Tính liên tục của số mũ lyapunov cho phương trình vi phân không ôtônôm

Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tácgiả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.. Cụ thể số mũ Lyapunov đo tốc độ tách nhau của các nghiệmxuất phát gần

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS TSKH Đoàn Thái Sơn

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập củariêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TSKH ĐoànThái Sơn Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trungthực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây

Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tácgiả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc Nếu phát hiện bất kỳ sựgian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2019

Tác giả

Hà Lan Anh

PGS TSKH Đoàn Thái Sơn

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi

đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, PGS TSKH.Đoàn Thái Sơn

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạomọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốtluận văn này Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luậnvăn có thể có những thiếu sót Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phảnhồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô, và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2019

Tác giả

Hà Lan Anh

tuyến tính không ôtônôm 8

2 Sự biến đổi của số mũ đặc trưng theo sự thay đổi nhỏ các

Lời mở đầu

Lý thuyết số mũ Lyapunov có lịch sử lâu đời và được biết đến làmột công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phươngtrình vi phân Cụ thể số mũ Lyapunov đo tốc độ tách nhau của các nghiệmxuất phát gần nhau của phương trình vi phân và khi số mũ là âm thì cácnghiệm này hội tụ tới nhau khi thời gian tiến ra vô cùng

Trong thực tế, có rất nhiều hệ phương trình mà ta không biết đượcmột cách chính xác trường véc tơ và khi đó câu hỏi đặt ra là số mũ Lyapunovnày sẽ thay đổi như thế nào nếu trường véc tơ của hệ thay đổi nhỏ Từ câuhỏi này, luận văn mong muốn trình bầy một cách có hệ thống về vấn đề tìnhliên tục số mũ Lyapunov Để làm được điều này, luận văn sẽ tập trung vào:

- Giới thiệu sơ lược về số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân khôngôtônôm

- Ví dụ về tính không liên tục của số mũ Lyapunov cho phương trình viphân tuyến tính không ôtônôm

- Độc lập tuyến tính, sự liên tục của số mũ Lyapunov

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Đoàn Thái Sơn, người thầy tận tình hướngdẫn, giúp đỡ tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán-Trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, đã giảng dạy và tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận vănnày Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên đề tài này không

tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được các thầy, cô và các bạn góp ý

thì được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm số f (t).

Quy ước: X [0] = −∞ Đôi khi số mũ đặc trưng Lyapunov ta còn gọi tắt là

số mũ đặc trưng hay số mũ Lyapunov

Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ của số mũ Lyapunov của một

số hàm số khác nhau

Ví dụ 1.2 (i) X [tm] = 0, X [c 6= 0] = 0, X exp t cos 1

Từ Định nghĩa trên, ta có các tính chất sau:

1 X [f ] = X [|f |],

2 X [cf ] = X [f ], c 6= 0,

3 X [eαt] = α,

4 Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| cho t ≥ a, khi đó X [f ] ≤ X [F ]

Bổ đề tiếp theo cho ta hiểu chính xác hơn về sự tăng của một hàm số

có số mũ đặc trưng hữu hạn

Bổ đề 1.3 Số mũ đặc trưng X [f ] = α hữu hạn nếu và chỉ nếu với mọi

ε > 0, hai điều kiện sau được thỏa mãn:

có bất đẳng thức

1

tln|f (t)| < α + ε

2.Nhân t vào hai vế rồi lấy mũ ta được,

|f (t)| < exp



α + ε2

t

Tương tự như trên, ta cũng có bất đẳng thức

Dấu ” = ” xảy ra khi chỉ có đúng một hàm có số mũ lớn nhất

Chứng minh 1 Đặt α = maxkX [fk(t)] Giả sử α là số hữu hạn Xét

Chứng minh trên vẫn đúng cho trường hợp αk = ±∞.

Tiếp theo ta nghiên cứu về số mũ Lyapunov của tích của các hàm số.Định lý 1.5 Cho các hàm fk(t), k = 1, , n Khi đó

Ví dụ 1.6 Áp dụng Định lý 1.4, ta tính được số mũ đặc trưng sau:

X [e2t + e−1+ e3t] = 3,

X [e−1+ e0 + (1 − e0)] = 0

1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm của hệ phương trình

vi phân tuyến tính không ôtônôm

Xét phương trình vi phân tuyến tính

Định lý 1.7 Bất kỳ nghiệm không tầm thường x(t) của hệ phương trìnhtuyến tính (1.8) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ X [x] ≤ M

Chứng minh Cho Rn là không gian Euclide, tức ta gắn Rn với chuẩn sinhbởi tích vô hướng h·, ·i thông thường Ta có

dkx(t)k2dt

... mộtnhiễu nhỏ ta thu số mũ Lyapunov hệ nhiễu lớn số mũtrung tâm (số mũ Lyapunov hệ nhiễu nhỏ số mũ trung tâmdưới) Tức là, để hệ có tính liên tục số mũ Lyapunov điều kiện cần

số mũ Lyapunov trung... class="page_container" data-page="38">

2 Chỉ số ví dụ tính khơng liên tục số mũ Lyapunov;

3 Chỉ độc lập tuyến tính điều kiện đủ cho tính liên tục

số mũ Lyapunov;

4 Trình bày lại kết Perron sở... {xi}n+1i=1 độc lập tuyến tính

Tập tất số mũ đặc trưng khác tất nghiệm củamột hệ phương trình vi phân tuyến tính gọi phổ hệ

Định lý 1.10 Số lượng phần tử phổ không vượt n

Chứng