ( y) xf '( xy )  f ( x) f '( y) x, y   \ 0 Suy f '( x) f ( y) f '( y ) f ( x) x, y   \ 0  y x xf '( x) yf '( y ) x, y   \ 0  f ( x) f ( y) Hay Suy xf '( x)  a với a số f ( x) Tức f '( x) a   ln f ( x)  a ln x  b f ( x) x Vì f (1)  nên b  ln f ( x)  ln x a Vậy f ( x)  x a Thử lại thấy thỏa đề Bài tốn 3.5 (Phương trình Jensen) Tìm tất hàm số liên tục f :    cho  x  y  f ( x)  f ( y ) f    Huỳnh Vĩnh Sang (1.16) Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 65 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Lời giải Vì f liên tục  nên f liên tục đoạn  0;1 , f khả tích đoạn  0;1 Lấy tích phân theo biến y từ đến hai vế phương trình (1.16) ta   1 x y f  dy   f ( x )   f ( y )dy  2    x 1  Hay x  1 f (t )dt   f ( x )   f ( y )dy  2  Suy x 1 f ( x)   f (t )dt   f ( y) dy x Do f ( x) khả vi   f '( x)     x 1 f     x  f      f  x   f 1 f  x   f    2   2    f 1  f   Vì f ( x)  a với a số Suy f ( x)  ax  b Thử lại thấy f ( x)  ax  b, x   thỏa đề Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 66 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Bài tốn 3.6 (Putnam 1947) Tìm tất nghiệm liên tục f :    phương trình hàm f   x  y  f ( x) f ( y ) , x, y  (1.17) Lời giải Nhận thấy f ( x)  0, x thỏa phương trình Bây ta tìm nghiệm không đồng không Dễ thấy f hàm chẵn nên ta xét f với x  Trong (1.17) thay x  y  ta f   2x   f  x   Suy f ( x)  0, x  Thay x  y  ta f     f     f    Với x  , f liên tục  nên f liên tục 1;2 nên f khả tích đoạn 1;2 Lấy tích phân hai vế phương trình (1.17) theo biến y từ tới ta f 2 Hay  x 1  x  y dy  f ( x )  f ( y ) dy x2  t t  x2 f (t )dt  f  x   f  y  dy (3.4) Vế trái (3.4) khả vi nên vế phải (3.4) khả vi suy f ( x) khả vi Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 67 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Đạo hàm hai vế phương trình (1.17) theo biến x biến y ta x x y y x y 2 f' f'    x  y  f '( x ) f ( y )  x  y  f ( x ) f '( y ) Suy f '( x) f ( y) f ( x) f '( y ) , x, y    x y Hay f '( x) f '( y ) , x, y    xf ( x) yf ( y ) Do f '( x ) f '( x )  a , x     2ax  ln f ( x )  ax xf ( x ) f ( x) 2 Vì f  x   e ax , x  Đặt b  ea ta f ( x )  b x , x   Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chun Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 68 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi phương trình hàm, NXB Quốc gia, Hà Nội [2] Phạm Gia Khánh, ĐH Cần Thơ, Khai thác tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm, Cần Thơ [3] Phan Huy Khải (2007), Các toán hàm số, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Nguyễn Trọng Tuấn (2005), Bài tốn hàm số qua kì thi olympic, NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [1] Costas Efthimiou (2010), Introduction to functional equations, University of Central Florida [2] Titu Andreescu- Iurie Boreico (2007) , Functional equation [3] Christopher G.Small, Funcitonal equation and how to solve them Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 69 ... hàm f ''( x) hàm số f ( x) khả vi không khả vi Nếu f ''( x) khả vi đạo hàm kí hiệu f ''''( x) , f ''''( x) khả vi đạo hàm f ''''( x) kí hiệu f ''''''( x ) , f ''''''( x ) khả vi đạo hàm kí hiệu f (4) ( x)... ''( a) Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 48 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình hàm Hàm f gọi khả vi khoảng I   khả vi điểm x  I , đạo... f ( x)  ax, x   Áp dụng (1 .31) , ta có a (ay )  y, y   Huỳnh Vĩnh Sang Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu-Đồng Tháp 28 Sử dụng tính liên tục tính khả vi hàm số để giải phương trình