Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Xungquanh tốn hay Trần Quang Hùng Tóm tắt nội dung Bài viết đưa hướng tiếp cận cách nhìn tổng qt cho tốn báo toán tuổi thơ Trên TTT2 số 81 năm 2009 mục giải tốn qua thư có tốn hay sau thầy Nguyễn Minh Hà Bài Cho hình thang ABCD với AB CD Giả sử tồn điểm M cạnh AD điểm N bên hình thang cho ∠NBC = ∠MBA, ∠NCB = ∠MCD Gọi P đỉnh thứ tư hình bình hành MANP Chứng minh P thuộc cạnh CD Lời giải tốn có TTT2 số 83 năm 2010 Tơi xin trích dẫn lại lời giải báo A B N I J M D Q C P Hình Lời giải Lấy điểm Q cho tứ giác BNCQ hình bình hành Gọi BC giao NQ I, AP giao MN J Từ giả thiết ∠NBC = ∠MBA, ∠NCB = ∠MCD AB CD suy ∠BQC = ∠BNC = 180◦ − ∠NBC − ∠NCB = 180◦ − ∠MBA − ∠MCD = 180◦ − (∠ABC − ∠MBC) − (∠BCD − ∠BCM) = 180◦ − (∠ABC + ∠BCD) + (∠MBC + ∠BCM) = 180◦ − 180◦ + (180◦ − ∠BMC) = 180◦ − ∠BMC Suy tứ giác BMCQ nội tiếp Mà NB CQ ∠NBC = ∠MBA nên ∠BMQ = ∠BCQ = ∠NBC = ∠MBA Suy MQ BA Mà IJ MQ mà IJ đương trung bình tam giác ABC JA IB nên IJ AB Lại có = = nên theo định lý Thales đảo ta có P C AB P thuộc CD JP IC Ta có điều phải chứng minh Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Nhận xét Bài tốn có phát biểu hấp dẫn chứng minh đỉnh thứ tư hình bình hành nằm cạnh Tuy phát biểu hiểu đơn giản chứng minh đối xứng A qua trung điểm MN nằm cạnh CD Nếu nhìn theo cách hiểu tốn đơn giản chứng minh trung điểm MN nằm đường trung bình hình thang Đây cách nhìn thú vị Thực chất tốn cho điểm M mặt phẳng không thiết thuộc cạnh AD Đó cách tổng quát tốn Tơi xin đưa lời giải cho tốn nhờ số bổ đề tổng quát Ta có lưu ý giả thiết ∠NBC = ∠MBA thực chất hiểu tia BN, BA đối xứng qua phân giác ∠BAC Bài Cho hình thang ABCD với AB CD P điểm Đối xứng P B qua phân giác ∠ABC cắt đối xứng P C qua phân giác ∠BCD Q Chứng minh trung điểm P Q thuộc đường thẳng cố định P di chuyển mặt phẳng A B Q N M I P C D Hình Nhận xét Ta dễ thấy đường thẳng cố định đường trung bình hình thang Nếu để ý kỹ ta thấy phân giác ∠ABC ∠BCD vng góc cắt đường trung bình hình thang đường trung bình trung tuyến tam giác vng Vậy thực chất tốn yếu tố hình thang khơng cần thiết Ta đưa tốn khác tam giác vuông sau Bài Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến AM P điểm Gọi E, F đối xứng P qua CA, AB Gọi CE cắt BF Q Chứng minh trung điểm P Q thuộc AM Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Q E I A F P B M C Hình Nhận xét Nếu nhìn dạng tam giác vng yếu tố tam giác vng thay tổng qt Ta đưa toán sau Bài Cho tam giác ABC trung tuyến AM P điểm Gọi K, L thuộc đường thẳng CA, AB cho P K AB, P L AC Gọi E, F đối xứng P qua K, L Gọi CE cắt BF Q Chứng minh trung điểm P Q thuộc AM Bàitoántoán túy yếu tố trung điểm song song Thật thú vị nhận thấy hệ đường thẳng Gauss Ta xem lời giải Bổ đề 4.1 Cho tứ giác ABCD AB giao CD E AD giao BC F Chứng minh trung điểm AC, BD, EF thẳng hàng Bổ đề kết tiếng hình học phẳng gọi đường thẳng Gauss xin khơng trình bày lại chứng minh Trở lại tốn Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Q E I A K F L P B C M M J N Hình Lời giải tốn Gọi I trung điểm P A Gọi P E, P F cắt AB, AC M, N Dễ thấy A trung điểm EF nên áp dụng bổ đề cho tứ giác P EQF dễ thấy I, A, J thẳng hàng với J trung điểm MN Do P K AB mà A trung điểm EF nên B trung điểm F M Tương tự C trung điểm EN Từ dễ thấy ACJB hình bình hành Vậy AJ qua trung điểm M BC, kết hợp I, A, J thẳng hàng ta có điều phải chứng minh Nhận xét Việc cho P trùng với điểm đặc biệt đặc biệt hóa tam giác ABC để thu kết tương tự báo việc làm thú vị xin dành cho bạn đọc Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] Tạp chí TTT2 số 81 năm 2009 [2] Tạp chí TTT2 số 83 năm 2010 Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... Q E I A F P B M C Hình Nhận xét Nếu nhìn dạng tam giác vng yếu tố tam giác vng thay tổng quát Ta đưa toán sau Bài Cho tam giác ABC trung tuyến AM P điểm Gọi K, L thuộc đường thẳng CA, AB cho... AB, P L AC Gọi E, F đối xứng P qua K, L Gọi CE cắt BF Q Chứng minh trung điểm P Q thuộc AM Bài toán toán túy yếu tố trung điểm song song Thật thú vị nhận thấy hệ đường thẳng Gauss Ta xem lời... bình hình thang Đây cách nhìn thú vị Thực chất toán cho điểm M mặt phẳng không thiết thuộc cạnh AD Đó cách tổng qt tốn Tơi xin đưa lời giải cho toán nhờ số bổ đề tổng quát Ta có lưu ý giả thiết